1 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (30 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ - 3 ପ୍ରକାର)

ପ୍ରକାର 1: ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
❓1. $(0, 0)$ ଓ $(4, 6)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓2. $(2, 4)$ ଓ $(6, 8)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓3. $(-2, 0)$ ଓ $(2, 0)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓4. $(0, 10)$ ଓ $(0, -10)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓5. $(-4, -6)$ ଓ $(4, 6)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓6. $(1, 3)$ ଓ $(3, 5)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓7. $(5, -5)$ ଓ $(-5, 5)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓8. $(10, 20)$ ଓ $(20, 30)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓9. $(a, b)$ ଓ $(-a, -b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?
❓10. $(2a, 2b)$ ଓ $(0, 0)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

🌟 WithTeachers.in🌟

ପ୍ରକାର 2: ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର (Centroid) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
❓11. $(0, 0), (3, 0)$ ଓ $(0, 3)$ ଶୀର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓12. $(1, 1), (2, 2)$ ଓ $(3, 3)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓13. $(-1, -1), (0, 0)$ ଓ $(1, 1)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓14. $(3a, 0), (0, 3b)$ ଓ $(0, 0)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓15. $(1, 2), (3, 4)$ ଓ $(5, 6)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓16. $(-3, 2), (4, -1)$ ଓ $(2, 2)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓17. $(0, 6), (6, 0)$ ଓ $(0, 0)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓18. $(x, y), (y, x)$ ଓ $(0, 0)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓19. $(1, -1), (-1, 1)$ ଓ $(0, 0)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
❓20. $(4, 5), (5, 6)$ ଓ $(-9, -11)$ ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?

ପ୍ରକାର 3: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
❓21. $(x, 2)$ ଓ $(4, 4)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(3, 3)$ ହେଲେ, $x$ କେତେ?
❓22. $(2, y)$ ଓ $(6, 8)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(4, 5)$ ହେଲେ, $y$ କେତେ?
❓23. $(0, 0)$ ଓ $(x, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(2, 3)$ ହେଲେ, $(x,y)$ କେତେ?
❓24. $(a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(1, 1)$ ହେଲେ, $a$ ଓ $b$ କେତେ? ❓25. $(1, 2)$ ଓ $(x, 4)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $3$ ହେଲେ $x$ କେତେ? ❓26. $(-2, -4)$ ଓ $(2, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, $y$ କେତେ?
❓27. $(x, 3)$ ଓ $(5, 7)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(4, 5)$ ହେଲେ, $x$ କେତେ?
❓28. $(k, 2)$ ଓ $(3, k)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ $2$ ହେଲେ, $k$ କେତେ? ❓29. $(1, p)$ ଓ $(p, 5)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(2, 3)$ ହେଲେ $p$ କେତେ?
❓30. $(x, x)$ ଓ $(y, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(0, 0)$ ହେଲେ $x+y$ କେତେ?

✅ ଉତ୍ତର (1 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ):

✅1: $(2, 3)$, ✅2: $(4, 6)$, ✅3: $(0, 0)$, ✅4: $(0, 0)$, ✅5: $(0, 0)$, ✅6: $(2, 4)$, ✅7: $(0, 0)$, ✅8: $(15, 25)$, ✅9: $(0, 0)$, ✅10: $(a, b)$, ✅11: $(1, 1)$, ✅12: $(2, 2)$, ✅13: $(0, 0)$, ✅14: $(a, b)$, ✅15: $(3, 4)$, ✅16: $(1, 1)$, ✅17: $(2, 2)$, ✅18: $((x+y)/3, (x+y)/3)$, ✅19: $(0, 0)$, ✅20: $(0, 0)$, ✅21: $x=2$, ✅22: $y=2$, ✅23: $(4, 6)$, ✅24: $a=2, b=2$, ✅25: $x=5$, ✅26: $y=4$, ✅27: $x=3$, ✅28: $k=1$, ✅29: $p=3$, ✅30: $0$

2 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (20 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

🌟 WithTeachers.in🌟

❓1. $(1, 3)$ ଓ $(2, 7)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $3:4$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓2. $(0, 0)$ ଓ $(5, 10)$ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓3. $(2, -2)$ ଓ $(-3, 4)$ କୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓4. ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(2, 1)$ ଏବଂ ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ $(3, 5)$ ହେଲେ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟି କେତେ?

❓5. $(a+b, a-b)$ ଓ $(a-b, a+b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥିର କର।

❓6. $\Delta ABC$ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $(0, 0), (6, 0)$ ଓ $(0, 9)$ ହେଲେ ଏହାର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ସ୍ଥିର କର।

❓7. ଯଦି $(1, 2)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(3, 4)$ ଓ $(x, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $x$ ଓ $y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓8. $(-1, 3)$ ଓ $(4, -7)$ କୁ $2:3$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଟି ସ୍ଥିର କର।

❓9. $(x, 3), (4, y)$ ଓ $(5, 2)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର $(3, 3)$ ହେଲେ $x, y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓10. କୌଣସି ରେଖାଖଣ୍ଡର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ $(-4, 0)$ ଓ $(0, 6)$ ହେଲେ, ଏହାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଟି କେତେ?

❓11. $(2, 4)$ ଓ $(6, 8)$ କୁ $1:1$ ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓12. $(3, 4)$ ବିନ୍ଦୁଟି ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଏବଂ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଅଟେ?

❓13. ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମାଗୁଡ଼ିକ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ତାହାକୁ କ’ଣ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ତାହା ମଧ୍ୟମାକୁ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ଛେଦ କରେ?

❓14. $(1, -2)$ ଓ $(-3, 4)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓15. ଭରକେନ୍ଦ୍ର $(0,0)$ ଏବଂ ଦୁଇ ଶୀର୍ଷ $(1, 2), (-1, -2)$ ହେଲେ ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷଟି କେତେ?

❓16. $(4, -1)$ ଓ $(-2, -3)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓17. $(p, q)$ ଓ $(-p, -q)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ହେବ କି? ଉତ୍ତର ଦିଅ।

❓18. $(1, 1)$ ଓ $(9, 9)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓19. ଭରକେନ୍ଦ୍ର ସୂତ୍ରଟି କ’ଣ ଲେଖ।

❓20. $(5, 7)$ ଓ $(1, 3)$ କୁ $1:3$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✅ ଉତ୍ତର (2 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ):

✅1: $(10/7, 33/7)$

✅2: $(5/2, 5)$

✅3: $(-1/2, 1)$

✅4: $(1, -3)$

✅5: $(a, a)$

✅6: $(2, 3)$

✅7: $x=-1, y=0$

✅8: $(1, -1)$

✅9: $x=0, y=4$

✅10: $(-2, 3)$

✅11: $(4, 6)$ (ଯାହାକି ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)

✅12: $(6, 8)$

✅13: ଭରକେନ୍ଦ୍ର, $2:1$ ଅନୁପାତରେ।

✅14: $(-1, 1)$

✅15: $(0, 0)$

✅16: $(1, -2)$

✅17: ହଁ, ମୂଳବିନ୍ଦୁ $(0,0)$ ହେବ।

✅18: $(5, 5)$

✅19: $G = ((x_1+x_2+x_3)/3, (y_1+y_2+y_3)/3)$

✅20: $(4, 6)$

🌟 WithTeachers.in🌟

3 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (15 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

❓1. $(1, 2)$ ଓ $(3, 4)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $y$-ଅକ୍ଷ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ଛେଦ କରେ ସ୍ଥିର କର।

❓2. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $(1, 2), (4, 6)$ ଓ $(5, 7)$ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଥ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓3. $(2, -3)$ ଓ $(5, 6)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ (trisect) କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓4. ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(0, -1), (2, 1), (0, 3)$ ଓ $(-2, 1)$ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷ ଅଟନ୍ତି (କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ପ୍ରଣାଳୀରେ)।

❓5. $(a, b), (b, c)$ ଓ $(c, a)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ମୂଳବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $a+b+c=0$।

❓6. $(4, 5)$ ଓ $(7, -1)$ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $x$-ଅକ୍ଷ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓7. ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(1, 1), (2, 3)$ ଓ $(4, 1)$ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର।

❓8. ଯଦି $(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $x/a + y/b = 1$।

❓9. $(1, -2)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(3, -6)$ ଓ $(x, y)$ କୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $2:3$ ରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କଲେ, $x, y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓10. କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷ $(3, -5)$ ଓ $(-7, 4)$ ଏବଂ ଭରକେନ୍ଦ୍ର $(2, -1)$ ହେଲେ, ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓11. ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(0,0)$ ଏବଂ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱୟ $(x+1, y-2)$ ଓ $(3, 4)$ ହେଲେ $x, y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓12. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।

❓13. $(-3, 4)$ ଓ $(1, -2)$ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ତଥା ମୂଳବିନ୍ଦୁରୁ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓14. $A(2, 5)$ ଓ $B(x, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $C(4, 7)$ ହେଲେ, $B$ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ?

❓15. ଭରକେନ୍ଦ୍ର ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(1,1), (2,2)$ ଓ $(3,3)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥିବା ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ (କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ କିମ୍ବା ଏକରେଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ)।

✅ ଉତ୍ତର (3 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ):

✅1: ଧରାଯାଉ ଅନୁପାତ $k:1$, $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ହେବ। ଅନୁପାତ $-1:3$ (ବହିର୍ବିଭାଜନ)।

✅2: କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଚତୁର୍ଥ ଶୀର୍ଷ $(2, 3)$ ହେବ।

✅3: ୧:୨ ଏବଂ ୨:୧ ଅନୁପାତ ବ୍ୟବହାର କରି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(3, 0)$ ଓ $(4, 3)$ ମିଳିବ।

✅4: କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ ଅଟେ $(0,1)$ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ।

✅5: $(a+b+c)/3 = 0 \Rightarrow a+b+c=0$।

✅6: $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ହେବ। ଅନୁପାତ $5:1$।

✅7: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ରକୁ ୩ ଥର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଶୀର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ବାହାର କରାଯିବ ଯଥା $(3, -1), (-1, 3), (5, 3)$।

✅8: $x = a/2 \Rightarrow 2x/a = 1$ ଏବଂ $y = b/2 \Rightarrow 2y/b = 1$। ଅତଏବ ପ୍ରମାଣିତ।

✅9: ବିଭାଜନ ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ରଖି ସମାଧାନ କଲେ $x = -2, y = 4$ ମିଳିବ।

✅10: $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ: $(3 - 7 + x)/3 = 2 \Rightarrow x = 10$, $y$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ: $(-5 + 4 + y)/3 = -1 \Rightarrow y = -2$। ବିନ୍ଦୁଟି $(10, -2)$।

✅11: $x+1+3 = 0 \Rightarrow x=-4$, $y-2+4=0 \Rightarrow y=-2$।

✅12: ଆୟତଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷ $(0,0), (a,0), (a,b), (0,b)$ ନେଇ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ପ୍ରମାଣ କରାଯିବ।

✅13: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି $(-1, 1)$, ମୂଳବିନ୍ଦୁରୁ ଦୂରତା $\sqrt{2}$।

✅14: $x = 2(4)-2 = 6, y = 2(7)-5 = 9$। ବିନ୍ଦୁଟି $(6, 9)$।

✅15: ଏକରେଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରିପାରିବେ ନାହିଁ।

🌟 WithTeachers.in🌟

4 ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (10 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ)

❓1. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅଟେ।

❓2. $(1, 5)$ ଓ $(7, 2)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସ୍ଥିର କର।

❓3. ଯଦି ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ $A(1, 0), B(5, 3), C(2, 7)$ ଓ $D(-2, 4)$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତାହାର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଗଠନ କରନ୍ତି।

❓4. ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ ଓ $(x_3, y_3)$ ହେଲେ, ଭରକେନ୍ଦ୍ର ସୂତ୍ରଟି ଉପପାଦନ କର।

❓5. ଦର୍ଶାଅ ଯେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।

❓6. $A(2, -2), B(8, 4)$ କୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ 4 ଟି ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓7. ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ $(0,0)$ ଏବଂ $(2a, 0)$ ହେଲେ, ଏହାର ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ଭରକେନ୍ଦ୍ର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓8. $x$ ଏବଂ $y$ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କର ଯଦି ବିନ୍ଦୁ $(x, y)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟ $(7, 1)$ ଏବଂ $(3, 5)$ ରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ।

❓9. ତ୍ରିଭୁଜ $ABC$ ର ଶୀର୍ଷ $A(4, -6), B(3, -2)$ ଓ $C(5, 2)$। ଦର୍ଶାଅ ଯେ ମଧ୍ୟମା $AD$, ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ।

❓10. କୌଣସି ଆୟତଚିତ୍ରର ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ $(0,0), (a,0)$ ଏବଂ $(0,b)$ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଥ ଶୀର୍ଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର।

✅ ଉତ୍ତର (4 ମାର୍କ ପ୍ରଶ୍ନ): ✅1: ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ ନେଇ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ର ଓ ଦୂରତା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଏ। ✅2: ଅନୁପାତ ୧:୨ ଏବଂ ୨:୧ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ ବିନ୍ଦୁ $(3, 4)$ ଓ $(5, 3)$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯିବ। ✅3: ଚାରୋଟି ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରି ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କରାଯିବ। ✅4: ମଧ୍ୟମାକୁ ଭରକେନ୍ଦ୍ର ୨:୧ ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ଏହି ସୂତ୍ରକୁ ଉପଯୋଗ କରି ପ୍ରମାଣିତ ହେବ। ✅5: ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷ $(0,0), (a,0), (a+c,b), (c,b)$ ନେଇ କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ ଦର୍ଶାଇ ପ୍ରମାଣ କରାଯିବ। ✅6: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସୂତ୍ରକୁ ବାରମ୍ବାର ବ୍ୟବହାର କରି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(7/2, -1/2), (5, 1), (13/2, 5/2)$ ମିଳିବ। ✅7: ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ $(a, \pm a\sqrt{3})$, ଭରକେନ୍ଦ୍ର $(a, \pm a\sqrt{3}/3)$। ✅8: ଦୂରତା ସୂତ୍ରରୁ $(x-7)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2 \Rightarrow x-y=2$। ✅9: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $D$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯିବ। ✅10: ଚତୁର୍ଥ ଶୀର୍ଷ $(a,b)$ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\sqrt{a^2+b^2}$ ହେବ ଯାହାକି ସର୍ବସମ।

30 ଟି ବିଭିନ୍ନ ମାର୍କର ପ୍ରଶ୍ନ (ଉତ୍ତର ବିନା)

❓1. $(4, 6)$ ଓ $(-4, -6)$ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥିର କର।

❓2. $(2, -3)$ କୁ $x$-ଅକ୍ଷ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ଛେଦ କରେ?

❓3. $(a, 0)$ ଓ $(0, b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଠାରୁ କେତେ?

❓4. ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ତିନି ଶୀର୍ଷ $(1, 2), (3, 4)$ ଓ $(5, 2)$ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଥ ଶୀର୍ଷ କେତେ?

❓5. ବିଭାଜନ ସୂତ୍ରରେ $m:n$ କ’ଣ ସୂଚାଏ?

❓6. $(0, 0), (2, 0)$ ଓ $(0, 2)$ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓7. $(1, -1)$ ଓ $(4, 5)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ ବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓8. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ରମ୍ବସ୍ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।

❓9. ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁଗାମୀ - ଏହା ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରମାଣ କର।

❓10. $(x, y)$ ବିନ୍ଦୁରୁ $x$-ଅକ୍ଷର ଦୂରତା କେତେ?

❓11. $(2, 4)$ ଓ $(8, 12)$ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ?

❓12. $(3, 7)$ ଓ $(-3, -7)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ସଂଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଏ କି?

❓13. ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଏହା ପ୍ରମାଣ କର।

❓14. $(5, 6)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(2, 3)$ ଓ $(x, y)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, $x, y$ କେତେ?

❓15. ଭରକେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟମାକୁ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରେ?

❓16. କୌଣସି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଓ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(2, -2)$ ହେଲେ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଟି କେତେ?

❓17. $(a, b)$ ଏବଂ $(-a, b)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେଉଁ ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ?

❓18. $(-2, -3)$ ଓ $(4, 5)$ କୁ $1:2$ ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓19. ଯଦି $P(x,y)$ ବିନ୍ଦୁটি $(1, 2)$ ଏବଂ $(3, 4)$ ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $x+y=5$।

❓20. $(4, 0), (0, 4)$ ଓ $(0, 0)$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ସ୍ଥିର କର।

❓21. କୌଣସି ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଦୁଇ ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ $(1, 1)$ ଏବଂ $(5, 5)$ ହେଲେ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓22. ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଭରକେନ୍ଦ୍ର କିପରି ସ୍ଥିର କରିବ?

❓23. $(2, 3)$ ଓ $(x, 5)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $(4, y)$ ହେଲେ, $x$ ଓ $y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓24. $(-1, -2)$ ରୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା କେତେ?

❓25. $(1, 2)$ ଓ $(5, 8)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ 4 ସମାନ ଭାଗ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

❓26. ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କେନ୍ଦ୍ର ଓ ଭରକେନ୍ଦ୍ର ଏକା କି?

❓27. $(-3, 4)$ ଓ $(3, -4)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓28. $(a+b, a-b)$ ଓ $(a-b, a+b)$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କେତେ?

❓29. କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କଲେ ତାହା କି ଚିତ୍ର ହେବ?

❓30. $(x, 0)$ ବିନ୍ଦୁଟି $(2, 4)$ ଓ $(-2, 6)$ ଠାରୁ ସମାନ ଦୂରରେ ଥିଲେ $x$ କେତେ?

📝 ଶ୍ରେଣୀ ପରୀକ୍ଷା (Class Test) 📝

ବିଷୟ ନାମ: ଗଣିତ (ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି - ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର)

ସମୟ: ୪୫ ମିନିଟ୍ | ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ୨୫ ମାର୍କ

କ-ବିଭାଗ: ବହୁବିକଳ୍ପୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ (MCQ) - (5 x 1 = 5 ମାର୍କ)
❓1. $(2, 4)$ ଓ $(4, 6)$ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ?
(a) $(3, 5)$ (b) $(2, 2)$
© $(6, 10)$ (d) $(1, 1)$
❓2. ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟମାକୁ କେଉଁ ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରେ?
(a) ୧:୧ (b) ୨:୧
© ୩:୧ (d) ୧:୨
❓3. ଯଦି ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପ୍ରାନ୍ତ $(2, 3)$ ହୁଏ, ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତଟି କେତେ?
(a) $(-2, -3)$ (b) $(2, -3)$
© $(-2, 3)$ (d) $(0, 0)$
❓4. $(0, 0), (3, 0)$ ଓ $(0, 3)$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର ଭରକେନ୍ଦ୍ର କେତେ?
(a) $(1, 1)$ (b) $(2, 2)$
© $(0, 0)$ (d) $(3, 3)$
❓5. ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ସୂତ୍ରରେ $x$-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ରଟି କ’ଣ?
(a) $(x_1+x_2)/2$
(b) $(mx_2+nx_1)/(m+n)$
© $(mx_2-nx_1)/(m-n)$
(d) $(x_1-x_2)/2$

ଖ-ବିଭାଗ: ଅତି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ - (3 x 2 = 6 ମାର୍କ)
❓6. $(4, -2)$ ଓ $(-2, 6)$ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥିର କର।
❓7. $(1, 3)$ ଓ $(2, 7)$ କୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ $3:4$ ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଲେଖ।
❓8. $\Delta ABC$ ର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ $(x, 2), (5, y)$ ଏବଂ $(2, 4)$ ଓ ଭରକେନ୍ଦ୍ର $(3, 3)$ ହେଲେ $x, y$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଗ-ବିଭାଗ: ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ - (2 x 3 = 6 ମାର୍କ)
❓9. $(1, 5)$ ଓ $(7, 2)$ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ କରୁଥିବା ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
❓10. ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(0, -1), (2, 1), (0, 3)$ ଓ $(-2, 1)$ ଶୀର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରନ୍ତି।

ଘ-ବିଭାଗ: ଦୀର୍ଘ ପ୍ରଶ୍ନ - (2 x 4 = 8 ମାର୍କ)
❓11. ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅଟେ।
❓12. ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।