ଉତ୍ତର -

📝 ପ୍ରଶ୍ନ 2: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ନିଜ ନିଜ ଖାତାରେ ଲେଖ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପରେ, ଯେଉଁ ନିୟମରେ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି ଲେଖାଯାଇଛି, ତାହାକୁ ନିଜ ଭାଷାରେ ଲେଖ ।

💡 ଉତ୍ତର 2: ତଳେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ନିୟମ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଗଲା, ଯାହାକୁ ଆପଣ ଖାତାରେ ଲେଖିପାରିବେ:

1. ସମସ୍ତ 1 (All 1s)

🔢 କ୍ରମ: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 1, 1, 1

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହି କେବଳ 1 ହିଁ ହୋଇଥାଏ।

2. ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Counting numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 8, 9, 10

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ କ୍ରମାଗତ ଭାବେ 1 ଯୋଗ କରାଯାଏ (+1)।

3. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Odd numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 15, 17, 19

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଯୋଗ କରାଯାଏ (+2)।

4. ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Even numbers)

🔢 କ୍ରମ: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 16, 18, 20

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଯୋଗ କରାଯାଏ (+2)।

5. ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା (Triangular numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 36, 45, 55

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ପାଇବା ପାଇଁ, ପୂର୍ବ ପଦରେ କ୍ରମାଗତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା: +2, +3, +4, +5...) ଯୋଗ କରାଯାଇଥାଏ।

6. ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 64, 81, 100

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ନିଜ ସହ ନିଜର ଗୁଣନଫଳ (ଅର୍ଥାତ୍ ବର୍ଗ) କୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଛି।

7. ଘନ ସଂଖ୍ୟା (Cube numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 8, 27, 64, 125, 216...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 343, 512, 729

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନ (ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନିଜ ସହ ତିନିଥର ଗୁଣିବା) କୁ ନେଇ ଗଠିତ।

8. ବିରହାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା (Fibonacci numbers)

🔢 କ୍ରମ: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 34, 55, 89

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ତା'ର ଠିକ୍ ପୂର୍ବ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।

9. 2 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତସଂଖ୍ୟା (Powers of 2)

🔢 କ୍ରମ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 128, 256, 512

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସର୍ବଦା 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣାଯାଇଥାଏ।

10. 3 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ସଂଖ୍ୟା (Powers of 3)

🔢 କ୍ରମ: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729...

➡️ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା: 2187, 6561, 19683

📌 ନିୟମ: ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା ପାଇଁ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସର୍ବଦା 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣାଯାଇଥାଏ।

📝 ପ୍ରଶ୍ନ ୨: 1,3,6,10,15, ... କୁ କାହିଁକି ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ?

               1,4, 9, 16, 25, ... କୁ କାହିଁକି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ବା ବର୍ଗ କୁହାଯାଏ?

               1,8,27,64, 125, ... କୁ କାହିଁକି ଘନ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ? 

💡 ଉତ୍ତର ୨: ବିଭିନ୍ନ ଜ୍ୟାମିତିକ ଆକୃତି ସହ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ପର୍କ ଯୋଗୁଁ ଏପରି ନାମକରଣ କରାଯାଇଛି:

• 🔺 ୧, ୩, ୬, ୧୦, ୧୫... ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିନ୍ଦୁ ମାଧ୍ୟମରେ ସଜାଇଲେ ଏହା ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଆକାର ଗ୍ରହଣ କରେ, ତେଣୁ ଏହାକୁ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

• 🟩 ୧, ୪, ୯, ୧୬... ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନ ଲମ୍ବ ଓ ଓସାର ଥିବା ବର୍ଗଚିତ୍ର (Square grid) ଆକାରରେ ସଜାଇ ହେଉଥିବାରୁ ଏହା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା।

• 🧊 ସେହିପରି ୧, ୮, ୨୭, ୬୪... ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ଲକ୍ ବା ଛୋଟ ଘନକ ମାଧ୍ୟମରେ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଓ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବଡ଼ ଘନ ବା ବାକ୍ସ (Cube) ଆକାରରେ ସଜାଇ ହେଉଥିବାରୁ ଏହାକୁ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

📝 ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ତୁମେମାନେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଥିବ ଯେ, 36 ହେଉଛି ଏକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା । ଅର୍ଥାତ୍ 36ଟି ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ ଉଭୟ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଚିତ୍ର ଏବଂ ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ସଂପୂର୍ଣରୂପେ ସଜାଇ ପାରିବା । ତୁମ ଖାତାରେ ଚିତ୍ର କରି ଏହାକୁ ଦେଖାଅ । ତୁମେ ଏହିପରି ଅନ୍ୟ କିଛି ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର ।

💡 ଉତ୍ତର ୩: ୩୬ କୁ ବର୍ଗାକାରରେ ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ୬ଟି ଧାଡ଼ି ଓ ୬ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମାନ ଗ୍ରିଡ୍ (6x6) ଅଙ୍କନ କରିହେବ। ସେହିପରି, ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଚିତ୍ର ପାଇଁ ସବୁଠାରୁ ତଳେ ୮ଟି ବିନ୍ଦୁ ରଖି ତା' ଉପରେ କ୍ରମଶଃ ୭, ୬, ୫, ୪, ୩, ୨, ଏବଂ ୧ ବିନ୍ଦୁ ସଜାଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରିହେବ।

ଏହିପରି ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ୧ କିମ୍ବା ୧୨୨୫ ଯାହା ଉଭୟ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଏବଂ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।