ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry) - ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର

6.4 ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର (Division Formula)

1 📌 ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ (Internal Division):

• ଯଦି $A - P - B$ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{AB}$ ଉପରେ $A$ ଓ $B$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ $P$ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $\overline{AB}$ ରେଖାଖଣ୍ଡ $P$ ବିନ୍ଦୁରେ $\overline{AP}$ ଓ $\overline{PB}$ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ ହୁଏ।

• ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ $AP + PB = AB$ ହୁଏ ଓ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ ହୋଇଥିବା ଦୁଇ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ $AP : PB$ ଅଟେ।

• ଯଦି $P$ ବିନ୍ଦୁ $\overline{AB}$ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $m : n$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ, ଆମେ ଲେଖୁବା ଯେ, $\frac{PA}{PB} = \frac{m}{n}$।

2 📝 ଉପପାଦ୍ୟ - 2 (ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର):

• $A(x_1, y_1)$ ଓ $B(x_2, y_2)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ $\overline{AB}$, ଯଦି $P(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱାରା $m : n$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତବିଭାଜିତ ହୁଏ, ତେବେ $P$ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ:

  $$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$$

• $A, B$ ଓ $P$ ବିନ୍ଦୁ ଯେକୌଣସି ପାଦ (quadrant) ରେ ରହିଲେ ମଧ୍ୟ ଏହି ସୂତ୍ର ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ଅଟେ।

3 ⚠️ ବହିର୍ବିଭାଜନ (External Division):

• ଯଦି $A - B - P$ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ $\overline{AB}$ ର ବର୍ଦ୍ଧିତାଂଶ ଉପରିସ୍ଥ $P$ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $\overline{AB}$, $P$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା $\overline{AP}$ ଓ $\overline{BP}$ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ ବହିର୍ବିଭକ୍ତ ହୋଇଛି ବୋଲି କୁହାଯାଏ।

• ଏଠାରେ ବହିର୍ବିଭାଜନର ଅନୁପାତ $AP : BP$ ହେବ ଓ $AP - PB = AB$ ହେବ।

• ଯଦି $\frac{AP}{BP}1$ ହେଲେ $A - B - P$ ହେବ।

• $A(x_1, y_1)$ ଓ $B(x_2, y_2)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ $\overline{AB}$, ଯଦି $P(x, y)$ ଦ୍ୱାରା $m : n$ ଅନୁପାତରେ ବହିର୍ବିଭାଜିତ ହୁଏ ତେବେ ବହିର୍ବିଭାଜନର ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

  $$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n} \right)$$

4 🎯 ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ - 1 (ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର / Mid-point Formula):

• ଯଦି $P$ ବିନ୍ଦୁଟି $\overline{AB}$ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ସେ କ୍ଷେତ୍ରରେ $m = n$ ହୁଏ।

• ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $P$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ:

  $$P(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

5 💡 ଉଦାହରଣରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ:

• ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ଏହା ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅଟେ।

• ଏହି ପ୍ରମାଣ ପାଇଁ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଏବଂ ଦୂରତା ସୂତ୍ରର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ।