📊 ସମସ୍ୟା ଓ ସମୀକରଣ ଗଠନ ସାରଣୀ (Table of Problem Types)

📘 ଅନୁଶୀଳନୀ 2(b) ର ସବିଶେଷ ସମାଧାନ

ପ୍ରଶ୍ନର ପ୍ରକାର	ଗାଣିତିକ ରୂପାନ୍ତରଣ (Mathematical Formulation)
ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ (Reciprocal)	ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ହୁଏ, ତେବେ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ $\frac{1}{x}$ ହେବ।
କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା	ପ୍ରଥମଟି $x$ ହେଲେ, ଦ୍ଵିତୀୟଟି $(x+1)$ ହେବ।
ବର୍ଗମୂଳ ଥିବା ସମୀକରଣ	ଦ୍ବିଘାତ ରୂପ ଆଣିବା ପାଇଁ $\sqrt{x} = y$ ନିଆଯାଏ ଅଥବା ବର୍ଗ (square) କରାଯାଏ।
ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା	ଦଶକ ଅଙ୍କ $x$ ଓ ଏକକ ଅଙ୍କ $y$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ଅଟେ।

1. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି 2 । ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ $x$ ନେଇ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $x$। ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ହେବ $\frac{1}{x}$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 2 ଅଟେ:

$x + \frac{1}{x} = 2$

$\Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 + 1 = 2x$

$\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$

ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $x^2 - 2x + 1 = 0$ ଅଟେ।

(ii) ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 20 । ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକୁ $y$ ନେଇ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $y$। ତେଣୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $(y + 1)$। ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 20 ଅଟେ:

$y(y + 1) = 20$

$\Rightarrow y^2 + y = 20$

$\Rightarrow y^2 + y - 20 = 0$

ଉତ୍ତର: ଆବଶ୍ୟକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $y^2 + y - 20 = 0$ ଅଟେ।

(iii) ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 72 । ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ $x$ ନେଇ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $x$। ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18 ହୋଇଥିବାରୁ, ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $(18 - x)$। ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 72 ଅଟେ:

$x(18 - x) = 72$

$\Rightarrow 18x - x^2 = 72$

ସବୁ ପଦକୁ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣିଲେ:

$x^2 - 18x + 72 = 0$

ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମୀକରଣଟି $x^2 - 18x + 72 = 0$ ଅଟେ।

(iv) କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ବର୍ଗ ସମାନ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି $x$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏହାର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ:

$x = x^2$

$\Rightarrow x^2 - x = 0$

$\Rightarrow x(x - 1) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = 0$ କିମ୍ବା $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$। ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାଟି 0 କିମ୍ବା 1 ଅଟେ।

(v) ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି $S=\frac{n(n+1)}{2}$ । ଯଦି $S=120$, ତେବେ $n$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର ।

• ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $S = 120$ କୁ ସ୍ଥାପନ କଲେ:

$\frac{n(n + 1)}{2} = 120$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$n(n + 1) = 240$

$\Rightarrow n^2 + n - 240 = 0$

ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $n^2 + n - 240 = 0$ ଅଟେ।

(vi) $\sqrt{x} + x = 6$ କୁ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

• ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ହେଉଛି $\sqrt{x} + x = 6$। ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

$\sqrt{x} = 6 - x$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ (square) କଲେ:

$(\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2$

$\Rightarrow x = 36 - 12x + x^2$

$\Rightarrow x^2 - 13x + 36 = 0$

ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $x^2 - 13x + 36 = 0$ ଅଟେ।

(vii) $\sqrt{x+9} + 3 = x$ କୁ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

• ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣଟିକୁ ସଜାଇଲେ:

$\sqrt{x + 9} = x - 3$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କଲେ:

$x + 9 = (x - 3)^2$

$\Rightarrow x + 9 = x^2 - 6x + 9$

$\Rightarrow x^2 - 6x - x + 9 - 9 = 0$

$\Rightarrow x^2 - 7x = 0$

ଉତ୍ତର: ଆବଶ୍ୟକ ସମୀକରଣଟି $x^2 - 7x = 0$ ଅଟେ।

2. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗମୂଳ ଅପେକ୍ଷା 12 ଅଧିକ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $x$। ତାହାର ବର୍ଗମୂଳ ହେବ $\sqrt{x}$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$x - \sqrt{x} = 12 \Rightarrow x - 12 = \sqrt{x}$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କଲେ:

$(x - 12)^2 = (\sqrt{x})^2$

$\Rightarrow x^2 - 24x + 144 = x$

$\Rightarrow x^2 - 25x + 144 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$x^2 - 16x - 9x + 144 = 0 \Rightarrow x(x - 16) - 9(x - 16) = 0 \Rightarrow (x - 16)(x - 9) = 0$

ତେଣୁ $x = 16$ କିମ୍ବା $x = 9$। ଯଦି $x = 9$ ନେବା, ତେବେ $9 - \sqrt{9} = 9 - 3 = 6$ (ଯାହା 12 ସହ ସମାନ ନୁହେଁ)। ତେଣୁ $x = 9$ ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ ନୁହେଁ। ଯଦି $x = 16$ ନେବା, ତେବେ $16 - \sqrt{16} = 16 - 4 = 12$। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 16 ଅଟେ।

(ii) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{41}{20}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି $x$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$x + \frac{1}{x} = \frac{41}{20} \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{41}{20}$

$\Rightarrow 20(x^2 + 1) = 41x \Rightarrow 20x^2 - 41x + 20 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ ($25 \times 16 = 400$):

$20x^2 - 25x - 16x + 20 = 0 \Rightarrow 5x(4x - 5) - 4(4x - 5) = 0 \Rightarrow (5x - 4)(4x - 5) = 0$

ଏଥିରୁ ମିଳିବ $x = \frac{4}{5}$ କିମ୍ବା $x = \frac{5}{4}$। ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟାଟି $\frac{4}{5}$ କିମ୍ବା $\frac{5}{4}$ ଅଟେ।

(iii) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ $\frac{11}{30}$ ହେଲେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ଗଠନ କରି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୂପଣ କର ।

• ସମାଧାନ: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $x$ ଏବଂ $x + 1$। ସେମାନଙ୍କ ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ଯୋଗଫଳ:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{11}{30}$

$\Rightarrow \frac{x + 1 + x}{x(x + 1)} = \frac{11}{30} \Rightarrow \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{11}{30}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$30(2x + 1) = 11(x^2 + x) \Rightarrow 60x + 30 = 11x^2 + 11x$

$\Rightarrow 11x^2 - 49x - 30 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$11x^2 - 55x + 6x - 30 = 0 \Rightarrow 11x(x - 5) + 6(x - 5) = 0 \Rightarrow (11x + 6)(x - 5) = 0$

ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ $x = 5$। ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $5 + 1 = 6$। ଉତ୍ତର: ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି $11x^2 - 49x - 30 = 0$ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 5 ଓ 6 ଅଟେ।

(iv) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତକ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{23}{132}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଏବଂ $x + 1$।

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{23}{132}$

$\Rightarrow \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{23}{132}$

$132(2x + 1) = 23(x^2 + x) \Rightarrow 264x + 132 = 23x^2 + 23x$

$\Rightarrow 23x^2 - 241x - 132 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ ($23 \times 11 = 253$ ଏବଂ $12$):

$23x^2 - 253x + 12x - 132 = 0 \Rightarrow 23x(x - 11) + 12(x - 11) = 0 \Rightarrow (23x + 12)(x - 11) = 0$

ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥିବାରୁ $x = 11$। ଅନ୍ୟଟି ହେବ 12। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 11 ଓ 12 ଅଟେ।

(v) ଯଦି 51 କୁ ଦୁଇଭାଗ କଲେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 378 ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ଭାଗ ହେଉଛି $x$। ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଭାଗଟି ହେବ $(51 - x)$। ଗୁଣଫଳ:

$x(51 - x) = 378 \Rightarrow 51x - x^2 = 378 \Rightarrow x^2 - 51x + 378 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (42 ଏବଂ 9):

$x^2 - 42x - 9x + 378 = 0 \Rightarrow x(x - 42) - 9(x - 42) = 0 \Rightarrow (x - 42)(x - 9) = 0$

ତେଣୁ $x = 42$ କିମ୍ବା $x = 9$। ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ 42 ଏବଂ 9 ଅଟେ।

---

3. ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 3 ଗୁଣ । ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି ଦଶକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ଠାରୁ 2 ବୃହତ୍ତର । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିରୂପଣ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ହେଉଛି $x$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି ଦଶକ ଅଙ୍କଠାରୁ 2 ବଡ଼, ଅର୍ଥାତ୍ ଏକକ ଅଙ୍କ ହେବ $(x + 2)$। ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: $10x + (x + 2) = 11x + 2$। ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ ହେବ: $x(x + 2) = x^2 + 2x$।

ପ୍ରଶ୍ନର ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ସଂଖ୍ୟାଟି ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର 3 ଗୁଣ ଅଟେ:

$11x + 2 = 3(x^2 + 2x)$

$\Rightarrow 11x + 2 = 3x^2 + 6x$

ସବୁ ପଦକୁ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣିଲେ:

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (3x2=6):

$3x^2 - 6x + x - 2 = 0$

$\Rightarrow 3x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$

$\Rightarrow (3x + 1)(x - 2) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = 2$ କିମ୍ବା $x = -\frac{1}{3}$। ଯେହେତୁ ଅଙ୍କ କେବେହେଲେ ଭଗ୍ନାଂଶ ବା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $x = 2$। ଏକକ ଅଙ୍କ ହେବ $x + 2 = 2 + 2 = 4$। ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଲା 24। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 24 ଅଟେ।

---

4. ଗୋଟିଏ ପରିବାରରେ, ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ, ବିଟା ଓ ଗାମାର ବୟସର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ । ଯଦି ବିଟା, ଗାମା ଠାରୁ 1 ବର୍ଷ ବଡ଼ ହୁଏ ଏବଂ ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ 42 ହୁଏ, ତେବେ 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ କେତେ ହେବ ?

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଗାମାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $= x$ ବର୍ଷ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ବିଟା, ଗାମା ଠାରୁ 1 ବର୍ଷ ବଡ଼, ତେଣୁ ବିଟାର ବୟସ $= (x + 1)$ ବର୍ଷ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ = ବିଟାର ବୟସ $\times$ ଗାମାର ବୟସ $= x(x + 1)$ । ଦିଆଯାଇଛି, ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ 42 ବର୍ଷ । ସମୀକରଣଟି ହେବ:

$x(x + 1) = 42$

$\Rightarrow x^2 + x - 42 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (7 ଏବଂ -6):

$x^2 + 7x - 6x - 42 = 0$

$\Rightarrow x(x + 7) - 6(x + 7) = 0$

$\Rightarrow (x + 7)(x - 6) = 0$

ଏଥିରୁ $x = -7$ କିମ୍ବା $x = 6$ । ଯେହେତୁ ବୟସ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ଗାମାର ବୟସ $x = 6$ ବର୍ଷ । ତେଣୁ ବିଟାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $= 6 + 1 = 7$ ବର୍ଷ । ଆମକୁ 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ: 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ $= 7 + 5 = 12$ ବର୍ଷ । ଉତ୍ତର: 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ 12 ବର୍ଷ ହେବ

5. କୌଣସି ଏକ ଅରଣ୍ୟରେ ବାସ କରୁଥିବା ମର୍କଟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସେମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଅଷ୍ଟମାଂଶର ବର୍ଗ କ୍ରୀଡ଼ାରତ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ ବାରଟି ମର୍କଟ ଏକ ଶୃଙ୍ଗ ଉପରେ ବସିଥିଲେ । ଅରଣ୍ୟରେ ସମ୍ଭବତଃ କେତେ ମର୍କଟ ଥିଲେ ?

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଅରଣ୍ୟରେ ସର୍ବମୋଟ ମର୍କଟ ସଂଖ୍ୟା $= x$ । କ୍ରୀଡ଼ାରତ ମର୍କଟ ସଂଖ୍ୟା = ମୋଟ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଅଷ୍ଟମାଂଶର ବର୍ଗ $= \left(\frac{x}{8}\right)^2 = \frac{x^2}{64}$ । ଶୃଙ୍ଗ ଉପରେ ବସିଥିବା ମର୍କଟ ସଂଖ୍ୟା $= 12$ । ସମୁଦାୟ ମର୍କଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ଏହି ଦୁଇଟିର ସମଷ୍ଟି:

$x = \frac{x^2}{64} + 12$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 64 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ:

$64x = x^2 + 768$

ସବୁ ପଦକୁ ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଆଣିଲେ:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

ଏବେ ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା (48 ଏବଂ 16 ମାଧ୍ୟମରେ, କାରଣ $48 \times 16 = 768$ ଏବଂ $48 + 16 = 64$):

$x^2 - 48x - 16x + 768 = 0$

$\Rightarrow x(x - 48) - 16(x - 48) = 0$

$\Rightarrow (x - 48)(x - 16) = 0$

ତେଣୁ $x = 48$ କିମ୍ବା $x = 16$ । ଉଭୟ ଉତ୍ତର ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ । ଉତ୍ତର: ଅରଣ୍ୟରେ ସମ୍ଭବତଃ 16 କିମ୍ବା 48 ଟି ମର୍କଟ ଥିଲେ ।

6. ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 30 ବ.ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 7 ସେ.ମି. ଅଧିକ ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= x$ ସେ.ମି. । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଉଚ୍ଚତା $= (x + 7)$ ସେ.ମି. । ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$ ।

$\frac{1}{2} \times x \times (x + 7) = 30$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$x(x + 7) = 60$

$\Rightarrow x^2 + 7x - 60 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (12 ଏବଂ -5):

$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$

$\Rightarrow x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$

$\Rightarrow (x + 12)(x - 5) = 0$

ଏଥିରୁ ମିଳିବ $x = -12$ କିମ୍ବା $x = 5$ । ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 5$ । ଉତ୍ତର: ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

7. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣର ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $5x$ ସେ.ମି. ଓ $(3x–1)$ ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ତେବେ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$ (ଯାହାକି ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ ଅଟନ୍ତି) । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$\frac{1}{2} \times (5x) \times (3x - 1) = 60$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$5x(3x - 1) = 120$

$\Rightarrow 15x^2 - 5x - 120 = 0$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$3x^2 - x - 24 = 0$

ଏବେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିବା ($3 \times (-24) = -72$ କୁ ଏପରି ଭାଙ୍ଗିବା ଯାହାର ସମଷ୍ଟି -1 ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ -9 ଏବଂ 8):

$3x^2 - 9x + 8x - 24 = 0$

$\Rightarrow 3x(x - 3) + 8(x - 3) = 0$

$\Rightarrow (3x + 8)(x - 3) = 0$

ତେଣୁ $x = -\frac{8}{3}$ କିମ୍ବା $x = 3$ । ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ $x$ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, ତେଣୁ $x = 3$ । ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ: ପ୍ରଥମ ବାହୁ $= 5x = 5(3) = 15$ ସେ.ମି. । ଦ୍ଵିତୀୟ ବାହୁ $= 3x - 1 = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8$ ସେ.ମି. । ଉତ୍ତର: ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 8 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

8. $n$ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $\frac{1}{2}n(n-3)$ । ଯଦି ବହୁଭୁଜର 54 ଟି କର୍ଣ୍ଣ ରହିବ, ତେବେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?

• ସମାଧାନ: ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $= 54$ ।

$\frac{1}{2}n(n - 3) = 54$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$n(n - 3) = 108$

$\Rightarrow n^2 - 3n - 108 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (-12 ଏବଂ 9):

$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$

$\Rightarrow n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$

$\Rightarrow (n - 12)(n + 9) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $n = 12$ କିମ୍ବା $n = -9$ । ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ। ତେଣୁ $n = 12$ । ଉତ୍ତର: ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 12 ଅଟେ ।

9 ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି 468 ବ.ମି. ଏବଂ ପରିସୀମାଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 24 ମି. ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ବଡ଼ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ $= x$ ମିଟର ଏବଂ ଛୋଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ $= y$ ମିଟର । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି:

$x^2 + y^2 = 468 \quad \text{.........(i)}$

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର (ପରିସୀମା $= 4 \times \text{ବାହୁ}$):

$4x - 4y = 24$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$x - y = 6 \Rightarrow x = y + 6$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି $x$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$(y + 6)^2 + y^2 = 468$

$\Rightarrow y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468$

$\Rightarrow 2y^2 + 12y + 36 - 468 = 0$

$\Rightarrow 2y^2 + 12y - 432 = 0$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$y^2 + 6y - 216 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (18 ଏବଂ -12):

$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0$

$\Rightarrow y(y + 18) - 12(y + 18) = 0$

$\Rightarrow (y + 18)(y - 12) = 0$

ଏଥିରୁ $y = -18$ କିମ୍ବା $y = 12$ । ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $y = 12$ ମିଟର । ବଡ଼ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ $x = 12 + 6 = 18$ ମିଟର । ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ୱୟର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 18 ମିଟର ଏବଂ 12 ମିଟର ଅଟେ ।

10. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ତାଙ୍କ ଚାଲିବାର ବେଗକୁ ଯଦି ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି 1 କି.ମି. ବୃଦ୍ଧି କରେ ତେବେ 2 କି.ମି. ରାସ୍ତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ 10 ମିନିଟ୍ କମ୍ ସମୟ ନେଇଥାନ୍ତା । ତେବେ ବ୍ୟକ୍ତିର ଚାଲିବାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ସ୍ଥିର କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ବ୍ୟକ୍ତିଟିର ମୂଳ ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି $= x$ କି.ମି. । ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ଥିବା ଦୂରତା $= 2$ କି.ମି. । ମୂଳ ସମୟ (ସମୟ = ଦୂରତା/ବେଗ) $= \frac{2}{x}$ ଘଣ୍ଟା । ଯଦି ବେଗ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି 1 କି.ମି. ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଏ, ନୂତନ ବେଗ $= (x + 1)$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା । ନୂତନ ସମୟ $= \frac{2}{x + 1}$ ଘଣ୍ଟା । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସମୟର ଅନ୍ତର 10 ମିନିଟ୍ ଅଟେ (ଯାହାକି $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ ଘଣ୍ଟା) :

$\frac{2}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1}{6}$

ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସରଳ କଲେ:

$\frac{2(x + 1) - 2x}{x(x + 1)} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{2x + 2 - 2x}{x^2 + x} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{2}{x^2 + x} = \frac{1}{6}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$x^2 + x = 12$

$\Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (4 ଏବଂ -3):

$x^2 + 4x - 3x - 12 = 0$

$\Rightarrow x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$

$\Rightarrow (x + 4)(x - 3) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = -4$ କିମ୍ବା $x = 3$ । ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 3$ । ଉତ୍ତର: ବ୍ୟକ୍ତିଟିର ମୂଳ ଚାଲିବାର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 3 କି.ମି. ଅଟେ ।

---

11. ଏକ ନୌକାର ବେଗ ସ୍ଥିର ଜଳରେ 15 କି.ମି. ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟା। ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 30 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରି ପୁନଶ୍ଚ (ଅନୁକୂଳରେ) ଫେରି ଆସିବାକୁ 4 ଘଣ୍ଟା 30 ମି. ସମୟ ନେଲା । ତେବେ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ସ୍ରୋତର ବେଗ $= x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ସ୍ଥିର ଜଳରେ ନୌକାର ବେଗ $= 15$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ $= (15 + x)$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ ପ୍ରତିକୂଳରେ ବେଗ $= (15 - x)$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ଦୂରତା $= 30$ କି.ମି. ଏବଂ ମୋଟ ସମୟ $= 4$ ଘଣ୍ଟା 30 ମିନିଟ୍ $= 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ଘଣ୍ଟା। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସମୀକରଣଟି ହେବ:

$\frac{30}{15 - x} + \frac{30}{15 + x} = \frac{9}{2}$

ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସରଳ କଲେ:

$\frac{30(15 + x) + 30(15 - x)}{(15 - x)(15 + x)} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{450 + 30x + 450 - 30x}{225 - x^2} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{900}{225 - x^2} = \frac{9}{2}$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 9 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$\frac{100}{225 - x^2} = \frac{1}{2}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$225 - x^2 = 200 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$

(ଯେହେତୁ ସ୍ରୋତର ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 5$) ଉତ୍ତର: ସ୍ରୋତର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 5 କି.ମି. ଅଟେ।

12. ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟକ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ 250 ଟଙ୍କାକୁ ସମାନ ଭାଗରେ ବଣ୍ଟାଗଲା । ଯଦି 25 ଜଣ ଛାତ୍ର ଅଧୂକ ହୋଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ 0.50 ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ କମ୍ ପାଇଥାନ୍ତେ । ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ମୂଳ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $= x$। ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛାତ୍ର ପାଉଥିବା ଟଙ୍କା $= \frac{250}{x}$। ଯଦି 25 ଜଣ ଅଧିକ ହୋଇଥାନ୍ତେ, ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $(x + 25)$ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକେ ପାଆନ୍ତେ $\frac{250}{x + 25}$ ଟଙ୍କା। ଉଭୟ ଅର୍ଥର ପ୍ରଭେଦ 0.50 ଟଙ୍କା ଅଟେ:

$\frac{250}{x} - \frac{250}{x + 25} = 0.50$

$\Rightarrow 250 \left( \frac{x + 25 - x}{x(x + 25)} \right) = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{250 \times 25}{x^2 + 25x} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{6250}{x^2 + 25x} = \frac{1}{2}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$x^2 + 25x = 12500 \Rightarrow x^2 + 25x - 12500 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (125 ଏବଂ -100):

$x^2 + 125x - 100x - 12500 = 0$

$\Rightarrow x(x + 125) - 100(x + 125) = 0 \Rightarrow (x + 125)(x - 100) = 0$

ଏଥିରୁ $x = -125$ କିମ୍ବା $x = 100$ ମିଳିବ। ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ନୁହେଁ। ଉତ୍ତର: ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 100 ଅଟେ।

13. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ତୁ ଅପେକ୍ଷା 8 ମିଟର ଅଧୂକ । କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 240 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା କେତେ ?

• ସମାଧାନ: ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ $= x$ ମିଟର। ତେଣୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ $= (x + 8)$ ମିଟର। କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$x(x + 8) = 240$

$\Rightarrow x^2 + 8x - 240 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (20 ଏବଂ -12):

$x^2 + 20x - 12x - 240 = 0$

$\Rightarrow x(x + 20) - 12(x + 20) = 0 \Rightarrow (x + 20)(x - 12) = 0$

ପ୍ରସ୍ଥ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 12$ ମିଟର (ପ୍ରସ୍ଥ)। ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 12 + 8 = 20$ ମିଟର। ପରିସୀମା $= 2 \times (\text{ଦୈର୍ଘ୍ୟ} + \text{ପ୍ରସ୍ଥ}) = 2(20 + 12) = 2 \times 32 = 64$ ମିଟର। ଉତ୍ତର: ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା 64 ମିଟର ଅଟେ।

14. ଏକ ରେଳଗାଡ଼ି 300 କି.ମି. ଦୀର୍ଘ ଯାତ୍ରା ପଥରେ ସମାନ ବେଗରେ ଗତି କରୁଥିଲା । ଯଦି ଗାଡ଼ିର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 5 କି.ମି. ଅଧୂକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ଗାଡ଼ିଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟର 2 ଘଣ୍ଟା ପୂର୍ବରୁ ଯଥା ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚୁଥାନ୍ତା । ତେବେ ଗାଡ଼ିର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିରୂପଣ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ରେଳଗାଡ଼ିର ମୂଳ ବେଗ $= x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ମୂଳ ସମୟ $= \frac{300}{x}$ ଘଣ୍ଟା। ନୂତନ ବେଗ $= (x + 5)$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ ନୂତନ ସମୟ $= \frac{300}{x + 5}$ ଘଣ୍ଟା। ସମୟର ପ୍ରଭେଦ 2 ଘଣ୍ଟା:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} = 2$

$\Rightarrow 300 \left( \frac{x + 5 - x}{x(x + 5)} \right) = 2$

$\Rightarrow \frac{1500}{x^2 + 5x} = 2$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$2x^2 + 10x = 1500 \Rightarrow x^2 + 5x - 750 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (30 ଏବଂ -25):

$x^2 + 30x - 25x - 750 = 0 \Rightarrow (x + 30)(x - 25) = 0$

ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 25$। ଉତ୍ତର: ରେଳଗାଡ଼ିର ମୂଳ ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 25 କି.ମି. ଅଟେ।

15. ଏକ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ 16 ମିଟର ଓ ପଡ଼ିଆର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ସମାନ ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ଯଦି ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 230 ବର୍ଗମିଟର ହୁଏ ତେବେ ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• ସମାଧାନ: ମନେକର ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା $= x$ ମିଟର। ରାସ୍ତା ସମେତ ପଡ଼ିଆର ସମୁଦାୟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= (25 + 2x)$ ମିଟର ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $= (16 + 2x)$ ମିଟର। ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= (25 + 2x)(16 + 2x)$ ବର୍ଗମିଟର। କେବଳ ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 25 \times 16 = 400$ ବର୍ଗମିଟର। ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ।

$(25 + 2x)(16 + 2x) - 400 = 230$

ଗୁଣନ କଲେ:

$400 + 50x + 32x + 4x^2 - 400 = 230$

$\Rightarrow 4x^2 + 82x - 230 = 0$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$2x^2 + 41x - 115 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (46 ଏବଂ -5):

$2x^2 + 46x - 5x - 115 = 0$

$\Rightarrow 2x(x + 23) - 5(x + 23) = 0 \Rightarrow (2x - 5)(x + 23) = 0$

ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$ ମିଟର। ଉତ୍ତର: ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା 2.5 ମିଟର ଅଟେ।

16. କେତେକ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଏକ ବଣ ଭୋଜିର ଆୟୋଜନ କଲେ । ଖାଦ୍ୟ ଅଟକଳ (Budget) 480 ଟଙ୍କା ଥିଲା । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 8 ଜଣ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଗଲେ ନାହିଁ; ଯାହା ଫଳରେ ଖାଦ୍ୟ ବାବଦ ଖର୍ଚ୍ଚ ଜଣପିଚ୍ଛା 10 ଟଙ୍କା ବଢ଼ିଗଲା । ତେବେ କେତେଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିଲେ ?

• ସମାଧାନ: ମନେକର ମୂଳତଃ ଯୋଜନା କରିଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $= x$। ମୂଳ ଜଣପିଚ୍ଛା ଖର୍ଚ୍ଚ $= \frac{480}{x}$ ଟଙ୍କା। 8 ଜଣ ନଯିବାରୁ, ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିବା ପ୍ରକୃତ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $= (x - 8)$। ସେମାନଙ୍କର ଜଣପିଚ୍ଛା ଖର୍ଚ୍ଚ $= \frac{480}{x - 8}$ ଟଙ୍କା। ଖର୍ଚ୍ଚର ପ୍ରଭେଦ 10 ଟଙ୍କା:

$\frac{480}{x - 8} - \frac{480}{x} = 10$

$\Rightarrow 480 \left( \frac{x - (x - 8)}{x(x - 8)} \right) = 10$

$\Rightarrow 48 \left( \frac{8}{x^2 - 8x} \right) = 1$

ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ:

$x^2 - 8x = 384 \Rightarrow x^2 - 8x - 384 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (-24 ଏବଂ 16):

$x^2 - 24x + 16x - 384 = 0 \Rightarrow (x - 24)(x + 16) = 0$

ଯେହେତୁ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ମୂଳ ଯୋଜନା କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $x = 24$। କିନ୍ତୁ ପ୍ରଶ୍ନଟି ପଚାରିଛି, କେତେଜଣ ବଣ ଭୋଜିକୁ ଯାଇଥିଲେ? ପ୍ରକୃତରେ ଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା $= 24 - 8 = 16$ ଜଣ। ଉତ୍ତର: ବଣ ଭୋଜିକୁ 16 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଯାଇଥିଲେ।

---

📝 ୧୭. ସମାଧାନ କର :

(i) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120$

• ସମାଧାନ: ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଗୁଣନ କରିବା:

$(x+1)(x+4) \times (x+2)(x+3) = 120$

$\Rightarrow (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 120$

ମନେକର $y = x^2 + 5x$। ତେବେ ସମୀକରଣଟି ହେବ:

$(y + 4)(y + 6) = 120 \Rightarrow y^2 + 10y + 24 - 120 = 0 \Rightarrow y^2 + 10y - 96 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (16 ଏବଂ -6):

$(y + 16)(y - 6) = 0 \Rightarrow y = -16, 6$

ଯଦି $y = 6$: $x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 6)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -6, 1$ ଯଦି $y = -16$: $x^2 + 5x + 16 = 0$ (ଏହାର ପ୍ରଭେଦକ ଋଣାତ୍ମକ, ତେଣୁ ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ)। ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $1, -6$ ଅଟେ।

---

(ii) $5\sqrt{\frac{3}{x}}+7\sqrt{\frac{x}{3}}=22\frac{2}{3}$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = \sqrt{\frac{3}{x}}$। ତେଣୁ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ହେବ $\frac{1}{y} = \sqrt{\frac{x}{3}}$।

$5y + \frac{7}{y} = \frac{68}{3} \Rightarrow \frac{5y^2 + 7}{y} = \frac{68}{3} \Rightarrow 15y^2 - 68y + 21 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$15y^2 - 63y - 5y + 21 = 0 \Rightarrow (3y - 1)(5y - 21) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}, \frac{21}{5}$

ଯଦି $y = \frac{1}{3}$: $\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{3}{x} = \frac{1}{9} \Rightarrow x = 27$ ଯଦି $y = \frac{21}{5}$: $\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{21}{5} \Rightarrow \frac{3}{x} = \frac{441}{25} \Rightarrow x = \frac{75}{441} = \frac{25}{147}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $27, \frac{25}{147}$ ଅଟେ।

---

(iii) $3x+\frac{5}{16x}-2=0$

• ସମାଧାନ: ସମସ୍ତ ପଦକୁ $16x$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ($x \neq 0$):

$48x^2 + 5 - 32x = 0 \Rightarrow 48x^2 - 32x + 5 = 0$

ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (-20 ଏବଂ -12):

$48x^2 - 20x - 12x + 5 = 0 \Rightarrow 4x(12x - 5) - 1(12x - 5) = 0 \Rightarrow (4x - 1)(12x - 5) = 0$

ଏଥିରୁ $x = \frac{1}{4}, \frac{5}{12}$। ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $\frac{1}{4}, \frac{5}{12}$ ଅଟେ।

---

(iv) $(\frac{2x+1}{x+1})^{4}-6(\frac{2x+1}{x+1})^{2}+8=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = (\frac{2x+1}{x+1})^2$।

$y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow (y - 4)(y - 2) = 0 \Rightarrow y = 4, 2$

ଯଦି $y = 4$: $(\frac{2x+1}{x+1})^2 = 4 \Rightarrow \frac{2x+1}{x+1} = \pm 2$ (+2 ନେଲେ): $2x+1 = 2x+2$ (ଅସମ୍ଭବ) (-2 ନେଲେ): $2x+1 = -2x-2 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$ ଯଦି $y = 2$: $(\frac{2x+1}{x+1})^2 = 2 \Rightarrow \frac{2x+1}{x+1} = \pm \sqrt{2}$ ($+\sqrt{2}$ ନେଲେ): $2x+1 = \sqrt{2}x+\sqrt{2} \Rightarrow x(2-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ($-\sqrt{2}$ ନେଲେ): $2x+1 = -\sqrt{2}x-\sqrt{2} \Rightarrow x(2+\sqrt{2}) = -\sqrt{2}-1 \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $-\frac{3}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ଅଟେ।

---

(v) $(3x^{2}-8)^{2}-23(3x^{2}-8)+76=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = 3x^2 - 8$।

$y^2 - 23y + 76 = 0 \Rightarrow (y - 19)(y - 4) = 0 \Rightarrow y = 19, 4$

ଯଦି $y = 19$: $3x^2 - 8 = 19 \Rightarrow 3x^2 = 27 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ ଯଦି $y = 4$: $3x^2 - 8 = 4 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $3, -3, 2, -2$ ଅଟେ।

---

(vi) $5(5^{x}+5^{-x})=26$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = 5^x$। ତେଣୁ $5^{-x} = \frac{1}{y}$।

$5(y + \frac{1}{y}) = 26 \Rightarrow \frac{5y^2 + 5}{y} = 26 \Rightarrow 5y^2 - 26y + 5 = 0$

$(5y - 1)(y - 5) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{5}, 5$

ଯଦି $y = \frac{1}{5}$: $5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$ ଯଦି $y = 5$: $5^x = 5^1 \Rightarrow x = 1$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $1, -1$ ଅଟେ।

---

(vii) $(x^{2}-2x)^{2}-4(x^{2}-2x)+3=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = x^2 - 2x$।

$y^2 - 4y + 3 = 0 \Rightarrow (y - 3)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 3, 1$

ଯଦି $y = 3$: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, -1$ ଯଦି $y = 1$: $x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $3, -1, 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$ ଅଟେ।

---

(viii) $x^{-4}-5x^{-2}+4=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = x^{-2}$। ତେଣୁ $y^2 = x^{-4}$।

$y^2 - 5y + 4 = 0 \Rightarrow (y - 4)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 4, 1$

ଯଦି $y = 4$: $\frac{1}{x^2} = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$ ଯଦି $y = 1$: $\frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1, -1$ ଅଟେ।

---

(ix) $2(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-3(x+\frac{1}{x})-1=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = x + \frac{1}{x}$। ବର୍ଗ କଲେ: $y^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$।

$2(y^2 - 2) - 3y - 1 = 0 \Rightarrow 2y^2 - 3y - 5 = 0 \Rightarrow (2y - 5)(y + 1) = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}, -1$

ଯଦି $y = \frac{5}{2}$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2, \frac{1}{2}$ ଯଦି $y = -1$: $x + \frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$ (କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ)। ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $2, \frac{1}{2}$ ଅଟେ।

---

(x) $\frac{3}{\sqrt{2x}}-\frac{\sqrt{2x}}{5}=5\frac{9}{10}$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = \sqrt{2x}$।

$\frac{3}{y} - \frac{y}{5} = \frac{59}{10} \Rightarrow \frac{15 - y^2}{5y} = \frac{59}{10} \Rightarrow 150 - 10y^2 = 295y \Rightarrow 2y^2 + 59y - 30 = 0$

$(2y - 1)(y + 30) = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}, -30$

ବର୍ଗମୂଳ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $y = \frac{1}{2}$।

$\sqrt{2x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$

ଉତ୍ତର: ମୂଳଟି ହେଉଛି $\frac{1}{8}$।

---

(xi) $\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{34}{15}$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = \frac{x}{x+1}$।

$y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15} \Rightarrow 15y^2 - 34y + 15 = 0 \Rightarrow (5y - 3)(3y - 5) = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{5}, \frac{5}{3}$

ଯଦି $y = \frac{3}{5}$: $\frac{x}{x+1} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5x = 3x + 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ ଯଦି $y = \frac{5}{3}$: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3x = 5x + 5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}$ ଅଟେ।

---

(xii) $x(2x+1)(x-2)(2x-3)=63$

• ସମାଧାନ: ସଜାଇ ଗୁଣନ କଲେ: $[x(2x-3)] \times [(2x+1)(x-2)] = 63 \Rightarrow (2x^2 - 3x)(2x^2 - 3x - 2) = 63$ ମନେକର $y = 2x^2 - 3x$।

$y(y - 2) = 63 \Rightarrow y^2 - 2y - 63 = 0 \Rightarrow (y - 9)(y + 7) = 0 \Rightarrow y = 9, -7$

ଯଦି $y = 9$: $2x^2 - 3x - 9 = 0 \Rightarrow (2x + 3)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3, -\frac{3}{2}$ ଯଦି $y = -7$: $2x^2 - 3x + 7 = 0$ (ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ)। ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $3, -\frac{3}{2}$ ଅଟେ।

---

(xiii) $\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}=6\frac{6}{7}$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = \frac{x-3}{x+3}$।

$y - \frac{1}{y} = \frac{48}{7} \Rightarrow 7y^2 - 48y - 7 = 0 \Rightarrow (7y + 1)(y - 7) = 0 \Rightarrow y = 7, -\frac{1}{7}$

ଯଦି $y = 7$: $\frac{x-3}{x+3} = 7 \Rightarrow x - 3 = 7x + 21 \Rightarrow x = -4$ ଯଦି $y = -\frac{1}{7}$: $\frac{x-3}{x+3} = -\frac{1}{7} \Rightarrow 7x - 21 = -x - 3 \Rightarrow 8x = 18 \Rightarrow x = \frac{9}{4}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $-4, \frac{9}{4}$ ଅଟେ।

---

(xiv) $3(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+4(x-\frac{1}{x})-6=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = x - \frac{1}{x}$। ବର୍ଗ କଲେ: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$।

$3(y^2 + 2) + 4y - 6 = 0 \Rightarrow 3y^2 + 4y = 0 \Rightarrow y(3y + 4) = 0 \Rightarrow y = 0, -\frac{4}{3}$

ଯଦି $y = 0$: $x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ଯଦି $y = -\frac{4}{3}$: $x - \frac{1}{x} = -\frac{4}{3} \Rightarrow 3x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+36}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $1, -1, \frac{-2+\sqrt{13}}{3}, \frac{-2-\sqrt{13}}{3}$ ଅଟେ।

---

(xv) $(\frac{x+1}{x-1})^{2}-(\frac{x+1}{x-1})-3=0$

• ସମାଧାନ: ମନେକର $y = \frac{x+1}{x-1}$।

$y^2 - y - 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

ଯେହେତୁ $\frac{x+1}{x-1} = y$, ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = \frac{y+1}{y-1}$। $y$ ର ଉଭୟ ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସରଳ କଲେ ଆମେ ପାଇବା: $x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$ ଉତ୍ତର: ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $\frac{4+\sqrt{13}}{3}, \frac{4-\sqrt{13}}{3}$ ଅଟେ।