ଅନୁଶୀଳନୀ - 5 (a)

❓ 1. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ :

(i) $\Delta ABC$ ର ବାହୁତ୍ରୟ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଓ 13 ସେ.ମି., ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$ ।
ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ଭୂମି ଏବଂ ଲମ୍ବ 12 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଲମ୍ବ}$
$= \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = \mathbf{30}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(ii) $\Delta ABC$ ରେ ଉଚ୍ଚତା $AD=12$ ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=96$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଭୂମି BC କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times BC \times AD$

$\Rightarrow 96 = \frac{1}{2} \times BC \times 12$
$\Rightarrow 6 \times BC = 96$
$\Rightarrow BC = \frac{96}{6} = \mathbf{16}$ ସେ.ମି.

(iii) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $25\sqrt{3}$ ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 25\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^2 = 25 \times 4 = 100$
$\Rightarrow a = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ ଏକକ।

(iv) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $25\sqrt{3}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଉପର ପ୍ରଶ୍ନ (iii) ଅନୁଯାୟୀ ବାହୁ $a = 10$ ସେ.ମି.।

ଉଚ୍ଚତା ($h$) = $\frac{\sqrt{3}}{2} a$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = \mathbf{5\sqrt{3}}$ ସେ.ମି.

(v) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା, ତାହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ 3ଟି ଲମ୍ବର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ହୁଏ।

ଉଚ୍ଚତା = $3 + 4 + 5 = \mathbf{12}$ ସେ.ମି.

(vi) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବାରୁ ଏହା ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଣତ ହେଲା । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁମାନଙ୍କ ଅନୁପାତ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଯେହେତୁ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରଟି ଦୁଇଟି ସମାନ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଣତ ହେଲା, ତେଣୁ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ ଅଟେ।

ଅନୁପାତ = $\mathbf{2 : 1}$

(vii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 3 ଗୁଣ କଲେ, ଲବ୍ଧ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦତ୍ତ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର କେତେ ଗୁଣ ?

✅ ଉତ୍ତର: ପୁରୁଣା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $l \times b$। ନୂଆ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $3l \times 3b = 9lb$। ତେଣୁ ଏହା 9 ଗୁଣ ହେବ।

(viii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁ 4 ମିଟର ଓ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମିଟର । କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଅନ୍ୟ ବାହୁଟି ହେବ $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ ମିଟର।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $4 \times 3 = \mathbf{12}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

(ix) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. । ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times (\text{କର୍ଣ୍ଣ})^2$
$= \frac{1}{2} \times 4^2 = \frac{16}{2} = \mathbf{8}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

(x) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ । ସେମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $a^2$,
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

ଅନୁପାତ = $a^2 : \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 1 : \frac{\sqrt{3}}{4} = \mathbf{4 : \sqrt{3}}$

(xi) ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ ସେ.ମି.।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$।

ଆମେ ଜାଣୁ, $\frac{1}{2} \times \text{କର୍ଣ୍ଣ} \times \text{ଲମ୍ବ} = 8$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times p = 8$
$\Rightarrow 2\sqrt{2}p = 8 \Rightarrow p = \frac{4}{\sqrt{2}} = \mathbf{2\sqrt{2}}$ ସେ.ମି.

❓ 2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ :

(i) ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ BC - AB = 20 ମିଟର ଓ AB : BC = 4 : 5 | ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର $AB = 4x$ ଏବଂ $BC = 5x$।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ $5x - 4x = 20 \Rightarrow x = 20$।

$AB = 4 \times 20 = 80$ ମି., $BC = 5 \times 20 = 100$ ମି.।

ପରିସୀମା = $2(80 + 100) = 2 \times 180 = \mathbf{360}$ ମିଟର।

(ii) ABCD ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳରେ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ହୁଏ । ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ପୁରୁଣା ବାହୁ $a$, ନୂଆ ବାହୁ $(a+4)$।

$(a+4)^2 - a^2 = 60 \Rightarrow a^2 + 8a + 16 - a^2 = 60 \Rightarrow 8a = 44 \Rightarrow a = \frac{44}{8} = \mathbf{5.5}$ ସେ.ମି.

(iii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 18 ସେ.ମି. । ଭୁମି ଓ ଏକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେଲେ $\Delta$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିରୂପଣ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଭୂମି = $8x$, ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟ = $5x, 5x$। ପରିସୀମା = $8x+5x+5x = 18x = 18 \Rightarrow x=1$।

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 8, 5, 5 ।
ଉଚ୍ଚତା = $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$ ସେ.ମି.।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = \mathbf{12}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ 3. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା । ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଠାରୁ 12 ମିଟର ବେଶୀ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର କମ୍ ହେଲେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = $a$। ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $a^2$।

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $a + 12$ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = $a - 12$। ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $(a+12)(a-12) = a^2 - 144$।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, $a^2 - 144 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow \frac{a^2}{2} = 144 \Rightarrow a^2 = 288$।

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{a^2}{2} = \frac{288}{2} = \mathbf{144}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

❓ 4. ଗୋଟିଏ ଘରର ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 540 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା 10 ମିଟର । ଘରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଅନୁପାତ 5 : 4 ହେଲେ, ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $2(l+b)h = 540$। ଏଠାରେ $h=10$, ତେଣୁ $2(l+b) \times 10 = 540 \Rightarrow l+b = 27$।

ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଅନୁପାତ $5:4$ ଥିବାରୁ $5x + 4x = 27 \Rightarrow 9x = 27 \Rightarrow x = 3$।

ତେଣୁ $l = 15$ ମି., $b = 12$ ମି.। ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $l \times b = 15 \times 12 = \mathbf{180}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

❓ 5. ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ଜମିର ବାହାର ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ା ର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 416 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ବର୍ଗାକାର ଜମିର ବାହୁ = $a$। ରାସ୍ତା ସମେତ ବାହାର ପାଖର ବାହୁ = $a + 2+2 = a+4$।

ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $(a+4)^2 - a^2 = 416 \Rightarrow a^2+8a+16-a^2 = 416 \Rightarrow 8a = 400 \Rightarrow a = 50$ ମି.।

ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $50 \times 50 = \mathbf{2500}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

❓ 6. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44 ମିଟର, ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 55 ମିଟର ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଭୂମି ($b$) = 44, ଲମ୍ବ ($p$) + କର୍ଣ୍ଣ ($h$) = 55 ମି.।

ଆମେ ଜାଣୁ $h^2 - p^2 = b^2 \Rightarrow (h-p)(h+p) = 44^2 \Rightarrow (h-p) \times 55 = 1936 \Rightarrow h-p = 35.2$।

ଏବେ, $h+p = 55$ ଏବଂ $h-p = 35.2$ ଦୁଇଟିକୁ ବିୟୋଗ କଲେ, $2p = 19.8 \Rightarrow p = 9.9$ ମି.।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times 44 \times 9.9 = 22 \times 9.9 = \mathbf{217.8}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

❓ 7. କୌଣସି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 45 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: କର୍ଣ୍ଣ = $\sqrt{45^2 + 60^2} = \sqrt{2025 + 3600} = \sqrt{5625} = 75$ ସେ.ମି.।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times 45 \times 60 = 1350$। ଏହାକୁ ଭିତ୍ତି କରି $\frac{1}{2} \times \text{କର୍ଣ୍ଣ} \times \text{ଲମ୍ବ (p)} = 1350$।

$\frac{1}{2} \times 75 \times p = 1350 \Rightarrow p = \frac{2700}{75} = \mathbf{36}$ ସେ.ମି.

❓ 8. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମିଟର ବଢ଼ାଇଦେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $6\sqrt{3}$ ବର୍ଗ ମିଟର ବଢ଼ିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $\frac{\sqrt{3}}{4}((a+2)^2 - a^2) = 6\sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{4}(a^2+4a+4-a^2) = 6$

$\Rightarrow \frac{1}{4}(4a+4) = 6 \Rightarrow a+1 = 6 \Rightarrow a = \mathbf{5}$ ମିଟର।

❓ 9. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. କମାଇଦେଲେ ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $16\sqrt{3}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. କମିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 - (a-2)^2) = 16\sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{4}(a^2 - (a^2-4a+4)) = 16$

$\Rightarrow \frac{1}{4}(4a-4) = 16 \Rightarrow a-1 = 16 \Rightarrow a = \mathbf{17}$ ସେ.ମି.

❓ 10. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $2\sqrt{2}$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ସୂଚନା: ପ୍ରଶ୍ନରେ ମୁଦ୍ରଣ ତ୍ରୁଟି ଥିବାରୁ ମୂଲ୍ୟ $2\sqrt{2}$ ନିଆଯାଇଛି)

✅ ଉତ୍ତର: ଲମ୍ବ ଓ ଭୂମି ଉଭୟ $2\sqrt{2}$ । କର୍ଣ୍ଣ = $\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = 4$ ସେ.ମି.।

ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଲମ୍ବ = $\frac{\text{ଭୂମି} \times \text{ଲମ୍ବ}}{\text{କର୍ଣ୍ଣ}} = \frac{2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{4} = \frac{8}{4} = \mathbf{2}$ ସେ.ମି.

❓ 11. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର 3.5 ଗୁଣ । ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । $(\sqrt{3} \approx 1.75)$

✅ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times 20^2 = 200$ ବର୍ଗ ମିଟର।

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $3.5 \times 200 = 700$।

$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 700 \Rightarrow \frac{1.75}{4} a^2 = 700 \Rightarrow a^2 = \frac{700 \times 4}{1.75} = 1600 \Rightarrow a = 40$ ମି.।

ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = $3 \times 40 = \mathbf{120}$ ମିଟର।

❓ 12. ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ତ୍ରିଭୁଜର ମୋଟ ଉଚ୍ଚତା ($h$) = $3+4+5 = 12$ ସେ.ମି.।

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{12^2}{\sqrt{3}} = \frac{144}{\sqrt{3}} = \mathbf{48\sqrt{3}}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ 13. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 84 ସେ.ମି. ; ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା ($s$) = 42। ମନେକର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $30, x, y$। ଯେହେତୁ ପରିସୀମା 84, $x+y = 54$।

ହେରନ୍‌ଙ୍କ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $\sqrt{42(42-30)(42-x)(42-y)} = 336 \Rightarrow \sqrt{42 \times 12 \times (42-x)(42-y)} = 336$।

ବର୍ଗ କଲେ: $504 \times (42-x)(42-y) = 112896 \Rightarrow (42-x)(42-y) = 224$।

ଏଠାରୁ ସମାଧାନ କଲେ $x = 28$ ଏବଂ $y = 26$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦ୍ୱୟ ହେଉଛି 28 ସେ.ମି. ଓ 26 ସେ.ମି.।

❓ 14. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 25 ସେ.ମି., 29 ସେ.ମି. ଓ 36 ସେ.ମି ହେଲେ, ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $s = \frac{25+29+36}{2} = 45$। କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{45 \times 20 \times 16 \times 9} = \sqrt{129600} = 360$।

ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ (ଭୂମି) = 36। $\frac{1}{2} \times 36 \times \text{ଲମ୍ବ} = 360 \Rightarrow 18 \times \text{ଲମ୍ବ} = 360 \Rightarrow \text{ଲମ୍ବ} = \mathbf{20}$ ସେ.ମି.

❓ 15. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 5 : 7 ଓ ପରିସୀମା 300 ମିଟର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଅନୁପାତ ଅନୁଯାୟୀ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $3x, 5x, 7x$। $15x = 300 \Rightarrow x = 20$।

ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 60, 100, 140 ମି. ଏବଂ $s = 150$।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} = \sqrt{150 \times 90 \times 50 \times 10} = \sqrt{6750000} = \mathbf{1500\sqrt{3}}$ ବର୍ଗ ମିଟର।

❓ 16. ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 30 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $30 - (12+12) = 6$ ସେ.ମି.।

ଉଚ୍ଚତା ($h$) = $\sqrt{12^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{15} = \mathbf{9\sqrt{15}}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.