🌟📝 ପୃଷ୍ଠା(8-9) – ‘ଆସ ବୁଝିବା’ (ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତର) 🌟

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆଗକୁ ଓ ପଛକୁ ଲେଖି ଯୋଗ କଲେ ଯେପରି 1, 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 3 + 2 + 1, …
ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କାହିଁକି ହୁଏ, ଜାଣିବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏକ ସମାନ ପ୍ରକାରର ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ତାହାକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି ?

ପ୍ରଶ୍ନ – 2:  ଆଙ୍କିଥିବା ତୁମ ଚିତ୍ରର ଏକ ବୃହତ୍ ରୂପକୁ କଳ୍ପନା କରି କିମ୍ବା ଆବଶ୍ୟକ ଅନୁଯାୟୀ ଏହାକୁ ଆଂଶିକ ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନ ସଂରଚନାର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ କହିପାରିବ କି ?

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1

✏️ ଉତ୍ତର:

 ଆମେ ଜାଣୁଛୁ ଯେ, ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇ ଏବଂ ପଛକୁ କମାଇ ଯୋଗ କଲେ, ସେମାନେ ଏକ ସମମାତ୍ରିକ (symmetric) ଆକାର ତିଆରି କରେ। ଏହି ସଂରଚନାକୁ ଏକ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ରେଖାକୁ ଆଧାର କରି ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସମାନ ଭାବେ ବିନ୍ୟାସ କରିହେବ। ଯଦି ଆମେ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରିବା, ତେବେ ମଝିରେ ଏକ ଧାଡ଼ିରେ 100ଟି ବିନ୍ଦୁ ଥିବ ଏବଂ ତାହାର ଉପରେ ଓ ତଳେ ସମାନ ଗଠନ ହେବ। ଏହିପରି ଗଠନ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ (Square) ଆକାର ନେଇଥାଏ।

 ପ୍ରଶ୍ନ – 3: ସମସ୍ତ 1 (All 1s) କୁ କ୍ରମରେ ଯୋଗକରି ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ତୁମେ କେଉଁ ସଂରଚନା ପାଇବ ? ଯେତେବେଳେ ତୁମେ ସମସ୍ତ 1 ର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ଓ ପଛକୁ ଯୋଗ କରିବ, କେଉଁ ସଂରଚନା ପାଇବ ?

✏️ ଉତ୍ତର:

(କ) କେବଳ ଆଗକୁ ଯୋଗ କଲେ: ସମସ୍ତ $1$ କୁ କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ଯୋଗ କରି ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ :
1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, …

 ଯୋଗଫଳ: 1, 2, 3, 4, …  ଏହା ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Counting Numbers) ର କ୍ରମ।

(ଖ) ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇ ପୁଣି ପଛକୁ କମାଇ ଯୋଗ କଲେ: ସମସ୍ତ $1$ କୁ ଆଗକୁ ଓ ପଛକୁ ଯୋଗ କଲେ (ଯଥା: ଗୋଟିଏ $1$ ମଝିରେ ରଖି ତା' ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସମାନ ଭାବେ ବଢ଼ାଇବା:

1
1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

👉 ଯୋଗଫଳ: 1, 3, 5, 7, …  ଏହା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Odd Numbers) ର କ୍ରମ।

 ପ୍ରଶ୍ନ – 4: ତୁମେ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇ ଯୋଗକଲେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ ? ଏହାର ଏକ ଛୋଟ ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନ କରି ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।

✏️ ଉତ୍ତର:

   ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇ ଯୋଗକଲେ ଆମେ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା (Triangular numbers) ର କ୍ରମ ପାଇବା ।

ପ୍ରଶ୍ନ – 5: ତୁମେ କ୍ରମିକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଆରମ୍ଭ କଲେ ଯଥା:1 + 3, 3 + 6, 6 + 10, 10 + 15, …ତୁମେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ ଓ କାହିଁକି ? ଏହାର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା କରିପାରିବ କି ?

ଉତ୍ତର 

କ୍ରମିକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କଲେ ଆମେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square numbers) ର କ୍ରମ ପାଇବା । ଯଥା:

1 + 3 = 4 (2²)

3 + 6 = 9 (3²)

6 + 10 = 16 (4²)

10 + 15 = 25 (5²)

ପ୍ରଶ୍ନ – 6: 1 ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି 2 ର ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କଲେ ଯଥା: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8, … କ’ଣ ପାଇବ?

ଉତ୍ତର:-  ଯୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15

ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 1 ଯୋଗ କଲେ: ଯଦି ଆମେ ଏହି ଯୋଗଫଳଗୁଡ଼ିକରେ ୧ ଯୋଗ କରୁ, ତେବେ: 

1 + 1 = 2 (2¹)
3 + 1 = 4 (2²)
7 + 1 = 8 (2³)
15 + 1 = 16 (2⁴)

ଏହାଦ୍ୱାରା ଆମେ 2ର ଘାତ ସଂଖ୍ୟା (Powers of 2) ର କ୍ରମ ପାଇବା।

ଏପରି କାହିଁକି ହୋଇଥାଏ?

👉 2 ର ଘାତଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗରେ ଏକ ନିୟମ ରହିଛି:1 + 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1

ପ୍ରଶ୍ନ – 7:ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି 1 ଯୋଗ କଲେ କ’ଣ ପାଇବ? ଏହାଦ୍ୱାରା କେଉଁ କ୍ରମଟି ମିଳେ? ଚିତ୍ର ସହ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର।

 ଉତ୍ତର:

 ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ:
1, 3, 6, 10, 15, … ଏବଂ  6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି 1 ଯୋଗ କଲେ:

1 × 6 + 1 = 7
3 × 6 + 1 = 19
6 × 6 + 1 = 37
10 × 6 + 1 = 61
15 × 6 + 1 = 91

👉 ପ୍ରାପ୍ତ କ୍ରମ: 7, 19, 37, 61, 91, …

ପ୍ରଶ୍ନ – 8: ତୁମେ ଷଡ଼ଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଆଗକୁ ଯୋଗ କରିବା ଆରମ୍ଭ କଲେ ଯଥା: 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37, … କ’ଣ ହେବ? କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ? ଏକ ଘନର ଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର।

✏️ ଉତ୍ତର :

👉 ପ୍ରଥମେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଯୋଗଗୁଡ଼ିକୁ ଧୀରେ ଧୀରେ କରିବା:

1 = 1 = 1³
1 + 7 = 8 = 2³
1 + 7 + 19 = 27 = 3³
1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4³

📝 ପ୍ରଶ୍ନ – 9 :ତୁମେ ତାଲିକା–1 ରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ କେଉଁ ସମ୍ବନ୍ଧ ବା ପ୍ୟାଟର୍ଣ୍ଣ ଦେଖୁଛ? ଏହାକୁ ଚିତ୍ର ବା ଅନ୍ୟ ଉପାୟରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିପାରିବ କି?

ଉତ୍ତର:

 ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square Numbers) କ୍ରମାଗତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରି ତିଆରି ହୁଏ।

📌 ଉଦାହରଣ:

1² = 1

2² = 1 + 3 = 4

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

ପୃଷ୍ଠା 11 ରେ ଥିବା "ଆସ ବୁଝିବା"

 ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ସାରଣୀ - 3 ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମରେ ସଂରଚନା ଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରି କୁହ ।

ଉତ୍ତର –  ସାରଣୀ – 3 ରେ ଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଆକୃତି କ୍ରମରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂରଚନା ଦେଖାଯାଏ —

1. ସରଳ ବହୁଭୁଜ କ୍ରମ
   ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତିରେ ବାହୁ ଓ କୋଣ ସଂଖ୍ୟା 1 କରି ବଢ଼ୁଛି।
   ଉଦାହରଣ: 3, 4, 5,6, 7, …
2. ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଲେଖଚିତ୍ର କ୍ରମ (Complete Graphs)
   ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାପରେ ଗୋଟିଏ ନୂତନ ବିନ୍ଦୁ ଯୋଡ଼ାଯାଏ ଏବଂ ସେହି ବିନ୍ଦୁଟି ସମସ୍ତ ପୂର୍ବ ବିନ୍ଦୁ ସହିତ ସଂଯୁକ୍ତ ହୁଏ।
3. ବର୍ଗଚିତ୍ର କ୍ରମ (Square Grids)
   ଗ୍ରିଡ୍‌ର ଲମ୍ବ ଓ ଓସାର 1 କରି ବଢ଼ୁଛି।
   ଉଦାହରଣ:
   1 × 1 = 1
   2 × 2 = 4
   3 × 3 = 9
   4 × 4 = 16
4. ତ୍ରିଭୁଜ ଆକୃତି କ୍ରମ (Triangular Patterns)
   ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ତଳ ଧାଡ଼ିରେ ୧ କରି ବିନ୍ଦୁ ବଢ଼ୁଛି।
   ଉଦାହରଣ: 1, 3, 6, 10, 15, …
5. କଚ୍ ତୁଷାରକଣା (Koch Snowflake)
   ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖା ଖଣ୍ଡର ମଝିରେ ଏକ ନୂତନ ଉଠାଣି ତିଆରି ହୁଏ।
   ଗୋଟିଏ ରେଖା ପରିବର୍ତ୍ତେ 4ଟି ଛୋଟ ରେଖା ହୋଇଯାଏ।

ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ତୁମ ଖାତାରେ ସାରଣୀ - 3 ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତିକୁ ତୁମେ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି ? ଯଦି ହଁ / ନା, ତେବେ କାହିଁକି ? ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତିଟି ତିଆରି ହେବାର ନିୟମ କିମ୍ବା ସଂରଚନାକୁ ନିଜ ଭାଷାରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।

ଉତ୍ତର -

1: ପ୍ରଶ୍ନ: ସରଳ ବହୁଭୁଜ ଆକୃତି କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର ବାହୁସଂଖ୍ୟାକୁ ଗଣି ଲେଖ । ତୁମେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବ ? ସରଳ ବହୁଭୁଜର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର କୋଣ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗଣି ଲେଖ | ତୁମେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବ କି ? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି ?

ଉତ୍ତର  ସାରଣୀରେ ଥିବା ସରଳ ବହୁଭୁଜ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା:

• ତ୍ରିଭୁଜ = 3 ଟି ବାହୁ

• ଚତୁର୍ଭୁଜ = 4 ଟି ବାହୁ

• ପଞ୍ଚଭୁଜ = 5 ଟି ବାହୁ

• ଷଡ଼ଭୁଜ = 6 ଟି ବାହୁ... ଏହିପରି ଆଗକୁ। ତେଣୁ ଆମେ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Counting Numbers) ର ଏକ କ୍ରମ ପାଇବା, ଯାହାକି ୩ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥାଏ (ଅର୍ଥାତ୍ $3,4,5,6,7,8\dots$)।

👉    ହଁ, ଆମେ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବା (ଅର୍ଥାତ୍ $3,4,5,6,7$

କାରଣ: ଯେକୌଣସି ସରଳ ବହୁଭୁଜରେ (Regular Polygon) ଯେତିକି ଗୋଟି ବାହୁ ଥାଏ, ଠିକ୍ ସେତିକି ଗୋଟି କୋଣ ମଧ୍ୟ ଥାଏ। ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ:

• ଏକ ତ୍ରିଭୁଜରେ 3ଟି ବାହୁ ଓ 3ଟି କୋଣ ଥାଏ।

• ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ 4ଟି ବାହୁ ଓ 4ଟି କୋଣ ଥାଏ। ତେଣୁ ବାହୁ ବୃଦ୍ଧି ପାଇବା ସହିତ କୋଣ ମଧ୍ୟ ସମାନ ପରିମାଣରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ, ଯାହାଫଳରେ କ୍ରମଟି ସମାନ ରହେ।

2: ପ୍ରଶ୍ନ ସଂପୂର୍ଣ ଲେଖଚିତ୍ର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର ରେଖା ସଂଖ୍ୟା ଗଣ । ତୁମେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବ ? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରି ପାରିବ କି ?

✏️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

👉 ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର ରେଖା ସଂଖ୍ୟା:

1ମ ଆକୃତି → 1 ଟି ରେଖା  

2ୟ ଆକୃତି K2→ 2 ଟି ରେଖା
3ୟ ଆକୃତି K3 → 3 ଟି ରେଖା
4ର୍ଥ ଆକୃତି K4→ 4 ଟି ରେଖା
5ମ ଆକୃତି K5 → 5 ଟି ରେଖା

6ମ ଆକୃତି K6 = ୧୫ ଟି ରେଖା

ଏହି ରେଖା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇଲେ ଆମେ $1,3,6,10,15\dots$ କ୍ରମଟି ପାଇବା। ଏହା ହେଉଛି ଏକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା (Triangular numbers) ର କ୍ରମ।

ପୃଷ୍ଠା ୧୧ ର "ଆସ ବୁଝିବା"

ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଛି ? ଏହା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି ? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି

• କେତୋଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଛି: ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ସମୁଦାୟ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ: $1,4,9,16,25\dots$ ଇତ୍ୟାଦି।

• ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ: ଏହା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square numbers) ର କ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି।

• କାହିଁକି ହେଉଛି: କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତି ଗୋଟିଏ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗାକାର ଗ୍ରିଡ୍ (grid) ଅଟେ। ପ୍ରଥମଟି 1x1, ଦ୍ୱିତୀୟଟି 2x2, ତୃତୀୟଟି 3x3 ଇତ୍ୟାଦି। ତେଣୁ ଏହାର ଲମ୍ବ ଓ ଓସାରରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ବର୍ଗ ଥିବାରୁ, ସମୁଦାୟ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ନିଜସ୍ୱ ଆକାରର ବର୍ଗ ହେଉଛି।

ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି ? ଏହା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି ? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣନା କରିପାରିବ କି ? (ସୂଚନା : କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ କେତୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି ?)

ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

• କେତୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି: ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ସମୁଦାୟ ଛୋଟ ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ: $1,4,9,16,25\dots$ ଇତ୍ୟାଦି।

• ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ: ଏହା ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square numbers) ର କ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି।

• କାହିଁକି ହେଉଛି: କାରଣ ଯଦି ଆମେ ଏକ ବଡ଼ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଉପରୁ ତଳ ଧାଡ଼ି (row) ଅନୁସାରେ ଗଣିବା, ତେବେ ଦେଖିବା ଯେ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ ୧ଟି, ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ ୩ଟି, ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ ୫ଟି ଏବଂ ଚତୁର୍ଥରେ ୭ଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଥାଏ। ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି କ୍ରମାଗତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Odd numbers) (ଯଥା: $1,3,5,7$)। ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପଢ଼ିଛୁ ଯେ କ୍ରମାଗତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କଲେ ତାହା ସର୍ବଦା ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରେ (ଯଥା $1+3=4$, $1+3+5=9$)। ତେଣୁ ସମୁଦାୟ ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି।

ପ୍ରଶ୍ନ ୫: ତୁଷାରକଣା କ୍ରମରେ ଗୋଟିଏ ଆକୃତିରୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତି ପାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଏକ ଗତି ଅବରୋଧକ ଉଠାଣି ଦ୍ୱାରା ବଦଳାଯାଇଥାଏ। ଯେହେତୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକରେ ଏହାକୁ ଅଧିକରୁ ଅଧିକ କରାଯାଏ, ପରିବର୍ଷିତ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକ ଅତି କ୍ଷୁଦ୍ର ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ବାରା କ୍ଷୁଦ୍ରରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ହୋଇଥାଏ । ଏହି ତୁଷାରକଣା ଚିତ୍ର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଛି ? ଏହାର ଅନୁରୂପ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି କ’ଣ ?

ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

• ରେଖାଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା: ପ୍ରତ୍ୟେକ ତୁଷାରକଣା ଆକୃତିରେ ଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ ହେଲା: $3,12,48\dots$ ଇତ୍ୟାଦି।

  ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ: ଏହାର ଅନୁରୂପ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି ହେଉଛି "୪ ର ଘାତର ୩ ଗୁଣ"।

  ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏହି ସଂରଚନାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ହେଉଛି 3×4n। (ପୁସ୍ତକରେ ମଧ୍ୟ ଏହି ଉତ୍ତର ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ସୂଚନା ଆକାରରେ ଦିଆଯାଇଛି)।

  ପ୍ରଥମ ଆକୃତି (ମୂଳ ତ୍ରିଭୁଜ): 3×40=3×1=3 ଟି ରେଖା

  ଦ୍ୱିତୀୟ ଆକୃତି: 3×41=3×4=12 ଟି ରେଖା

  ତୃତୀୟ ଆକୃତି: 3×42=3×16=48 ଟି ରେଖା