📝 ଅନୁଶୀଳନୀ - 3 (e)

1. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ ✔️ ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରୀ ମଧ୍ୟରେ ❌ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{x+y}{5}$

✅ ଉତ୍ତର: ❌ (ଭୁଲ୍)

(କାରଣ: ବାମପକ୍ଷକୁ ଯୋଗ କଲେ ଲ.ସା.ଗୁ. $6$ ହେବ, ତେଣୁ ଫଳାଫଳ $\frac{3x + 2y}{6}$ ହେବ, ଯାହାକି ଡାହାଣ ପକ୍ଷ $\frac{x+y}{5}$ ସହ ଆଦୌ ସମାନ ନୁହେଁ।)

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x}{y-z} - \frac{x}{z-y} = 0$

✅ ଉତ୍ତର: ❌ (ଭୁଲ୍)

(କାରଣ: ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦର ହର $z-y$ କୁ $-(y-z)$ ଭାବେ ଲେଖିହେବ। ତେଣୁ ଏହା $\frac{x}{y-z} - \frac{x}{-(y-z)} = \frac{x}{y-z} + \frac{x}{y-z} = \frac{2x}{y-z}$ ହେବ, ଶୂନ ନୁହେଁ।)

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x-y} + \frac{1}{y-x} = 0$

✅ ଉତ୍ତର: ✔️ (ଠିକ୍)

(କାରଣ: ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦର ହର $y-x$ କୁ $-(x-y)$ ଭାବେ ଲେଖିହେବ। ତେଣୁ ଏହା $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x-y} = 0$ ହୋଇଯିବ, ଯାହାକି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ଅଟେ।)

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x-y}{z} + \frac{y-z}{x} + \frac{z-x}{y} = 0$

✅ ଉତ୍ତର: ❌ (ଭୁଲ୍)

(କାରଣ: ଏହି ତିନୋଟି ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ଯୋଗ କଲେ ସେମାନଙ୍କର ଲବ (numerator) ସର୍ବଦା ଶୂନ ହେବ ନାହିଁ। ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, $x=1, y=2, z=3$ ନେଲେ ମାନ ଶୂନ ହେବ ନାହିଁ।)

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}$

✅ ଉତ୍ତର: ❌ (ଭୁଲ୍)

(କାରଣ: ବାମପକ୍ଷକୁ ସରଳ କଲେ $\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{1}{y}\right) = 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ହେବ, ଯାହା ଡାହାଣ ପକ୍ଷ ସହ ସମାନ ନୁହେଁ।)

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x-y} + \frac{1}{y-z} + \frac{1}{z-x} = 0$

✅ ଉତ୍ତର: ❌ (ଭୁଲ୍)

(କାରଣ: ଏହି ତିନୋଟି ରାଶିର ଲ.ସା.ଗୁ. ନେଇ ଯୋଗ କଲେ ଲବ ଶୂନ ହୁଏ ନାହିଁ। କେବଳ $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$ ହୁଏ, କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ଶୂନ ନୁହେଁ।)

🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 2. ସରଳ କର:

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y}$

✅ ଉତ୍ତର:

ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$

$$= \frac{(x-y) + (x+y)}{(x+y)(x-y)}$$

$$= \frac{x - y + x + y}{x^2-y^2}$$

$$= \frac{2x}{x^2-y^2}$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y}$

✅ ଉତ୍ତର:

ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$

$$= \frac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$

$$= \frac{x^2+xy - xy+y^2}{x^2-y^2}$$

$$= \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{a-b}{ab} + \frac{b-c}{bc} + \frac{c-a}{ca}$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଭାଗ କରି ଅଲଗା ଲେଖିଲେ:

$$= \left(\frac{a}{ab} - \frac{b}{ab}\right) + \left(\frac{b}{bc} - \frac{c}{bc}\right) + \left(\frac{c}{ca} - \frac{a}{ca}\right)$$

$$= \frac{1}{b} - \frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - \frac{1}{c}$$

ସମସ୍ତ ପଦ ପରସ୍ପର ସହ ବିୟୋଗ ହୋଇଯିବ:

$$= 0$$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x-y}{x+y} - \frac{x+y}{x-y}$

✅ ଉତ୍ତର:

ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$

$$= \frac{(x-y)^2 - (x+y)^2}{(x+y)(x-y)}$$

ବର୍ଗ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)}{x^2-y^2}$$

$$= \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x^2-y^2}$$

$$= \frac{-4xy}{x^2-y^2} \quad \text{ବା} \quad \frac{4xy}{y^2-x^2}$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x^2-y^2} - \frac{1}{(x-y)^2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ରାଶିଟିକୁ ଲେଖିଲେ:

$$= \frac{1}{(x+y)(x-y)} - \frac{1}{(x-y)^2}$$

ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି $(x+y)(x-y)^2$

$$= \frac{(x-y) - (x+y)}{(x+y)(x-y)^2}$$

$$= \frac{x - y - x - y}{(x+y)(x-y)^2}$$

$$= \frac{-2y}{(x+y)(x-y)^2}$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{a^2}{a+b} - a + b$

✅ ଉତ୍ତର:

ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$$= \frac{a^2}{a+b} - (a - b)$$

$$= \frac{a^2 - (a-b)(a+b)}{a+b}$$

$$= \frac{a^2 - (a^2-b^2)}{a+b}$$

$$= \frac{a^2 - a^2 + b^2}{a+b}$$

$$= \frac{b^2}{a+b}$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x+2y} + \frac{1}{x-2y} + \frac{2x}{4y^2-x^2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ତୃତୀୟ ପଦର ହରକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ $4y^2-x^2 = -(x^2-4y^2)$ ।

$$= \frac{1}{x+2y} + \frac{1}{x-2y} - \frac{2x}{x^2-4y^2}$$

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଯୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(x-2y) + (x+2y)}{(x+2y)(x-2y)} - \frac{2x}{x^2-4y^2}$$

$$= \frac{2x}{x^2-4y^2} - \frac{2x}{x^2-4y^2}$$

$$= 0$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} + \frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ତୃତୀୟ ପଦର ହରକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ $b^2-a^2 = -(a^2-b^2)$ ।

$$= \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ ।

$$= \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

$$= \frac{2(a^2+b^2) - (a^2+b^2)}{a^2-b^2}$$

$$= \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଏବଂ ଶେଷ ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଅଲଗା ଯୋଗ-ବିୟୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(x+1) - (x-1)}{x^2-1} + \frac{(x+2) - (x-2)}{x^2-4}$$

$$= \frac{2}{x^2-1} + \frac{4}{x^2-4}$$

ଉଭୟକୁ ଯୋଗ କଲେ ଲ.ସା.ଗୁ. ହେବ $(x^2-1)(x^2-4)$ ।

$$= \frac{2(x^2-4) + 4(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2-4)}$$

$$= \frac{2x^2 - 8 + 4x^2 - 4}{(x^2-1)(x^2-4)}$$

$$= \frac{6x^2 - 12}{(x^2-1)(x^2-4)}$$

$$= \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2-1)(x^2-4)}$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{3x+1}{x-3} - \frac{x-3}{3x+9} - \frac{5x^2+24x}{2x^2-18}$

✅ ଉତ୍ତର:

ହରଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କଲେ: $3x+9 = 3(x+3)$ ଏବଂ $2x^2-18 = 2(x^2-9) = 2(x-3)(x+3)$ ।

$$= \frac{3x+1}{x-3} - \frac{x-3}{3(x+3)} - \frac{5x^2+24x}{2(x-3)(x+3)}$$

ଏଠାରେ ଲ.ସା.ଗୁ. ହେଉଛି $6(x-3)(x+3)$ ବା $6(x^2-9)$ ।

$$= \frac{6(x+3)(3x+1) - 2(x-3)(x-3) - 3(5x^2+24x)}{6(x-3)(x+3)}$$

ସମସ୍ତ ପଦକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$$= \frac{6(3x^2+10x+3) - 2(x^2-6x+9) - 15x^2-72x}{6(x^2-9)}$$

$$= \frac{18x^2+60x+18 - 2x^2+12x-18 - 15x^2-72x}{6(x^2-9)}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡିକୁ ଯୋଗ ବିୟୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(18x^2-2x^2-15x^2) + (60x+12x-72x) + (18-18)}{6(x^2-9)}$$

$$= \frac{x^2 + 0 + 0}{6(x^2-9)}$$

$$= \frac{x^2}{6(x^2-9)}$$

🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 3. ସରଳ କର:

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x^3y}{az^2} \times \frac{y^3z}{bx^2} \times \frac{z^3x}{cy^2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ଲବ ଏବଂ ହର ଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$$= \frac{x^3 \cdot y \cdot y^3 \cdot z \cdot z^3 \cdot x}{a \cdot z^2 \cdot b \cdot x^2 \cdot c \cdot y^2}$$

$$= \frac{x^4 y^4 z^4}{abc x^2 y^2 z^2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମାନ ଆଧାର ଥିବା ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ (ଭାଗ କଲେ):

$$= \frac{x^{4-2} y^{4-2} z^{4-2}}{abc}$$

$$= \frac{x^2 y^2 z^2}{abc}$$

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x-y}{x+y} \times \frac{x^2+xy}{x^2y-y^3}$

✅ ଉତ୍ତର:

ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ:

$$= \frac{x-y}{x+y} \times \frac{x(x+y)}{y(x^2-y^2)}$$

$$= \frac{x-y}{x+y} \times \frac{x(x+y)}{y(x-y)(x+y)}$$

ସମାନ ରାଶି ଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{x}{y(x+y)}$$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x^3+y^3}{x^2-y^2} \times \frac{x^3-y^3}{x^4+x^2y^2+y^4}$

✅ ଉତ୍ତର:

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ :

$$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} \times \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଲବ ଏବଂ ହରରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ସମାନ ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= 1$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x^2-7x+10}{x^2-5x-14} \times \frac{x^3+8}{x^3-8}$

✅ ଉତ୍ତର:

ମଧ୍ୟପଦ ବିଭାଜନ ଏବଂ ଘନ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଉତ୍ପାଦକ ବାହାର କଲେ:

$$= \frac{(x-2)(x-5)}{(x-7)(x+2)} \times \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$$

ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ $(x-2)$ ଏବଂ $(x+2)$ କୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{(x-5)(x^2-2x+4)}{(x-7)(x^2+2x+4)}$$

(v)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\left(1+\frac{x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1-\frac{x}{y}+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଗୁଣନ କଲେ (ସୂତ୍ର: $(A+B)(A-B) = A^2-B^2$):

$$= \left( \left(1+\frac{x^2}{y^2}\right) + \frac{x}{y} \right) \left( \left(1+\frac{x^2}{y^2}\right) - \frac{x}{y} \right) \left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)$$

$$= \left( \left(1+\frac{x^2}{y^2}\right)^2 - \left(\frac{x}{y}\right)^2 \right) \left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)$$

$$= \left( 1 + \frac{2x^2}{y^2} + \frac{x^4}{y^4} - \frac{x^2}{y^2} \right) \left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)$$

$$= \left( 1 + \frac{x^2}{y^2} + \frac{x^4}{y^4} \right) \left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)$$

ସୂତ୍ର $(A^2+AB+B^2)(A-B) = A^3-B^3$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ (ଯେଉଁଠାରେ $A=1, B=\frac{x^2}{y^2}$):

$$= 1^3 - \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3$$

$$= 1 - \frac{x^6}{y^6}$$

$$= \frac{y^6-x^6}{y^6}$$

(vi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x^2-y^2}{x-z} \times \frac{x^2-z^2}{xy+y^2} \times \left(x + \frac{xy}{x-y}\right)$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ଲେଖିଲେ ଏବଂ ତୃତୀୟ ପଦକୁ ଯୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(x-y)(x+y)}{x-z} \times \frac{(x-z)(x+z)}{y(x+y)} \times \left( \frac{x(x-y)+xy}{x-y} \right)$$

$$= \frac{(x-y)(x+y)}{x-z} \times \frac{(x-z)(x+z)}{y(x+y)} \times \frac{x^2-xy+xy}{x-y}$$

$$= \frac{(x-y)(x+y)}{x-z} \times \frac{(x-z)(x+z)}{y(x+y)} \times \frac{x^2}{x-y}$$

ସାଧାରଣ ରାଶି $(x-y), (x+y)$ ଏବଂ $(x-z)$ କୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{x^2(x+z)}{y}$$

(vii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\left(\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}\right) \times \frac{a^2-b^2}{2(a^2+b^2)}$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ରାଶିକୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$$= \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} \times \frac{a^2-b^2}{2(a^2+b^2)}$$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ ଏବଂ $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$$= \frac{4ab}{a^2-b^2} \times \frac{a^2-b^2}{2(a^2+b^2)}$$

ସମାନ ରାଶିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{4ab}{2(a^2+b^2)}$$

$$= \frac{2ab}{a^2+b^2}$$

(viii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\left(\frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y}\right) \div \left(\frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y}\right)$

✅ ଉତ୍ତର:

ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ କଲେ:

$$= \left( \frac{x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)} \right) \div \left( \frac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)(x+y)} \right)$$

$$= \left( \frac{x^2-xy+xy+y^2}{x^2-y^2} \right) \div \left( \frac{x^2+xy-xy+y^2}{x^2-y^2} \right)$$

$$= \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} \div \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$$

ଦୁଇଟି ସମାନ ରାଶିକୁ ଭାଗ କଲେ ଉତ୍ତର ୧ ହେବ:

$$= 1$$

(ix)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{x^3+y^3}{(x-y)^2+3xy} \div \frac{(x+y)^2-3xy}{x^3-y^3} \times \frac{xy}{x^2-y^2}$

✅ ଉତ୍ତର:

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା: $(x-y)^2+3xy = x^2-2xy+y^2+3xy = x^2+xy+y^2$

ସେହିପରି: $(x+y)^2-3xy = x^2+2xy+y^2-3xy = x^2-xy+y^2$

$$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} \div \frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} \times \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$$

ଭାଗ ଚିହ୍ନକୁ ଗୁଣନରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ (ଦ୍ୱିତୀୟ ଭଗ୍ନାଂଶ ଓଲଟିଯିବ):

$$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} \times \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2-xy+y^2} \times \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମସ୍ତ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= (x+y)(x-y) \times \frac{xy}{(x-y)(x+y)}$$

$$= xy$$

🌟 WithTeachers.in🌟

(x)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2} \div \frac{a^4-b^4}{2ab(a-b)} \times \frac{a^2-b^2}{a}$

✅ ଉତ୍ତର:

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$ ଏବଂ $(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab$

$$= \frac{2(a^2+b^2)}{4ab} \div \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{2ab(a-b)} \times \frac{a^2-b^2}{a}$$

$$= \frac{a^2+b^2}{2ab} \times \frac{2ab(a-b)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} \times \frac{a^2-b^2}{a}$$

ସମାନ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ (ଯଥା $a^2+b^2$, $2ab$, $a^2-b^2$):

$$= \frac{a-b}{a}$$

(xi)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{a^2+3a-18}{a^2-4} \div \frac{a^2-36}{a^2-5a-14}$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାଶିକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ:

$a^2+3a-18 = a^2+6a-3a-18 = a(a+6)-3(a+6) = (a-3)(a+6)$

$a^2-4 = (a-2)(a+2)$

$a^2-36 = (a-6)(a+6)$

$a^2-5a-14 = a^2-7a+2a-14 = a(a-7)+2(a-7) = (a+2)(a-7)$

ସମୀକରଣରେ ମୂଲ୍ୟ ରଖିଲେ:

$$= \frac{(a-3)(a+6)}{(a-2)(a+2)} \div \frac{(a-6)(a+6)}{(a+2)(a-7)}$$

ଭାଗକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଏବଂ ଭଗ୍ନାଂଶ ଓଲଟାଇଲେ:

$$= \frac{(a-3)(a+6)}{(a-2)(a+2)} \times \frac{(a+2)(a-7)}{(a-6)(a+6)}$$

ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{(a-3)(a-7)}{(a-2)(a-6)}$$

(xii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\frac{3a^2+a-4}{2a^2-a-3} \div \frac{3a^2-2a-8}{2a^2-7a+6}$

✅ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାଶିକୁ ମଧ୍ୟପଦ ବିଭାଜନ ଦ୍ଵାରା ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ:

$3a^2+a-4 = 3a^2+4a-3a-4 = (a-1)(3a+4)$

$2a^2-a-3 = 2a^2-3a+2a-3 = (a+1)(2a-3)$

$3a^2-2a-8 = 3a^2-6a+4a-8 = (a-2)(3a+4)$

$2a^2-7a+6 = 2a^2-4a-3a+6 = (a-2)(2a-3)$

ସମୀକରଣରେ ମୂଲ୍ୟ ରଖିଲେ:

$$= \frac{(a-1)(3a+4)}{(a+1)(2a-3)} \div \frac{(a-2)(3a+4)}{(a-2)(2a-3)}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ଭଗ୍ନାଂଶରେ ଉପରେ ଏବଂ ତଳେ ଥିବା $(a-2)$ କୁ କାଟିଦେଲେ ଏବଂ ଭାଗକୁ ଗୁଣନ କଲେ:

$$= \frac{(a-1)(3a+4)}{(a+1)(2a-3)} \times \frac{2a-3}{3a+4}$$

ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ଗୁଡ଼ିକୁ କାଟିଦେଲେ:

$$= \frac{a-1}{a+1}$$

🌟 WithTeachers.in🌟

🧩 4. ସରଳ କର:

(i)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\displaystyle \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}}$

✅ ସମାଧାନ:

ପଦକ୍ଷେପ ୧: ସବୁଠାରୁ ତଳେ ଥିବା ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସରଳ କରିବା: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

ପଦକ୍ଷେପ ୨: ତା’ପରେ ସେହି ପଦକୁ ବଦଳାଇବା: $1 + \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = 1 + \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+x}{x-1} = \frac{2x-1}{x-1}$

ପଦକ୍ଷେପ ୩: ପୁନଶ୍ଚ ସେହି ପଦକୁ ବଦଳାଇବା: $1 + \frac{1}{\frac{2x-1}{x-1}} = 1 + \frac{x-1}{2x-1} = \frac{2x-1+x-1}{2x-1} = \frac{3x-2}{2x-1}$

ପଦକ୍ଷେପ ୪: ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ଭାଗକୁ ଓଲଟାଇବା: $\frac{1}{\frac{3x-2}{2x-1}} = \frac{2x-1}{3x-2}$

ଉତ୍ତର: $\frac{2x-1}{3x-2}$

🌟 WithTeachers.in🌟

(ii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\displaystyle \frac{a}{a - \frac{a-1}{1 - \frac{1}{a+1}}}$

✅ ସମାଧାନ:

ପଦକ୍ଷେପ ୧: ତଳ ଭାଗର ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସରଳ କରିବା: $1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1}$

ପଦକ୍ଷେପ ୨: ଏହାକୁ ମୂଳ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା: $a - \frac{a-1}{\frac{a}{a+1}} = a - \frac{(a-1)(a+1)}{a} = a - \frac{a^2-1}{a}$

ପଦକ୍ଷେପ ୩: ହରକୁ ସରଳ କରିବା: $\frac{a^2 - (a^2-1)}{a} = \frac{a^2-a^2+1}{a} = \frac{1}{a}$

ପଦକ୍ଷେପ ୪: ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମାନ ବାହାର କରିବା: $\frac{a}{\frac{1}{a}} = a^2$

ଉତ୍ତର: $a^2$

(iii)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\displaystyle \frac{y}{y^2 - \frac{y^3-1}{y+\frac{1}{y+1}}}$

✅ ସମାଧାନ:

ପଦକ୍ଷେପ ୧: ହରର ତଳ ଅଂଶକୁ ସରଳ କରିବା: $y + \frac{1}{y+1} = \frac{y(y+1)+1}{y+1} = \frac{y^2+y+1}{y+1}$

ପଦକ୍ଷେପ ୨: ମଧ୍ୟଭାଗର ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସରଳ କରିବା (ସୂତ୍ର $y^3-1 = (y-1)(y^2+y+1)$ ପ୍ରୟୋଗ କରି):

$\frac{(y-1)(y^2+y+1)}{\frac{y^2+y+1}{y+1}} = (y-1)(y+1) = y^2-1$

ପଦକ୍ଷେପ ୩: ହରକୁ ସରଳ କରିବା: $y^2 - (y^2-1) = y^2 - y^2 + 1 = 1$

ପଦକ୍ଷେପ ୪: ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମାନ: $\frac{y}{1} = y$

ଉତ୍ତର: $y$

(iv)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: $\displaystyle \frac{x}{x - \frac{1}{x - \frac{x}{1+x}}}$

✅ ସମାଧାନ:

ପଦକ୍ଷେପ ୧: ସବୁଠାରୁ ତଳେ ଥିବା ପଦକୁ ସରଳ କରିବା: $x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(1+x)-x}{1+x} = \frac{x+x^2-x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

ପଦକ୍ଷେପ ୨: ପରବର୍ତ୍ତୀ ଭାଗକୁ ସରଳ କରିବା: $x - \frac{1}{\frac{x^2}{1+x}} = x - \frac{1+x}{x^2} = \frac{x^3 - (1+x)}{x^2} = \frac{x^3-x-1}{x^2}$

ପଦକ୍ଷେପ ୩: ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ଭାଗକୁ ଓଲଟାଇବା: $\frac{x}{\frac{x^3-x-1}{x^2}} = \frac{x^3}{x^3-x-1}$

ଉତ୍ତର: $\frac{x^3}{x^3-x-1}$