Question 1. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର । 填

(a) $\frac{1}{15 \times 16} = ..... - \frac{1}{16}$

ସମାଧାନ: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, ଏଠାରେ $n = 15$ ହେବ। ଉତ୍ତର: $\frac{1}{15}$ ✅

(b) $\frac{1}{12 \times 11} = \frac{1}{11} - .....$

ସମାଧାନ: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ଏହା $\frac{1}{11} - \frac{1}{12}$ ହେବ। ଉତ୍ତର: $\frac{1}{12}$ ✅

(c) $\frac{1}{n(n+1)} = .......... - \frac{1}{n+1}$

ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ । ଉତ୍ତର: $\frac{1}{n}$ ✅

(d) $\frac{1}{(n+1)n} = \frac{1}{n} - ..........$

ସମାଧାନ: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ଏହା $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ହେବ। ଉତ୍ତର: $\frac{1}{n+1}$ ✅

(e) 5 ଓ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି .....

ସମାଧାନ: ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ $A.M. [cite_start]= \frac{a+b}{2}$ । ଏଠାରେ $\frac{5+9}{2} = \frac{14}{2} = 7$। ଉତ୍ତର: 7 ✅

(f) $x$ ଓ 7 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି 5 ହେଲେ $x = .....$

ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ $5 = \frac{x+7}{2}$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $10 = x + 7 \Rightarrow x = 3$। ଉତ୍ତର: 3 ✅

(g) $(a+b)$ ଓ $(a-b)$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି .....

ସମାଧାନ: $A.M. [cite_start]= \frac{(a+b) + (a-b)}{2} = \frac{2a}{2} = a$ । ଉତ୍ତର: $a$ ✅

(h) ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11, ଯଦି ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟଟି .....

ସମାଧାନ: ମନେକର ଅନ୍ୟ ରାଶିଟି $y$। ତେଣୁ $11 = \frac{7+y}{2} \Rightarrow 22 = 7 + y \Rightarrow y = 15$। ଉତ୍ତର: 15 ✅

Question 2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🔢

(a) $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4}$ ର 20 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $n = 20$। ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର $S_n = \frac{n}{n+1}$ ବ୍ୟବହାର କଲେ: $S_{20} = \frac{20}{20+1} = \frac{20}{21}$। ଉତ୍ତର: $\frac{20}{21}$ ✅

(b) $\frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} \dots$ ର 16 ଟି ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ

ସମାଧାନ: ଶେଷ ପଦଟି ହେବ $\frac{1}{(5+16-1)(5+16)} = \frac{1}{20 \times 21}$। ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $S_{16} = (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) = \frac{1}{5} - \frac{1}{21}$। $S_{16} = \frac{21 - 5}{105} = \frac{16}{105}$। ଉତ୍ତର: $\frac{16}{105}$ ✅

Question 3. (a) $7 \times 15 + 8 \times 20 + 9 \times 25 + \dots$ ର $t_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📐 Answers: ଏଠାରେ $t_n$ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ।

ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ($7, 8, 9, \dots$): $a=7, d=1 \Rightarrow t_n = 7 + (n-1)1 = n + 6$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀ ($15, 20, 25, \dots$): $a=15, d=5 \Rightarrow t_n = 15 + (n-1)5 = 5n + 10$ ।

ତେଣୁ $t_n = (n+6)(5n+10) = 5n^2 + 10n + 30n + 60 = 5n^2 + 40n + 60$।

ଉତ୍ତର: $5n^2 + 40n + 60$ ✅

(b) $6\Sigma n^2 + 4\Sigma n^3$ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🖊️ Answers: ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ଏବଂ $\Sigma n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ । $6[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}] + 4[\frac{n^2(n+1)^2}{4}] = n(n+1)(2n+1) + n^2(n+1)^2$। $= n(n+1)[(2n+1) + n(n+1)] = n(n+1)[n^2 + 3n + 1]$।

ଉତ୍ତର: $n(n+1)(n^2 + 3n + 1)$ ✅

(c) $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 \dots + n(n+1)$ ର $S_{20}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🔢 Answers: ସୂତ୍ର $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: ${}_{}$$S_{20} = \frac{20 \times 21 \times 22}{3} = 20 \times 7 \times 22 = 3080$।

ଉତ୍ତର: 3080 ✅

(d) $1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 \dots$ ର $t_n, S_n, S_{10}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📏 Answers:

$t_n = n(n+2) = n^2 + 2n$ । $S_n = \Sigma n^2 + 2\Sigma n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{2n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6}[2n + 1 + 6] = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$। $S_{10} = \frac{10 \times 11 \times 27}{6} = 5 \times 11 \times 9 = 495$।

ଉତ୍ତର: $t_n = n^2 + 2n$, $S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$, $S_{10} = 495$ ✅

Question 4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📝

Answers: (a) $1.1 + 2.3 + 3.5 + 4.7 + \dots$

ସମାଧାନ: $t_n = n(2n-1) = 2n^2 - n$। $S_n=2\mathrm{\Sigma }{n}^2-\mathrm{\Sigma }n$

$S_n = 2\Sigma n^2 - \Sigma n = 2[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6}[4n + 2 - 3] = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$।

ଉତ୍ତର: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$ ✅

(b) $1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + \dots$

ସମାଧାନ: $t_n = (2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1$

$S_n = 4\Sigma n^2 - \Sigma 1 = 4[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}] - n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

ଉତ୍ତର: $\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$ ✅

(c) $3.8 + 6.11 + 9.14 + \dots$

ସମାଧାନ: $t_n = 3n(3n+5) = 9n^2 + 15n$

$S_n=9\mathrm{\Sigma }{n}^2+15\mathrm{\Sigma }n$

$=9[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]+15[\frac{n(n+1)}{2}]$

$S_n = 9\Sigma n^2 + 15\Sigma n = 9[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}] + 15[\frac{n(n+1)}{2}] = \frac{3n(n+1)(2n+1 + 5)}{2} = 3n(n+1)(n+3)$।

ଉତ୍ତର: $3n(n+1)(n+3)$ ✅

(d) $1 + (1+3) + (1+3+5) + \dots$

ସମାଧାନ: $t_n = n^2$ (ପ୍ରଥମ $n$ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି) ।

$S_n = \Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ।

ଉତ୍ତର: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ✅

Question 5. 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ (i) ଗୋଟିଏ ଓ (ii) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📐

Answers: (i) ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1$): ଏଠାରେ $a = 15, b = 27$ । $M_1 = \frac{a + b}{2} = \frac{15 + 27}{2} = \frac{42}{2} = 21$ । ଉତ୍ତର: 21 ✅

(ii) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$): ଏଠାରେ $a = 15, b = 27, n = 2$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{b - a}{n + 1} = \frac{27 - 15}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4$ । $M_1 = a + d = 15 + 4 = 19$ । $M_2 = a + 2d = 15 + 2(4) = 15 + 8 = 23$ । ଉତ୍ତର: 19, 23 ✅

Question 6. 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ଓ (ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 🔢

Answers: (i) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$): ଏଠାରେ $a = 12, b = 36, n = 2$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{36 - 12}{2 + 1} = \frac{24}{3} = 8$ । $M_1 = 12 + 8 = 20$ । $M_2 = 12 + 2(8) = 12 + 16 = 28$ । ଉତ୍ତର: 20, 28 ✅

(ii) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3$): ଏଠାରେ $n = 3$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{36 - 12}{3 + 1} = \frac{24}{4} = 6$ । $M_1 = 12 + 6 = 18$ । $M_2 = 12 + 2(6) = 24$ । $M_3 = 12 + 3(6) = 30$ । ଉତ୍ତର: 18, 24, 30 ✅

Question 7. 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇଗୋଟି ଓ (ii) ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📏

Answers: (i) ଦୁଇଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2$): ଏଠାରେ $a = 6, b = 46, n = 2$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{46 - 6}{3} = \frac{40}{3}$ । $M_1 = 6 + \frac{40}{3} = \frac{18 + 40}{3} = \frac{58}{3} = 19.33$ । $M_2 = 6 + 2(\frac{40}{3}) = 6 + \frac{80}{3} = \frac{18 + 80}{3} = \frac{98}{3} = 32.66$ । ଉତ୍ତର: 19.33, 32.66 ✅

(ii) ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3, M_4$): ଏଠାରେ $n = 4$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{46 - 6}{5} = \frac{40}{5} = 8$ । $M_1 = 6 + 8 = 14$ । $M_2 = 6 + 16 = 22$ । $M_3 = 6 + 24 = 30$ । $M_4 = 6 + 32 = 38$ । ଉତ୍ତର: 14, 22, 30, 38 ✅

Question 8. 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟରେ (i) ତିନିଗୋଟି ଓ (ii) ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 📐

Answers: (i) ତିନିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3$): ଏଠାରେ $a = 5, b = 65, n = 3$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{65 - 5}{4} = \frac{60}{4} = 15$ । $M_1 = 5 + 15 = 20$ । $M_2 = 5 + 30 = 35$ । $M_3 = 5 + 45 = 50$ । ଉତ୍ତର: 20, 35, 50 ✅

(ii) ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ($M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$): ଏଠାରେ $n = 5$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{65 - 5}{6} = \frac{60}{6} = 10$ । $M_1 = 5 + 10 = 15$ । $M_2 = 5 + 20 = 25$ । $M_3 = 35, M_4 = 45, M_5 = 55$ । ଉତ୍ତର: 15, 25, 35, 45, 55 ✅

Question 9. 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଗୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର। 🖊️

Answers: ଏଠାରେ $a = 11, b = 71, n = 5$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{71 - 11}{5 + 1} = \frac{60}{6} = 10$ । $M_1 = 11 + 10 = 21$ । $M_2 = 11 + 20 = 31$ । $M_3 = 11 + 30 = 41$ । $M_4 = 11 + 40 = 51$ । $M_5 = 11 + 50 = 61$ । ଉତ୍ତର: 21, 31, 41, 51, 61 ✅

Question 10. 20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ n ସଂଖ୍ୟକ A.M. ଅଛି । ଯଦି ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ : ଶେଷ ମଧ୍ୟକ = 1:3 ହୁଏ ତେବେ, n ର ମାନ ସ୍ଥିର କର । ⚖️

Answers: ଏଠାରେ $a = 20, b = 80$ । ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{80 - 20}{n + 1} = \frac{60}{n + 1}$ । ପ୍ରଥମ ମଧ୍ୟକ ($M_1$) = $a + d = 20 + \frac{60}{n+1} = \frac{20n + 20 + 60}{n+1} = \frac{20n + 80}{n+1}$ । ଶେଷ ମଧ୍ୟକ ($M_n$) = $a + nd = 20 + n(\frac{60}{n+1}) = \frac{20n + 20 + 60n}{n+1} = \frac{80n + 20}{n+1}$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{M_1}{M_n} = \frac{1}{3}$ । $\frac{20n + 80}{80n + 20} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(20n + 80) = 80n + 20$ । $60n + 240 = 80n + 20 \Rightarrow 20n = 220 \Rightarrow n = 11$ । ଉତ୍ତର: 11 ✅

Question 11. A.P. ରେ ଥିବା ଚାରିଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 2 ଏବଂ ଆଦ୍ୟ ଓ ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟକ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳର 10 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହେବ । 📝

Answers: ମନେକର A.P. ର ସଂଖ୍ୟା ଚାରୋଟି ହେଲା: $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$ । ଯୋଗଫଳ $= 2 \Rightarrow (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 2 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0.5$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - 3d)(a + 3d) = 10 \times (a - d)(a + d)$ । $a^2 - 9d^2 = 10(a^2 - d^2) \Rightarrow a^2 - 9d^2 = 10a^2 - 10d^2$ । $d^2 = 9a^2 \Rightarrow d^2 = 9(0.5)^2 = 9(0.25) = 2.25 \Rightarrow d = \pm 1.5$ । ସଂଖ୍ୟା ଚାରୋଟି ($d = 1.5$ ପାଇଁ): $(0.5 - 4.5), (0.5 - 1.5), (0.5 + 1.5), (0.5 + 4.5) \Rightarrow -4, -1, 2, 5$ । ଉତ୍ତର: -4, -1, 2, 5 ✅