1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ। 🎯

(i) 1, 2, 3, 4, .... $t_8 =$ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 1, d = 1$ । ତେଣୁ $t_8 = a + 7d = 1 + 7(1) = 8$ ।

ଉତ୍ତର: (c) 8

(ii) 2, 4, 6, 8, .... $t_7 =$ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = 2, d = 2$ । ତେଣୁ $t_7 = a + 6d = 2 + 6(2) = 14$ ।

ଉତ୍ତର: (b) 14

(iii) -5, -3, -1, 1, .... $t_{11} =$ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a = -5, d = 2$ । ତେଣୁ $t_{11} = a + 10d = -5 + 10(2) = 15$ ।

ଉତ୍ତର: (b) 15

(iv) 3, 6, 9, .... $d =$ ସମାଧାନ: $d = t_2 - t_1 = 6 - 3 = 3$ ।

ଉତ୍ତର: (a) 3

(v) -4, -2, 0, 2, .... A.P. ରେ $d =$ ସମାଧାନ: $d = -2 - (-4) = 2$ ।

ଉତ୍ତର: (c) 2

(vi) 10.2, 10.4, 10.6, 10.8, .... ରେ $t_8 =$ ସମାଧାନ: $a = 10.2, d = 0.2$ । $t_8 = 10.2 + 7(0.2) = 10.2 + 1.4 = 11.6$ ।

ଉତ୍ତର: (d) 11.6

(vii) 2.5, 2.9, 3.3, 3.7, .... A.P. ରେ $d =$ ସମାଧାନ: $d = 2.9 - 2.5 = 0.4$ ।

ଉତ୍ତର: (d) 0.4

(viii) 3, x, 9, .... A.P. ରେ $x =$ ସମାଧାନ: $x = \frac{3+9}{2} = 6$ ।

ଉତ୍ତର: (c) 6

(ix) 1.01, 1.51, 2.01, 2.51, .... A.P. ରେ $d =$ ସମାଧାନ: $d = 1.51 - 1.01 = 0.5$ ।

ଉତ୍ତର: (b) 0.5

(x) 5, 0, -5, -10, .... A.P. ରେ $d =$ ସମାଧାନ: $d = 0 - 5 = -5$ ।

ଉତ୍ତର: (a) -5

2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁକ୍ରମ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ A.P. ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର। 🧐

(i) 1, 4, 7, 10, 15, 16, 19, 22

ସମାଧାନ: $4-1=3, 7-4=3, 10-7=3$, କିନ୍ତୁ $15-10=5$ । ତେଣୁ ଏହା A.P. ନୁହେଁ ।

(ii) 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50

ସମାଧାନ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର 7 ସମାନ ଅଛି। ତେଣୁ ଏହା A.P. ଅଟେ ।

(iii) 1, 6, 11, 15, 22, 28, 34, 40

ସମାଧାନ: $15-11=4$ (ଅନ୍ୟଗୁଡ଼ିକ 5) । ତେଣୁ ଏହା A.P. ନୁହେଁ ।

(iv) 1, 4, 7, 9, 11, 14, 17, 20

ସମାଧାନ: $9-7=2$ (ଅନ୍ୟଗୁଡ଼ିକ 3) । ତେଣୁ ଏହା A.P. ନୁହେଁ ।

(v) -5, -3, -1, 0, 2, 4, 6, 8

ସମାଧାନ: $0-(-1)=1$ (ଅନ୍ୟଗୁଡ଼ିକ 2) । ତେଣୁ ଏହା A.P. ନୁହେଁ ।

(vi) a, $a+d$, $a+2d$, $a+3d$, $a+4d$, $a+5d$, $a+6d$, $a+7d$

ସମାଧାନ: ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ପଦର ଅନ୍ତର $d$ ସମାନ। ତେଣୁ ଏହା A.P. ଅଟେ ।

(vii) 0.6, 0.8, 1.0, 1.5, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0

ସମାଧାନ: ଅନ୍ତର ସମାନ ନାହିଁ (0.2, 0.2, 0.5...) । ତେଣୁ ଏହା A.P. ନୁହେଁ ।

(viii) -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14

ସମାଧାନ: ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ପଦର ଅନ୍ତର 3 ସମାନ। ତେଣୁ ଏହା A.P. ଅଟେ ।

3. ପ୍ରଶ୍ନ 2 ରେ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ A.P. ସେମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (d) ନିରୂପଣ କର। 📐

ପ୍ରଶ୍ନ 2 ରୁ ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ (ii), (vi) ଏବଂ (viii) ହେଉଛି A.P. ।

(ii) ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 8 - 1 =$ 7 ।

(vi) ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = (a+d) - a =$ d ।

(viii) ପାଇଁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = -4 - (-7) =$ 3 ।

4. ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 5$ ହେଲେ A.P. ର ପ୍ରଥମ ଚାରିଗୋଟି ପଦ ଲେଖ ଯେପରିକି ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (d) ହେଉଛି: 🖊️

(i) $d = 5$ ସମାଧାନ: $t_1=5, t_2=5+5=10, t_3=10+5=15, t_4=15+5=20$ ।

ଉତ୍ତର: 5, 10, 15, 20 ।

(ii) $d = 4$ ସମାଧାନ: $t_1=5, t_2=5+4=9, t_3=9+4=13, t_4=13+4=17$ ।

ଉତ୍ତର: 5, 9, 13, 17 ।

(iii) $d = 2$ ସମାଧାନ: $t_1=5, t_2=5+2=7, t_3=7+2=9, t_4=9+2=11$ ।

ଉତ୍ତର: 5, 7, 9, 11 ।

(iv) $d = -2$ ସମାଧାନ: $t_1=5, t_2=5-2=3, t_3=3-2=1, t_4=1-2=-1$ ।

ଉତ୍ତର: 5, 3, 1, -1 ।

5. ଏକ A.P. ର n ତମ ପଦ $t_n$ ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ହୋଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $t_5, t_8$ ଓ $t_{10}$ କେତେ ନିରୂପଣ କର । 🔢

(i) $t_n = \frac{n+1}{2}$ $n=5$ ପାଇଁ $t_5 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $n=8$ ପାଇଁ $t_8 = \frac{8+1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ $n=10$ ପାଇଁ $t_{10} = \frac{10+1}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$

(ii) $t_n = -10 + 2n$ $n=5$ ପାଇଁ $t_5 = -10 + 2(5) = -10 + 10 = 0$ $n=8$ ପାଇଁ $t_8 = -10 + 2(8) = -10 + 16 = 6$ $n=10$ ପାଇଁ $t_{10} = -10 + 2(10) = -10 + 20 = 10$

(iii) $t_n = 10n + 5$ $n=5$ ପାଇଁ $t_5 = 10(5) + 5 = 50 + 5 = 55$ $n=8$ ପାଇଁ $t_8 = 10(8) + 5 = 80 + 5 = 85$ $n=10$ ପାଇଁ $t_{10} = 10(10) + 5 = 100 + 5 = 105$

(iv) $t_n = 4n - 6$ $n=5$ ପାଇଁ $t_5 = 4(5) - 6 = 20 - 6 = 14$ $n=8$ ପାଇଁ $t_8 = 4(8) - 6 = 32 - 6 = 26$ $n=10$ ପାଇଁ $t_{10} = 4(10) - 6 = 40 - 6 = 34$

6. ନିମ୍ନଲିଖିତ A.P. ଗଠନ କର (କେବଳ ଦ୍ଵିତୀୟ, ତୃତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପଦ ତ୍ରୟ ଆବଶ୍ୟକ) ଯେଉଁଠାରେ : 📐

(i) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 4$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 3$ $t_2 = a + d = 4 + 3 = 7$ $t_3 = a + 2d = 4 + 2(3) = 10$ $t_4 = a + 3d = 4 + 3(3) = 13$ ଉତ୍ତର: 7, 10, 13

(ii) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = -8$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = -2$ $t_2 = -8 + (-2) = -10$ $t_3 = -8 + 2(-2) = -12$ $t_4 = -8 + 3(-2) = -14$ ଉତ୍ତର: -10, -12, -14

(iii) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 7$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = -4$ $t_2 = 7 + (-4) = 3$ $t_3 = 7 + 2(-4) = -1$ $t_4 = 7 + 3(-4) = -5$ ଉତ୍ତର: 3, -1, -5

(iv) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 10$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 5$ $t_2 = 10 + 5 = 15$ $t_3 = 10 + 2(5) = 20$ $t_4 = 10 + 3(5) = 25$ ଉତ୍ତର: 15, 20, 25

(v) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = \frac{1}{2}$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \frac{3}{2}$ $t_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $t_3 = \frac{1}{2} + 2(\frac{3}{2}) = \frac{7}{2} = 3.5$ $t_4 = \frac{1}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{10}{2} = 5$ ଉତ୍ତର: 2, 3.5, 5

(vi) ପ୍ରଥମ ପଦ $a = \frac{1}{2}$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = -1$ $t_2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ $t_3 = \frac{1}{2} - 2 = -1.5$ $t_4 = \frac{1}{2} - 3 = -2.5$ ଉତ୍ତର: -0.5, -1.5, -2.5

7. ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ ବା ଠିକ୍ ଲେଖ । ✅❌

(a) 1, 2, 3, 4 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ସୃଷ୍ଟି କରନ୍ତି । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 1 ଅଟେ)

(b) 1, -1, 1, -1, ......... ଅନୁକ୍ରମଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ଅଟେ । ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ସମାନ ନାହିଁ)

(c) 2, 1, -1, -2 ସଂଖ୍ୟା ଚାରିଗୋଟି ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ବିଦ୍ୟମାନ । ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (ଅନ୍ତର ଯଥାକ୍ରମେ -1, -2, -1 ଅଟେ)

(d) ଯେଉଁ ଅନୁକ୍ରମର $t_n = n - 1$, ତାହା ଏକ A.P. ଅଟେ । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ଏହା ଏକ ରୈଖିକ ପରିପ୍ରକାଶ)

(e) ଯେଉଁ ଅନୁକ୍ରମର $S_n = \frac{n(n-1)}{2}$, ତାହା ଏକ A.P. ଅଟେ । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ସମଷ୍ଟି ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ପରିପ୍ରକାଶ ଅଟେ)

(f) ଯଦି କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 ହୁଏ, ତେବେ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ଗୋଟିଏ A.P. ଗଠନ କରିବେ । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର ସମାନ)

(g) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଗୋଟିଏ A.P. ରେ ରହିପାରିବେ । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ଉଦାହରଣ: 3, 4, 5)

(h) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି ନାହିଁ । ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ (ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଏକ A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି)

(i) 5 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଏକ A.P. ଅଟନ୍ତି । ଉତ୍ତର: ଠିକ୍ (ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର 5 ଅଟେ)

(j) 5, x, 9 ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ରହିଲେ $x = 6$ । ଉତ୍ତର: ଭୁଲ୍ ($x = \frac{5+9}{2} = 7$ ହେବ)

8. ସମଷ୍ଟି ($S_n$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର : 🔢

(a) $1+2+3+...$ ର $S_{30}$ ଏଠାରେ $a=1, d=1, n=30$ । $S_{30} = \frac{30}{2}[2(1) + (30-1)1] = 15[2 + 29] = 15 \times 31 = 465$ ।

ଉତ୍ତର: 465

(b) $1+3+5+...$ ର $S_{10}$ ଏହା ପ୍ରଥମ 10 ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି । $S_{10} = n^2 = 10^2 = 100$ ।

ଉତ୍ତର: 100

(c) $2+4+6+...$ ର $S_{15}$ ଏହା ପ୍ରଥମ 15 ଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି । $S_{15} = n(n+1) = 15(15+1) = 15 \times 16 = 240$ ।

ଉତ୍ତର: 240

(h) $-7-10-13- ...$ ର $S_{21}$ ଏଠାରେ $a=-7, d=-3, n=21$ । $S_{21} = \frac{21}{2}[2(-7) + (21-1)(-3)] = \frac{21}{2}[-14 - 60] = \frac{21}{2}(-74) = 21 \times (-37) = -777$ ।

ଉତ୍ତର: -777

(i) $10+6+2+...$ ର $S_{15}$ ଏଠାରେ $a=10, d=-4, n=15$ । $S_{15} = \frac{15}{2}[2(10) + (15-1)(-4)] = \frac{15}{2}[20 - 56] = \frac{15}{2}(-36) = 15 \times (-18) = -270$ ।

ଉତ୍ତର: -270

(j) $20+9-2+...$ ର $S_{25}$ ଏଠାରେ $a=20, d=-11, n=25$ । $S_{25} = \frac{25}{2}[2(20) + (25-1)(-11)] = \frac{25}{2}[40 - 264] = \frac{25}{2}(-224) = 25 \times (-112) = -2800$ ।

ଉତ୍ତର: -2800

9. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର : 📐

(a) $a=3, d=4, n=10$ ହେଲେ $S_{n}$ କେତେ ? ${}_{}$

$S_{10} = \frac{10}{2}[2(3) + 9(4)] = 5[6 + 36] = 5 \times 42 = 210$ ।

ଉତ୍ତର: 210

(b) ଯଦି $a=-5, d=-3$ ତେବେ $S_{17}$ କେତେ ?

$S_{17} = \frac{17}{2}[2(-5) + 16(-3)] = \frac{17}{2}[-10 - 48] = \frac{17}{2}(-58) = 17 \times (-29) = -493$ ।

ଉତ୍ତର: -493

(c) ଯଦି $t_{n}=2n-1$, ତେବେ ପ୍ରଥମ 5 ଟି ପଦ ଲେଖ ।

$t_1 = 2(1)-1=1$, $t_2=2(2)-1=3$, $t_3=5$, $t_4=7$, $t_5=9$ ।

ଉତ୍ତର: 1, 3, 5, 7, 9

(g) ଯଦି $S_{n}=n^{2}$ ତେବେ $t_{15}$ କେତେ ?

$t_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$ । $t_{15} = 2(15) - 1 = 29$ ।

ଉତ୍ତର: 29

(h) A.P. ରେ $a=3, d=4, S_{n}=903$, ତେବେ $n$ କେତେ ?

$903=\frac{n}{2}[2(3)+(n-1)4]$

$\Rightarrow 1806=n(4n+2)$

$903 = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)4] \Rightarrow 1806 = n(4n + 2) \Rightarrow 2n^2 + n - 903 = 0$ । ସମାଧାନ କଲେ $n = 21$ ।

ଉତ୍ତର: 21

(i) ଏକ A.P. ର $d=2, S_{15}=285$, ତେବେ $a$ କେତେ ? $\mathrm{}$

$285=\frac{15}{2}[2a+14(2)]$

$285 = \frac{15}{2}[2a + 14(2)] \Rightarrow 38 = 2a + 28 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5$ ।

ଉତ୍ତର: 5

10. ସମଷ୍ଟି ($S_n$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର : ✅

(i) 'ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା କୌଶଳରେ' ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(a) 1 ଠାରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 

ଏଠାରେ $a=1, l=105, n=105$ ।

$S = \frac{105}{2}(1 + 105) = 105 \times 53 = 5565$ ।

ଉତ୍ତର: 5565

(b) 25 ଠାରୁ 93 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା:

ଏଠାରେ $a=25, l=93$, ପଦ ସଂଖ୍ୟା $n = (93-25)+1 = 69$ ।

$S = \frac{69}{2}(25 + 93) = \frac{69}{2}(118) = 69 \times 59 = 4071$ ।

ଉତ୍ତର: 4071

(ii) 1, 2, 3, ....... ଅନୁକ୍ରମର:

(a) $S_{20} = \frac{20(21)}{2} = 210$ ।

(b) $S_{50} = \frac{50(51)}{2} = 1275$ ।

(iv) 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି:

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ: 2, 4, 6, ..., 98 ।

ଏଠାରେ $n = 49$ ।

$S_{49} = 49(50) = 2450$ ।

ଉତ୍ତର: 2450

(v) 150 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ: 1, 3, 5, ..., 149 ।

ଏଠାରେ $n = 75$ । $S_{75} = 75^2 = 5625$ ।

ଉତ୍ତର: 56

11. ଯେଉଁ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ ପଦ 17 ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର -2 ତାହାର କେତୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି 72 ହେବ? ଏହାର ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମିଳିବାର କାରଣ ଲେଖ। 🔢

ଦତ୍ତ ଅଛି: ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 17$, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = -2$, ଏବଂ ସମଷ୍ଟି $S_n = 72$ । ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $72 = \frac{n}{2} [2(17) + (n-1)(-2)]$ $\Rightarrow 144 = n [34 - 2n + 2]$ $\Rightarrow 144 = n [36 - 2n]$ $\Rightarrow 144 = 36n - 2n^2$ $\Rightarrow 2n^2 - 36n + 144 = 0$ $\Rightarrow n^2 - 18n + 72 = 0$ $\Rightarrow (n - 12)(n - 6) = 0$ ତେଣୁ $n = 6$ କିମ୍ବା $n = 12$ । ଦୁଇଟି ଉତ୍ତରର କାରଣ: ଏଠାରେ $t_7 + t_8 + t_9 + t_{10} + t_{11} + t_{12} = 0$ ଅଟେ । ଅର୍ଥାତ୍ ୭ମ ପଦ ଠାରୁ ୧୨ଶ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ହେଉଥିବାରୁ, ୬ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ଯାହା, ୧୨ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ମଧ୍ୟ ତାହା ହେଉଛି ।

12. (i) ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ 18 ଏବଂ ଗୁଣଫଳ 192 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର। 📐

ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ହେଲା: $(a - d), a, (a + d)$ ।

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - d) + a + (a + d) = 18$ $\Rightarrow 3a = 18 \Rightarrow a = 6$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - d) \times a \times (a + d) = 192$ $\Rightarrow (6 - d) \times 6 \times (6 + d) = 192$ $\Rightarrow 6(36 - d^2) = 192$ $\Rightarrow 36 - d^2 = 32 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$ ।

ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା (4, 6, 8) କିମ୍ବା (8, 6, 4) ।

12. (ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ଛଅଟି ପଦ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରାନ୍ତ ପଦଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ 16 ଏବଂ ମଧ୍ୟ ପଦଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 63 ହେଲେ, ପଦଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର। 📏

ମନେକର ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $(a - 5d), (a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d), (a + 5d)$ ।

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - 5d) + (a + 5d) = 16 \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $(a - d)(a + d) = 63 \Rightarrow a^2 - d^2 = 63$ $\Rightarrow 8^2 - d^2 = 63 \Rightarrow 64 - d^2 = 63 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1$ ।

ଉତ୍ତର: ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 3, 5, 7, 9, 11, 13 ।

13. ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ପଦର ଯୋଗଫଳ 21 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ 155; ପଦଗୁଡ଼ିକ କେତେ? 🧪

ମନେକର ପଦଗୁଡ଼ିକ $(a - d), a, (a + d)$ । ଯୋଗଫଳ: $3a = 21 \Rightarrow a = 7$ । ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି: $(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 155$ $\Rightarrow (7 - d)^2 + 7^2 + (7 + d)^2 = 155$ $\Rightarrow 49 - 14d + d^2 + 49 + 49 + 14d + d^2 = 155$ $\Rightarrow 147 + 2d^2 = 155 \Rightarrow 2d^2 = 8 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$ । ଉତ୍ତର: ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 5, 7, 9 କିମ୍ବା 9, 7, 5 ।

14. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 3:4:5 ହେବ । 📐

ମନେକର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $(a - d), a, (a + d)$ । ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ହେତୁ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ: $(a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2$ $\Rightarrow a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$ $\Rightarrow a^2 = 4ad \Rightarrow a = 4d$ ($a \neq 0$) । ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: $(4d - d), 4d, (4d + d) \Rightarrow 3d, 4d, 5d$ । ଉତ୍ତର: ସେମାନଙ୍କ ଅନୁପାତ $3d : 4d : 5d = 3:4:5$ (ପ୍ରମାଣିତ) ।

15. 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଏବଂ 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 💡

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 5, 10, 15, ..., 95 । ଏଠାରେ $a = 5, d = 5, l = 95$ । $t_n = a + (n-1)d \Rightarrow 95 = 5 + (n-1)5 \Rightarrow 90 = 5(n-1) \Rightarrow n = 19$ । ସମଷ୍ଟି $S_{19} = \frac{19}{2}(5 + 95) = \frac{19}{2} \times 100 = 19 \times 50 = 950$ । ଉତ୍ତର: ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି 950 ।

16. 200 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଓ 3 ଦ୍ଵାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ✅

ମୋଟ ଯୋଗଫଳ (1 ରୁ 199) - 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ (3 ରୁ 198) । (i) 1 ରୁ 199 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମଷ୍ଟି: $S = \frac{199(1 + 199)}{2} = 199 \times 100 = 19900$ । (ii) 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ (3, 6, ..., 198): ଏଠାରେ $n = 66$ । $S_{66} = \frac{66}{2}(3 + 198) = 33 \times 201 = 6633$ । ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଯୋଗଫଳ $= 19900 - 6633 = 13267$ ।

17. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4th ପଦ 18 ଏବଂ 15th ପଦ ଓ 9th ପଦର ଅନ୍ତର 30 ହେଲେ, A.P. ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📐 Step 1: ମନେକର ପ୍ରଥମ ପଦ $a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ । Step 2: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, $t_{15} - t_9 = 30$ $\Rightarrow (a + 14d) - (a + 8d) = 30$ $\Rightarrow 6d = 30 \Rightarrow d = 5$ । Step 3: ଦତ୍ତ ଅଛି $t_4 = 18$ $\Rightarrow a + 3d = 18 \Rightarrow a + 3(5) = 18 \Rightarrow a + 15 = 18 \Rightarrow a = 3$ । ଉତ୍ତର: A.P. ଟି ହେଉଛି 3, 8, 13, 18, ... । ✅

18. 10 ଏବଂ 250 ମଧ୍ୟରେ 4 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି?

🔢 Step 1: 10 ପରେ 4 ର ପ୍ରଥମ ଗୁଣିତକ $a = 12$ । Step 2: 250 ପୂର୍ବରୁ 4 ର ଶେଷ ଗୁଣିତକ $l = 248$ । Step 3: ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = 4$ । Step 4: $t_n = a + (n-1)d$ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $248 = 12 + (n-1)4 \Rightarrow 236 = 4(n-1) \Rightarrow n-1 = 59 \Rightarrow n = 60$ । ଉତ୍ତର: 60 ଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି । ✅

19. କେଉଁ n ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଦୁଇଟି A.P. 63, 65, 67, ... ଏବଂ 3, 10, 17, ... ର n-ତମ ପଦ ସମାନ ହେବ?

📏 Step 1: ପ୍ରଥମ A.P. ପାଇଁ $a=63, d=2$ । $t_n = 63 + (n-1)2 = 61 + 2n$ । Step 2: ଦ୍ୱିତୀୟ A.P. ପାଇଁ $a=3, d=7$ । $t_n = 3 + (n-1)7 = 7n - 4$ । Step 3: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ $61 + 2n = 7n - 4 \Rightarrow 65 = 5n \Rightarrow n = 13$ । ଉତ୍ତର: 13-ତମ ପଦ ସମାନ ହେବ । ✅

20. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3rd ପଦ 16 ଏବଂ 7th ପଦଟି 5th ପଦ ଅପେକ୍ଷା 12 ଅଧିକ ହେଲେ A.P. ଟି ଲେଖ ।

🖊️ Step 1: $t_7 - t_5 = 12 \Rightarrow (a+6d) - (a+4d) = 12 \Rightarrow 2d = 12 \Rightarrow d = 6$ । Step 2: $t_3 = 16 \Rightarrow a + 2d = 16 \Rightarrow a + 12 = 16 \Rightarrow a = 4$ । ଉତ୍ତର: A.P. ଟି ହେଉଛି 4, 10, 16, 22, ... । ✅

21. 3, 8, 13, ..., 253 A.P. ର ଶେଷ ପଦରୁ 20-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📐 Step 1: ଶେଷ ପଦରୁ n-ତମ ପଦ ସୂତ୍ର: $l - (n-1)d$ । Step 2: ଏଠାରେ $l = 253, d = 5, n = 20$ । Step 3: $253 - (20-1)5 = 253 - 19 \times 5 = 253 - 95 = 158$ । ଉତ୍ତର: 158 । ✅

22. ଗୋଟିଏ A.P. ର 4th ଏବଂ 8th ପଦର ସମଷ୍ଟି 24 ଏବଂ 6th ଓ 10th ପଦର ସମଷ୍ଟି 44 ହେଲେ ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ପଦ ଲେଖ ।

📝 Step 1: $t_4 + t_8 = 24 \Rightarrow (a+3d) + (a+7d) = 24 \Rightarrow 2a + 10d = 24 \Rightarrow a + 5d = 12$ (ସମୀକରଣ 1) । Step 2: $t_6 + t_{10} = 44 \Rightarrow 2a + 14d = 44 \Rightarrow a + 7d = 22$ (ସମୀକରଣ 2) । Step 3: ସମୀକରଣ 2 ରୁ 1 କୁ ବିୟୋଗ କଲେ, $2d = 10 \Rightarrow d = 5$ । Step 4: $a + 5(5) = 12 \Rightarrow a = 12 - 25 = -13$ । ଉତ୍ତର: -13, -8, -3 । ✅

23. 0 ଏବଂ 50 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🔢 Step 1: ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଲା 1, 3, 5, ..., 49 । ଏଠାରେ $a=1, d=2, l=49$ । Step 2: $49 = 1 + (n-1)2 \Rightarrow 48 = 2(n-1) \Rightarrow n = 25$ । Step 3: $S_{25} = n^2 = 25^2 = 625$ । ଉତ୍ତର: 625 । ✅

24. ଗୋଟିଏ A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ 5, ଶେଷ ପଦ 45 ଏବଂ ସମଷ୍ଟି 400 ହେଲେ ପଦ ସଂଖ୍ୟା (n) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

📏 Step 1: $S_n = \frac{n}{2}(a+l)$ । Step 2: $400 = \frac{n}{2}(5+45) \Rightarrow 400 = \frac{n}{2}(50) \Rightarrow 400 = 25n \Rightarrow n = 16$ । ଉତ୍ତର: 16 । ✅

25. 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପ୍ରଥମ 40 ଟି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

💡 Step 1: $a=7, d=7, n=40$ । Step 2: $S_{40} = \frac{40}{2}[2(7) + (40-1)7] = 20[14 + 39 \times 7] = 20[14 + 273] = 20 \times 287 = 5740$ । ଉତ୍ତର: 5740 । ✅

26. 8 ର ପ୍ରଥମ 15 ଟି ଗୁଣିତକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

🔢 Step 1: $a=8, d=8, n=15$ । Step 2: $S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15-1)8] = \frac{15}{2}[16 + 14 \times 8] = \frac{15}{2}[16 + 112] = \frac{15}{2} \times 128 = 15 \times 64 = 960$ । ଉତ୍ତର: 960 । ✅

27. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_n = 4n - n^2$ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର 10-ତମ ପଦ କେତେ?

🖊️ Step 1: $t_n = S_n - S_{n-1}$ । Step 2: $t_{10} = S_{10} - S_9$ । Step 3: $S_{10} = 4(10) - 10^2 = 40 - 100 = -60$ । Step 4: $S_9 = 4(9) - 9^2 = 36 - 81 = -45$ । Step 5: $t_{10} = -60 - (-45) = -15$ । ଉତ୍ତର: -15 । ✅

28. ଗୋଟିଏ A.P. ର 3rd ପଦ 5 ଏବଂ 7th ପଦ 9 ହେଲେ, ପ୍ରଥମ 17 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

📐 Step 1: $a+2d=5$ ଏବଂ $a+6d=9$ । ବିୟୋଗ କଲେ $4d=4 \Rightarrow d=1$ ଏବଂ $a=3$ । Step 2: $S_{17} = \frac{17}{2}[2(3) + (17-1)1] = \frac{17}{2}[6 + 16] = \frac{17}{2} \times 22 = 17 \times 11 = 187$ । ଉତ୍ତର: 187 । ✅