ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସୂତ୍ର (Formulas for Word Problems)

🔢 ୧. ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ (Number Problems):

• କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Consecutive Integers): ଯଦି ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ହୁଏ, ତେବେ ପରବର୍ତ୍ତୀ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବେ: $x, x+1, x+2, \dots$

• କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Consecutive Even/Odd Integers): ଯଦି ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ହୁଏ, ତେବେ ପରବର୍ତ୍ତୀ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ/ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବେ: $x, x+2, x+4, \dots$

• ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା (Two-Digit Number): ଯଦି ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $x$ ଏବଂ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $y$ ହୁଏ, ତେବେ ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: $10x + y$

• ଅଙ୍କ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ (Reversing the Digits): ନୂତନ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: $10y + x$

• ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ (Reciprocal): ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ହୁଏ, ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ହେବ: $\frac{1}{x}$

⏳ ୨. ଦୂରତା, ସମୟ ଏବଂ ବେଗ (Distance, Time, and Speed):

• ଦୂରତା (Distance): ଦୂରତା = ବେଗ $\times$ ସମୟ ($D = S \times T$)

• ସମୟ (Time): ସମୟ = ଦୂରତା / ବେଗ ($T = \frac{D}{S}$)

• ବେଗ (Speed): ବେଗ = ଦୂରତା / ସମୟ ($S = \frac{D}{T}$)

• ନୌକା ଓ ସ୍ରୋତ (Boat and Stream): ମନେକର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ନୌକାର ବେଗ $x$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ ସ୍ରୋତର ବେଗ $y$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା।

• ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ବେଗ (Downstream Speed) = $x + y$

• ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ବେଗ (Upstream Speed) = $x - y$

📐 ୩. ଜ୍ୟାମିତିକ ସୂତ୍ର (Geometric Formulas):

• ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର (Rectangle):

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area) = ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\times$ ପ୍ରସ୍ଥ ($A = l \times b$)

• ପରିସୀମା (Perimeter) = $2 \times (\text{ଦୈର୍ଘ୍ୟ} + \text{ପ୍ରସ୍ଥ})$ ଅର୍ଥାତ୍ $P = 2(l + b)$

• ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ (Right-angled Triangle):

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area) = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$ ($A = \frac{1}{2} \times b \times p$)

• ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ (Pythagorean Theorem): କର୍ଣ୍ଣ$^2$ = ଭୂମି$^2$ + ଉଚ୍ଚତା$^2$ $(h^2 = p^2 + b^2)$

• ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର (Square):

• କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area) = ବାହୁ $\times$ ବାହୁ ($A = a^2$)

👨‍🔧 ୪. କାର୍ଯ୍ୟ ଓ ସମୟ (Work and Time):

• ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ $x$ ଦିନରେ ଶେଷ କରେ, ତେବେ:
• ୧ ଦିନରେ ସେ କାର୍ଯ୍ୟର ମୋଟ ଅଂଶ କରିବ = $\frac{1}{x}$

👴 ୫. ବୟସ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ (Age Problems):

• ଯଦି ଜଣକର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$ ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ:

• $n$ ବର୍ଷ ପରେ (After) ବୟସ ହେବ = $x + n$

• $n$ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ (Before) ବୟସ ଥିଲା = $x -$

୨.୮ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗ (Application in solving Word Problems) 🌟

ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଏବଂ ବିଭିନ୍ନ ଗାଣିତିକ ସମସ୍ୟାରେ (ଯଥା: ସଂଖ୍ୟା, ବୟସ, ସମୟ-ଦୂରତା, ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଆମେ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ କରିଥାଉ। ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦକ୍ଷେପଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରାଯାଏ:

ପ୍ରଥମେ ପ୍ରଶ୍ନଟିକୁ ଭଲଭାବରେ ପଢ଼ି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ $x$ (କିମ୍ବା ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଚଳରାଶି) ରୂପେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ। ତା'ପରେ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ (ଯଥା: $ax^2 + bx + c = 0$)। ଶେଷରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorization) କିମ୍ବା ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula) ପ୍ରୟୋଗ କରି $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରାଯାଏ। ମିଳିଥିବା ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ବାସ୍ତବ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅସମ୍ଭବ (ଯଥା ବୟସ କିମ୍ବା ଦୂରତା ଋଣାତ୍ମକ ହେବା), ତାହାକୁ ବାଦ୍ ଦେଇ ସଠିକ୍ ମୂଲ୍ୟଟିକୁ ଉତ୍ତର ରୂପେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ।

📝 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ (Important Examples)

ଉଦାହରଣ ୧: (ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ (reciprocal) ର ସମଷ୍ଟି $\frac{5}{2}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $x$। ତେଣୁ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ ହେବ $\frac{1}{x}$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ:

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2(x^2 + 1) = 5x \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$

ଏହି ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x - 2) = 0$

ତେଣୁ $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ କିମ୍ବା $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 2 କିମ୍ବା $\frac{1}{2}$ ଅଟେ। ✅

ଉଦାହରଣ ୨: (କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ଧନାତ୍ମକ (consecutive odd positive) ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 143 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $x$ ଏବଂ $x + 2$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 143 ଅଟେ:

$x(x + 2) = 143 \Rightarrow x^2 + 2x - 143 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ (143 କୁ ଭାଙ୍ଗିଲେ 13 ଓ 11 ମିଳିବ):

$x^2 + 13x - 11x - 143 = 0 \Rightarrow x(x + 13) - 11(x + 13) = 0 \Rightarrow (x + 13)(x - 11) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = -13$ କିମ୍ବା $x = 11$। ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଧନାତ୍ମକ ବୋଲି ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି, ଆମେ $x = -13$ କୁ ଗ୍ରହଣ କରିପାରିବା ନାହିଁ। ତେଣୁ $x = 11$। ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $x + 2 = 11 + 2 = 13$। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ 11 ଏବଂ 13 ଅଟେ। ✅

ଉଦାହରଣ ୩: (କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥ ଠାରୁ 3 ମିଟର ଅଧିକ। ଯଦି ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 108 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିରୂପଣ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ପଡ଼ିଆର ପ୍ରସ୍ଥ ହେଉଛି $x$ ମିଟର। ତେଣୁ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ $(x + 3)$ ମିଟର। ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\times$ ପ୍ରସ୍ଥ। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ:

$x(x + 3) = 108 \Rightarrow x^2 + 3x - 108 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$x^2 + 12x - 9x - 108 = 0 \Rightarrow x(x + 12) - 9(x + 12) = 0 \Rightarrow (x + 12)(x - 9) = 0$

ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $x = -12$ କିମ୍ବା $x = 9$। ଦୈର୍ଘ୍ୟ କିମ୍ବା ପ୍ରସ୍ଥ କେବେହେଲେ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। ତେଣୁ $x = -12$ ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ। ଅତଏବ ପ୍ରସ୍ଥ $x = 9$ ମିଟର ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x + 3 = 9 + 3 = 12$ ମିଟର ଅଟେ। ଉତ୍ତର: ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 9 ମିଟର। ✅

ଉଦାହରଣ ୪: (ଦୂରତା ଓ ସମୟ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରେନ୍ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବେଗରେ 360 କି.ମି. ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରେ। ଯଦି ଏହାର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 5 କି.ମି. ଅଧିକ ହୋଇଥାନ୍ତା, ତେବେ ସେହି ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ଏହାକୁ 1 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା। ଟ୍ରେନ୍‌ଟିର ମୂଳ ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଟ୍ରେନ୍‌ଟିର ମୂଳ ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି $x$ କି.ମି. ଅଟେ। 360 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ଆବଶ୍ୟକ ସମୟ $= \frac{360}{x}$ ଘଣ୍ଟା। ଯଦି ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି $(x + 5)$ କି.ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଆବଶ୍ୟକ ସମୟ $= \frac{360}{x + 5}$ ଘଣ୍ଟା। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ନୂଆ ସମୟ ମୂଳ ସମୟ ଠାରୁ 1 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ଅଟେ:

$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ:

$\frac{360(x + 5) - 360x}{x(x + 5)} = 1 \Rightarrow \frac{360x + 1800 - 360x}{x^2 + 5x} = 1 \Rightarrow \frac{1800}{x^2 + 5x} = 1$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା:

$x^2 + 5x = 1800 \Rightarrow x^2 + 5x - 1800 = 0$

ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ:

$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0 \Rightarrow x(x + 45) - 40(x + 45) = 0 \Rightarrow (x + 45)(x - 40) = 0$

ଏଥିରୁ ମିଳିବ $x = -45$ କିମ୍ବା $x = 40$। ଟ୍ରେନ୍‌ର ବେଗ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ, ତେଣୁ $x = 40$। ଉତ୍ତର: ଟ୍ରେନ୍‌ଟିର ମୂଳ ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 40 କି.ମି. ଅଟେ। ✅