ଭାଗ ୧: ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର)

❓ 1. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 25 ଓ ବିୟୋଗଫଳ 5 । ବଡ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି $x$ ଓ $y$ । $x + y = 25$ .....(i) $x - y = 5$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $2x = 30 \Rightarrow x = 15$ $\therefore$ ବଡ ସଂଖ୍ୟାଟି 15 ।

❓ 2. ଗୋଟିଏ କଲମ ଓ ଗୋଟିଏ ଖାତାର ମୂଲ୍ୟ 40 ଟଙ୍କା । ଯଦି କଲମର ମୂଲ୍ୟ ଖାତା ମୂଲ୍ୟ ଠାରୁ 10 ଟଙ୍କା କମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ଖାତାର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର କଲମ ମୂଲ୍ୟ = $C$ ଏବଂ ଖାତା ମୂଲ୍ୟ = $K$ । $C + K = 40$ .....(i) $C = K - 10$ .....(ii) (ii) ରୁ $C$ ର ମାନକୁ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $(K - 10) + K = 40$ $\Rightarrow 2K - 10 = 40$ $\Rightarrow 2K = 50 \Rightarrow K = 25$ $\therefore$ ଖାତାର ମୂଲ୍ୟ 25 ଟଙ୍କା ।

❓ 3. ପିତା ଓ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି 40 ବର୍ଷ । ପିତାଙ୍କ ବୟସ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସର 3 ଗୁଣ ହେଲେ, ପୁତ୍ରର ବୟସ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବୟସ = $F$ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବୟସ = $S$ । $F + S = 40$ .....(i) $F = 3S$ .....(ii) $F$ ର ମାନକୁ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3S + S = 40 \Rightarrow 4S = 40 \Rightarrow S = 10$ $\therefore$ ପୁତ୍ରର ବୟସ 10 ବର୍ଷ ।

❓ 4. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 9 । ଯଦି ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $x$ ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $y$ ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର । ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ଅଛି, $x + y = 9 \Rightarrow y = 9 - x$ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $10x + y$ । $y$ ର ମାନ ସ୍ଥାପନ କଲେ: ସଂଖ୍ୟା $= 10x + (9 - x) = 9x + 9$ $\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଟି $9x + 9$ ।

❓ 5. $\frac{x}{y}$ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବରୁ 1 ବିୟୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{1}{2}$ ହୁଏ । ଏହାକୁ ଏକ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରକାଶ କର । ସମାଧାନ: ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ: $\frac{x - 1}{y} = \frac{1}{2}$ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: $2(x - 1) = 1(y)$ $\Rightarrow 2x - 2 = y$ $\therefore$ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $2x - y = 2$ ।

❓ 6. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 30 ସେ.ମି. । ଯଦି ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ($l$) ପ୍ରସ୍ଥ ($w$) ଠାରୁ 5 ସେ.ମି. ଅଧିକ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥ ପାଇଁ ସମୀକରଣ ଗଠନ କର । ସମାଧାନ: ପରିସୀମା $= 2(l + w) = 30 \Rightarrow l + w = 15$ ଦତ୍ତ ଅଛି: $l = w + 5$ $l$ ର ମାନକୁ $l + w = 15$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $(w + 5) + w = 15$ $\therefore$ ସମୀକରଣଟି $2w + 5 = 15$ ।

❓ 7. 4 ଟି ଆମ୍ବ ଓ 2 ଟି କମଳାର ଦାମ୍ 30 ଟଙ୍କା । ଯଦି ଗୋଟିଏ କମଳାର ଦାମ୍ 3 ଟଙ୍କା, ତେବେ ଗୋଟିଏ ଆମ୍ବର ଦାମ୍ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ଆମ୍ବର ଦାମ୍ = $x$, କମଳାର ଦାମ୍ = $y$ । $4x + 2y = 30$ ଦତ୍ତ ଅଛି $y = 3$ । $\Rightarrow 4x + 2(3) = 30$ $\Rightarrow 4x + 6 = 30$ $\Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6$ $\therefore$ ଗୋଟିଏ ଆମ୍ବର ଦାମ୍ 6 ଟଙ୍କା ।

❓ 8. $x+y=5$ ଏବଂ $2x+2y=k$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥିଲେ, $k$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{5}{k}$ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{1}{2} = \frac{5}{k} \Rightarrow k = 10$ $\therefore k = 10$ ।

❓ 9. ରାମ ଓ ହରିଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି 25 । ରାମ, ହରି ଠାରୁ 5 ବର୍ଷ ବଡ । ହରିର ବୟସ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ରାମର ବୟସ = $R$, ହରିର ବୟସ = $H$ । $R + H = 25$ .....(i) $R = H + 5$ .....(ii) $R$ ର ମାନକୁ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $(H + 5) + H = 25$ $\Rightarrow 2H = 20 \Rightarrow H = 10$ $\therefore$ ହରିର ବୟସ 10 ବର୍ଷ ।

❓ 10. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ତିନିଗୁଣର ସମଷ୍ଟି 20 । ଏହାକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣରେ ଲେଖ । ସମାଧାନ: ମନେକର ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା = $x$, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = $y$ । $\therefore$ ସମୀକରଣଟି $2x + 3y = 20$ ।

ଭାଗ ୨: ୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (ବିସ୍ତୃତ ସମାଧାନ)

❓ 11. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ ଅଟେ । ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ 18 ବିୟୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଯାଏ । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ମନେକର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = $x$ ଏବଂ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = $y$ । $\therefore$ ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି = $10x + y$ ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ = $x + y$ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା = $10y + x$

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $10x + y = 4(x + y)$ $\Rightarrow 10x + y = 4x + 4y$ $\Rightarrow 10x - 4x = 4y - y$ $\Rightarrow 6x = 3y \Rightarrow \mathbf{y = 2x}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $(10x + y) - 18 = 10y + x$ $\Rightarrow 10x - x + y - 10y = 18$ $\Rightarrow 9x - 9y = 18$ $\Rightarrow \mathbf{x - y = 2}$ .....(ii)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ସମୀକରଣ (i) ରୁ $y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x - (2x) = 2$ $\Rightarrow -x = 2 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$

ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, କାରଣ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । (ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ସାମାନ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା: "ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରେ 18 ଯୋଗ କରାଯାଏ...", ଯାହା Ex 1(c) Q4 ପରି)

ନୂତନ ପ୍ରଶ୍ନ: ❓ 11. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ ଅଟେ । ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟିରେ 18 ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଯାଏ । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $10x + y = 4(x+y) \Rightarrow \mathbf{y = 2x}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $(10x + y) + 18 = 10y + x$ $\Rightarrow 18 = 10y - y + x - 10x$ $\Rightarrow 18 = 9y - 9x$ $\Rightarrow \mathbf{y - x = 2}$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $y$ ର ମାନକୁ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $(2x) - x = 2$ $\Rightarrow \mathbf{x = 2}$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $y = 2(2) \Rightarrow \mathbf{y = 4}$ $\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଟି ($10x+y$) = $10(2) + 4 = 24$ ।

❓ 12. ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଓ ହର ଉଭୟରେ 2 ଯୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{9}{11}$ ହୁଏ । ଯଦି ଲବ ଓ ହର ଉଭୟରୁ 3 ବିୟୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ତାହା $\frac{4}{5}$ ହୁଏ । ଭଗ୍ନାଂଶଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{x}{y}$ ।

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}$ $\Rightarrow 11(x + 2) = 9(y + 2)$ $\Rightarrow 11x + 22 = 9y + 18$ $\Rightarrow \mathbf{11x - 9y = -4}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{x-3}{y-3} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow 5(x - 3) = 4(y - 3)$ $\Rightarrow 5x - 15 = 4y - 12$ $\Rightarrow \mathbf{5x - 4y = 3}$ .....(ii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରିବା । (i) କୁ 4 ରେ ଓ (ii) କୁ 9 ରେ ଗୁଣନ କରିବା । $4 \times (i) \Rightarrow 44x - 36y = -16$ .....(iii) $9 \times (ii) \Rightarrow 45x - 36y = 27$ .....(iv)

ସମୀକରଣ (iv) ରୁ (iii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(45x - 36y) - (44x - 36y) = 27 - (-16)$ $\Rightarrow 45x - 36y - 44x + 36y = 27 + 16$ $\Rightarrow \mathbf{x = 43}$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $5(43) - 4y = 3$ $\Rightarrow 215 - 4y = 3$ $\Rightarrow -4y = 3 - 215 = -212$ $\Rightarrow \mathbf{y = \frac{-212}{-4} = 53}$ $\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{43}{53}$ ।

❓ 13. ୫ ବର୍ଷ ପରେ, ପିତାର ବୟସ ତା' ପୁତ୍ରର ବୟସର ୩ ଗୁଣ ହେବ । ୫ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ, ପିତାର ବୟସ ତା' ପୁତ୍ରର ବୟସର ୭ ଗୁଣ ଥିଲା । ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = $x$ ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ = $y$ ବର୍ଷ

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ (୫ ବର୍ଷ ପରେ): $x + 5 = 3(y + 5)$ $\Rightarrow x + 5 = 3y + 15$ $\Rightarrow \mathbf{x - 3y = 10}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ (୫ ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ): $x - 5 = 7(y - 5)$ $\Rightarrow x - 5 = 7y - 35$ $\Rightarrow \mathbf{x - 7y = -30}$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(x - 3y) - (x - 7y) = 10 - (-30)$ $\Rightarrow x - 3y - x + 7y = 40$ $\Rightarrow 4y = 40 \Rightarrow \mathbf{y = 10}$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x - 3(10) = 10$ $\Rightarrow x - 30 = 10 \Rightarrow \mathbf{x = 40}$ $\therefore$ ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ୪୦ ବର୍ଷ ଓ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ୧୦ ବର୍ଷ ।

❓ 14. ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 2 ମିଟର ବଢ଼ାଇଲେ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 2 ମିଟର କମାଇଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବର୍ଗ ମିଟର କମିଯାଏ । ଯଦି ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 1 ମିଟର କମାଇ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 2 ମିଟର ବଢ଼ାଇଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 33 ବର୍ଗ ମିଟର ବଢ଼ିଯାଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $l$ ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = $b$ ମିଟର । ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $lb$ ବର୍ଗ ମିଟର ।

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $(l + 2)(b - 2) = lb - 28$ $\Rightarrow lb - 2l + 2b - 4 = lb - 28$ $\Rightarrow -2l + 2b = -24$ $\Rightarrow -l + b = -12 \Rightarrow \mathbf{b = l - 12}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $(l - 1)(b + 2) = lb + 33$ $\Rightarrow lb + 2l - b - 2 = lb + 33$ $\Rightarrow \mathbf{2l - b = 35}$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $b$ ର ମାନକୁ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2l - (l - 12) = 35$ $\Rightarrow 2l - l + 12 = 35$ $\Rightarrow \mathbf{l = 23}$

$l$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $b = 23 - 12 \Rightarrow \mathbf{b = 11}$ $\therefore$ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨୩ ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ୧୧ ମିଟର ।

❓ 15. 4 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 6 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ଏକତ୍ର ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 8 ଦିନରେ ଶେଷ କରନ୍ତି । 3 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 7 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ 10 ଦିନରେ ଶେଷ କରନ୍ତି । 10 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ କେତେ ଦିନରେ ଶେଷ କରିବେ? ସମାଧାନ: ମନେକର ଜଣେ ପୁରୁଷ $x$ ଦିନରେ ଓ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ $y$ ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟ ଶେଷ କରେ । ପୁରୁଷର 1 ଦିନର କାର୍ଯ୍ୟ = $\frac{1}{x}$ ; ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକର 1 ଦିନର କାର୍ଯ୍ୟ = $\frac{1}{y}$

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{8}$ .....(i) ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{10}$ .....(ii)

ମନେକର $u = \frac{1}{x}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{y}$ $4u + 6v = \frac{1}{8} \Rightarrow 32u + 48v = 1$ .....(A) $3u + 7v = \frac{1}{10} \Rightarrow 30u + 70v = 1$ .....(B)

ସମୀକରଣ (A) ରୁ: $32u = 1 - 48v \Rightarrow u = \frac{1 - 48v}{32}$ $u$ ର ମାନକୁ (B) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $30\left(\frac{1 - 48v}{32}\right) + 70v = 1$ ସରଳ କରିବା: $15\left(\frac{1 - 48v}{16}\right) + 70v = 1$ 16 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ: $15(1 - 48v) + 16(70v) = 16$ $\Rightarrow 15 - 720v + 1120v = 16$ $\Rightarrow 400v = 1 \Rightarrow \mathbf{v = \frac{1}{400}}$

$v = \frac{1}{y} \Rightarrow \mathbf{y = 400}$ (ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ 400 ଦିନରେ କାମ ଶେଷ କରେ) 10 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକଙ୍କ 1 ଦିନର କାର୍ଯ୍ୟ = $10 \times \frac{1}{y} = 10 \times \frac{1}{400} = \frac{1}{40}$ $\therefore$ 10 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ 40 ଦିନରେ ଶେଷ କରିବେ । (ଏଠାରେ $x$ ର ମାନ ବାହାର କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ)

❓ 16. A ଓ B ର ମାସିକ ଆୟର ଅନୁପାତ 5:4 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମାସିକ ବ୍ୟୟର ଅନୁପାତ 3:2 । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ମାସ ଶେଷରେ 4000 ଟଙ୍କା ସଞ୍ଚୟ କରନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କ ମାସିକ ଆୟ କେତେ? ସମାଧାନ: ମନେକର A ର ମାସିକ ଆୟ = $5x$ ଟଙ୍କା ଏବଂ B ର ମାସିକ ଆୟ = $4x$ ଟଙ୍କା ମନେକର A ର ମାସିକ ବ୍ୟୟ = $3y$ ଟଙ୍କା ଏବଂ B ର ମାସିକ ବ୍ୟୟ = $2y$ ଟଙ୍କା

ଆମେ ଜାଣୁ, ସଞ୍ଚୟ = ଆୟ - ବ୍ୟୟ ।

A ପାଇଁ: $5x - 3y = 4000$ .....(i) B ପାଇଁ: $4x - 2y = 4000 \Rightarrow 2x - y = 2000 \Rightarrow \mathbf{y = 2x - 2000}$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ $y$ ର ମାନକୁ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $5x - 3(2x - 2000) = 4000$ $\Rightarrow 5x - 6x + 6000 = 4000$ $\Rightarrow -x = -2000 \Rightarrow \mathbf{x = 2000}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା: A ର ଆୟ = $5x = 5 \times 2000 = 10000$ ଟଙ୍କା B ର ଆୟ = $4x = 4 \times 2000 = 8000$ ଟଙ୍କା $\therefore$ A ର ମାସିକ ଆୟ 10,000 ଟଙ୍କା ଏବଂ B ର ମାସିକ ଆୟ 8,000 ଟଙ୍କା ।

❓ 17. ଦୁଇଟି ସ୍ଥାନ A ଓ B ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 120 କି.ମି. । ଗୋଟିଏ କାର୍ A ରୁ ଓ ଅନ୍ୟଟି B ରୁ ଏକ ସମୟରେ ଯାତ୍ରା ଆରମ୍ଭ କଲେ । ଯଦି ସେମାନେ ପରସ୍ପର ବିପରୀତ ଦିଗରେ (ପରସ୍ପର ଆଡକୁ) ଗତି କରନ୍ତି, ସେମାନେ 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଭେଟନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନେ ଏକା ଦିଗରେ ଗତି କରନ୍ତି, ସେମାନେ 6 ଘଣ୍ଟାରେ ଭେଟନ୍ତି । କାର ଦୁଇଟିର ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ମନେକର A ରୁ ଯାଉଥିବା କାରର ବେଗ = $u$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ B ରୁ ଯାଉଥିବା କାରର ବେଗ = $v$ କି.ମି./ଘଣ୍ଟା (ଧରନ୍ତୁ $u > v$)

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ (ବିପରୀତ ଦିଗ): 1 ଘଣ୍ଟାରେ A ଦ୍ଵାରା ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା = $u$ 1 ଘଣ୍ଟାରେ B ଦ୍ଵାରା ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା = $v$ ସେମାନେ ମିଶି 120 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରନ୍ତି । $\Rightarrow \mathbf{u + v = 120}$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ (ଏକା ଦିଗ): 6 ଘଣ୍ଟାରେ A ଦ୍ଵାରା ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା = $6u$ 6 ଘଣ୍ଟାରେ B ଦ୍ଵାରା ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା = $6v$ A, B କୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ 120 କି.ମି. ଅଧିକ ଯିବାକୁ ପଡିବ । $\Rightarrow 6u - 6v = 120$ $\Rightarrow \mathbf{u - v = 20}$ .....(ii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(u + v) + (u - v) = 120 + 20$ $\Rightarrow 2u = 140 \Rightarrow \mathbf{u = 70}$

$u$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $70 + v = 120 \Rightarrow \mathbf{v = 50}$ $\therefore$ କାର ଦୁଇଟିର ବେଗ 70 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ଏବଂ 50 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ।

❓ 18. 3 ଟି ଚେୟାର ଓ 2 ଟି ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ 1900 ଟଙ୍କା । 5 ଟି ଚେୟାର ଓ 3 ଟି ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ 3000 ଟଙ୍କା । ଗୋଟିଏ ଚେୟାର ଓ ଗୋଟିଏ ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ ଚେୟାରର ମୂଲ୍ୟ = $x$ ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ = $y$ ଟଙ୍କା

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $3x + 2y = 1900$ .....(i) ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: $5x + 3y = 3000$ .....(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, (i) କୁ 3 ରେ ଓ (ii) କୁ 2 ରେ ଗୁଣନ କରିବା । $3 \times (i) \Rightarrow 9x + 6y = 5700$ .....(iii) $2 \times (ii) \Rightarrow 10x + 6y = 6000$ .....(iv)

ସମୀକରଣ (iv) ରୁ (iii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(10x + 6y) - (9x + 6y) = 6000 - 5700$ $\Rightarrow \mathbf{x = 300}$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3(300) + 2y = 1900$ $\Rightarrow 900 + 2y = 1900$ $\Rightarrow 2y = 1000 \Rightarrow \mathbf{y = 500}$ $\therefore$ ଗୋଟିଏ ଚେୟାରର ମୂଲ୍ୟ 300 ଟଙ୍କା ଓ ଗୋଟିଏ ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ 500 ଟଙ୍କା ।

❓ 19. 50 କୁ ଏପରି ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କ ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{1}{12}$ ହେବ । ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୁଇଟି ଭାଗ $x$ ଓ $y$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $x + y = 50 \Rightarrow y = 50 - x$ .....(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ (ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି): $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow \frac{y + x}{xy} = \frac{1}{12}$

$x+y = 50$ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $\frac{50}{xy} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow xy = 50 \times 12 \Rightarrow \mathbf{xy = 600}$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $y$ ର ମାନକୁ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x(50 - x) = 600$ $\Rightarrow 50x - x^2 = 600$ $\Rightarrow x^2 - 50x + 600 = 0$ ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ (ଏହା Ex 1(c) ପରିସର ବାହାରେ), କିନ୍ତୁ ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ । $x^2 - 30x - 20x + 600 = 0$ $\Rightarrow x(x - 30) - 20(x - 30) = 0$ $\Rightarrow (x - 30)(x - 20) = 0$ $\Rightarrow x = 30$ କିମ୍ବା $x = 20$

ଯଦି $x = 30$, ତେବେ $y = 50 - 30 = 20$ । ଯଦି $x = 20$, ତେବେ $y = 50 - 20 = 30$ । $\therefore$ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 20 ଓ 30 ।

❓ 20. ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCD ର କୋଣଗୁଡିକ ହେଲା $\angle A = (x+10)^\circ$, $\angle B = (y+20)^\circ$, $\angle C = (x+30)^\circ$, $\angle D = (y+40)^\circ$ । ଯଦି ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ବୃତ୍ତସ୍ଥ (cyclic) ହୁଏ, ତେବେ $x$ ଓ $y$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମାଧାନ: ବୃତ୍ତସ୍ଥ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡିକ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ (ଅର୍ଥାତ୍ ସମଷ୍ଟି 180°) । $\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ$ $\Rightarrow (x + 10) + (x + 30) = 180$ $\Rightarrow 2x + 40 = 180$ $\Rightarrow 2x = 140 \Rightarrow \mathbf{x = 70}$

ଏବଂ $\angle B + \angle D = 180^\circ$ $\Rightarrow (y + 20) + (y + 40) = 180$ $\Rightarrow 2y + 60 = 180$ $\Rightarrow 2y = 120 \Rightarrow \mathbf{y = 60}$ $\therefore x = 70$ ଏବଂ $y = 60$ ।