ଉଦାହରଣ ୪: ଯଦି $25x^2 + 30x + 7 = 0$ ର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହୁଏ, ତେବେ $\alpha + \beta$ ଓ $\alpha\beta$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର । ✏️ ସମାଧାନ: $a=25, b=30, c=7$ । $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{30}{25} = -\frac{6}{5}$ । $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{25}$ ।

ଉଦାହରଣ ୬: ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି -5 ଓ ଗୁଣଫଳ 3 ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ଗଠନ କର । ✏️ ସମାଧାନ: ଆବଶ୍ୟକ ସମୀକରଣ: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ । ଏଠାରେ ସମଷ୍ଟି $-5$ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ $3$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $x^2 - (-5)x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 = 0$ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୮: ଯଦି $ax^2 + 4x + 6a = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ $a$ ର ମାନ ନିରୂପଣ କର । ✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି $= -\frac{4}{a}$ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ $= \frac{6a}{a} = 6$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଉଭୟ ସମାନ ତେଣୁ $-\frac{4}{a} = 6 \Rightarrow a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ ଅଟେ। ଏଠାରେ ଦ୍ବିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ "ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ" (Quadratic Equations) ର ସମସ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର କରି ଦିଆଗଲା। ଆପଣ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ ମନେ ରଖିପାରିବେ।

📘 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସମସ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର (All Important Formulas)

🌟 1. ସାଧାରଣ ରୂପ (Standard Form): ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ରେ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ରୂପ ହେଉଛି:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (\text{ଯେଉଁଠାରେ } a \neq 0)$

📐 2. ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula / Sridhar Acharya's Formula): ସମୀକରଣର ମୂଳ ବା ବୀଜ (roots) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

🔍 3. ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant): ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ସ୍ଥିର କରୁଥିବା ରାଶିକୁ ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ $D$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ:

$D = b^2 - 4ac$

🔑 4. ମୂଳଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Finding the Roots): ଯଦି ଦୁଇଟି ମୂଳ $\alpha$ ଏବଂ $\beta$ ହୁଏ, ତେବେ:

$\alpha = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad \beta = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

📊 5. ମୂଳଦ୍ଵୟର ପ୍ରକୃତି (Nature of Roots): ପ୍ରଭେଦକ $D$ ର ମୂଲ୍ୟ ଉପରେ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ନିର୍ଭର କରେ। $D > 0 \Rightarrow$ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ଅସମାନ (Real and Unequal)। $D = 0 \Rightarrow$ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଏବଂ ସମାନ (Real and Equal)। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଳର ମାନ $= -\frac{b}{2a}$ ଅଟେ। $D Previous Chapter ସରଳ ସହସମୀକରଣ Ex-1(c) Next Chapter ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ Ex-2(b) $