ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ସମସ୍ତ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୂତ୍ର ପାଇଁ ଉଦାହରଣ, ଏବଂ ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ କିଛି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତରକୁ ଏକାଠି କରି ତଳେ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଷ୍ଟଡି ଗାଇଡ୍ (Study Guide) ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଗଲା। ଆପଣ ଏହାକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ନୋଟ୍ସ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବେ।

୧. ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)

ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ (General Form of Quadratic Equation)

ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ରେ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି:

$$ax^2+bx+c=0$$

(ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$)

• $a$ ଏବଂ $b$ ଯଥାକ୍ରମେ $x^2$ ଓ $x$ ର ସହଗ (coefficient) ଏବଂ $c$ ଏକ ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା (constant) ଅଟେ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସର୍ବାଧିକ ଦୁଇଟି ମୂଳ ବା ବୀଜ (roots) ଥାଏ।

ବିସ୍ତୃତ ବ୍ୟାଖ୍ୟା (Detailed Explanation)

୧. $a \neq 0$ କାହିଁକି ରଖାଯାଏ?

ଯଦି ଆମେ $a = 0$ ନେଇଯିବା, ତେବେ $x^2$ ପଦଟି ($0 \times x^2 = 0$) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ଶୂନ ହୋଇଯିବ। ସେତେବେଳେ ସମୀକରଣଟି କେବଳ $bx + c = 0$ ରେ ପରିଣତ ହେବ। ଏଥିରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ର ସର୍ବାଧିକ ଘାତ (power) $1$ ହୋଇଯାଉଥିବାରୁ, ଏହା ଆଉ ‘ଦ୍ଵିଘାତ’ ରହିବ ନାହିଁ, ବରଂ ଏକ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ (Linear Equation) ପାଲଟିଯିବ। ତେଣୁ, ଏକ ସମୀକରଣକୁ ଦ୍ଵିଘାତ ରଖିବା ପାଇଁ $x^2$ ର ସହଗ $a$ କେବେହେଲେ ଶୂନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। ଅବଶ୍ୟ, ଆବଶ୍ୟକ ସ୍ଥଳେ $b$ କିମ୍ବା $c$ ର ମାନ ଶୂନ ହୋଇପାରେ।

୨. ବୀଜ ବା ମୂଳ (Roots) କ’ଣ?

$x$ ର ଯେଉଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ (value) ଗୁଡ଼ିକ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ (ଅର୍ଥାତ୍ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସମାଧାନ କଲେ ତାହା ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵର ‘ଶୂନ’ ସହ ସମାନ ହୁଏ), ସେହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣର ‘ବୀଜ’ କୁହାଯାଏ। ଯେହେତୁ ସମୀକରଣରେ ଚଳରାଶି $x$ ର ସର୍ବାଧିକ ଘାତ (degree) $2$ ଅଟେ, ତେଣୁ ଗାଣିତିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଏହାର ସର୍ବାଧିକ ଦୁଇଟି ବୀଜ ବାହାରିବ। ସାଧାରଣତଃ ଏହି ଦୁଇଟି ମୂଳକୁ ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ଗ୍ରୀକ୍ ଅକ୍ଷର $\alpha$ (ଆଲଫା) ଏବଂ $\beta$ (ବିଟା) ର ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ।

୩. ଉଦାହରଣ ସହ ତୁଳନା (Example with Comparison)

ଧରନ୍ତୁ ଆମ ପାଖରେ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଅଛି:

$$3x^2 - 5x + 2 = 0$$

ଏହାକୁ ସାଧାରଣ ରୂପ $ax^2 + bx + c = 0$ ସହିତ ତୁଳନା କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

• $a = 3$ (ଯାହାକି $x^2$ ର ସହଗ)

• $b = -5$ (ଯାହାକି $x$ ର ସହଗ। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ଥିଲେ, ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ ମଧ୍ୟ ସହଗ ଭାବରେ ନିଆଯାଏ।)

• $c = 2$ (ଯାହାକି ଧ୍ରୁବକ ବା ସ୍ଥିରାଙ୍କ ପଦ)

୨. ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula)

ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଭାରତୀୟ ଗଣିତଜ୍ଞ ଶ୍ରୀଧର ଆଚାର୍ଯ୍ୟଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଉଦ୍ଭାବିତ ଏହି ସୂତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

ଉଦାହରଣ: ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି $2x^2 - 5x + 3 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

• ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=2$, $b=-5$, $c=3$ ।

  $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}$$

  $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$$

  ମୂଳଦ୍ବୟ: $x = \frac{5+1}{4} = \frac{3}{2}$ କିମ୍ବା $x = \frac{5-1}{4} = 1$ ।

୩. ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant)

ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରୁଥିବା ରାଶି (ଯାହା ବର୍ଗମୂଳ ଭିତରେ ଥାଏ) କୁ ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ $D$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ:

$$D=b^2-4ac$$

ଉଦାହରଣ: $3x^2 - 4x + 1 = 0$ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

• ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=3$, $b=-4$, $c=1$ ।

  $$D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$$

୪. ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ୱରୂପ (Nature of Roots)

ପ୍ରଭେଦକ ($D$) ର ମୂଲ୍ୟ ଉପରେ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ନିର୍ଭର କରେ:

• ଯଦି $D > 0$ (ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା): ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ପରିମେୟ ଓ ଅସମାନ।

• ଯଦି $D > 0$ (ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ନୁହେଁ): ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ଅପରିମେୟ ଓ ଅସମାନ।

• ଯଦି $D = 0$: ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ପରିମେୟ ଓ ସମାନ ($-\frac{b}{2a}$)।

• ଯଦି $D > 0$ ମୂଳଦ୍ଵୟ ଅବାସ୍ତବ (କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ ନାହିଁ)।

ଏହାକୁ ମୁଖ୍ୟତଃ ୪ଟି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ। ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଟିକୁ ଉଦାହରଣ ସହ ବୁଝିବା:

୧. ଯଦି $D > 0$ ଏବଂ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ (Perfect Square)

ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମାନେ ଯାହାର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାରି ପାରିବ (ଯଥା: $1, 4, 9, 16, 25$ ଇତ୍ୟାଦି)।

• ସ୍ୱରୂପ: ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ପରିମେୟ (Rational) ଏବଂ ଅସମାନ ହେବେ।

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 5x + 6 = 0$

• ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏଠାରେ $a=1, b=-5, c=6$ ।

  $$D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

  ଯେହେତୁ $D=1$ ଏବଂ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ($1^2$), ତେଣୁ ଏହାର ମୂଳଦ୍ବୟ ପରିମେୟ ଓ ଅସମାନ ହେବେ (ସମାଧାନ କରିବେ, ଉତ୍ତର $3$ ଏବଂ $2$ ବାହାରିବ, ଯାହାକି ପରିମେୟ)।

୨. ଯଦି $D > 0$ କିନ୍ତୁ ଏହା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ (Not a Perfect Square)

ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ସଠିକ୍ ବର୍ଗମୂଳ ବାହାରି ପାରିବ ନାହିଁ (ଯଥା: $2, 3, 5, 7, 12$ ଇତ୍ୟାଦି)।

• ସ୍ୱରୂପ: ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ଅପରିମେୟ (Irrational) ଏବଂ ଅସମାନ ହେବେ।

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

• ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏଠାରେ $a=1, b=-4, c=1$ ।

  $$D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$$

  ଯେହେତୁ $D=12$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ, ଏହାର ମୂଳଦ୍ବୟ ଅପରିମେୟ ହେବେ (ସମାଧାନ କଲେ ଉତ୍ତର $2+\sqrt{3}$ ଓ $2-\sqrt{3}$ ଆସିବ, ଯେଉଁଥିରେ ରୁଟ୍ ଚିହ୍ନ ରହିଯିବ)।

୩. ଯଦି $D = 0$ ହୁଏ

• ସ୍ୱରୂପ: ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ, ପରିମେୟ ଏବଂ ପରସ୍ପର ସମାନ (ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ) ହେବେ। ଦୁଇଟି ଯାକ ଉତ୍ତର ସମାନ ଆସିବ।

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 4x + 4 = 0$

• ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏଠାରେ $a=1, b=-4, c=4$ ।

  $$D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$$

  ଯେହେତୁ $D = 0$, ଏହାର ଦୁଇଟି ଯାକ ମୂଳ ସମାନ ହେବେ (ସମାଧାନ କଲେ ଉଭୟ ଉତ୍ତର $2$ ଏବଂ $2$ ହିଁ ବାହାରିବ)।

୪. ଯଦି,D < 0 ହୁଏ (ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା / Negative Number)

• ସ୍ୱରୂପ: ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ଅବାସ୍ତବ ହେବେ। ଅର୍ଥାତ୍ ଏହି ସମୀକରଣର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ମୂଳ (Real roots) ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, କାରଣ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗମୂଳ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

• ଉଦାହରଣ: $x^2 + x + 1 = 0$

• ବ୍ୟାଖ୍ୟା: ଏଠାରେ $a=1, b=1, c=1$ ।

  $$D = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$$

  ଯେହେତୁ $D = -3$ (ଶୂନ ଠାରୁ ଛୋଟ), ଏହାର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ଉତ୍ତର ବାହାରିବ ନାହିଁ।

୫. ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ

ଯଦି ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହୁଏ:

• ସମଷ୍ଟି: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$

• ଗୁଣଫଳ: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$

ଉଦାହରଣ: $4x^2 - 7x + 2 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ କେତେ?

• ସମାଧାନ: ସମଷ୍ଟି = $-\frac{-7}{4} = \frac{7}{4}$ । ଗୁଣଫଳ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ।

୬. କିଛି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବ୍ୟୁତ୍ପନ୍ନ ସୂତ୍ର (Important Derived Formulas)

କ) ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର: $\alpha-\beta = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ପାଇଁ $\alpha - \beta$ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $\pm\frac{\sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{1} = \pm\sqrt{25 - 24} = \pm 1$ ।

ଖ) ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି: $\alpha^2+\beta^2 = \frac{b^2-2ac}{a^2}$

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 4x + 3 = 0$ ପାଇଁ $\alpha^2 + \beta^2$ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $\frac{(-4)^2 - 2(1)(3)}{1^2} = 16 - 6 = 10$ ।

ଗ) ଘନର ସମଷ୍ଟି: $\alpha^3+\beta^3 = \frac{-b(b^2-3ac)}{a^3}$

• ଉଦାହରଣ: $x^2 - 3x + 2 = 0$ ପାଇଁ $\alpha^3 + \beta^3$ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $\frac{-(-3)((-3)^2 - 3(1)(2))}{1^3} = 3(9 - 6) = 9$ ।

ଘ) ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = -\frac{b}{c}$

• ଉଦାହରଣ: $2x^2 - 8x + 5 = 0$ ପାଇଁ ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି କେତେ?

• ସମାଧାନ: $-\frac{-8}{5} = \frac{8}{5}$ ।

୭. ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ଗଠନ (Formation of a Quadratic Equation)

ସୂତ୍ର:

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

(ଅର୍ଥାତ୍: $x^2$ $-$ (ସମଷ୍ଟି)$x$ $+$ (ଗୁଣଫଳ) $=$ $0$)

ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଦୁଇଟି ମୂଳ $4$ ଓ $5$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣଟି ଗଠନ କର।

• ସମାଧାନ: ସମଷ୍ଟି = $9$, ଗୁଣଫଳ = $20$ । ସମୀକରଣଟି ହେବ: $x^2 - 9x + 20 = 0$ ।