❓ 1. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ତ୍ରୁଟିକୁ ସଂଶୋଧନ କରି ଲେଖ ।

(i) x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜ ଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ଭିନ୍ନ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ଏଠାରେ ପ୍ରଭେଦକ D=(−4)2−4(1)(4)=16−16=0D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 । ଯେହେତୁ D=0D = 0, ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେବେ। ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0 ସମୀକରଣର ବୀଜ ଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ।

(ii) x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ 2 ଅଟେ ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ପ୍ରଭେଦକ D=(−5)2−4(1)(6)=25−24=1D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ 1 ଅଟେ ।

(iii) ax2+bx−c=0ax^2 + bx - c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ca\frac{c}{a} ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟିର ସୂତ୍ର ହେଉଛି −ba-\frac{b}{a} । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: ax2+bx−c=0ax^2 + bx - c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି −ba-\frac{b}{a} ।

(iv) ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ ba\frac{b}{a} ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି ca\frac{c}{a} । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ ca\frac{c}{a} ।

(v) 1 ଓ -1 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ‌ଟି x2+1=0x^2 + 1 = 0 ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ସମୀକରଣ ଗଠନ ସୂତ୍ର: x2−(1+(−1))x+(1)(−1)=0⇒x2−0x−1=0⇒x2−1=0x^2 - (1 + (-1))x + (1)(-1) = 0 \Rightarrow x^2 - 0x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: 1 ଓ -1 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ‌ଟି x2−1=0x^2 - 1 = 0 ।

(vi) x2=0x^2 = 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: x2=0x^2 = 0 ର ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 0 ଓ 0, ଯାହାକି ପରସ୍ପର ସମାନ। ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: x2=0x^2 = 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ଅଟନ୍ତି ।

(vii) 3x2−2x−1=03x^2 - 2x - 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି −32-\frac{3}{2} ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ସମଷ୍ଟି =−ba=−−23=23= -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3} । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: 3x2−2x−1=03x^2 - 2x - 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 23\frac{2}{3} ।

(viii) 3x2−2x−1=03x^2 - 2x - 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 13\frac{1}{3} ।

✏️ ସଂଶୋଧନ: ଗୁଣଫଳ =ca=−13= \frac{c}{a} = \frac{-1}{3} । ✅ ସଠିକ୍ ଉକ୍ତି: 3x2−2x−1=03x^2 - 2x - 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳ ଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ −13-\frac{1}{3} ।

❓ 2. ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ 3 ଓ -5 ହେଲେ, ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଆବଶ୍ୟକ ସମୀକରଣ: x2−(α+β)x+αβ=0x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 ⇒x2−(3+(−5))x+(3)(−5)=0⇒x2−(−2)x−15=0⇒x2+2x−15=0\Rightarrow x^2 - (3 + (-5))x + (3)(-5) = 0 \Rightarrow x^2 - (-2)x - 15 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 15 = 0 ✅ ଉତ୍ତର: x2+2x−15=0x^2 + 2x - 15 = 0

(ii) mx2−2x+(2m−1)=0mx^2 - 2x + (2m - 1) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 3 ହେଲେ m ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ =ca=2m−1m= \frac{c}{a} = \frac{2m - 1}{m} । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, 2m−1m=3⇒2m−1=3m⇒−1=3m−2m⇒m=−1\frac{2m - 1}{m} = 3 \Rightarrow 2m - 1 = 3m \Rightarrow -1 = 3m - 2m \Rightarrow m = -1 । ✅ ଉତ୍ତର: m=−1m = -1

(iii) x2−px+2=0x^2 - px + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 2 ହେଲେ, p ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ 2 ଏକ ମୂଳ, ଏହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ। ତେଣୁ x=2x = 2 ରଖିଲେ: (2)2−p(2)+2=0⇒4−2p+2=0⇒6−2p=0⇒2p=6⇒p=3(2)^2 - p(2) + 2 = 0 \Rightarrow 4 - 2p + 2 = 0 \Rightarrow 6 - 2p = 0 \Rightarrow 2p = 6 \Rightarrow p = 3 । ✅ ଉତ୍ତର: p=3p = 3

(iv) 4x2−2x+c=04x^2 - 2x + c = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେଲେ, c ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମାନ) ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି D=0D = 0 । D=(−2)2−4(4)(c)=4−16cD = (-2)^2 - 4(4)(c) = 4 - 16c । ତେଣୁ 4−16c=0⇒16c=4⇒c=416=144 - 16c = 0 \Rightarrow 16c = 4 \Rightarrow c = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} । ✅ ଉତ୍ତର: c=14c = \frac{1}{4}

(v) 5x2+2x+k=05x^2 + 2x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ -2 ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: x=−2x = -2 ରଖିଲେ: 5(−2)2+2(−2)+k=0⇒5(4)−4+k=0⇒20−4+k=0⇒16+k=0⇒k=−165(-2)^2 + 2(-2) + k = 0 \Rightarrow 5(4) - 4 + k = 0 \Rightarrow 20 - 4 + k = 0 \Rightarrow 16 + k = 0 \Rightarrow k = -16 । ✅ ଉତ୍ତର: k=−16k = -16

(vi) x2−kx+6=0x^2 - kx + 6 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3 ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: x=3x = 3 ରଖିଲେ: (3)2−k(3)+6=0⇒9−3k+6=0⇒15−3k=0⇒3k=15⇒k=5(3)^2 - k(3) + 6 = 0 \Rightarrow 9 - 3k + 6 = 0 \Rightarrow 15 - 3k = 0 \Rightarrow 3k = 15 \Rightarrow k = 5 । ✅ ଉତ୍ତର: k=5k = 5

(vii) 2x2+kx+3=02x^2 + kx + 3 = 0 ସମୀକରଣର ଦୁଇଟି ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ହେଲେ, k ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ମୂଳ ପାଇଁ D=0D = 0 । D=k2−4(2)(3)=k2−24=0⇒k2=24⇒k=±24=±26D = k^2 - 4(2)(3) = k^2 - 24 = 0 \Rightarrow k^2 = 24 \Rightarrow k = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} । ✅ ଉତ୍ତର: k=±26k = \pm 2\sqrt{6}

❓ 3. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ଥିବା ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।

(i) ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି x ରେ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ? (a) x2−x−12=0x^2 - x - 12 = 0 (b) x2+1x2=3x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 (c) x+3x=x2x + \frac{3}{x} = x^2 (d) x(x−1)(x+5)=0x(x - 1)(x + 5) = 0

✏️ ସମାଧାନ: (a) ଟି ସିଧାସଳଖ ଏକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ରୂପ (ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0) ରେ ଅଛି। ଅନ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଘାତ ୨ ରୁ ଅଧିକ ହୋଇଯିବ (ସରଳ କଲେ)। ✅ ଉତ୍ତର: (a) x2−x−12=0x^2 - x - 12 = 0

(ii) 7x2−9x+2=07x^2 - 9x + 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ କ’ଣ ? (a) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍ (b) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (c) ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ ✏️ ସମାଧାନ: D=(−9)2−4(7)(2)=81−56=25D = (-9)^2 - 4(7)(2) = 81 - 56 = 25 । ଯେହେତୁ D>0D > 0, ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ପୃଥକ୍ ଅଟନ୍ତି। ✅ ଉତ୍ତର: (a) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍ ।

(iii) ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ଯରୁ କେଉଁଟି -6 ଓ 8 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ? (a) (x+6)(x+8)=0(x + 6)(x + 8) = 0 (b) (x+6)(x−8)=0(x + 6)(x - 8) = 0 (c) (x−6)(x+8)=0(x - 6)(x + 8) = 0 (d) (x−6)(x−8)=0(x - 6)(x - 8) = 0

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ -6 ଓ 8 ହେଲେ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକ ହେବ (x−(−6))(x−8)=(x+6)(x−8)(x - (-6))(x - 8) = (x + 6)(x - 8)। (ବି.ଦ୍ର: ବହିରେ ଥିବା ବିକଳ୍ପ ଅନୁଯାୟୀ (b) ଟି ସଠିକ୍ ଅଟେ, କିନ୍ତୁ ପ୍ରଦତ୍ତ ପିଡିଏଫ୍ ରେ b ଓ d ରେ ସାମାନ୍ୟ ମୁଦ୍ରଣ ତ୍ରୁଟି ଥିଲା, ମୂଳ ନିୟମ ଅନୁସାରେ (b) ହିଁ ସଠିକ୍) ✅ ଉତ୍ତର: (b) (x+6)(x−8)=0(x + 6)(x - 8) = 0

(iv) 3x2+25x−5=03x^2 + 2\sqrt{5}x - 5 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α\alpha ଓ β\beta ହେଲେ αβ\alpha\beta ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ? (a) 33 (b) 252\sqrt{5} (c) 253\frac{2\sqrt{5}}{3} (d) −53-\frac{5}{3}

✏️ ସମାଧାନ: ଗୁଣଫଳ αβ=ca=−53\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3} । ✅ ଉତ୍ତର: (d) −53-\frac{5}{3}

(v) 4x2−2x+14=04x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ବୟ α\alpha ଓ β\beta ହେଲେ α+β\alpha + \beta ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ? (a) 116\frac{1}{16} (b) 44 (c) 12\frac{1}{2} (d) −8-8

✏️ ସମାଧାନ: ସମଷ୍ଟି α+β=−ba=−−24=24=12\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} । ✅ ଉତ୍ତର: (c) 12\frac{1}{2}

(vi) 4x2+3x+7=04x^2 + 3x + 7 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α\alpha ଓ β\beta ହେଲେ 1α+1β\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ? (a) 37\frac{3}{7} (b) −37-\frac{3}{7} (c) 73\frac{7}{3} (d) −73-\frac{7}{3}

✏️ ସମାଧାନ: 1α+1β=α+βαβ=−b/ac/a=−bc=−37\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c} = -\frac{3}{7} । ✅ ଉତ୍ତର: (b) −37-\frac{3}{7}

(vii) ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ଓ ଗୁଣଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ଓ 52\frac{5}{2} ହେଲେ ସମୀକରଣଟି ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ? (a) 2x2+8x+5=02x^2 + 8x + 5 = 0 (b) 2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 0 (c) 2x2+8x−5=02x^2 + 8x - 5 = 0 (d) 2x2−8x−5=02x^2 - 8x - 5 = 0

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣଟି ହେବ x2−(ସମଷ୍ଟି)x+(ଗୁଣଫଳ)=0⇒x2−4x+52=0x^2 - (\text{ସମଷ୍ଟି})x + (\text{ଗୁଣଫଳ}) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + \frac{5}{2} = 0 । ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ 2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 0 ହେବ। ✅ ଉତ୍ତର: (b) 2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 0

❓ 6. ଯଦି 4x2−13x+k=04x^2 - 13x + k = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 12 ଗୁଣ ହେଲେ kk ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ α\alpha । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ମୂଳଟି ହେବ 12α12\alpha । ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି: α+12α=−ba⇒13α=134⇒α=14\alpha + 12\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow 13\alpha = \frac{13}{4} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{4} । ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ: α×12α=ca⇒12α2=k4\alpha \times 12\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 12\alpha^2 = \frac{k}{4} । ଏବେ α=14\alpha = \frac{1}{4} ର ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ 12(14)2=k4⇒12(116)=k4⇒1216=k4⇒34=k412\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{k}{4} \Rightarrow 12\left(\frac{1}{16}\right) = \frac{k}{4} \Rightarrow \frac{12}{16} = \frac{k}{4} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{k}{4} ମିଳିବ। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ k=3k = 3 ହେବ। ✅ ଉତ୍ତର: k=3k = 3

❓ 7. x2−5x+p=0x^2 - 5x + p = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟି ଅପେକ୍ଷା 3 ଅଧିକ ହେଲେ pp ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୂଳ α\alpha, ତେଣୁ ଅନ୍ୟଟି ହେବ α+3\alpha + 3 । ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି: α+(α+3)=−−51⇒2α+3=5⇒2α=2⇒α=1\alpha + (\alpha + 3) = -\frac{-5}{1} \Rightarrow 2\alpha + 3 = 5 \Rightarrow 2\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = 1 । ଅର୍ଥାତ୍ ମୂଳଦ୍ଵୟ 1 ଏବଂ 4 ଅଟେ। ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ: 1×4=p1⇒p=41 \times 4 = \frac{p}{1} \Rightarrow p = 4 । ✅ ଉତ୍ତର: p=4p = 4

❓ 8. ଯଦି 2x2−5x+3=02x^2 - 5x + 3 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α\alpha ଓ β\beta ହୁଏ ତେବେ α2β+αβ2\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣରୁ, ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α+β=−−52=52\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} ଏବଂ ଗୁଣଫଳ αβ=32\alpha\beta = \frac{3}{2} । ଆମକୁ α2β+αβ2\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ଅଛି, ଯାହାକୁ ଆମେ αβ(α+β)\alpha\beta(\alpha + \beta) ଆକାରରେ ଲେଖିପାରିବା। ତେଣୁ, αβ(α+β)=(32)×(52)=154\alpha\beta(\alpha + \beta) = \left(\frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{15}{4} । ✅ ଉତ୍ତର: 154\frac{15}{4}

❓ 9. ଯଦି 2x2−6x+3=02x^2 - 6x + 3 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α\alpha ଓ β\beta ହୁଏ ତେବେ (α+1)(β+1)(\alpha + 1)(\beta + 1) ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣରୁ, α+β=−−62=3\alpha + \beta = -\frac{-6}{2} = 3 ଏବଂ αβ=32\alpha\beta = \frac{3}{2} । ଦିଆଯାଇଥିବା ପରିପ୍ରକାଶ (α+1)(β+1)(\alpha + 1)(\beta + 1) କୁ ଗୁଣନ କଲେ: αβ+α+β+1\alpha\beta + \alpha + \beta + 1 ମିଳିବ। ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ରଖିଲେ: 32+3+1=32+4=3+82=112\frac{3}{2} + 3 + 1 = \frac{3}{2} + 4 = \frac{3 + 8}{2} = \frac{11}{2} । ✅ ଉତ୍ତର: 112\frac{11}{2}

❓ 10. ଯଦି 2x2−(p+1)x+p−1=02x^2 - (p + 1)x + p - 1 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର ଓ ଗୁଣଫଳ ସମାନ ହେଲେ pp ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି α+β=p+12\alpha + \beta = \frac{p + 1}{2} ଏବଂ ଗୁଣଫଳ αβ=p−12\alpha\beta = \frac{p - 1}{2} । ମୂଳଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ହେଉଛି ∣α−β∣=(α+β)2−4αβ|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଅନ୍ତର = ଗୁଣଫଳ। ତେଣୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗ କଲେ: (α−β)2=(αβ)2(\alpha - \beta)^2 = (\alpha\beta)^2 ମିଳିବ। ⇒(α+β)2−4αβ=(αβ)2\Rightarrow (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\alpha\beta)^2 ⇒(p+12)2−4(p−12)=(p−12)2\Rightarrow \left(\frac{p + 1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{p - 1}{2}\right) = \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 ⇒p2+2p+14−2p+2=p2−2p+14\Rightarrow \frac{p^2 + 2p + 1}{4} - 2p + 2 = \frac{p^2 - 2p + 1}{4} ⇒p2+2p+1−8p+84=p2−2p+14\Rightarrow \frac{p^2 + 2p + 1 - 8p + 8}{4} = \frac{p^2 - 2p + 1}{4} ⇒p2−6p+9=p2−2p+1\Rightarrow p^2 - 6p + 9 = p^2 - 2p + 1 ⇒−6p+2p=1−9⇒−4p=−8⇒p=2\Rightarrow -6p + 2p = 1 - 9 \Rightarrow -4p = -8 \Rightarrow p = 2 । ✅ ଉତ୍ତର: p=2p = 2

❓ 11. ଯଦି 5x2−3x−2=05x^2 - 3x - 2 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ α\alpha ଓ β\beta, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ α3+β3=117125\alpha^3 + \beta^3 = \frac{117}{125} ।

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ a=5,b=−3,c=−2a=5, b=-3, c=-2 । ତେଣୁ α+β=35\alpha + \beta = \frac{3}{5} ଏବଂ αβ=−25\alpha\beta = -\frac{2}{5} । ସୂତ୍ର: α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) =(35)3−3(−25)(35)= \left(\frac{3}{5}\right)^3 - 3\left(-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) =27125+1825= \frac{27}{125} + \frac{18}{25} =27+90125=117125= \frac{27 + 90}{125} = \frac{117}{125} । (ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା) ✅

❓ 12. ଯଦି 5x2+17x+6=05x^2 + 17x + 6 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦୟ α\alpha ଓ β\beta ହୁଏ ତେବେ 1α2+1β2\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ α+β=−175\alpha + \beta = -\frac{17}{5} ଏବଂ αβ=65\alpha\beta = \frac{6}{5} । 1α2+1β2=α2+β2α2β2=(α+β)2−2αβ(αβ)2\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} =(−175)2−2(65)(65)2=28925−1253625=289−60253625=22925×2536=22936= \frac{\left(-\frac{17}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{6}{5}\right)}{\left(\frac{6}{5}\right)^2} = \frac{\frac{289}{25} - \frac{12}{5}}{\frac{36}{25}} = \frac{\frac{289 - 60}{25}}{\frac{36}{25}} = \frac{229}{25} \times \frac{25}{36} = \frac{229}{36} । ✅ ଉତ୍ତର: 22936\frac{229}{36}

❓ 13. x2−8x+16p=0x^2 - 8x + 16p = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ୱୟ α\alpha ଓ β\beta ହେଲେ αβα+β\frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta} ପରିପ୍ରକାଶକୁ pp ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ସମଷ୍ଟି α+β=−−81=8\alpha + \beta = -\frac{-8}{1} = 8 ଏବଂ ଗୁଣଫଳ αβ=16p\alpha\beta = 16p । ବର୍ତ୍ତମାନ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେଉଛି αβα+β\frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta} । ମୂଲ୍ୟ ରଖିଲେ ଆମେ ପାଇବା 16p8=2p\frac{16p}{8} = 2p । ✅ ଉତ୍ତର: 2p2p

❓ 14. x2−2(5+2m)x+3(7+10m)=0x^2 - 2(5 + 2m)x + 3(7 + 10m) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହୁଏ, mm ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ସମାନ) ହେଲେ ପ୍ରଭେଦକ D=0D = 0 ହୁଏ। D=b2−4ac=[−2(5+2m)]2−4(1)[3(7+10m)]=0D = b^2 - 4ac = [-2(5 + 2m)]^2 - 4(1)[3(7 + 10m)] = 0 ⇒4(25+20m+4m2)−12(7+10m)=0\Rightarrow 4(25 + 20m + 4m^2) - 12(7 + 10m) = 0 ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: ⇒25+20m+4m2−3(7+10m)=0\Rightarrow 25 + 20m + 4m^2 - 3(7 + 10m) = 0 ⇒4m2+20m+25−21−30m=0\Rightarrow 4m^2 + 20m + 25 - 21 - 30m = 0 ⇒4m2−10m+4=0\Rightarrow 4m^2 - 10m + 4 = 0 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ⇒2m2−5m+2=0\Rightarrow 2m^2 - 5m + 2 = 0 ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ: 2m2−4m−m+2=0⇒2m(m−2)−1(m−2)=0⇒(2m−1)(m−2)=02m^2 - 4m - m + 2 = 0 \Rightarrow 2m(m - 2) - 1(m - 2) = 0 \Rightarrow (2m - 1)(m - 2) = 0 । ତେଣୁ m=12m = \frac{1}{2} କିମ୍ବା m=2m = 2 । ✅ ଉତ୍ତର: m=12m = \frac{1}{2} କିମ୍ବା m=2m = 2

❓ 15. (i) ଯଦି a=b=ca = b = c ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ସମୀକରଣ (x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 ର ମୂଳଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ।

✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ a=b=ca = b = c। ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା: (x−a)(x−a)+(x−a)(x−a)+(x−a)(x−a)=0(x - a)(x - a) + (x - a)(x - a) + (x - a)(x - a) = 0 ⇒(x−a)2+(x−a)2+(x−a)2=0\Rightarrow (x - a)^2 + (x - a)^2 + (x - a)^2 = 0 ⇒3(x−a)2=0⇒(x−a)2=0\Rightarrow 3(x - a)^2 = 0 \Rightarrow (x - a)^2 = 0 ଏଥିରୁ ଆମକୁ x=ax = a ଏବଂ x=ax = a ମିଳିବ, ଯାହାକି ଦର୍ଶାଉଛି ଯେ ସମୀକରଣର ଦୁଇଟି ଯାକ ମୂଳ ସମାନ (ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ) ଅଟେ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

(ii) a+b+c=0a + b + c = 0 ଏବଂ a,b,ca, b, c ବାସ୍ତବ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (b+c−a)x2+(c+a−b)x+(a+b−c)=0(b + c - a)x^2 + (c + a - b)x + (a + b - c) = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ପରିମେୟ ।

✏️ ସମାଧାନ: ଯେହେତୁ a+b+c=0a + b + c = 0, ତେଣୁ b+c=−ab + c = -a, c+a=−bc + a = -b, ଏବଂ a+b=−ca + b = -c। ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣରେ ରଖିଲେ ସହଗଗୁଡ଼ିକ ହେବ: b+c−a=−a−a=−2ab + c - a = -a - a = -2a c+a−b=−b−b=−2bc + a - b = -b - b = -2b a+b−c=−c−c=−2ca + b - c = -c - c = -2c ସମୀକରଣଟି ହେବ −2ax2−2bx−2c=0⇒ax2+bx+c=0-2ax^2 - 2bx - 2c = 0 \Rightarrow ax^2 + bx + c = 0। ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ପରିମେୟ ହେବା ପାଇଁ ଏହାର ପ୍ରଭେଦକ (DD) ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। D=b2−4acD = b^2 - 4ac। ପୁନଶ୍ଚ b=−(a+c)b = -(a + c) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: D=(−(a+c))2−4ac=a2+c2+2ac−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2D = (-(a + c))^2 - 4ac = a^2 + c^2 + 2ac - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2 । ଯେହେତୁ D=(a−c)2D = (a - c)^2, ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସର୍ବଦା 00 ବା ତାଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ (D≥0D \ge 0)। ତେଣୁ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ଓ ପରିମେୟ ଅଟେ। (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

❓ 16. ଗୋଟିଏ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 3 ଓ ମୂଳଦ୍ଵୟର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 29 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି ନିରୂପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଏବଂ $\beta$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $\alpha + \beta = 3$ ଏବଂ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $\alpha^2 + \beta^2 = 29$ ।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $29 = (3)^2 - 2\alpha\beta \Rightarrow 29 = 9 - 2\alpha\beta \Rightarrow 2\alpha\beta = 9 - 29 = -20 \Rightarrow \alpha\beta = -10$ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $-10$ ଅଟେ।
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ ସୂତ୍ର: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
$\Rightarrow x^2 - (3)x + (-10) = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$ ।
✅ ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $x^2 - 3x - 10 = 0$

❓ 17. ଯଦି $2x^2 - 4x + 2 = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଓ $\beta$ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 4(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) + 2\alpha\beta = 12$

✏️ ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣରେ $a=2, b=-4, c=2$ ।
ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ $\alpha\beta = \frac{2}{2} = 1$ ।
ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସରଳ କଲେ: $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} + 4\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\right) + 2\alpha\beta$ ।
ଏଠାରେ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2$ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପରିପ୍ରକାଶରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:
$\frac{2}{1} + 4\left(\frac{2}{1}\right) + 2(1) = 2 + 8 + 2 = 12$ ।
ଏହା ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସହ ସମାନ। ତେଣୁ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା। ✅

❓ 18. (i) ଯଦି $ax^2 + bx + c = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 4 ଗୁଣ ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $4b^2 = 25ac$

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୂଳ $\alpha$, ତେଣୁ ଅନ୍ୟଟି ହେବ $4\alpha$ ।
ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି: $\alpha + 4\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow 5\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{5a}$ ।
ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ: $\alpha \times 4\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 4\alpha^2 = \frac{c}{a}$ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ $\alpha$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $4\left(-\frac{b}{5a}\right)^2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 4\left(\frac{b^2}{25a^2}\right) = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{4b^2}{25a} = c$ (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $a$ କାଟିଦେଲେ)।
ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $4b^2 = 25ac$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

(ii) ଯଦି $x^2 - px + q = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ଅପରଟିର 2 ଗୁଣ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $2p^2 = 9q$

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୂଳ $\alpha$, ତେଣୁ ଅନ୍ୟଟି ହେବ $2\alpha$ ।
ସମଷ୍ଟି: $\alpha + 2\alpha = -\frac{-p}{1} \Rightarrow 3\alpha = p \Rightarrow \alpha = \frac{p}{3}$ ।
ଗୁଣଫଳ: $\alpha \times 2\alpha = \frac{q}{1} \Rightarrow 2\alpha^2 = q$ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ $\alpha$ ର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $2\left(\frac{p}{3}\right)^2 = q \Rightarrow 2\left(\frac{p^2}{9}\right) = q \Rightarrow \frac{2p^2}{9} = q \Rightarrow 2p^2 = 9q$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

❓ 19. (i) ଯଦି $41x^2 - 2(5a + 4b)x + (a^2 + b^2) = 0$ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି ପ୍ରଭେଦକ $D = 0$ ।
$D = [-2(5a + 4b)]^2 - 4(41)(a^2 + b^2) = 0$
$\Rightarrow 4(25a^2 + 40ab + 16b^2) - 164(a^2 + b^2) = 0$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:
$25a^2 + 40ab + 16b^2 - 41a^2 - 41b^2 = 0$
$\Rightarrow -16a^2 + 40ab - 25b^2 = 0$
$\Rightarrow 16a^2 - 40ab + 25b^2 = 0$
ଏହା $(4a - 5b)^2$ ର ସୂତ୍ର ଅଟେ। ତେଣୁ $(4a - 5b)^2 = 0 \Rightarrow 4a - 5b = 0 \Rightarrow 4a = 5b \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

(ii) ଯଦି $x^2 + px + q = 0$ ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $2q = p(p+1)$

✏️ ସମାଧାନ: ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି $\alpha + \beta = -p$ ଏବଂ ଗୁଣଫଳ $\alpha\beta = q$ ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ: $\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$ ।
ତେଣୁ, $-p = p^2 - 2q \Rightarrow 2q = p^2 + p \Rightarrow 2q = p(p + 1)$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

(iii) ଯଦି $x^2 + px + q = 0$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ ଅନ୍ୟଟିର ବର୍ଗ ହୁଏ, ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $p^3 + q^2 + q = 3pq$

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ବୀଜ $\alpha$, ତେଣୁ ଅନ୍ୟଟି ହେବ $\alpha^2$ ।
ସମଷ୍ଟି: $\alpha + \alpha^2 = -p$ । ଗୁଣଫଳ: $\alpha \times \alpha^2 = q \Rightarrow \alpha^3 = q$ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ "ସମଷ୍ଟି" ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଘନ (cube) କଲେ:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
$\Rightarrow \alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3(\alpha)(\alpha^2)(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
$\Rightarrow \alpha^3 + \alpha^6 + 3\alpha^3(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
ଏଠାରେ $\alpha^3 = q$ ଏବଂ $(\alpha + \alpha^2) = -p$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3 \Rightarrow q + q^2 - 3pq = -p^3 \Rightarrow p^3 + q^2 + q = 3pq$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅

❓ 20. ଯଦି $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୁଏ ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହି ସମୀକରଣରେ ସହଗଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର:
$a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0$ ।
ଯେହେତୁ ସହଗଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ, ତେଣୁ ଏହି ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ମୂଳ ସର୍ବଦା 1 ହେବ।
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ବୀଜଦ୍ଵୟ ସମାନ, ଅର୍ଥାତ୍ ଉଭୟ ମୂଳ 1 ଏବଂ 1 ଅଟେ।

ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ $= 1 \times 1 = 1$ ।

ଗୁଣଫଳ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାଇ ତେଣୁ $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}=1$

$\frac{c(a-b)}{a(b-c)} = 1 \Rightarrow c(a-b) = a(b-c) \Rightarrow ac - bc = ab - ac$ ।

ଏହାକୁ ସଜାଇଲେ: $2ac = ab + bc$ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $abc$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc} \Rightarrow \frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$ । (ପ୍ରମାଣିତ) ✅