ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Coordinate Geometry)

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଧାରଣା

.1. 📘 ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)

• ନବମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆମେ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମତଳ ଓ ସେଥିରେ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ ବିଷୟରେ ପଢିଛେ ।

• ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଦୁଇଟି ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା, ରେଖାଖଣ୍ଡର ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଛି ।

.2. 🗺️ କାର୍ଟେଜୀୟ ସମତଳ (Cartesian Plane)

• ସମତଳ ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

• ଆନୁଭୂମିକ ରେଖାକୁ ଏକ୍ସ-ଅକ୍ଷ ($x$-axis) ଓ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ରେଖାକୁ ୱାଇ-ଅକ୍ଷ ($y$-axis) କୁହାଯାଏ ।

• ଏହି ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin) କୁହାଯାଏ ଯାହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(0,0)$ ।

• ଏହି ସମତଳକୁ $R^{2}$ ସମତଳ ବା କାର୍ଟେଜୀୟ ସମତଳ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ ।

ପାଦ (Quadrants) ଓ ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି

.3. 📍 ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଚିହ୍ନ (Coordinate Signs)

• ଅକ୍ଷଦ୍ୱୟ ସମତଳକୁ ଚାରିଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଗକୁ ପାଦ (Quadrant) କୁହାଯାଏ ।

  

• କୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କକୁ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି $(x,y)$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ, ଯେଉଁଥିରେ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ (ଭୁଜ) ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟଟି $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ (କୋଟି) ଅଟେ ।

.4. 📌 ଅକ୍ଷ ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ (Points on Axes)

• $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(x,0)$ ହୋଇଥାଏ, କାରଣ ଏହାର $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ଅଟେ ।

• ସେହିପରି $y$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0,y)$ ହୋଇଥାଏ ।

• $x$-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ହେଉଛି $y=0$ ଏବଂ $y$-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ହେଉଛି $x=0$ ।

ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ବିଶ୍ଳେଷଣ

.5. 📏 ଦୁଇଟି ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା (Distance Formula)

• ଯଦି ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମତଳରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $P_{1}(x_{1},y_{1})$ ଏବଂ $P_{2}(x_{2},y_{2})$ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ରର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ :

  $$P_{1}P_{2}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

• ଏହି ସୂତ୍ରକୁ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ ଦୂରତା ସର୍ବଦା ଏକ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

6. 🎯 କେତେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Important Corollaries)

• ମୂଳବିନ୍ଦୁ $(0,0)$ ରୁ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ $P(x,y)$ ର ଦୂରତା ହେଉଛି :

  $$OP=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

• ଯଦି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ କେବଳ $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥାଆନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା $P_{1}P_{2}=\vert{}x_{2}-x_{1}\vert{}$ ଅଟେ ।

• ଯଦି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ କେବଳ $y$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥାଆନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା $P_{1}P_{2}=\vert{}y_{2}-y_{1}\vert{}$ ଅଟେ ।