table { border: 1px solid #ccc; border-collapse: collapse; width: 100%; margin: 20px 0; background-color: #f9f9f9; } th, tr { border-bottom: 1px solid #ccc; background-color: #fff; } th, td { border: 1px solid #ccc; color: #333; padding: 12px; }

✨ 📝 ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀ Chapter 2: ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ (Exercise 2b) 📝 ✨

❓ Question 1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ । (i) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି 2 । ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ $x$ ନେଇ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = $x$

ଏହାର ବ୍ୟୁତତ୍କ୍ରମ ହେବ = $\frac{1}{x}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 2 ଅଟେ: $x + \frac{1}{x} = 2$ $$

$\Rightarrow \frac{x^2+1}{x} = 2$ $\Rightarrow x^2+1 = 2x$ $\Rightarrow x^2-2x+1=0$

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $x^2-2x+1=0$ ଅଟେ ।

Question (ii) ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 20 । ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରୁ ଗୋଟିକୁ $y$ ନେଇ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ହେଉଛି $y$ ଏବଂ $(y+1)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 20 ଅଟେ: $y(y+1) = 20$ $$

$\Rightarrow y^2+y=20$ $\Rightarrow y^2+y-20=0$

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $y^2+y-20=0$ ଅଟେ ।

Question(iii) ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 72 । ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ $x$ ନେଇ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18 ଏବଂ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା $x$ ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $(18-x)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଏମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 72 ଅଟେ: $x(18-x) = 72$ $$

$\Rightarrow 18x-x^2 = 72$ $\Rightarrow x^2-18x+72=0$

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $x^2-18x+72=0$ ଅଟେ ।

Question(iv) କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ବର୍ଗ ସମାନ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = $x$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏହାର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ: $x^2 = x$ $$

$\Rightarrow x^2-x=0$ $$

$\Rightarrow x(x-1)=0$ ତେଣୁ $x=0$ କିମ୍ବା $x-1=0$

$x-1=0 \Rightarrow x=1$ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 0 କିମ୍ବା 1 ହେବ ।

Question(v) ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $S=\frac{n(n+1)}{2}$ । ଯଦି $S=120$ ତେବେ $n$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଦତ୍ତ ଅଛି $S = \frac{n(n+1)}{2}$ ଏବଂ

$S = 120$ । ତେଣୁ: $\frac{n(n+1)}{2} = 120$ $$

$\Rightarrow n(n+1) = 240$ $$

$\Rightarrow n^2+n-240=0$

🎯 ଉତ୍ତର: ଆବଶ୍ୟକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $n^2+n-240=0$ ଅଟେ ।

Question(vi) $\sqrt{x}+x=6$ କୁ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ $\sqrt{x}+x=6$

$\sqrt{x}+x=6 \Rightarrow \sqrt{x} = 6-x$ ।

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ କଲେ: $(\sqrt{x})^2 = (6-x)^2$ $$

$\Rightarrow x = 36-12x+x^2$ $$

$\Rightarrow x^2-13x+36=0$

● 🎯 ଉତ୍ତର: ଏହାର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପଟି $x^2-13x+36=0$ ଅଟେ ।

Question (vii) $\sqrt{x+9}+3=x$ କୁ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ $\sqrt{x+9}+3=x$

$\sqrt{x+9}+3=x \Rightarrow \sqrt{x+9} = x-3$ ।

● ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ କଲେ: $(\sqrt{x+9})^2 = (x-3)^2$ $$

$\Rightarrow x+9 = x^2-6x+9$ $$

$\Rightarrow x^2-7x=0$

● 🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $x^2-7x=0$ ଅଟେ ।

Question (viii) $x-2\sqrt{x}-6=0$ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ $x-2\sqrt{x}-6=0$

$x-2\sqrt{x}-6=0 \Rightarrow x-6 = 2\sqrt{x}$ ।

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ କଲେ: $(x-6)^2 = (2\sqrt{x})^2$ $$

$\Rightarrow x^2-12x+36 = 4x$ $$

$\Rightarrow x^2-16x+36=0$

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $x^2-16x+36=0$ ଅଟେ ।

❓ Question 2(i). ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗମୂଳ ଅପେକ୍ଷା 12 ଅଧିକ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାଟି = $x$ ।

ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ = $\sqrt{x}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $x = \sqrt{x} + 12 \Rightarrow x-12 = \sqrt{x}$ ।

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ କଲେ: $(x-12)^2 = x$

$\Rightarrow x^2-24x+144 = x$ $$

$\Rightarrow x^2-25x+144=0$

ଏହାକୁ ସମାଧାନ (ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ) କଲେ: $x^2-16x-9x+144=0$ $$

$\Rightarrow x(x-16)-9(x-16)=0$ $$

$\Rightarrow (x-16)(x-9)=0$

ତେଣୁ $x=16$ କିମ୍ବା $x=9$ ।

ଯଦି $x=9$ ହୁଏ, ତେବେ $9 = \sqrt{9} + 12 \Rightarrow 9 = 3+12=15$ ଯାହାକି ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ ।

ତେଣୁ $x=16$ ହିଁ ଗ୍ରହଣୀୟ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାଟି 16 ଅଟେ ।

❓ Question 2(ii). ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{41}{20}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = $x$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: $x + \frac{1}{x} = \frac{41}{20}$ $$

$\Rightarrow \frac{x^2+1}{x} = \frac{41}{20}$ $$

$\Rightarrow 20x^2+20 = 41x$ $$

$\Rightarrow 20x^2-41x+20=0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $20x^2-25x-16x+20=0$ $$

$\Rightarrow 5x(4x-5)-4(4x-5)=0$ $$

$\Rightarrow (4x-5)(5x-4)=0$

ତେଣୁ $4x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{4}$ କିମ୍ବା $5x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{5}$ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି $\frac{5}{4}$ କିମ୍ବା $\frac{4}{5}$ ଅଟେ ।

❓ Question 2(iii). ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ $\frac{11}{30}$ ହେଲେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ଗଠନ କରି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୂପଣ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ $x$ ଏବଂ $(x+1)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{11}{30}$ $\Rightarrow \frac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \frac{11}{30}$ $\Rightarrow \frac{2x+1}{x^2+x} = \frac{11}{30}$

ଏହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $30(2x+1) = 11(x^2+x)$ $$

$\Rightarrow 60x+30 = 11x^2+11x$ $$

$\Rightarrow 11x^2-49x-30=0$ (ଏହା ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମୀକରଣ)

ସମାଧାନ ପାଇଁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $11x^2-55x+6x-30=0$ $$

$\Rightarrow 11x(x-5)+6(x-5)=0$ $$

$\Rightarrow (x-5)(11x+6)=0$

ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ $11x+6=0$ ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ।

ତେଣୁ $x-5=0 \Rightarrow x=5$ ହେବ ।

ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି $(5+1)=6$ ହେବ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 5 ଏବଂ 6 ଅଟେ ।

❓ Question 2(iv). ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତକ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{23}{132}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ: * ମନେକର କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ $x$ ଏବଂ $(x+1)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{23}{132}$ $\Rightarrow \frac{2x+1}{x^2+x} = \frac{23}{132}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $132(2x+1) = 23(x^2+x)$ $$

$\Rightarrow 264x+132 = 23x^2+23x$ $$

$\Rightarrow 23x^2-241x-132=0$

ସମାଧାନ ପାଇଁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $23x^2-253x+12x-132=0$ $$

$\Rightarrow 23x(x-11)+12(x-11)=0$ $$

$\Rightarrow (x-11)(23x+12)=0$

ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥିବାରୁ, $x=11$ । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି $11+1=12$ ହେବ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 11 ଏବଂ 12 ଅଟେ ।

❓ Question 2(v). ଯଦି 51 କୁ ଦୁଇଭାଗ କଲେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 378 ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର 51 ର ଗୋଟିଏ ଭାଗ = $x$, ତେବେ ଅନ୍ୟ ଭାଗଟି ହେବ $(51-x)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 378 ଅଟେ: $x(51-x) = 378$ $$

$\Rightarrow 51x-x^2 = 378$ $$

$\Rightarrow x^2-51x+378=0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $x^2-42x-9x+378=0$ $$

$\Rightarrow x(x-42)-9(x-42)=0$ $$

$\Rightarrow (x-42)(x-9)=0$

ତେଣୁ $x=42$ କିମ୍ବା $x=9$ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 42 ଏବଂ 9 ଅଟେ ।

❓ Question 3. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 3 ଗୁଣ । ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି ଦଶକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ଠାରୁ 2 ବୃହତ୍ତର । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି = $x$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି ଦଶକ ଅଙ୍କଠାରୁ 2 ଅଧିକ, ତେଣୁ ଏକକ ଅଙ୍କ = $(x+2)$ ।

ସଂଖ୍ୟାଟି ଗଠନ କଲେ $= 10 \times (\text{ଦଶକ ଅଙ୍କ}) + (\text{ଏକକ ଅଙ୍କ})$ $= 10x + (x+2) = 11x+2$ ।

ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $= x(x+2) = x^2+2x$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ତାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 3 ଗୁଣ ଅଟେ:

$11x+2 = 3(x^2+2x)$ $$

$\Rightarrow 11x+2 = 3x^2+6x$ $$

$\Rightarrow 3x^2-5x-2=0$

ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ: $3x^2-6x+x-2=0$ $$

$\Rightarrow 3x(x-2)+1(x-2)=0$

$\Rightarrow (x-2)(3x+1)=0$

ଅଙ୍କଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (positive integer) ହୋଇଥିବାରୁ, $x=2$ ।

ଦଶକ ଅଙ୍କ 2 ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ $2+2=4$ ହେବ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 24 ଅଟେ ।

❓ Question 4. ଗୋଟିଏ ପରିବାରରେ, ଆଲ୍ଫାର ବୟସ, ବିଟା ଓ ଗାମାର ବୟସର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ । ଯଦି ବିଟା, ଗାମା ଠାରୁ 1 ବର୍ଷ ବଡ଼ ହୁଏ ଏବଂ ଆଲ୍ଫାର ବୟସ 42 ହୁଏ, ତେବେ 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ କେତେ ହେବ ?

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଗାମାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = $x$ ବର୍ଷ ।

● ବିଟା, ଗାମାଠାରୁ 1 ବର୍ଷ ବଡ଼ ଥିବାରୁ, ବିଟାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $= (x+1)$ ବର୍ଷ ।

● ଆଲ୍ଫାର ବୟସ = (ଗାମାର ବୟସ $\times$ ବିଟାର ବୟସ) $= x(x+1)$ ।

● ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ଆଲ୍ଫାର ବୟସ 42 ବର୍ଷ: $x(x+1) = 42$ $\Rightarrow x^2+x-42=0$

● ସମାଧାନ କଲେ: $x^2+7x-6x-42=0$ $\Rightarrow x(x+7)-6(x+7)=0$ $\Rightarrow (x+7)(x-6)=0$

● ବୟସ କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x=6$ ହେବ ।

● ଅର୍ଥାତ୍ ଗାମାର ବୟସ 6 ବର୍ଷ ଏବଂ ବିଟାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $(6+1)=7$ ବର୍ଷ ।

● 🎯 ଉତ୍ତର: 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ ହେବ $(7+5) = 12$ ବର୍ଷ । ❓

Question 5. କୌଣସି ଏକ ଅରଣ୍ୟରେ ବାସ କରୁଥିବା ମର୍କଟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସେମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଅଷ୍ଟମାଂଶର ବର୍ଗ କ୍ରୀଡ଼ାରତ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ ବାରଟି ମର୍କଟ ଏକ ଶୃଙ୍ଗ ଉପରେ ବସିଥିଲେ । ଅରଣ୍ୟରେ ସମ୍ଭବତଃ କେତେ ମର୍କଟ ଥିଲେ ?

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଅରଣ୍ୟରେ ଥିବା ମୋଟ ମର୍କଟଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = $x$ ।

● କ୍ରୀଡ଼ାରତ ମର୍କଟଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା (ମୋଟର ଏକ ଅଷ୍ଟମାଂଶର ବର୍ଗ) = $\left(\frac{x}{8}\right)^2 = \frac{x^2}{64}$ ।

● ଅବଶିଷ୍ଟ ମର୍କଟଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 12 ।

● ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ମୋଟ ମର୍କଟ = କ୍ରୀଡ଼ାରତ ମର୍କଟ + ଅବଶିଷ୍ଟ ମର୍କଟ: $x = \frac{x^2}{64} + 12$ $$

$\Rightarrow 64x = x^2+768$ $$

$\Rightarrow x^2-64x+768=0$

● ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $x^2-48x-16x+768=0$ $$

$\Rightarrow x(x-48)-16(x-48)=0$ $$

$\Rightarrow (x-48)(x-16)=0$

● ତେଣୁ $x=48$ କିମ୍ବା $x=16$ ।

● 🎯 ଉତ୍ତର: ଅରଣ୍ୟରେ ସମ୍ଭବତଃ 48 କିମ୍ବା 16 ମର୍କଟ ଥିଲେ ।

❓ Question 6. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 30 ବ.ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 7 ସେ.ମି. ଅଧିକ ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $x$ ସେ.ମି. ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିଠାରୁ 7 ସେ.ମି. ଅଧିକ, ତେଣୁ ଉଚ୍ଚତା = $(x+7)$ ସେ.ମି. ।

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା} = \frac{1}{2}x(x+7)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 30 ବ.ସେ.ମି. ଅଟେ: $\frac{1}{2}x(x+7) = 30$

$\Rightarrow x(x+7) = 60$ $\Rightarrow x^2+7x-60=0$

ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ: $x^2+12x-5x-60=0$ $<br>$

$\Rightarrow x(x+12)-5(x+12)=0$ $$

$\Rightarrow (x+12)(x-5)=0$ ● ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($x \neq -12$), ତେଣୁ $x=5$ ଗ୍ରହଣୀୟ ।

🎯 ଉତ୍ତର: ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

❓ Question 7. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣର ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ସେ.ମି. ଓ (3x–1) ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ତେବେ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ସମାଧାନ: * ଆମେ ଜାଣୁ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$ ।

• ଏଠାରେ ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5x ସେ.ମି. ଏବଂ (3x-1) ସେ.ମି. ।

ତେଣୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times 5x \times (3x-1) = \frac{5x(3x-1)}{2}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି.: $\frac{5x(3x-1)}{2} = 60$ $$

$\Rightarrow 5x(3x-1) = 120$ $\Rightarrow 15x^2-5x-120=0$ • ସମୀକରଣକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $3x^2-x-24=0$ • ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $3x^2-9x+8x-24=0$ $\Rightarrow 3x(x-3)+8(x-3)=0$ $\Rightarrow (x-3)(3x+8)=0$ • ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ (ଯଦି $3x+8=0$ ତେବେ $x=-\frac{8}{3}$, ଯାହାକି ଅସମ୍ଭବ), ତେଣୁ $x=3$ ହେବ । • ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ: ପ୍ରଥମ ବାହୁ = $5x = 5 \times 3 = 15$ ସେ.ମି. । ଦ୍ଵିତୀୟ ବାହୁ = $3x-1 = 3(3)-1 = 9-1=8$ ସେ.ମି. । • 🎯 ଉତ୍ତର: ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 8 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

❓ Question 8. n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $\frac{1}{2}n(n-3)$ । ଯଦି ବହୁଭୁଜର 54 ଟି କର୍ଣ୍ଣ ରହିବ, ତେବେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ? ✅ ସମାଧାନ: * ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ବହୁଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା 54 । • ତେଣୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $\frac{1}{2}n(n-3) = 54$ $\Rightarrow n(n-3) = 108$ $\Rightarrow n^2-3n-108=0$ • ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $n^2-12n+9n-108=0$ $\Rightarrow n(n-12)+9(n-12)=0$ $\Rightarrow (n-12)(n+9)=0$ • ଏଠାରେ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ (ଅର୍ଥାତ୍ $n \neq -9$), ତେଣୁ $n=12$ ହେବ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ବହୁଭୁଜର ବାହୁର ସଂଖ୍ୟା 12 ଅଟେ ।

❓ Question 9. ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି 468 ବ.ମି. ଏବଂ ପରିସୀମାଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 24 ମି. ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିରୂପଣ କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ବଡ଼ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ x ମିଟର ଏବଂ ସାନ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ y ମିଟର । • ସେମାନଙ୍କର ପରିସୀମା ଯଥାକ୍ରମେ 4x ମିଟର ଏବଂ 4y ମିଟର ହେବ । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର 24 ମି.: $4x - 4y = 24$ $\Rightarrow 4(x-y) = 24$ $\Rightarrow x-y = 6 \Rightarrow x = y+6$ • ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି 468 ବ.ମି.: $x^2 + y^2 = 468$ • ଏବେ x ର ମାନ ବସାଇଲେ: $(y+6)^2 + y^2 = 468$ $\Rightarrow y^2+12y+36+y^2 = 468$ $\Rightarrow 2y^2+12y+36-468=0$ $\Rightarrow 2y^2+12y-432=0$ • ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $y^2+6y-216=0$ $\Rightarrow y^2+18y-12y-216=0$ $\Rightarrow y(y+18)-12(y+18)=0$ $\Rightarrow (y+18)(y-12)=0$ • ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($y \neq -18$), ତେଣୁ $y=12$ । • ସୁତରାଂ $x = y+6 = 12+6=18$ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମିଟର ଏବଂ 12 ମିଟର ଅଟେ ।

❓ Question 10. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ତାଙ୍କ ଚାଲିବାର ବେଗକୁ ଯଦି ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି 1 କି.ମି. ବୃଦ୍ଧି କରେ ତେବେ 2 କି.ମି. ରାସ୍ତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ 10 ମିନିଟ୍ କମ୍ ସମୟ ନେଇଥାନ୍ତା । ତେବେ ବ୍ୟକ୍ତିର ଚାଲିବାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ସ୍ଥିର କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କର ପ୍ରକୃତ ବେଗ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି v କି.ମି. । • 2 କି.ମି. ରାସ୍ତା ଯିବା ପାଇଁ ଲାଗୁଥିବା ପ୍ରକୃତ ସମୟ = $\frac{2}{v}$ ଘଣ୍ଟା । • ବର୍ଦ୍ଧିତ ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି (v+1) କି.ମି. ହେଲେ ନୂଆ ସମୟ ଲାଗିବ = $\frac{2}{v+1}$ ଘଣ୍ଟା । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ସମୟର ପାର୍ଥକ୍ୟ 10 ମିନିଟ୍ ବା $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ ଘଣ୍ଟା: $\frac{2}{v} - \frac{2}{v+1} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow 2 \left( \frac{v+1-v}{v(v+1)} \right) = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow \frac{2}{v^2+v} = \frac{1}{6}$ • ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $v^2+v = 12$ $\Rightarrow v^2+v-12=0$ • ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $v^2+4v-3v-12=0$ $\Rightarrow v(v+4)-3(v+4)=0$ $\Rightarrow (v+4)(v-3)=0$ • ବେଗ କେବେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($v \neq -4$), ତେଣୁ $v=3$ ହେବ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ବ୍ୟକ୍ତିର ଚାଲିବାର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ 3 କି.ମି. ଅଟେ ।

❓ Question 11. ଏକ ନୌକାର ବେଗ ସ୍ଥିର ଜଳରେ 15 କି.ମି. ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟା। ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 30 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରି ପୁନଶ୍ଚ (ଅନୁକୂଳରେ) ଫେରି ଆସିବାକୁ 4 ଘଣ୍ଟା 30 ମି. ସମୟ ନେଲା । ତେବେ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ x କି.ମି. । • ସ୍ଥିର ଜଳରେ ନୌକାର ବେଗ 15 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଦିଆଯାଇଛି । • ତେଣୁ ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ = (15-x) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ ଅନୁକୂଳରେ ବେଗ = (15+x) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା । • 30 କି.ମି. ପ୍ରତିକୂଳରେ ଯିବାକୁ ଲାଗିଥିବା ସମୟ = $\frac{30}{15-x}$ ଘଣ୍ଟା । • 30 କି.ମି. ଅନୁକୂଳରେ ଆସିବାକୁ ଲାଗିଥିବା ସମୟ = $\frac{30}{15+x}$ ଘଣ୍ଟା । • ମୋଟ ସମୟ 4 ଘଣ୍ଟା 30 ମିନିଟ୍ = $4\frac{30}{60} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ଘଣ୍ଟା । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: $\frac{30}{15-x} + \frac{30}{15+x} = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow 30 \left( \frac{15+x+15-x}{(15-x)(15+x)} \right) = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow 30 \left( \frac{30}{225-x^2} \right) = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow \frac{900}{225-x^2} = \frac{9}{2}$ • ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $9(225-x^2) = 1800$ $\Rightarrow 225-x^2 = 200$ $\Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x=5$ (ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ) • 🎯 ଉତ୍ତର: ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 5 କି.ମି. ଅଟେ ।

❓ Question 12. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟକ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ 250 ଟଙ୍କାକୁ ସମାନ ଭାଗରେ ବଣ୍ଟାଗଲା । ଯଦି 25 ଜଣ ଛାତ୍ର ଅଧୂକ ହୋଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ 0.50 ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ କମ୍ ପାଇଥାନ୍ତେ । ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଶ୍ରେଣୀରେ ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = n । • 250 ଟଙ୍କା ବଣ୍ଟାଗଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛାତ୍ର ପାଇବେ = $\frac{250}{n}$ ଟଙ୍କା । • ଯଦି 25 ଜଣ ଅଧିକ ଛାତ୍ର ଥାନ୍ତେ (ଅର୍ଥାତ୍ n+25 ଜଣ), ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଇଥାନ୍ତେ = $\frac{250}{n+25}$ ଟଙ୍କା । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହାର ପାର୍ଥକ୍ୟ 0.50 ଟଙ୍କା (ବା $\frac{1}{2}$ ଟଙ୍କା): $\frac{250}{n} - \frac{250}{n+25} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 250 \left( \frac{n+25-n}{n(n+25)} \right) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{250 \times 25}{n^2+25n} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow n^2+25n = 12500$ $\Rightarrow n^2+25n-12500=0$ • ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $n^2+125n-100n-12500=0$ $\Rightarrow n(n+125)-100(n+125)=0$ $\Rightarrow (n+125)(n-100)=0$ • ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($n \neq -125$), ତେଣୁ $n=100$ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 100 ଅଟେ ।

❓ Question 13. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ତୁ ଅପେକ୍ଷା 8 ମିଟର ଅଧୂକ । କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 240 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା କେତେ ? ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ x ମିଟର । • ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ 8 ମିଟର ଅଧିକ ଥିବାରୁ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x+8) ମିଟର । • ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\times$ ପ୍ରସ୍ଥ = $x(x+8)$ । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ: $x(x+8) = 240$ $\Rightarrow x^2+8x-240=0$ • ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $x^2+20x-12x-240=0$ $\Rightarrow x(x+20)-12(x+20)=0$ $\Rightarrow (x+20)(x-12)=0$ • ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବା ପ୍ରସ୍ଥ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($x \neq -20$), ତେଣୁ $x=12$ । • ତେଣୁ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = 12 ମିଟର ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12+8 = 20 ମିଟର । • ପରିସୀମାର ସୂତ୍ର = 2 $\times$ (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = $2(20+12) = 2 \times 32 = 64$ ମିଟର । • 🎯 ଉତ୍ତର: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 64 ମିଟର ଅଟେ ।

❓ Question 14. ଏକ ରେଳଗାଡ଼ି 300 କି.ମି. ଦୀର୍ଘ ଯାତ୍ରା ପଥରେ ସମାନ ବେଗରେ ଗତି କରୁଥିଲା । ଯଦି ଗାଡ଼ିର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 5 କି.ମି. ଅଧୂକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଗାଡ଼ିଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟର 2 ଘଣ୍ଟା ପୂର୍ବରୁ ଯଥା ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚୁଥାନ୍ତା । ତେବେ ଗାଡ଼ିର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିରୂପଣ କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ରେଳଗାଡ଼ିର ପ୍ରକୃତ ବେଗ v କି.ମି./ଘଣ୍ଟା । • 300 କି.ମି. ଯିବା ପାଇଁ ଲାଗୁଥିବା ପ୍ରକୃତ ସମୟ = $\frac{300}{v}$ ଘଣ୍ଟା । • ବେଗ ବୃଦ୍ଧି ହେବା ପରେ ବେଗ = (v+5) କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ ନୂତନ ସମୟ = $\frac{300}{v+5}$ ଘଣ୍ଟା । • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ନୂତନ ସମୟ 2 ଘଣ୍ଟା କମ୍: $\frac{300}{v} - \frac{300}{v+5} = 2$ $\Rightarrow 300 \left( \frac{v+5-v}{v(v+5)} \right) = 2$ $\Rightarrow \frac{1500}{v^2+5v} = 2$ $\Rightarrow 2(v^2+5v) = 1500 \Rightarrow v^2+5v = 750$ $\Rightarrow v^2+5v-750=0$ • ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $v^2+30v-25v-750=0$ $\Rightarrow v(v+30)-25(v+30)=0$ $\Rightarrow (v+30)(v-25)=0$ • ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($v \neq -30$), ତେଣୁ $v=25$ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ରେଳଗାଡ଼ିର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ 25 କି.ମି. ଅଟେ ।

❓ Question 15. ଏକ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ 16 ମିଟର ଓ ପଡ଼ିଆର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ସମାନ ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ଯଦି ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 230 ବର୍ଗମିଟର ହୁଏ ତେବେ ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ପଡ଼ିଆର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ବାହାର ଆଡ଼କୁ ଥିବା ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା x ମିଟର । • ମୂଳ ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ମିଟର ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ 16 ମିଟର । ମୂଳ ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $25 \times 16 = 400$ ବର୍ଗମିଟର । • ରାସ୍ତା ସହ ପଡ଼ିଆର ନୂତନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (25+2x) ମିଟର ଏବଂ ନୂତନ ପ୍ରସ୍ଥ = (16+2x) ମିଟର । • ରାସ୍ତା ସହ ପଡ଼ିଆର ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $(25+2x)(16+2x) = 400 + 50x + 32x + 4x^2 = 4x^2+82x+400$ । • ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ମୂଳ ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । $\Rightarrow (4x^2+82x+400) - 400 = 230$ $\Rightarrow 4x^2+82x = 230$ • ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $2x^2+41x-115=0$ • ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $2x^2+46x-5x-115=0$ $\Rightarrow 2x(x+23)-5(x+23)=0$ $\Rightarrow (x+23)(2x-5)=0$ • ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($x \neq -23$), ତେଣୁ $2x-5=0 \Rightarrow x = 2.5$ । • 🎯 ଉତ୍ତର: ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା 2.5 ମିଟର ଅଟେ ।

❓ Question 16. କେତେକ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଏକ ବଣ ଭୋଜିର ଆୟୋଜନ କଲେ । ଖାଦ୍ୟ ଅଟକଳ (Budget) 480 ଟଙ୍କା ଥିଲା । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 8 ଜଣ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଗଲେ ନାହିଁ; ଯାହା ଫଳରେ ଖାଦ୍ୟ ବାବଦ ଖର୍ଚ୍ଚ ଜଣପିଚ୍ଛା 10 ଟଙ୍କା ବଢ଼ିଗଲା । ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିଲେ ? ✅ ସମାଧାନ: * ମନେକର ମୂଳତଃ ଆୟୋଜନ କରିଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = n । ମୋଟ ବଜେଟ୍ 480 ଟଙ୍କା ଥିବାରୁ ମୂଳତଃ ଜଣପିଛା ଖର୍ଚ୍ଚ ହୋଇଥାନ୍ତା = $\frac{480}{n}$ ଟଙ୍କା । 8 ଜଣ ନଯିବାରୁ ପ୍ରକୃତରେ ଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = (n-8) । ସେମାନଙ୍କର ଜଣପିଛା ପ୍ରକୃତ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା = $\frac{480}{n-8}$ ଟଙ୍କା । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ନୂତନ ଖର୍ଚ୍ଚ 10 ଟଙ୍କା ଅଧିକ: $\frac{480}{n-8} - \frac{480}{n} = 10$ $\Rightarrow 480 \left( \frac{n-(n-8)}{n(n-8)} \right) = 10$ $\Rightarrow \frac{480 \times 8}{n^2-8n} = 10$ $\Rightarrow 10(n^2-8n) = 3840 \Rightarrow n^2-8n = 384$ $\Rightarrow n^2-8n-384=0$ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $n^2-24n+16n-384=0$ $\Rightarrow n(n-24)+16(n-24)=0$ $\Rightarrow (n-24)(n+16)=0$ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ($n \neq -16$), ତେଣୁ n=24 । ମୂଳ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 24, କିନ୍ତୁ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିଲେ = $24-8=16$ ଜଣ । 🎯 ଉତ୍ତର: ମୋଟ 16 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିଲେ ।

❓ Question 17. ସମାଧାନ କର : (i) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120$ ✅ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ: $(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 120$ $\Rightarrow (x^2+5x+4)(x^2+5x+6) = 120$ ମନେକର $x^2+5x = y$, ତେବେ: $(y+4)(y+6) = 120$ $\Rightarrow y^2+10y+24-120 = 0$ $\Rightarrow y^2+10y-96 = 0$ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $y^2+16y-6y-96 = 0$ $\Rightarrow y(y+16)-6(y+16) = 0$ $\Rightarrow (y+16)(y-6) = 0$ ତେଣୁ $y = -16$ କିମ୍ବା $y = 6$ । ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର: $y = 6 \Rightarrow x^2+5x = 6 \Rightarrow x^2+5x-6 = 0$ $\Rightarrow (x+6)(x-1) = 0 \Rightarrow x = -6$ କିମ୍ବା $x = 1$ । ଦ୍ଵିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର: $y = -16 \Rightarrow x^2+5x+16 = 0$ (ଏଠାରେ ପ୍ରଭେଦକ $D=25-64=-390$) । ସମୀକରଣଟି ହେବ: $\frac{3}{y} - \frac{y}{5} = \frac{59}{10}$ $\Rightarrow \frac{15 - y^2}{5y} = \frac{59}{10}$ $\Rightarrow 150 - 10y^2 = 295y$ $\Rightarrow 10y^2 + 295y - 150 = 0$ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $2y^2 + 59y - 30 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 + 60y - y - 30 = 0$ $\Rightarrow 2y(y+30) - 1(y+30) = 0$ $\Rightarrow (y+30)(2y-1) = 0$ ତେଣୁ $y = -30$ (ଏହା ଅସମ୍ଭବ କାରଣ ବର୍ଗମୂଳ ଧନାତ୍ମକ) କିମ୍ବା $y = \frac{1}{2}$ । $y = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{2x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$ । 🎯 ଉତ୍ତର: ମୂଳ ହେଲା $\frac{1}{8}$ । (xi) $\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{34}{15} \quad (x \neq 0, x \neq -1)$ ✅ ସମାଧାନ: ମନେକର $\frac{x}{x+1} = y$ । ସମୀକରଣଟି ହେବ: $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$ $\Rightarrow \frac{y^2+1}{y} = \frac{34}{15}$ $\Rightarrow 15y^2 + 15 = 34y$ $\Rightarrow 15y^2 - 34y + 15 = 0$ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: $15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$ $\Rightarrow 5y(3y-5) - 3(3y-5) = 0$ $\Rightarrow (3y-5)(5y-3) = 0$ ତେଣୁ $y = \frac{5}{3}$ କିମ୍ବା $y = \frac{3}{5}$ । ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3x = 5x+5 \Rightarrow -2x = 5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ । ଦ୍ଵିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର: $\frac{x}{x+1} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5x = 3x+3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ । 🎯 ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}$ । (xii) $x(2x+1)(x-2)(2x-3)=63$ ✅ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ସଜାଇ ଗୁଣନ କଲେ: $[x(2x-3)][(2x+1)(x-2)] = 63$ $\Rightarrow (2x^2-3x)(2x^2-4x+x-2) = 63$ $\Rightarrow (2x^2-3x)(2x^2-3x-2) = 63$ ମନେକର $2x^2-3x = y$ । ସମୀକରଣଟି ହେବ: $y(y-2) = 63$ $\Rightarrow y^2 - 2y - 63 = 0$ $\Rightarrow y^2 - 9y + 7y - 63 = 0$ $\Rightarrow (y-9)(y+7) = 0$ ତେଣୁ $y = 9$ କିମ୍ବା $y = -7$ । ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର: $2x^2-3x = 9 \Rightarrow 2x^2-3x-9 = 0 \Rightarrow 2x^2-6x+3x-9 = 0 \Rightarrow 2x(x-3)+3(x-3)=0 \Rightarrow (2x+3)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3, -\frac{3}{2}$ । ଦ୍ଵିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର: $2x^2-3x = -7 \Rightarrow 2x^2-3x+7 = 0$ (ଏହାର ପ୍ରଭେଦକ $D=9-56=-47$