କ - ବିଭାଗ

Question 1:

ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।

Question 1(i): ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସେ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।

Answer 1(i): T (True)

Question 1(ii): ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ୟମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।

Answer 1(ii): T (True)

Question 1(iii): ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ କୁହାଯାଏ ।

Answer 1(iii): T (True)

Question 1(iv): ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ ।

Answer 1(iv): F (False)

Question 1(v): କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ $20$ ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍ଧାଙ୍କ $15$ ର ବିଚ୍ୟୁତି $5$ ।

Answer 1(v): F (False)

Question 1(vi): ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{n+1}{2}$ ।

Answer 1(vi): T (True)

Question 1(vii): ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $2n+2$ ।

Answer 1(vii): F (False)

Question 1(viii): ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $10$ ।

Answer 1(viii): T (True)

Question 1(ix): $15$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $17$ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ $2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ $8.5$ ହେବ ।

Answer 1(ix): F (False)

Question 1(x): ପ୍ରଥମ $20$ ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ, ପ୍ରଥମ $20$ ଟି ଗଣନସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନର ଦୁଇଗୁଣ ।

Answer 1(x): T (True)

2. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।

Question (i): $61, 62, 68, 56, 64, 72, 69, 51, 71, 67, 70, 55, 63$ ଏହି ଲବ୍ଧାଙ୍କ ମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ନିରୂପଣ ଲାଗି ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ?

(A) $55$

(B) $60$

© $70$

(D) $72$

Answer: (B) $60$

Question (ii): ପ୍ରଥମ $20$ ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $10$

(B) $10\frac{1}{2}$

© $\frac{21}{20}$

(D) $210$

Answer: (B) $10\frac{1}{2}$

Question (iii): ପ୍ରଥମ ‘$n$’ ସଂଖ୍ୟକ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Whole number) ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $\frac{n-1}{2}$

(B) $\frac{n}{2}$

© $\frac{n+1}{2}$

(D) $n$

Answer: (A) $\frac{n-1}{2}$

Question (iv): ପ୍ରଥମ ‘$n$’ ସଂଖ୍ୟକ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $(n - 1)$

(B) $n$

© $n + 1$

(D) $n + 2$

Answer: © $n + 1$

Question (v): ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $(n - 1)$

(B) $n$

© $n + 1$

(D) $n + 2$

Answer: (B) $n$

Question (vi): ‘$M$’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ $10$ ଟି ଲବ୍ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ $2$ ବଢାଇଲେ ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କ $10$ ଟିର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $m$

(B) $2m$

© $m^2$

(D) $m + 2$

Answer: (D) $m + 2$

Question (vii): ‘$M$’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ $4$ ଗୁଣ କରିଦେଲେ ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $\frac{M}{4}$

(B) $M$

© $4M$

(D) $\frac{4}{M}$

Answer: © $4M$

Question (viii): ‘$M$’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ $x$ ବିୟୋଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $M$

(B) $(M + x)$

© $Mx$

(D) $(M - x)$

Answer: (D) $(M - x)$

Question (ix): ‘$M$’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ $5$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $M$

(B) $\frac{M}{5}$

© $5M$

(D) $M - 5$

Answer: (B) $\frac{M}{5}$

Question (x): ଯଦି $a$ ସଂଖ୍ୟକ ବାଳକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ବୟସ $12$ ବର୍ଷ ଓ $b$ ସଂଖ୍ୟକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ବୟସ $10$ ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ବାଳକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ବୟସ କେତେ ବର୍ଷ ହେବ ?

(A) $\frac{10a + 12b}{a + b}$

(B) $\frac{12a + 10b}{a + b}$

© $\frac{10a + 12b}{10 + 12}$

(D) $\frac{12a + 10b}{10 + 12}$

Answer: (B) $\frac{12a + 10b}{a + b}$

Question (xi): $998.9, 999.1, 1000.3, 1000.6, 1001.1$ ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $998$

(B) $999$

© $1000$

(D) $1001$

Answer: © $1000$

Question (xii): $6, 8, 5, 7, x$ ଏବଂ $4$ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ଗୁଡିକର ମାଧ୍ୟମାନ $7$ ହେଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $10$

(B) $11$

© $12$

(D) $13$

Answer: © $12$

Question (xiii): $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ଗୁଡିକର ମାଧ୍ୟମାନ $M$ ହେଲେ $\sum_{i=1}^{6} (x_i - M)$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ?

(A) $0$

(B) $6$

© $36$

(D) $-6$

Answer: (A) $0$

Question (xiv): $x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8$ ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $x + 2$

(B) $x + 4$

© $x + 6$

(D) $x$

Answer: (B) $x + 4$

Question (xv): $18$ ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ ମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?

(A) $5$

(B) $6$

© $6.5$

(D) $7$

Answer: © $6.5$
🌟withteachers.in🌟

ଖ - ବିଭାଗ

Question 3:

ଦଶଥର ଖେଳି ଜଣେ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳାଳୀ ସଂଗ୍ରହ କରିଥିବା ରନ୍ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – $47, 41, 50, 39, 45, 48, 42, 32, 60$ ଏବଂ $20$ । ତାଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ସଂଗୃହୀତ ରନ୍‌ର ମାଧ୍ୟମାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ (ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 3:

ଏଠାରେ ଲବ୍ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ($x$) ହେଲା: $47, 41, 50, 39, 45, 48, 42, 32, 60, 20$

ମୋଟ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ($n$) = $10$

ମନେକର କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ ବା ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ($A$) = $40$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍ଧାଙ୍କରୁ ବିଚ୍ୟୁତି ($d = x - A$) ବାହାର କରିବା:

• $47 - 40 = 7$

• $41 - 40 = 1$

• $50 - 40 = 10$

• $39 - 40 = -1$

• $45 - 40 = 5$

• $48 - 40 = 8$

• $42 - 40 = 2$

• $32 - 40 = -8$

• $60 - 40 = 20$

• $20 - 40 = -20$

ବିଚ୍ୟୁତିଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ($\sum d$) $= 7 + 1 + 10 + (-1) + 5 + 8 + 2 + (-8) + 20 + (-20)$

$$\sum d = 24$$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) $= A + \frac{\sum d}{n}$

$$M = 40 + \frac{24}{10} = 40 + 2.4 = \mathbf{42.4}$$

ରନ୍ ।

🌟withteachers.in🌟

Question 4:

କିଲୋଗ୍ରାମ ଓଜନରେ $30$ ଜଣ ପିଲାଙ୍କର ଓଜନ ହେଲା $21, 30, 40, 25, 26, 22, 26, 31, 22, 36, 30, 25, 25, 33, 30, 25, 27, 27, 25, 31, 33, 22, 21, 36, 40, 31, 33, 30, 37, 36$ । ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନରେ ସଜ୍ଜିତ କରି ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 4:

$\sum f = 30$

$\sum fx = 876$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) $= \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{876}{30} = \mathbf{29.2}$ କି.ଗ୍ରା. ।

🌟withteachers.in🌟

Question 5:

କିଛି ରାସାୟନିକ ପଦାର୍ଥର ଓଜନ $30$ ଥର ନିଆଯାଇ ଫଳାଫଳକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ସଜାଯାଇଛି । ମାଧ୍ୟମାନ ଓଜନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
p>

Answer 5:

ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଆମେ $f$ ଓ $x$ ର ଗୁଣଫଳ ($fx$) ବାହାର କରିବା:

$\sum fx = 125.1$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) $= \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{125.1}{30} = \mathbf{4.17}$ ଗ୍ରାମ ।

🌟withteachers.in🌟

Question 6:

ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ $30$ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ହାରାହାରି ବୟସ $12$ ବର୍ଷ । ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ସହିତ ସେମାନଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ $13$ ବର୍ଷ ହେଲେ, ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 6:

• $30$ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ହାରାହାରି ବୟସ = $12$ ବର୍ଷ

  ତେଣୁ, $30$ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ $= 30 \times 12 = \mathbf{360}$ ବର୍ଷ

• ଶିକ୍ଷକଙ୍କୁ ମିଶାଇ ମୋଟ ସଦସ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା $= 30 + 1 = \mathbf{31}$ ଜଣ

  $31$ ଜଣଙ୍କ ହାରାହାରି ବୟସ = $13$ ବର୍ଷ

  ତେଣୁ, ସମସ୍ତ $31$ ଜଣଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ $= 31 \times 13 = \mathbf{403}$ ବର୍ଷ

• ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ = ($31$ ଜଣଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ) - ($30$ ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ)

  $$ଶିକ୍ଷକଙ୍କ \ ବୟସ = 403 - 360 = \mathbf{43}$$ବର୍ଷ ।

🌟withteachers.in🌟
Question 7:

$x_1, x_2, x_3 \ldots$ ପ୍ରଭୃତି $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ $m$ । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍ଧାଙ୍କରୁ $(a - b)$ ବିୟୋଗ କରାଯାଏ ଦର୍ଶାଅ ଯେ ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ୟମାନ $(m - a + b)$ ହେବ ।

Answer 7:

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ ର ମାଧ୍ୟମାନ = $m$

ଅର୍ଥାତ୍,

$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n} = m$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍ଧାଙ୍କରୁ $(a - b)$ ବିୟୋଗ କରାଗଲେ, ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେବେ:

$x_1 - (a - b), x_2 - (a - b), x_3 - (a - b), \ldots, x_n - (a - b)$

ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ୟମାନ:

$$= \frac{[x_1 - (a - b)] + [x_2 - (a - b)] + \ldots + [x_n - (a - b)]}{n}$$

$$= \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - n(a - b)}{n}$$

$$= \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} - \frac{n(a - b)}{n}$$

ପୂର୍ବ ସୂତ୍ରରୁ $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = m$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା:

$$= m - (a - b)$$

$$= \mathbf{m - a + b}$$

ତେଣୁ, ନୂତନ ଲବ୍ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ୟମାନ $(m - a + b)$ ହେବ । (ପ୍ରମାଣିତ)

ଗ - ବିଭାଗ

Question 8:

ଏକ ବଗିଚାରେ ଥିବା ଗଛ ମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ଗଛଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ୟମାନ ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.)ରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 8:

ସୁବିଧା ପାଇଁ ଆମେ ସଂଭାଗ (Class) ଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱକ୍ରମରେ (25-30, 30-35 ଇତ୍ୟାଦି) ସଜାଇ ଲେଖିବା ଏବଂ ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଏକ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ।

$\sum f = 52$

$\sum fx = 2580$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର:

$$M = \frac{\sum fx}{\sum f}$$

$$M = \frac{2580}{52} \approx \mathbf{49.62}$$

ତେଣୁ, ଗଛଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ୟମାନ ଉଚ୍ଚତା ହେଉଛି ପ୍ରାୟ 49.62 ସେ.ମି. ।

🌟withteachers.in🌟

Question 9:

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ, ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ନିରୂପଣ କର ।

Answer 9:

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ (Short-cut method) ଅନୁସାରେ, ମନେକର କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ $A = 105$ । ବିଚ୍ୟୁତି $d = x - A$ ।

$\sum f = 80$

$\sum fd = -156$

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାଧ୍ୟମାନ ($M$):

$$M = A + \frac{\sum fd}{\sum f}$$

$$M = 105 + \left(\frac{-156}{80}\right)$$

$$M = 105 - 1.95 = \mathbf{103.05}$$
🌟withteachers.in🌟
Question 10:

ନିମ୍ନ ଭାଗ - ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ସୋପାନ - ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀରେ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 10:

ସୋପାନ - ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation method) ରେ କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ $A = 14$ ଏବଂ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର $c = 4$ ନେବା ।

ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି $y = \frac{x - A}{c}$

$\sum f = 50$

$\sum fy = -22$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) ର ସୂତ୍ର:

$$M = A + \left(\frac{\sum fy}{\sum f}\right) \times c$$

$$M = 14 + \left(\frac{-22}{50}\right) \times 4$$

$$M = 14 + (-0.44) \times 4$$

$$M = 14 - 1.76 = \mathbf{12.24}$$
🌟withteachers.in🌟
Question 11:

ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ଉଭୟ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ଓ ସୋପାନ - ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନରେ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 11:

ଆସନ୍ତୁ ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ଯେଉଁଥିରେ କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ $A = 125$ ଏବଂ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର $c = 50$ ରହିବ ।

ଏଠାରେ ବିଚ୍ୟୁତି $d = (x - 125)$ ଏବଂ ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି $y = \frac{x - 125}{50}$ ।

$\sum f = 52$

$\sum fd = 1600$

$\sum fy = 32$

1. ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ (Short-cut Method):

$$M = A + \frac{\sum fd}{\sum f}$$

$$M = 125 + \frac{1600}{52}$$

$$M = 125 + 30.769... \approx \mathbf{155.77}$$

2. ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation Method):

$$M = A + \left(\frac{\sum fy}{\sum f}\right) \times c$$

$$M = 125 + \left(\frac{32}{52}\right) \times 50$$

$$M = 125 + \frac{1600}{52}$$

$$M = 125 + 30.769... \approx \mathbf{155.77}$$

ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀରୁ ମାଧ୍ୟମାନ 155.77 ମିଳିଲା ।

Question 12:

$12.$ ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ, ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସୋପାନ - ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation method) ପାଇଁ ଆମେ କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ ($A$) ଏବଂ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ($c$) ନେଇ ଏକ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ।

ମନେକର କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ $A = 45$ ଏବଂ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର $c = 10$ ।

ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି $y = \frac{x - A}{c} = \frac{x - 45}{10}$

$\sum f = 50$

$\sum fy = 23$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) ର ସୂତ୍ର:

$$M = A + \left(\frac{\sum fy}{\sum f}\right) \times c$$

$$M = 45 + \left(\frac{23}{50}\right) \times 10$$

$$M = 45 + \frac{23}{5}$$

$$M = 45 + 4.6 = \mathbf{49.6}$$

ତେଣୁ, ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ $49.6$ ଅଟେ ।

🌟withteachers.in🌟

Question 13 (i):

Answer 13 (i):

ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଆମେ $f$ ଓ $x$ ର ଗୁଣଫଳ ($fx$) ବାହାର କରିବା:

$\sum f = 74 + f$

$\sum fx = 563 + 7f$

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) = $7.5$

$$M = \frac{\sum fx}{\sum f}$$

$$7.5 = \frac{563 + 7f}{74 + f}$$

$$7.5(74 + f) = 563 + 7f$$

$$555 + 7.5f = 563 + 7f$$

$$7.5f - 7f = 563 - 555$$

$$0.5f = 8$$

$$f = \frac{8}{0.5} = \mathbf{16}$$

ତେଣୁ, ‘$f$’ ର ମୂଲ୍ୟ $16$ ଅଟେ ।

Answer 13 (ii):

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ଆମେ $f$ ଓ $x$ ର ଗୁଣଫଳ ($fx$) ବାହାର କରିବା:

$\sum f = 22$

$\sum fx = 116 + 4P$

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) = $6$

$$M = \frac{\sum fx}{\sum f}$$

$$6 = \frac{116 + 4P}{22}$$

$$116 + 4P = 6 \times 22$$

$$116 + 4P = 132$$

$$4P = 132 - 116$$

$$4P = 16$$

$$P = \frac{16}{4} = \mathbf{4}$$

ତେଣୁ, ‘$P$’ ର ମୂଲ୍ୟ $4$ ଅଟେ ।
🌟withteachers.in🌟
Question 14:

$14.$ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ $50$ ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତା ଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି $120$ ହେଲେ $f_1$ ଓ $f_2$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 14:

ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, ମୋଟ ବାରମ୍ବାରତା ($\sum f$) = $120$ ଏବଂ ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) = $50$ ।

ପ୍ରଥମେ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା, ଯେଉଁଥିରେ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ($x$) ବାହାର କରିବା:

$\sum f = 68 + f_1 + f_2$

$\sum fx = 3480 + 30f_1 + 70f_2$

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $\sum f = 120$

$$68 + f_1 + f_2 = 120$$

$$f_1 + f_2 = 120 - 68$$

$$f_1 + f_2 = 52 \quad \text{--- (ସମୀକରଣ ୧)}$$

ମାଧ୍ୟମାନ ର ସୂତ୍ର:

$$M = \frac{\sum fx}{\sum f}$$

$$50 = \frac{3480 + 30f_1 + 70f_2}{120}$$

$$50 \times 120 = 3480 + 30f_1 + 70f_2$$

$$6000 = 3480 + 30f_1 + 70f_2$$

$$30f_1 + 70f_2 = 6000 - 3480$$

$$30f_1 + 70f_2 = 2520$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $10$ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ:

$$3f_1 + 7f_2 = 252 \quad \text{--- (ସମୀକରଣ ୨)}$$

ସମୀକରଣ ୧ ରୁ $f_1 = 52 - f_2$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$$

$$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$$

$$4f_2 = 252 - 156$$

$$4f_2 = 96$$

$$f_2 = \frac{96}{4} = \mathbf{24}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ $f_2$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ:

$$f_1 + 24 = 52$$

$$f_1 = 52 - 24 = \mathbf{28}$$

ତେଣୁ, $f_1 = 28$ ଏବଂ $f_2 = 24$ ।

🌟withteachers.in🌟

Question 15:

$15.$ ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନରେ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 15:

ସୋପାନ - ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation method) ବ୍ୟବହାର କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ($x$), କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ ($A$), ଏବଂ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ($c$) ସ୍ଥିର କରିବା ।

ଏଠାରେ ସଂଭାଗଗୁଡିକ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ (inclusive) ଅଟନ୍ତି। ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା:

• $10-19 \rightarrow (10+19)/2 = 14.5$

• $20-29 \rightarrow (20+29)/2 = 24.5$ ଇତ୍ୟାଦି।

  ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର $c = 24.5 - 14.5 = 10$ ।

  ମନେକର କଳ୍ପିତ ମାଧ୍ୟମାନ $A = 34.5$ । ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି $y = \frac{x - 34.5}{10}$ ।

$\sum fy = 275$

ଗଣନା:

$\sum fy = (-10 - 65) + (112 + 106 + 120 + 12) = -75 + 350 = 275$

ମାଧ୍ୟମାନ ($M$) ର ସୂତ୍ର:

$$M = A + \left(\frac{\sum fy}{\sum f}\right) \times c$$

$$M = 34.5 + \left(\frac{275}{500}\right) \times 10$$

$$M = 34.5 + \frac{2750}{500}$$

$$M = 34.5 + 5.5 = \mathbf{40}$$

ତେଣୁ, ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ $40$ ଅଟେ ।