📝 ଅନୁଶୀଳନୀ - 3 (d)

1. ଗ.ସା.ଗୁ. (ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $xy^2, x^2y$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= xy^2$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= x^2y$

ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ ଥିବା ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ନେଲେ:

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= xy$

🌟 WithTeachers.in🌟

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6a^3b^2, 8a^2b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 2 \times 3 \times a^3 \times b^2$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 2^3 \times a^2 \times b^3$

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. $= 2$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. $= a^2b^2$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= 2a^2b^2$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $12a^2b^4c, 15ab^2c^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 2^2 \times 3 \times a^2b^4c$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 3 \times 5 \times ab^2c^3$

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. $= 3$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. $= ab^2c$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= 3ab^2c$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2y^2, x^3y, xy^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ଏହି ତିନୋଟି ରାଶିରେ $x$ ର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ $1$ ଏବଂ $y$ ର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ $1$ ଅଟେ।

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= xy$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $144x^3y^2z^7, 108x^6y^6z^6$

✅ ଉତ୍ତର:

$144 = 36 \times 4$

$108 = 36 \times 3$

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. $= 36$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତାଙ୍କ ଅନୁଯାୟୀ $= x^3y^2z^6$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= 36x^3y^2z^6$

2. ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2-1, x^2+x$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= x^2 + x = x(x + 1)$

ଉଭୟରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ହେଉଛି $(x + 1)$ ।

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (x + 1)$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 - ab^2, a^3 - b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a(a^2 - b^2) = a(a - b)(a + b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a - b)$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4a^2 - b^2, b^2 - 2ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= b(b - 2a) = -b(2a - b)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (2a - b)$

🌟 WithTeachers.in🌟

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(x - 1)^3, (1 - x)^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି କୁ ଆମେ ଏପରି ଲେଖିପାରିବା: $(1 - x)^2 = (-(x - 1))^2 = (x - 1)^2$

ବର୍ତ୍ତମାନ ରାଶି ଦ୍ୱୟ ହେଲା: $(x - 1)^3$ ଏବଂ $(x - 1)^2$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (x - 1)^2$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2 - xy + y^2, x^4 + x^2y^2 + y^4$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x^2 - xy + y^2$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 - x^2y^2$

$$= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$$

$$= (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (x^2 - xy + y^2)$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6(a^2 - 4b^2), 10(a^3 - 8b^3)$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 2 \times 3(a - 2b)(a + 2b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 2 \times 5(a^3 - (2b)^3) = 10(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= 2(a - 2b)$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2 + 7x + 12, x^2 + 9x + 20$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x^2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= x^2 + 5x + 4x + 20 = x(x + 5) + 4(x + 5) = (x + 4)(x + 5)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (x + 4)$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $4x^3 - 9x, 16x^3 + 54, 2x^2 + 5x + 3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x(4x^2 - 9) = x(2x - 3)(2x + 3)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 2(8x^3 + 27) = 2((2x)^3 + 3^3) = 2(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(2x + 3)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (2x + 3)$

🌟 WithTeachers.in🌟

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc, a^2 + b^2 - c^2 + 2ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b + c)^2 = (a - b - c)(a + b + c)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (a^2 + 2ab + b^2) - c^2 = (a + b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a + b + c)$

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc, b^2 - c^2 - a^2 - 2ca, c^2 - a^2 - b^2 - 2ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a^2 - (b + c)^2 = (a - b - c)(a + b + c)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= b^2 - (c + a)^2 = (b - c - a)(b + c + a) = (a + b + c)(b - c - a)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= c^2 - (a + b)^2 = (c - a - b)(c + a + b) = (a + b + c)(c - a - b)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a + b + c)$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $8a^2 - 14ab + 6b^2, 15a^2 + 18ab - 33b^2, 9a^2b - 7ab^2 - 2b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 2(4a^2 - 7ab + 3b^2) = 2(4a^2 - 4ab - 3ab + 3b^2) = 2(a - b)(4a - 3b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 3(5a^2 + 6ab - 11b^2) = 3(5a^2 + 11ab - 5ab - 11b^2) = 3(a - b)(5a + 11b)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= b(9a^2 - 7ab - 2b^2) = b(9a^2 - 9ab + 2ab - 2b^2) = b(a - b)(9a + 2b)$

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a - b)$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(a+b)x^2 - (2a+b)bx + ab^2, (a-b)x^2 - (2a-b)bx + ab^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି:

$$= (a+b)x^2 - (ab + ab + b^2)x + ab^2$$

$$= (a+b)x^2 - b(a+b)x - abx + ab^2$$

$$= (a+b)x(x - b) - ab(x - b)$$

$$= (x - b)\{(a+b)x - ab\}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି:

$$= (a-b)x^2 - (ab + ab - b^2)x + ab^2$$

$$= (a-b)x^2 - b(a-b)x - abx + ab^2$$

$$= (a-b)x(x - b) - ab(x - b)$$

$$= (x - b)\{(a-b)x - ab\}$$

ଉଭୟରେ ବିଦ୍ୟମାନ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ:

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (x - b)$
🌟 WithTeachers.in🌟
(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $c^2 - 2ab - a^2 - b^2, a^3 + b^3 + c^3 - 3abc, b^2 - 2ca - c^2 - a^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= c^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = c^2 - (a + b)^2 = (c - a - b)(c + a + b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= b^2 - (c^2 + 2ca + a^2) = b^2 - (c + a)^2 = (b - c - a)(b + c + a)$

ଏହି ତିନୋଟି ରାଶିରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ହେଉଛି $(a + b + c)$ ।

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a + b + c)$

(xiv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 - b^3 - c^3 - 3abc, a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a^3 + (-b)^3 + (-c)^3 - 3(a)(-b)(-c) = (a - b - c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab - bc + ca)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b + c)^2 = (a - b - c)(a + b + c)$

ଉଭୟରେ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ:

$\therefore$ ଗ.ସା.ଗୁ. $= (a - b - c)$

🧩 3. ଲ.ସା.ଗୁ. (ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3a^3b, 4a^2b$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. $(3, 4) = 12$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ: $a^3$ ଏବଂ $b$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 12a^3b$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6a^2b^3, 4a^3b^4$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. $(6, 4) = 12$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ: $a^3$ ଏବଂ $b^4$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 12a^3b^4$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $20a^2b^3c^4, 34a^3c^5$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. $(20, 34) = 340$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ: $a^3, b^3, c^5$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 340a^3b^3c^5$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3a^2b, 4ab^2, 6ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. $(3, 4, 6) = 12$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ: $a^2$ ଏବଂ $b^2$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 12a^2b^2$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $25x^3y^2z^2, 30x^2y^3z^3, x^3y^3z^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. $(25, 30, 1) = 150$

ଅକ୍ଷର ମାନଙ୍କର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ: $x^3, y^3, z^3$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 150x^3y^3z^3$

🧩 4. ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର -

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^2 + ab, ab - b^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a(a + b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= b(a - b)$

ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକକୁ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କରେ ଗୁଣିଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= ab(a + b)(a - b) = ab(a^2 - b^2)$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3(x^2 - y^2), 4(x^2 + xy)$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 3(x - y)(x + y)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 4x(x + y)$

ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. $= 12$ । ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡିକ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 12x(x + y)(x - y) = 12x(x^2 - y^2)$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^3 + y^3, x^2y + xy^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= xy(x + y)$

ସମସ୍ତ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଉତ୍ପାଦକକୁ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= xy(x + y)(x^2 - xy + y^2) = xy(x^3 + y^3)$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6a^3b - 12a^2b^2, 8a^3 - 64b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 6a^2b(a - 2b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 8(a^3 - (2b)^3) = 8(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. $(6, 8) = 24$ । ବାକି ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 24a^2b(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(x - y)^3, x^2 - y^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= (x - y)^3$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (x - y)(x + y)$

ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ଥିବା ପଦ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (x - y)^3(x + y)$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2 - xy, (x - y)^2, x^2 - y^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x(x - y)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (x - y)^2$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= (x - y)(x + y)$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= x(x + y)(x - y)^2$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6(a+b)^2, 8(a^2-b^2), 12(a-b)^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 6(a + b)^2$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 8(a - b)(a + b)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= 12(a - b)^2$

ସଂଖ୍ୟାର ଲ.ସା.ଗୁ. $= 24$ । ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 24(a + b)^2(a - b)^2$

🌟 WithTeachers.in🌟

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $2x^2 + 5x - 3, 4x^2 - 4x + 1$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (2x - 1)^2$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (x + 3)(2x - 1)^2$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3a^2 + 8a + 4, a^2 + 2a$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 3a^2 + 6a + 2a + 4 = 3a(a + 2) + 2(a + 2) = (3a + 2)(a + 2)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= a(a + 2)$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= a(a + 2)(3a + 2)$

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $6x^2 - 5x - 6, 4x^3 - 12x^2 + 9x$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= 6x^2 - 9x + 4x - 6 = 3x(2x - 3) + 2(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 2)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= x(4x^2 - 12x + 9) = x(2x - 3)^2$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= x(3x + 2)(2x - 3)^2$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $3x^3 + 5x^2 - 2x, 6x^2 + 14x + 4, 9x^3 - x$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x(3x^2 + 5x - 2) = x(3x^2 + 6x - x - 2) = x(x + 2)(3x - 1)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= 2(3x^2 + 7x + 2) = 2(3x^2 + 6x + x + 2) = 2(x + 2)(3x + 1)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= x(9x^2 - 1) = x(3x - 1)(3x + 1)$

ସମସ୍ତ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣିଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 2x(x + 2)(3x - 1)(3x + 1) = 2x(x + 2)(9x^2 - 1)$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $x^2 + xy + yz + zx, y^2 + xy + yz + zx, z^2 + xy + yz + zx$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= x(x + y) + z(y + x) = (x + y)(x + z)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= y(y + x) + z(y + x) = (x + y)(y + z)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= z(z + y) + x(z + y) = (y + z)(x + z)$

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (x + y)(y + z)(z + x)$

(xiii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^2 - ab - ac + bc, b^2 - bc - ab + ca, c^2 - ca - bc + ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) = -(a - b)(c - a)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= b(b - c) - a(b - c) = (b - c)(b - a) = -(b - c)(a - b)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= c(c - a) - b(c - a) = (c - a)(c - b) = -(c - a)(b - c)$

ଏଥିରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ପାଦକ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (a - b)(b - c)(c - a)$

(xiv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc, b^2 - c^2 - a^2 - 2ca, c^2 - a^2 - b^2 - 2ab$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a^2 - (b + c)^2 = (a - b - c)(a + b + c)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= b^2 - (c + a)^2 = (b - c - a)(a + b + c)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= c^2 - (a + b)^2 = (c - a - b)(a + b + c)$

ସମସ୍ତ ପୃଥକ୍ ଉତ୍ପାଦକକୁ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (a + b + c)(a - b - c)(b - c - a)(c - a - b)$

(xv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^4 + a^2b^2 + b^4, a^3 + b^3, a^3 - b^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

ଏଗୁଡିକୁ ଏକାଠି ଗୁଣିଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = (a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = a^6 - b^6$

(xvi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^6 - b^6, (a+b)^3, a^2 - b^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (a + b)^3$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= (a - b)(a + b)$

ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (a + b)^3(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)^2(a^6 - b^6)$

(xvii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $a^3 + b^3 - 1 - 3ab, a^3 + (b - 1)^3, a^2 - 2a + 1 - b^2$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି $= a^3 + b^3 + (-1)^3 - 3ab(-1) = (a + b - 1)(a^2 + b^2 + 1 - ab + a + b)$

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି $= (a + b - 1)(a^2 - a(b - 1) + (b - 1)^2) = (a + b - 1)(a^2 - ab + a + b^2 - 2b + 1)$

ତୃତୀୟ ରାଶି $= (a - 1)^2 - b^2 = (a - 1 - b)(a - 1 + b) = (a - b - 1)(a + b - 1)$

ସମସ୍ତ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପଦ ଗୁଡ଼ିକୁ ନେଲେ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= (a + b - 1)(a - b - 1)(a^2 + b^2 - ab + a + b + 1)(a^2 + b^2 - ab + a - 2b + 1)$

🌟 WithTeachers.in🌟

(xviii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3, (x - y)^3 - (z - y)^3 - (x - z)^3$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ରାଶି: ଏଠାରେ ପଦଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ $(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$ ହୋଇଥିବାରୁ, ଏହାର ମାନ $= 3(x - y)(y - z)(z - x)$ ହେବ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି: $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ ସହ ସମାନ (କାରଣ ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ ଘନ ମଧ୍ୟକୁ ନେଲେ), ଯାହାର ମାନ ମଧ୍ୟ $= 3(x - y)(y - z)(z - x)$ ହେବ।

ଉଭୟ ରାଶି ସମାନ ଥିବାରୁ:

$\therefore$ ଲ.ସା.ଗୁ. $= 3(x - y)(y - z)(z - x)$