Question 1: ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) ଯଦି $(1, -2)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(4, 2)$ ଓ $(K, -6)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହୁଏ, ତେବେ $K = ------$ ।

$[-2, 2, -4, 4]$

• Answer 1(i):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

  ଏଠାରେ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $1$ ।

  $1 = \frac{4 + K}{2} \Rightarrow 2 = 4 + K \Rightarrow K = 2 - 4 \Rightarrow \mathbf{K = -2}$

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: -2

(ii) $(-2, 3)$ ଓ $(3, -2)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $------$ ।

$[(1,1), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{5}{2}, \frac{5}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})]$

• Answer 1(ii):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + (-2)}{2})$

  $= (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

(iii) ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଯଦି ରେଖାଖଣ୍ଡଟିର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ $(2, 3)$ ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $-----$ ।

$[(-2, 3), (2, -3), (-2, -3), (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})]$

• Answer 1(iii):

  ମୂଳବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(0, 0)$ । ଧରାଯାଉ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟି $(x, y)$ ।

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

  $\frac{2 + x}{2} = 0 \Rightarrow 2 + x = 0 \Rightarrow x = -2$

  $\frac{3 + y}{2} = 0 \Rightarrow 3 + y = 0 \Rightarrow y = -3$

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: $(-2, -3)$

(iv) $(0, 2)$ ଓ $(2, 0)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $1 : 2$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $-----------$ ।

$[(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}), (-2, 4), (4, -2)]$

• Answer 1(iv):

  ଏଠାରେ $m = 1, n = 2, (x_1, y_1) = (0, 2), (x_2, y_2) = (2, 0)$ ।

  ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର: $(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n})$

  $x = \frac{1(2) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{2}{3}$

  $y = \frac{1(0) + 2(2)}{1 + 2} = \frac{4}{3}$

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

Question 2: ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) $(3, 4), (1, -2)$

• Answer 2(i):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{3 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{2}{2}) = \mathbf{(2, 1)}$

(ii) $(-1, 3), (4, 0)$

• Answer 2(ii):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{-1 + 4}{2}, \frac{3 + 0}{2}) = \mathbf{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})}$

(iii) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

• Answer 2(iii):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{2}, \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2}) = (\frac{\frac{3+2}{6}}{2}, \frac{\frac{2+3}{6}}{2}) = (\frac{\frac{5}{6}}{2}, \frac{\frac{5}{6}}{2}) = \mathbf{(\frac{5}{12}, \frac{5}{12})}$

🌟 WithTeachers.in🌟

(iv) $(0, -3), (-4, 0)$

• Answer 2(iv):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{0 + (-4)}{2}, \frac{-3 + 0}{2}) = (\frac{-4}{2}, \frac{-3}{2}) = \mathbf{(-2, -\frac{3}{2})}$

(v) $(-1, -2), (3, -1)$

• Answer 2(v):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{-1 + 3}{2}, \frac{-2 + (-1)}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{-3}{2}) = \mathbf{(1, -\frac{3}{2})}$

(vi) $(a, b), (c, d)$

• Answer 2(vi):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= \mathbf{(\frac{a + c}{2}, \frac{b + d}{2})}$

(vii) $(-2, 1), (-3, -4)$

• Answer 2(vii):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{-2 + (-3)}{2}, \frac{1 + (-4)}{2}) = \mathbf{(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})}$

(viii) $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2)$

• Answer 2(viii):

  ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{at_1^2 + at_2^2}{2}, \frac{2at_1 + 2at_2}{2})$

  $= \mathbf{(\frac{a(t_1^2 + t_2^2)}{2}, a(t_1 + t_2))}$

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 3:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦତ୍ତ ଦୁଇବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(-1, 2)$ । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $h$ ଓ $k$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) $(h, -1), (2, k)$

(ii) $(5, 3), (h, k)$

(iii) $(1 + h, k), (k, -h - 1)$

(iv) $(h - k, k - h), (2h, 2k)$

Answer 3(i):

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ଏକ୍ସ-ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x-coordinate) ଏବଂ ୱାଇ-ସ୍ଥାନାଙ୍କ (y-coordinate) କୁ ସମାନ କଲେ:

$\frac{h + 2}{2} = -1 \Rightarrow h + 2 = -2 \Rightarrow \mathbf{h = -4}$

$\frac{-1 + k}{2} = 2 \Rightarrow -1 + k = 4 \Rightarrow \mathbf{k = 5}$

Answer 3(ii):

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସହିତ ସମାନ କଲେ:

$\frac{5 + h}{2} = -1 \Rightarrow 5 + h = -2 \Rightarrow \mathbf{h = -7}$

$\frac{3 + k}{2} = 2 \Rightarrow 3 + k = 4 \Rightarrow \mathbf{k = 1}$

Answer 3(iii):

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସହିତ ସମାନ କଲେ:

$\frac{(1 + h) + k}{2} = -1 \Rightarrow h + k + 1 = -2 \Rightarrow h + k = -3$ — (ସମୀକରଣ ୧)

$\frac{k + (-h - 1)}{2} = 2 \Rightarrow k - h - 1 = 4 \Rightarrow k - h = 5$ — (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ ୧ ଓ ସମୀକରଣ ୨ କୁ ଯୋଗ କଲେ:

$(h + k) + (k - h) = -3 + 5$

$2k = 2 \Rightarrow \mathbf{k = 1}$

$k$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$h + 1 = -3 \Rightarrow \mathbf{h = -4}$

Answer 3(iv):

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସହିତ ସମାନ କଲେ:

$\frac{(h - k) + 2h}{2} = -1 \Rightarrow 3h - k = -2$ — (ସମୀକରଣ ୧)

$\frac{(k - h) + 2k}{2} = 2 \Rightarrow -h + 3k = 4 \Rightarrow h = 3k - 4$ — (ସମୀକରଣ ୨)

ସମୀକରଣ ୨ ରୁ $h$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$3(3k - 4) - k = -2$

$9k - 12 - k = -2$

$8k = 10 \Rightarrow k = \frac{10}{8} \Rightarrow \mathbf{k = \frac{5}{4}}$

ବର୍ତ୍ତମାନ $k$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$h = 3(\frac{5}{4}) - 4$

$h = \frac{15}{4} - 4 = \frac{15 - 16}{4} \Rightarrow \mathbf{h = -\frac{1}{4}}$

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 4:

$(0, 0)$ ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ । ଯଦି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(2, 3)$ ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 4:

ମନେକର ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(x, y)$ ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$\frac{x + 2}{2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$

$\frac{y + 3}{2} = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow \mathbf{y = -3}$

ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(-2, -3)$ ।

Question 5:

ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଓ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ $(-2, 4)$ ଏବଂ $(1, 2)$, ତେବେ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 5:

ମନେକର ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(x, y)$ ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$\frac{x + (-2)}{2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 2 \Rightarrow x = 2 + 2 \Rightarrow \mathbf{x = 4}$

$\frac{y + 4}{2} = 2 \Rightarrow y + 4 = 4 \Rightarrow y = 4 - 4 \Rightarrow \mathbf{y = 0}$

ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(4, 0)$ ।
🌟 WithTeachers.in🌟

Question 6:

ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଓ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ $(3, 5)$ ଏବଂ $(2, 1)$ ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 6:

ମନେକର ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(x, y)$ ।

ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$\frac{x + 3}{2} = 2 \Rightarrow x + 3 = 4 \Rightarrow x = 4 - 3 \Rightarrow \mathbf{x = 1}$

$\frac{y + 5}{2} = 1 \Rightarrow y + 5 = 2 \Rightarrow y = 2 - 5 \Rightarrow \mathbf{y = -3}$

ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(1, -3)$ ।

Question 7:

$x$ ଓ $y$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $(6, -2)$ ଓ $(2, -4)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ଏବଂ $(x, 1)$ ଓ $(-2, y)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରିବେ ।

Answer 7:

ଯେହେତୁ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ ହେବ ।

ପ୍ରଥମ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{6 + 2}{2}, \frac{-2 - 4}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{-6}{2}) = (4, -3)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{x - 2}{2}, \frac{1 + y}{2})$

ଉଭୟ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ ହୋଇଥିବାରୁ:

$\frac{x - 2}{2} = 4 \Rightarrow x - 2 = 8 \Rightarrow \mathbf{x = 10}$

$\frac{1 + y}{2} = -3 \Rightarrow 1 + y = -6 \Rightarrow \mathbf{y = -7}$

ତେଣୁ, $x = 10$ ଏବଂ $y = -7$ ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 8:

$(2, 3)$ ଓ $(1, 4)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $3 : 2$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 8:

ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (2, 3)$, $(x_2, y_2) = (1, 4)$ ଏବଂ ଅନୁପାତ $m : n = 3 : 2$ ।

ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x, y)$ ହେଲେ:

$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(1) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{3 + 4}{5} = \mathbf{\frac{7}{5}}$

$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(4) + 2(3)}{3 + 2} = \frac{12 + 6}{5} = \mathbf{\frac{18}{5}}$

ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(\frac{7}{5}, \frac{18}{5})$ ।

Question 9:

$(-2, 3)$ ଓ $(5, -7)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $3 : 4$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 9:

ଏଠାରେ $(x_1, y_1) = (-2, 3)$, $(x_2, y_2) = (5, -7)$ ଏବଂ ଅନୁପାତ $m : n = 3 : 4$ ।

ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x, y)$ ହେଲେ:

$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(5) + 4(-2)}{3 + 4} = \frac{15 - 8}{7} = \frac{7}{7} = 1$

$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(-7) + 4(3)}{3 + 4} = \frac{-21 + 12}{7} = \frac{-9}{7}$

ତେଣୁ, ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(1, -\frac{9}{7})$ ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 10:

ଯଦି $(5, 9)$ ବିନ୍ଦୁଟି, $(7, -3)$ ଓ $(4, k)$ କୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $2 : 1$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ, ତେବେ $k$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 10:

ଏଠାରେ ବିଭାଜନ ବିନ୍ଦୁ $(x, y) = (5, 9)$, ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ $(x_1, y_1) = (7, -3)$, $(x_2, y_2) = (4, k)$ ଏବଂ ଅନୁପାତ $m : n = 2 : 1$ ।

ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପାଇଁ:

$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$

$9 = \frac{2(k) + 1(-3)}{2 + 1}$

$9 = \frac{2k - 3}{3}$

$27 = 2k - 3$

$2k = 27 + 3 = 30$

$k = \frac{30}{2} = 15$

ତେଣୁ, $k = 15$ ।

Question 11:

ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ।

ସୂଚନା :

(i) ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ ଭାରକେନ୍ଦ୍ର (Centroid) କୁହାଯାଏ ।

(ii) ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟମାକୁ $2:1$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ ।

Answer 11:

ମନେକର $\Delta ABC$ ର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ ଏବଂ $C(x_3, y_3)$ ।

ଧରାଯାଉ $AD$ ହେଉଛି $BC$ ବାହୁ ପ୍ରତି ଏକ ମଧ୍ୟମା । ତେଣୁ $D$ ହେଉଛି $BC$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

$D$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= (\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2})$

ଏବେ ମନେକର $G$ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯାହା $AD$ ମଧ୍ୟମାକୁ $2:1$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ ।

$G$ ର $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= \frac{2(\frac{x_2 + x_3}{2}) + 1(x_1)}{2 + 1} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$G$ ର $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= \frac{2(\frac{y_2 + y_3}{2}) + 1(y_1)}{2 + 1} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

ସେହିପରି, ଯଦି ଆମେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟମା ($BE$ ଏବଂ $CF$) କୁ $2:1$ ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା,

ତେବେ ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ ମିଳିବ ।

ଯେହେତୁ ତିନୋଟି ଯାକ ମଧ୍ୟମା ଉପରେ ଏକ ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଅବସ୍ଥିତ, ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ।

🌟 WithTeachers.in🌟

Question 12:

$(h, 5), (-4, k)$ ଓ $(8, 9)$ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ଭାରକେନ୍ଦ୍ରର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(-2, 6)$ ହେଲେ $h$ ଓ $k$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

Answer 12:

ତ୍ରିଭୁଜର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ ।

ଦତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ହେଉଛି $(-2, 6)$ ।

x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପାଇଁ:

$\frac{h + (-4) + 8}{3} = -2$

$\frac{h + 4}{3} = -2$

$h + 4 = -6 \Rightarrow \mathbf{h = -10}$

y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପାଇଁ:

$\frac{5 + k + 9}{3} = 6$

$\frac{k + 14}{3} = 6$

$k + 14 = 18 \Rightarrow \mathbf{k = 4}$

ତେଣୁ, $h = -10$ ଏବଂ $k = 4$ ।

Question 13:

$\Delta ABC$ ର ଭାରକେନ୍ଦ୍ରର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(1, 1)$ । $A (3, -4), B (-4, 7)$ ହେଲେ, $C$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର ।

Answer 13:

ମନେକର $C$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(x, y)$ ।

ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ: $\frac{3 + (-4) + x}{3} = 1 \Rightarrow \frac{-1 + x}{3} = 1 \Rightarrow -1 + x = 3 \Rightarrow \mathbf{x = 4}$

y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ: $\frac{-4 + 7 + y}{3} = 1 \Rightarrow \frac{3 + y}{3} = 1 \Rightarrow 3 + y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 0}$

ତେଣୁ, $C$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(4, 0)$ ।
🌟 WithTeachers.in🌟

Question 14:

ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ମାନ $(-4, 1)$ ଓ $(3, -4)$ ଏବଂ $(1, 3)$ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଏହାର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ମୂଳ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

Answer 14:

ଭାରକେନ୍ଦ୍ରର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= \frac{-4 + 3 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$

y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= \frac{1 + (-4) + 3}{3} = \frac{0}{3} = 0$

ଯେହେତୁ ଭାରକେନ୍ଦ୍ରର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0, 0)$ ବାହାରିଲା, ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ଏହାର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ମୂଳ ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ ।

Question 15:

$A$ ଓ $B$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ $(1, 2)$ ଓ $(5, -4)$ । $AB$ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥିର କର, ଯେପରି ବିନ୍ଦୁଟିର $A$ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଦୂରତା, $B$ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଦୂରତାର $3$ ଗୁଣ ହେବ ।

Answer 15:

ମନେକର ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି $P(x, y)$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $PA = 3 \cdot PB \Rightarrow \frac{PA}{PB} = \frac{3}{1}$ ।

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $P$ ବିନ୍ଦୁଟି $AB$ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $3:1$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ କରେ ।

ଏଠାରେ $m = 3, n = 1, (x_1, y_1) = (1, 2)$ ଏବଂ $(x_2, y_2) = (5, -4)$ ।

ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(5) + 1(1)}{3 + 1} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = \mathbf{4}$

$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(-4) + 1(2)}{3 + 1} = \frac{-12 + 2}{4} = \frac{-10}{4} = \mathbf{-\frac{5}{2}}$

ତେଣୁ, ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ $(4, -\frac{5}{2})$ ।

Question 16:

$(1, 5)$ ଓ $(7, 2)$ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 16:

ମନେକର ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ ହେଉଛନ୍ତି $A(1, 5)$ ଓ $B(7, 2)$ । ଧରାଯାଉ $P$ ଏବଂ $Q$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ $AB$ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ (trisect) କରୁଛନ୍ତି ।

ଏହାର ଅର୍ଥ $P$ ବିନ୍ଦୁଟି $AB$ କୁ $1:2$ ଅନୁପାତରେ ଏବଂ $Q$ ବିନ୍ଦୁଟି $AB$ କୁ $2:1$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ କରେ ।

• $P$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପାଇଁ ($m=1, n=2$):

  $x = \frac{1(7) + 2(1)}{1 + 2} = \frac{7 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$

  $y = \frac{1(2) + 2(5)}{1 + 2} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4$

  ତେଣୁ, $P$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(3, 4)$ ।

• $Q$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ପାଇଁ ($m=2, n=1$):

  $x = \frac{2(7) + 1(1)}{2 + 1} = \frac{14 + 1}{3} = \frac{15}{3} = 5$

  $y = \frac{2(2) + 1(5)}{2 + 1} = \frac{4 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$

  ତେଣୁ, $Q$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(5, 3)$ ।

ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ ହେଲେ $(3, 4)$ ଏବଂ $(5, 3)$ ।

Question 17:

$O(0, 0), A(2a, 0)$ ଓ $B(0, 2b)$ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $\Delta OAB$ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କଠାରୁ ସମାନ ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

Answer 17:

ପ୍ରଥମେ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବର୍ଗ (square of distances) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$OA^2 = (2a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = 4a^2$

$OB^2 = (0 - 0)^2 + (2b - 0)^2 = 4b^2$

$AB^2 = (2a - 0)^2 + (0 - 2b)^2 = 4a^2 + 4b^2$

ଯେହେତୁ $OA^2 + OB^2 = AB^2$, ପିଥାଗୋରସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ $\Delta OAB$ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି $AB$ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, କର୍ଣ୍ଣ $AB$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (ଧରାଯାଉ $M$) ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା:

$M = (\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + 2b}{2}) = (a, b)$

ବର୍ତ୍ତମାନ $M$ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଦୂରତା:

$OM = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

$AM = \sqrt{(a - 2a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

$BM = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 2b)^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

ଯେହେତୁ $OM = AM = BM$, ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କଠାରୁ ସମାନ ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

Question 18:

ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

Answer 18:

ମନେକର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଗୁଡିକ ହେଉଛନ୍ତି $A(0, 0), B(a, 0), C(a+b, c)$ ଏବଂ $D(b, c)$ ।

ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି $AC$ ଏବଂ $BD$ ।

• କର୍ଣ୍ଣ $AC$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ:

  $(\frac{0 + (a+b)}{2}, \frac{0 + c}{2}) = (\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2})$

• କର୍ଣ୍ଣ $BD$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ:

  $(\frac{a + b}{2}, \frac{0 + c}{2}) = (\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2})$

ଯେହେତୁ ଉଭୟ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମାନ ଅଟେ, ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

Question 19:

ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି ।

ସୂଚନା : ଚତୁର୍ଭୁଜ $ABCD$ ରେ $A, B, C, D$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ $(0, 0), (a, 0), (a, b)$ ଓ $(0, b)$ ନିଅ ।

Answer 19:

ଦତ୍ତ ସୂଚନା ଅନୁସାରେ ଆୟତଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଗୁଡିକ ହେଲା: $A(0, 0), B(a, 0), C(a, b)$ ଏବଂ $D(0, b)$ । ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ହେଲେ $AC$ ଓ $BD$ ।

• କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (ସର୍ବସମ ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ):

  $AC = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

  $BD = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

  ଯେହେତୁ $AC = BD$, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

• ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ):

  $AC$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

  $BD$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $= (\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

  ଯେହେତୁ ଉଭୟ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ, ତେଣୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି (ପ୍ରମାଣିତ) ।

Question 20:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ $ABC$ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । $A$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(a, 0)$ ହେଲେ,

(i) ଅନ୍ୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ii) ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iii) $\overline{BE}$ ମଧ୍ୟମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iv) $G$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Answer 20:

ଚିତ୍ରରୁ ଦେଖାଯାଉଛି ଯେ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ $C$, $y$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏବଂ ଭୂମି $AB$, $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଯାହାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O(0,0)$ ।

(i) ଅନ୍ୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

• ଯେହେତୁ $A$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(a, 0)$, ତେଣୁ $OA = a$ । ଚିତ୍ରର ସମମିତି (symmetry) ଅନୁଯାୟୀ, $B$ ବିନ୍ଦୁଟି $y$-ଅକ୍ଷର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସମାନ ଦୂରତାରେ ରହିବ। ତେଣୁ $B$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(-a, 0)$ ।

• ଏବେ $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବାହାର କରିବା । ଧରାଯାଉ $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0, y)$ ।

  ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ହୋଇଥିବାରୁ $AC = AB$ ।

  $AB$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $a - (-a) = 2a$

  ବର୍ତ୍ତମାନ $AC^2 = AB^2$

  $\Rightarrow (a - 0)^2 + (0 - y)^2 = (2a)^2$

  $\Rightarrow a^2 + y^2 = 4a^2$

  $\Rightarrow y^2 = 3a^2 \Rightarrow y = \sqrt{3}a$

  ତେଣୁ, $C$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0, \sqrt{3}a)$ ।

(ii) ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

• ଉପରୋକ୍ତ ସମାଧାନରୁ ଆମେ ପାଇଲେ ଯେ ଭୂମି $AB$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $2a$ । ଯେହେତୁ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ ଅଟେ, ଏହାର ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁ ($AB, BC, CA$) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେବ ।

  ତେଣୁ, ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $2a$ ।

(iii) $\overline{BE}$ ମଧ୍ୟମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

• ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ମଧ୍ୟମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{ବାହୁ}$ ।

  ମଧ୍ୟମା $\overline{BE}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times (2a) = \mathbf{\sqrt{3}a}$ ।

(iv) $G$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

• $G$ ହେଉଛି ତ୍ରିଭୁଜର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର (Centroid) ଯାହା ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁର ମାଧ୍ୟମାନ ଅଟେ ।

  ଏଠାରେ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଗୁଡିକ ହେଲା: $A(a, 0), B(-a, 0), C(0, \sqrt{3}a)$ ।

  ଭାରକେନ୍ଦ୍ର $G$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $= (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$

  $= (\frac{a + (-a) + 0}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}a}{3})$

  $= (\frac{0}{3}, \frac{\sqrt{3}a}{3})$

  $= \mathbf{(0, \frac{a}{\sqrt{3}})}$ (କିମ୍ବା ୟାକୁ $(0, \frac{\sqrt{3}a}{3})$ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରିବ)।