❓ Question 1

1. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ (2,5), (-3,5) ଓ (0,5) ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ----- ହେବ ।

[-5, 3, 0, 10]

(ii) ଯଦି a = ------ ହୁଏ, ତେବେ (a, -2), (2, 5) ଓ (2, 10) ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ ।

[0, 3, 2, -2]

(iii) y ର ମାନ ----- ପାଇଁ (-2, -2), (0, y) ଓ (3, 3) ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ ।

[0, 2, -2, 3]

(iv) k ର ମାନ ----- ପାଇଁ (k, -2), (1, 4) ଏବଂ (-2, 7) ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେବେ ।

[3, -3, 2, -2]

(v) a ର ମାନ ----- ପାଇଁ (4, -5), (1, a) ଏବଂ (-2, 7) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ ନାହିଁ ।

ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

🌟 WithTeachers.in🌟

1 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ $(2,5), (-3,5)$ ଓ $(0,5)$ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ----- ହେବ । $[-5, 3, 0, 10]$

• ଏଠାରେ ତିନୋଟି ଯାକ ବିନ୍ଦୁର $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ (5) ସମାନ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $y=5$ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ।

• ଯେହେତୁ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏକରେଖ୍ୟ, ଏମାନେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରିବେ ନାହିଁ।

• ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 0 🎯

(ii) ଯଦି a = ------ ହୁଏ, ତେବେ $(a, -2), (2, 5)$ ଓ $(2, 10)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ । $[0, 3, 2, -2]$

• ଏକରେଖ୍ୟ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$a(5 - 10) + 2(10 - (-2)) + 2(-2 - 5) = 0$$

  $$-5a + 2(12) + 2(-7) = 0$$

  $$-5a + 24 - 14 = 0 \Rightarrow -5a + 10 = 0 \Rightarrow 5a = 10 \Rightarrow a = 2$$

  📝

• ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 2 🎯

(iii) y ର ମାନ ------ ପାଇଁ $(-2, -2), (0, y)$ ଓ $(3, 3)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ । $[0, 2, 2, 3]$

• ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$-2(y - 3) + 0(3 - (-2)) + 3(-2 - y) = 0$$

  $$-2y + 6 + 0 - 6 - 3y = 0$$

  $$-5y = 0 \Rightarrow y = 0$$

  📝

• ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 0 🎯

(iv) k ର ମାନ ------ ପାଇଁ $(k, -2), (1, 4)$ ଏବଂ $(-2, 7)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ହେବେ । $[3, -3, 2, -2]$

• ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ ହେବ:

  $$k(4 - 7) + 1(7 - (-2)) + (-2)(-2 - 4) = 0$$

  $$-3k + 1(9) - 2(-6) = 0$$

  $$-3k + 9 + 12 = 0 \Rightarrow 21 = 3k \Rightarrow k = 7$$

  📝

• (ସୂଚନା: ପ୍ରଶ୍ନରେ ଯଦି ବିନ୍ଦୁଟି $(k, 2)$ ଥାଆନ୍ତା, ତେବେ ଉତ୍ତର $3$ ହୋଇଥାନ୍ତା ଯାହାକି ବିକଳ୍ପରେ ଅଛି। କିନ୍ତୁ ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରକୃତ ଉତ୍ତର 7 ଅଟେ।) ⚠️

(v) a ର ମାନ ------ ପାଇଁ $(4, -5), (1, a)$ ଏବଂ $(-2, 7)$ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ ନାହିଁ ।

• “ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ ହେବେ ନାହିଁ” ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏକରେଖ୍ୟ।

  $$4(a - 7) + 1(7 - (-5)) + (-2)(-5 - a) = 0$$

  $$4a - 28 + 12 + 10 + 2a = 0$$

  $$6a - 6 = 0 \Rightarrow 6a = 6 \Rightarrow a = 1$$

  📝

• ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 1 🎯

🌟 WithTeachers.in🌟

2 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 2)

ନିମ୍ନରେ କେତେକ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁତ୍ରୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦିଆଯାଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

(i) $(3, 0), (4, 5)$ ଓ $(2, 0)$

(ii) $(0,0), (1, 0)$ ଓ $(1, 1)$

(iii) $(-2, 1), (2, -3)$ ଓ $(4, -4)$

(iv) $(5, 7), (6, 4)$ ଓ $(2, -5)$

(v) $(5, 2), (-1, 3)$ ଓ $(1, -2)$

2 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) $(3, 0), (4, 5)$ ଓ $(2, 0)$

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}3(5 - 0) + 4(0 - 0) + 2(0 - 5)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}15 + 0 - 10\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}5\vert{} = \frac{5}{2}$ ବା 2.5 ବର୍ଗ ଏକକ 📐

(ii) $(0, 0), (1, 0)$ ଓ $(1, 1)$

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \vert{}0(0 - 1) + 1(1 - 0) + 1(0 - 0)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}0 + 1 + 0\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}1\vert{} = \frac{1}{2}$ ବା 0.5 ବର୍ଗ ଏକକ 📐

(iii) $(-2, 1), (2, -3)$ ଓ $(4, -4)$

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \vert{}-2(-3 - (-4)) + 2(-4 - 1) + 4(1 - (-3))\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}-2(-3 + 4) + 2(-5) + 4(1 + 3)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}-2(1) - 10 + 4(4)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}-2 - 10 + 16\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}4\vert{}$ = 2 ବର୍ଗ ଏକକ 📐

(iv) $(5, 7), (6, 4)$ ଓ $(2, -5)$

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \vert{}5(4 - (-5)) + 6(-5 - 7) + 2(7 - 4)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}5(9) + 6(-12) + 2(3)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}45 - 72 + 6\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}-21\vert{} = \frac{21}{2}$ ବା 10.5 ବର୍ଗ ଏକକ 📐

(v) $(5, 2), (-1, 3)$ ଓ $(1, -2)$

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \vert{}5(3 - (-2)) + (-1)(-2 - 2) + 1(2 - 3)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}5(5) - 1(-4) + 1(-1)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}25 + 4 - 1\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}28\vert{}$ = 14 ବର୍ଗ ଏକକ 📐

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର:

$$\Delta = \frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{}$$
🌟 WithTeachers.in🌟

3 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 3)

. ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

(i) $(1, 1), (4, 3)$ ଓ $(-2, -1)$

(ii) $(-1, -5), (0, -3)$ ଓ $(4, 5)$

(iii) $(1, 4), (3, -2)$ ଓ $(-3, 16)$

(iv) $(-4a, -6a), (-a, -2a)$ ଓ $(5a, 6a)$

(v) $(-a, 2b), (0, b)$ ଓ $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

[ 117 ]

3 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) $(1, 1), (4, 3)$ ଓ $(-2, -1)$

• ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (1, 1)$, $(x_2, y_2) = (4, 3)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (-2, -1)$ 📝

• ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁଯାୟୀ:

  $$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)$$

  $$= 1(3 - (-1)) + 4(-1 - 1) + (-2)(1 - 3)$$

  $$= 1(4) + 4(-2) - 2(-2)$$

  $$= 4 - 8 + 4 = 0$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଯେହେତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ (0) ଅଟେ, ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

(ii) $(-1, -5), (0, -3)$ ଓ $(4, 5)$

• ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (-1, -5)$, $(x_2, y_2) = (0, -3)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (4, 5)$ 📝

• ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁଯାୟୀ:

  $$= -1(-3 - 5) + 0(5 - (-5)) + 4(-5 - (-3))$$

  $$= -1(-8) + 0 + 4(-5 + 3)$$

  $$= 8 + 0 + 4(-2)$$

  $$= 8 - 8 = 0$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

(iii) $(1, 4), (3, -2)$ ଓ $(-3, 16)$

• ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (1, 4)$, $(x_2, y_2) = (3, -2)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (-3, 16)$ 📝

• ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁଯାୟୀ:

  $$= 1(-2 - 16) + 3(16 - 4) + (-3)(4 - (-2))$$

  $$= 1(-18) + 3(12) - 3(4 + 2)$$

  $$= -18 + 36 - 18 = 0$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

(iv) $(-4a, -6a), (-a, -2a)$ ଓ $(5a, 6a)$

• ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (-4a, -6a)$, $(x_2, y_2) = (-a, -2a)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (5a, 6a)$ 📝

• ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁଯାୟୀ:

  $$= -4a(-2a - 6a) + (-a)(6a - (-6a)) + 5a(-6a - (-2a))$$

  $$= -4a(-8a) - a(12a) + 5a(-6a + 2a)$$

  $$= 32a^2 - 12a^2 + 5a(-4a)$$

  $$= 32a^2 - 12a^2 - 20a^2 = 0$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

(v) $(-a, 2b), (0, b)$ ଓ $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

• ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (-a, 2b)$, $(x_2, y_2) = (0, b)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ 📝

• ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁଯାୟୀ:

  $$= -a(b - \frac{b}{2}) + 0(\frac{b}{2} - 2b) + \frac{a}{2}(2b - b)$$

  $$= -a(\frac{b}{2}) + 0 + \frac{a}{2}(b)$$

  $$= -\frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} = 0$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

🌟 WithTeachers.in🌟

4 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 4)

ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(1, -3), (2, -5)$ ଓ $(x, 1)$ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 4 ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

4 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

• ଦତ୍ତ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $(x_1, y_1) = (1, -3)$, $(x_2, y_2) = (2, -5)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (x, 1)$ 📝

• ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 4$ ବର୍ଗ ଏକକ।

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$\frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{} = 4$$

  $$\frac{1}{2} \vert{}1(-5 - 1) + 2(1 - (-3)) + x(-3 - (-5))\vert{} = 4$$

• ସମାଧାନ କରିବା:

  $$\vert{}1(-6) + 2(1 + 3) + x(-3 + 5)\vert{} = 4 \times 2$$

  $$\vert{}-6 + 2(4) + 2x\vert{} = 8$$

  $$\vert{}-6 + 8 + 2x\vert{} = 8$$

  $$\vert{}2 + 2x\vert{} = 8$$

• ମଡ୍ୟୁଲସ୍ ($\vert{}\dots\vert{}$) ହଟାଇଲେ ଆମେ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ପାଇବା (ଧନାତ୍ମକ ଓ ଋଣାତ୍ମକ):

  $$2 + 2x = 8 \quad \text{କିମ୍ବା} \quad 2 + 2x = -8$$

  ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର:

  $$2x = 8 - 2 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$$

  ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର:

  $$2x = -8 - 2 \Rightarrow 2x = -10 \Rightarrow x = -5$$

• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: $x$ ର ମାନ 3 କିମ୍ବା -5 ଅଟେ 🎯।

5 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 5)

k ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ (3, -5), (k, 0) ଓ (-4, 7) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 95/2 ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ ?

5 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $(x_1, y_1) = (3, -5)$, $(x_2, y_2) = (k, 0)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (-4, 7)$ 📝

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

$$\frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{}$$

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଏହାର ମୂଲ୍ୟ 95/2 ଅଟେ।

$$\frac{1}{2} \vert{}3(0 - 7) + k(7 - (-5)) + (-4)(-5 - 0)\vert{} = \frac{95}{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1/2 କାଟିଦେଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$$\vert{}3(-7) + k(7 + 5) - 4(-5)\vert{} = 95$$

$$\vert{}-21 + 12k + 20\vert{} = 95$$

$$\vert{}12k - 1\vert{} = 95$$

ମଡ୍ୟୁଲସ୍ (modulus) ହଟାଇଲେ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ:

• ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ର:

  $$12k - 1 = 95 \Rightarrow 12k = 96 \Rightarrow k = 8$$

• ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ର:

  $$12k - 1 = -95 \Rightarrow 12k = -94 \Rightarrow k = -\frac{94}{12} = -\frac{47}{6}$$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: k ର ମୂଲ୍ୟ 8 କିମ୍ବା -47/6 ଅଟେ 🎯।

🌟 WithTeachers.in🌟

6 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 6)

(2, 3), (0, 5) ଓ (1, y) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିଲେ, y ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

6 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ଥିବାରୁ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ (0) ହେବ 📝।

$(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (0, 5)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (1, y)$

ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$$

$$2(5 - y) + 0(y - 3) + 1(3 - 5) = 0$$

$$10 - 2y + 0 + (-2) = 0$$

$$8 - 2y = 0$$

$$2y = 8 \Rightarrow y = 4$$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: y ର ମୂଲ୍ୟ 4 ଅଟେ 🎯।

7 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 7)

k ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ (2, 3), (3, k) ଏବଂ (5, 9) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବେ ?

7 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ଯେହେତୁ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 ହେବ 📝।

$(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (3, k)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (5, 9)$

ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$$2(k - 9) + 3(9 - 3) + 5(3 - k) = 0$$

$$2k - 18 + 3(6) + 15 - 5k = 0$$

$$2k - 18 + 18 + 15 - 5k = 0$$

$$-3k + 15 = 0$$

$$3k = 15 \Rightarrow k = 5$$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: k ର ମୂଲ୍ୟ 5 ଅଟେ 🎯।

8 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 8)

କେଉଁ ସର୍ତ୍ତରେ (1, 1), (3, 5) ଓ (x, y) ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ, ସ୍ଥିର କର ।

8 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି ଯେ ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ (0) ହେବା ଆବଶ୍ୟକ 📝।

$(x_1, y_1) = (1, 1), (x_2, y_2) = (3, 5)$ ଏବଂ $(x_3, y_3) = (x, y)$

ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ:

$$1(5 - y) + 3(y - 1) + x(1 - 5) = 0$$

$$5 - y + 3y - 3 - 4x = 0$$

$$2y - 4x + 2 = 0$$

ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$$y - 2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x - y - 1 = 0$$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଦରକାରୀ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $2x - y - 1 = 0$ କିମ୍ବା $y = 2x - 1$ 🎯।

🌟 WithTeachers.in🌟

9 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 9)

ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (1, 0), (2, 4), (0, 5) ଓ (-2, 1) ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

9 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ହେଉଛି ABCD, ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ A(1, 0), B(2, 4), C(0, 5) ଏବଂ D(-2, 1) ଅଟେ 📝।

ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ AC ଅଙ୍କନ କଲେ, ଏହା ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ $\Delta ABC$ ଏବଂ $\Delta ADC$ ରେ ବିଭକ୍ତ ହେବ। ଚତୁର୍ଭୁଜର ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି।

• $\Delta ABC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

  $$\frac{1}{2} \vert{}1(4 - 5) + 2(5 - 0) + 0(0 - 4)\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}-1 + 10 + 0\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}9\vert{} = 4.5$$

• $\Delta ADC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

  $$\frac{1}{2} \vert{}1(5 - 1) + 0(1 - 0) + (-2)(0 - 5)\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}1(4) + 0 + (-2)(-5)\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}4 + 10\vert{} = 7$$

ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $4.5 + 7 = 11.5$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 11.5 ବର୍ଗ ଏକକ (ବା 23/2 ବର୍ଗ ଏକକ) ଅଟେ 📐।

🌟 WithTeachers.in🌟

10 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 10)

ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (-2, 3), (3, -2), (7, 4) ଓ (1, 5) ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

10 ✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ABCD ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ A(-2, 3), B(3, -2), C(7, 4) ଏବଂ D(1, 5) ଅଟେ 📝।

କର୍ଣ୍ଣ AC ଦ୍ୱାରା ଏହା $\Delta ABC$ ଏବଂ $\Delta ADC$ ରେ ବିଭକ୍ତ ହୁଏ।

• $\Delta ABC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

  $$\frac{1}{2} \vert{}-2(-2 - 4) + 3(4 - 3) + 7(3 - (-2))\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}-2(-6) + 3(1) + 7(5)\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}12 + 3 + 35\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}50\vert{} = 25$$

• $\Delta ADC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

  $$\frac{1}{2} \vert{}-2(4 - 5) + 7(5 - 3) + 1(3 - 4)\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}-2(-1) + 7(2) + 1(-1)\vert{}$$

  $$= \frac{1}{2} \vert{}2 + 14 - 1\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}15\vert{} = 7.5$$

ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $25 + 7.5 = 32.5$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 32.5 ବର୍ଗ ଏକକ (ବା 65/2 ବର୍ଗ ଏକକ) ଅଟେ 📐।

Question 11:

$\Delta ABC$ ରେ $A$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(1,1)$ ଓ $\overline{AB}, \overline{AC}$ ବାହୁ ଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ $D(-1,-2)$ ଓ $E(3,2)$ ହେଲେ $B$ ଓ $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି $\Delta ABC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 11:

• $D(-1, -2)$ ହେଉଛି $AB$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ଯଦି $B$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x_1, y_1)$ ହୁଏ, ତେବେ:

  $\frac{x_1 + 1}{2} = -1 \Rightarrow x_1 + 1 = -2 \Rightarrow x_1 = -3$

  $\frac{y_1 + 1}{2} = -2 \Rightarrow y_1 + 1 = -4 \Rightarrow y_1 = -5$

  ତେଣୁ, $B$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(-3, -5)$ ।

• $E(3, 2)$ ହେଉଛି $AC$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ଯଦି $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x_2, y_2)$ ହୁଏ, ତେବେ:

  $\frac{x_2 + 1}{2} = 3 \Rightarrow x_2 + 1 = 6 \Rightarrow x_2 = 5$

  $\frac{y_2 + 1}{2} = 2 \Rightarrow y_2 + 1 = 4 \Rightarrow y_2 = 3$

  ତେଣୁ, $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(5, 3)$ ।

• $\Delta ABC$ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}1(-5 - 3) + (-3)(3 - 1) + 5(1 - (-5))\vert{}$

  $= \frac{1}{2} \vert{}-8 - 6 + 30\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}16\vert{} = \mathbf{8}$ ବର୍ଗ ଏକକ ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 12:

$(3, 0), (5, -1)$ ଓ $(p, p)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେଲେ $p$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

Answer 12:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ (0) ହେବ ।

$3(-1 - p) + 5(p - 0) + p(0 - (-1)) = 0$

$-3 - 3p + 5p + p = 0$

$3p - 3 = 0 \Rightarrow 3p = 3 \Rightarrow \mathbf{p = 1}$

Question 13:

$(p, 2p), (3p, 3p)$, ଓ $(3, 1)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେଲେ $p$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Answer 13:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହୋଇଥିବାରୁ:

$p(3p - 1) + 3p(1 - 2p) + 3(2p - 3p) = 0$

$3p^2 - p + 3p - 6p^2 - 3p = 0$

$-3p^2 - p = 0 \Rightarrow -p(3p + 1) = 0$

ତେଣୁ, $p = 0$ କିମ୍ବା $3p + 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{p = -1/3}$

Question 14:

$(x, -1), (2, -1), (2, 1)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହେଲେ $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

Answer 14:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହୋଇଥିବାରୁ:

$x(-1 - 1) + 2(1 - (-1)) + 2(-1 - (-1)) = 0$

$x(-2) + 2(2) + 2(0) = 0$

$-2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$

Question 15:

$(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵୟଯୋଗକାରୀ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ।

Answer 15:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ $(x, y), (a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ଏକରେଖୀୟ ଅଟନ୍ତି । ତେଣୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 0:

$x(0 - b) + a(b - y) + 0(y - 0) = 0$

$-bx + ab - ay = 0$

$bx + ay = ab$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $ab$ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ:

$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (ପ୍ରମାଣିତ)

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 16:

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $(a, b), (a', b')$ ଓ $(a - a', b - b')$ ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ନୁହଁନ୍ତି ।

Answer 16:

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} [a(b' - (b - b')) + a'((b - b') - b) + (a - a')(b - b')]$

$= \frac{1}{2} [a(2b' - b) + a'(-b') + ab - ab' - a'b + a'b']$

$= \frac{1}{2} [2ab' - ab - a'b' + ab - ab' - a'b + a'b']$

$= \frac{1}{2} (ab' - a'b)$

ଯେହେତୁ ସାଧାରଣତଃ $ab' - a'b \neq 0$, ଏହି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ନୁହଁନ୍ତି (ପ୍ରମାଣିତ) ।

Question 17:

$A(p+1, 1), B(2p+1, 3)$ ଓ $(2p+2, 2p)$ ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟ ଏକ ରେଖୀୟ ହେଲେ $p$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Answer 17:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ହୋଇଥିବାରୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ (0) ହେବ:

$(p+1)(3 - 2p) + (2p+1)(2p - 1) + (2p+2)(1 - 3) = 0$

$(3p - 2p^2 + 3 - 2p) + (4p^2 - 1) + (2p+2)(-2) = 0$

$-2p^2 + p + 3 + 4p^2 - 1 - 4p - 4 = 0$

$2p^2 - 3p - 2 = 0$

$2p^2 - 4p + p - 2 = 0 \Rightarrow 2p(p - 2) + 1(p - 2) = 0 \Rightarrow (2p + 1)(p - 2) = 0$

ତେଣୁ, $p = 2$ କିମ୍ବା $p = -1/2$

Question 18:

$(x, y), (3,4)$ ଓ $(-5, -6)$ ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟ ଏକ ରେଖୀୟ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $5x - 4y + 1 = 0$

Answer 18:

ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖୀୟ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 0 ଅଟେ:

$x(4 - (-6)) + 3(-6 - y) + (-5)(y - 4) = 0$

$x(4 + 6) - 18 - 3y - 5y + 20 = 0$

$10x - 8y + 2 = 0$

ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ:

$5x - 4y + 1 = 0$ (ପ୍ରମାଣିତ)