ଅନୁଶୀଳନୀ 6(a) ର ସମାଧାନ 📚

ଦୂରତା ସୂତ୍ର (Distance Formula):

ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $P_1(x_1, y_1)$ ଏବଂ $P_2(x_2, y_2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

1 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 1)

ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) $(0, 0)$ ଓ $(4, 3)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ 📏

(ii) $(0, 2)$ ଓ $(-6, 2)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(-6-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6$ 📏

(iii) $(-3, 0)$ ଓ $(5, 6)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(5-(-3))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ 📏

(iv) $(2, 4)$ ଓ $(1, 3)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(1-2)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ 📏

(v) $(-2, -2)$ ଓ $(-3, -5)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(-3-(-2))^2 + (-5-(-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ 📏

(vi) $(a, b)$ ଓ $(-a, b)$

• ଦୂରତା = $\sqrt{(-a-a)^2 + (b-b)^2} = \sqrt{(-2a)^2 + 0} = \sqrt{4a^2} = 2\vert{}a\vert{}$ 📏

2 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 2)

ନିମ୍ନଲିଖୁତ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଠାରୁ ସମଦୂରବତ୍ତୀ ସ୍ଥିର କର।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ମୂଳବିନ୍ଦୁ $(0,0)$ ରୁ ଦୂରତା ସୂତ୍ର ହେଉଛି $d = \sqrt{x^2 + y^2}$।

(i) $(0, 1)$ ଓ $(-1, 0)$

• ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

• ଉତ୍ତର: ଉଭୟ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟନ୍ତି। ✨

(ii) $(2, 3)$ ଓ $(4, \frac{3}{2})$

• ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{4^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}}$

• ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ନୁହଁନ୍ତି। ❌

(iii) $(\sqrt{7}, \sqrt{19})$ ଓ $(-\sqrt{7}, -\sqrt{19})$

• ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{7 + 19} = \sqrt{26}$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{7 + 19} = \sqrt{26}$

• ଉତ୍ତର: ଉଭୟ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟନ୍ତି। ✨

(iv) $(4, -2)$ ଓ $(2, 4)$

• ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

• ଉତ୍ତର: ଉଭୟ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟନ୍ତି। ✨

(v) $(0, 4)$ ଓ $(2, 2)$

• ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{0 + 16} = 4$

• ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା = $\sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$

• ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ନୁହଁନ୍ତି। ❌

  🌟 WithTeachers.in🌟

3 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 3)

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ $ABC$ ତ୍ରିଭୁଜମାନ ସମକୋଣୀ । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେଉଁ କୋଣଟି ସମକୋଣ ଦର୍ଶାଅ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ, ଯଦି ଦୁଇଟି ବାହୁର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ ଅଟେ।

(i) $A(3, 3), B(9, 0), C(12, 21)$

• $AB^2 = (9-3)^2 + (0-3)^2 = 36 + 9 = 45$

• $BC^2 = (12-9)^2 + (21-0)^2 = 9 + 441 = 450$

• $AC^2 = (12-3)^2 + (21-3)^2 = 81 + 324 = 405$

• ଏଠାରେ $AB^2 + AC^2 = 45 + 405 = 450 = BC^2$। ତେଣୁ $\angle A$ ସମକୋଣ ଅଟେ। 📐

(ii) $A(1, 1), B(3, 4), C(0, 6)$

• $AB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

• $BC^2 = (-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

• $AC^2 = (-1)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$

• ଏଠାରେ $AB^2 + BC^2 = 13 + 13 = 26 = AC^2$। ତେଣୁ $\angle B$ ସମକୋଣ ଅଟେ। 📐

(iii) $A(-1, -2), B(5, -2), C(5, 6)$

• $AB^2 = 6^2 + 0^2 = 36$

• $BC^2 = 0^2 + 8^2 = 64$

• $AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

• ଏଠାରେ $AB^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100 = AC^2$। ତେଣୁ $\angle B$ ସମକୋଣ ଅଟେ। 📐

(iv) $A(12, 8), B(-2, 6), C(6, 0)$

• $AB^2 = (-14)^2 + (-2)^2 = 196 + 4 = 200$

• $BC^2 = 8^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100$

• $AC^2 = (-6)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$

• ଏଠାରେ $BC^2 + AC^2 = 100 + 100 = 200 = AB^2$। ତେଣୁ $\angle C$ ସମକୋଣ ଅଟେ। 📐

(v) $A(1, 6), B(5, -1), C(7, 2)$

• $AB^2 = 4^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$

• $BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

• $AC^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$

• ଏଠାରେ $BC^2 + AC^2 = 13 + 52 = 65 = AB^2$। ତେଣୁ $\angle C$ ସମକୋଣ ଅଟେ। 📐

4 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 4)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ $ABC$ ତ୍ରିଭୁଜମାନ ସମଦ୍ବିବାହୁ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

ଯଦି କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତାହା ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ।

(i) $A(8, 2), B(5, -3), C(0, 0)$

• $AB = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

• $BC = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

• ଯେହେତୁ $AB = BC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

(ii) $A(0, 6), B(-5, 3), C(3, 1)$

• $AB = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

• $AC = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

• ଯେହେତୁ $AB = AC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

(iii) $A(8, 9), B(-6, 1), C(0, -5)$

• $AB = \sqrt{(-14)^2 + (-8)^2} = \sqrt{196 + 64} = \sqrt{260}$

• $AC = \sqrt{(-8)^2 + (-14)^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}$

• ଯେହେତୁ $AB = AC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

(iv) $A(7, 1), B(11, 4), C(4, -3)$

• $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$

• $AC = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

• ଯେହେତୁ $AB = AC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

(v) $A(0, 0), B(4, 0), C(0, -4)$

• $AB = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$

• $AC = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$

• ଯେହେତୁ $AB = AC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

(vi) $A(2, 2), B(-2, 4), C(2, 6)$

• $AB = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

• $BC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

• ଯେହେତୁ $AB = BC$, ଏହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। 🔺

🌟 WithTeachers.in🌟

5 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 5)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ସୂଚିତ ଚିତ୍ରକୁ ଗଠନ କରବ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) $(1, 1), (-1, -1), (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

• ମନେକର $A(1, 1), B(-1, -1), C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$।

• $AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ 📏

• $BC = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (1 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 3 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8}$ 📏

• $CA = \sqrt{(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3 + 2\sqrt{3} + 1 + 3 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{8}$ 📏

• ଏଠାରେ $AB = BC = CA$, ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ (Equilateral Triangle) ଅଟେ। 🔺

(ii) $(3, 3), (-3, 3), (3\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$ (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

• $AB = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6$ 📏

• (ସୂଚନା: ପ୍ରଶ୍ନରେ ମୁଦ୍ରଣଗତ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ କାରଣ ଏହି ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ ଗଣିତ ଅନୁସାରେ ଏକ ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ବହି ଅନୁସାରେ ଏହାକୁ ସମବାହୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ କୁହାଯାଇଛି।)

(iii) $(1, 2), (3, 4)$ ଓ $(5, 8)$ (ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

• $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ 📏

• $BC = \sqrt{(5-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ 📏

• $CA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$ 📏

• ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅସମାନ, ତେଣୁ ଏହା ଏକ ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ (Scalene Triangle)। 📐

(iv) $(1, 2), (2, 4)$ ଓ $(3, 5)$ (ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

• $AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ 📏

• $BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 📏

• $CA = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ 📏

• ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ସମସ୍ତ ବାହୁ ଅସମାନ ଥିବାରୁ ଏହା ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ। 📐

(v) $(-2, 3), (8, 3)$ ଓ $(6, 7)$ (ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ)

• $AB^2 = (8 - (-2))^2 + (3 - 3)^2 = 10^2 = 100$

• $BC^2 = (6 - 8)^2 + (7 - 3)^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

• $CA^2 = (-2 - 6)^2 + (3 - 7)^2 = (-8)^2 + (-4)^2 = 64 + 16 = 80$

• ଯେହେତୁ $BC^2 + CA^2 = 20 + 80 = 100 = AB^2$, ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (Right-angled Triangle)। 📐

(vi) $(-6, -8), (-16, 12)$ ଓ $(-26, -18)$ (ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ)

• $AB^2 = (-10)^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500$

• $BC^2 = (-10)^2 + (-30)^2 = 100 + 900 = 1000$

• $CA^2 = (20)^2 + (10)^2 = 400 + 100 = 500$

• ଏଠାରେ $AB^2 = CA^2$ (ଅର୍ଥାତ୍ $AB = CA$, ସମଦ୍ୱିବାହୁ) ଏବଂ $AB^2 + CA^2 = 500 + 500 = 1000 = BC^2$ (ସମକୋଣୀ)। ତେଣୁ ଏହା ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ଅଟେ। 🔺

6 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 6)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ସୂଚିତ ଚିତ୍ରକୁ ଗଠନ କରିବ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

(i) $(-8, 3), (-2, -1), (6, -2)$ ଓ $(0, 2)$ (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର)

• $AB = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

• $BC = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$

• $CD = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

• $DA = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$

• ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ($AB=CD$ ଏବଂ $BC=DA$) ସମାନ ଅଟନ୍ତି। ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର (Parallelogram)। 🔷

(ii) $(-2, -1), (1, 0), (4, 3)$ ଓ $(1, 2)$ (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର)

• $AB = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

• $BC = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

• $CD = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

• $DA = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$

• ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର। 🔷

(iii) $(0, -1), (2, 1), (0, 3)$ ଓ $(-2, 1)$ (ବର୍ଗ ଚିତ୍ର)

• ସମସ୍ତ ଚାରୋଟି ବାହୁ $AB = BC = CD = DA = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ 📏

• କର୍ଣ୍ଣ $AC = \sqrt{0 + 16} = 4$ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣ $BD = \sqrt{16 + 0} = 4$ 📏

• ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square) ଅଟେ। 🟩

(iv) $(0, 5), (-1, 2), (-4, 3)$ ଓ $(-3, 6)$ (ବର୍ଗ ଚିତ୍ର)

• ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $AB = BC = CD = DA = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ 📏

• କର୍ଣ୍ଣ $AC = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ ଏବଂ $BD = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ 📏

• ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ଓ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର। 🟩

(v) $(-2, 3), (-4, -1), (-6, 0)$ ଓ $(-4, 4)$ (ଆୟତ ଚିତ୍ର)

• $AB = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ ଏବଂ $CD = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ ($AB = CD$)

• $BC = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ଏବଂ $DA = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ($BC = DA$)

• କର୍ଣ୍ଣ $AC = \sqrt{16 + 9} = 5$ ଏବଂ $BD = \sqrt{0 + 25} = 5$ ($AC = BD$)

• ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସମାନ ଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର (Rectangle) ଅଟେ। ▭

7 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 7)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ $P(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁ $A(0, 2), B(2, 0)$ ଓ $C(0, 0)$ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ଏହା ପ୍ରମାଣ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ $P$ ବିନ୍ଦୁରୁ $A, B$ ଏବଂ $C$ ର ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ।

1. $P$ ରୁ $A$ ର ଦୂରତା ($PA$):

   $$PA = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

2. $P$ ରୁ $B$ ର ଦୂରତା ($PB$):

   $$PB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

3. $P$ ରୁ $C$ ର ଦୂରତା ($PC$):

   $$PC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଏଠାରେ ଆମେ ଦେଖିପାରୁଛେ ଯେ $PA = PB = PC = \sqrt{2}$। ଅର୍ଥାତ୍ $P(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁରୁ ତିନୋଟି ଯାକ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା ସମାନ। ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ $P(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁଟି $A, B,$ ଓ $C$ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ (Equidistant) ✨। (ପ୍ରମାଣିତ)

8 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 8)

$x$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $C(x, 3)$ ବିନ୍ଦୁ, $A(2, 4)$ ଓ $B(3, 5)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ଠାରୁ ସମାନ ଦୂରରେ ରହିବ?

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $C$ ବିନ୍ଦୁଟି $A$ ଏବଂ $B$ ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ। ଅର୍ଥାତ୍, $CA = CB$

$$\Rightarrow CA^2 = CB^2$$

• ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୂରତା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$(2 - x)^2 + (4 - 3)^2 = (3 - x)^2 + (5 - 3)^2$$

  $$(2 - x)^2 + 1^2 = (3 - x)^2 + 2^2$$

  $$4 - 4x + x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2 + 4$$

• ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $x^2$ କାଟିଦେଲେ:

  $$5 - 4x = 13 - 6x$$

  $$6x - 4x = 13 - 5$$

  $$2x = 8$$

  $$x = \frac{8}{2} = 4$$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: $x$ ର ମାନ 4 ଅଟେ। 🎯

  🌟 WithTeachers.in🌟

9 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 9)

$P(2, y)$ ବିନ୍ଦୁ $Q(-1, 2)$ ବିନ୍ଦୁ ଠାରୁ 5 ଏକକ ଦୂରରେ ରହିଲେ, $y$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $P$ ଏବଂ $Q$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା $PQ = 5$।

$$\Rightarrow PQ^2 = 25$$

• ଦୂରତା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$(-1 - 2)^2 + (2 - y)^2 = 25$$

  $$(-3)^2 + (2 - y)^2 = 25$$

  $$9 + (2 - y)^2 = 25$$

  $$(2 - y)^2 = 25 - 9 = 16$$

• ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ:

  $$2 - y = \pm 4$$

• ଏଠାରେ ଦୁଇଟି କ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି ହେବ:

  କ୍ଷେତ୍ର 1: $2 - y = 4 \Rightarrow y = 2 - 4 = -2$

  କ୍ଷେତ୍ର 2: $2 - y = -4 \Rightarrow y = 2 + 4 = 6$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: $y$ ର ମୂଲ୍ୟ 6 କିମ୍ବା -2 ଅଟେ। 🎯

10 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 10)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ $A(1, 1), B(2, 2)$ ଓ $C(3, 3)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ରହିବେ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ (Collinear) ରହିବେ ଯଦି କୌଣସି ଦୁଇଟି ଦୂରତାର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ଦୂରତା ସହ ସମାନ ହେବ।

1. $A$ ଓ $B$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ($AB$):

   $$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

2. $B$ ଓ $C$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ($BC$):

   $$BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

3. $A$ ଓ $C$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ($AC$):

   $$AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

   📏

• ଏଠାରେ ଆମେ ଦେଖିପାରୁଛେ ଯେ,

  $$AB + BC = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = AC$$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଯେହେତୁ $AB + BC = AC$, ତେଣୁ $A, B$ ଓ $C$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

  🌟 WithTeachers.in🌟

11 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 11)

ଦର୍ଶାଅ ଯେ $A(1, 4), B(-1, 6), C(2, 3)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer):

1. $AB$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

   📏

2. $BC$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

   📏

3. $AC$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   📏

• ଏଠାରେ ଆମେ ଦେଖିପାରୁଛେ ଯେ,

  $$AB + AC = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} = BC$$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଯେହେତୁ $AB + AC = BC$, ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ (Collinear) ଅଟନ୍ତି। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

🌟 WithTeachers.in🌟

12 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 12)

ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $(1, 0), (2, 3)$ ଏବଂ $(-1, -6)$ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଓ $(1, 0)$ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁର ମଧ୍ଯବତ୍ତୀ ଅଟେ। (ସୂଚନା: ପ୍ରଶ୍ନ ପତ୍ରରେ ଥିବା ସାମାନ୍ୟ ମୁଦ୍ରଣଗତ ତ୍ରୁଟିକୁ ସୁଧାରି ତୃତୀୟ ବିନ୍ଦୁଟିକୁ $(-1, -6)$ ଭାବେ ନିଆଯାଇଛି ଯାହାଦ୍ୱାରା ଏହା ଗାଣିତିକ ଭାବେ ସଠିକ୍ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇପାରିବ।)

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ମନେକର $A(1, 0), B(2, 3)$ ଏବଂ $C(-1, -6)$।

1. $AB$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

   📏

2. $AC$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$AC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

   📏

3. $BC$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$BC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$$

   📏

• ଏଠାରେ ଆମେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଦେଖିପାରୁଛେ ଯେ,

  $$AB + AC = \sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} = BC$$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଯେହେତୁ $AB + AC = BC$ ଅଟେ, ଏଥିରୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଉଛି ଯେ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ ଏକରେଖ୍ୟ ଏବଂ $A(1, 0)$ ବିନ୍ଦୁଟି $B$ ଓ $C$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅଟେ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✨

13 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 13)

$x$ ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର ଯାହା $(5, 4)$ ଓ $(-2, 3)$ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟଠାରୁ ସମଦୂରବତ୍ତୀ ହେବ।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ଯେହେତୁ ବିନ୍ଦୁଟି $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, ତେଣୁ ଏହାର $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ହେବ। ମନେକର ବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି $P(x, 0)$। ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ ହେଲେ $A(5, 4)$ ଏବଂ $B(-2, 3)$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, $PA = PB$ ଅଟେ।

$$\Rightarrow PA^2 = PB^2$$

• ଦୂରତା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $$(x - 5)^2 + (0 - 4)^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2$$

  $$(x - 5)^2 + 16 = (x + 2)^2 + 9$$

  $$x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 + 4x + 4 + 9$$

• ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $x^2$ କାଟିଦେଲେ:

  $$-10x + 41 = 4x + 13$$

  $$41 - 13 = 4x + 10x$$

  $$28 = 14x$$

  $$x = \frac{28}{14} = 2$$

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ସେହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେଉଛି $(2, 0)$। 🎯

14 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 14)

ଯଦି $O(0, 0), A(1, 2), B(3, 8)$ ଏବଂ $C(3, -1)$ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $AB = 2CO$।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ପ୍ରଥମେ ଆମେ $AB$ ଏବଂ $CO$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

1. $A(1, 2)$ ଓ $B(3, 8)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ($AB$):

   $$AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (8 - 2)^2}$$

   $$AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$$

   $$AB = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$$

   📏

2. $C(3, -1)$ ଓ $O(0, 0)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ($CO$):

   $$CO = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - (-1))^2}$$

   $$CO = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

   📏

• ବର୍ତ୍ତମାନ ସମ୍ପର୍କକୁ ଦେଖିଲେ:

  $$2CO = 2 \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$$

  ଯାହାକି $AB$ ସହ ସମାନ।

  ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଅତଏବ, $AB = 2CO$ (ପ୍ରମାଣିତ)। ✨

15 ❓ ପ୍ରଶ୍ନ (Question 15)

ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(0, 3)$ ବିନ୍ଦୁ $(4, 3)$ ହେଲେ, ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର।

✅ ଉତ୍ତର (Answer): ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେଉଛନ୍ତି $A(0, 3)$ ଏବଂ $B(4, 3)$ ଏବଂ ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି $C(x, y)$। ଯେହେତୁ ଏହା ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ତେଣୁ ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $AB = BC = CA$।

1. $AB$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ:

   $$AB^2 = (4 - 0)^2 + (3 - 3)^2 = 16 + 0 = 16$$

   $$AB = 4$$

   📏

2. $CA^2$ ଏବଂ $BC^2$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

   $$CA^2 = (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + (y - 3)^2$$

   $$BC^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2$$

3. ସମୀକରଣର ସମାଧାନ:

   ଯେହେତୁ $CA^2 = BC^2$:

   $$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2$$

   $$x^2 = (x - 4)^2$$

   $$x^2 = x^2 - 8x + 16$$

   $$8x = 16 \Rightarrow x = 2$$

   ବର୍ତ୍ତମାନ, $CA^2 = AB^2$ ସମୀକରଣରେ $x = 2$ ବ୍ୟବହାର କରିବା:

   $$2^2 + (y - 3)^2 = 16$$

   $$4 + (y - 3)^2 = 16$$

   $$(y - 3)^2 = 16 - 4 = 12$$

   $$y - 3 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$

   $$y = 3 \pm 2\sqrt{3}$$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ $(2, 3 + 2\sqrt{3})$ କିମ୍ବା $(2, 3 - 2\sqrt{3})$ ହୋଇପାରେ। 🔺