❓ 1. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 137 ଓ ସେମାନଙ୍କର ବିୟୋଗ ଫଳ 43 । ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ନିରୁପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ଏବଂ ସାନ ସଂଖ୍ୟାଟି $y$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ $x + y = 137$ (ସମୀକରଣ ୧) ଏବଂ ବିୟୋଗଫଳ $x - y = 43$ (ସମୀକରଣ ୨)। ଏବେ ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $2x = 180$, ଅର୍ଥାତ୍ $x = 90$। ବର୍ତ୍ତମାନ $x$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $90 + y = 137$ ହେବ, ଯେଉଁଥିରୁ $y = 137 - 90 = 47$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ହେଉଛି 90 ଓ 47। ✅

❓ 2. ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x + 4$ ସେ.ମି., $4x - y$ ସେ.ମି. ଓ $y + 2$ ସେ.ମି. ହେଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ। ତେଣୁ $x + 4 = 4x - y = y + 2$ । ପ୍ରଥମେ $x + 4 = y + 2$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $y = x + 2$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟରେ $x + 4 = 4x - y$ କୁ ନେଲେ ଆମେ ପାଇବା $3x - y = 4$ (ସମୀକରଣ ୨)। ସମୀକରଣ ୧ ରୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $3x - (x + 2) = 4$ ହେବ। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $2x - 2 = 4$ ଅର୍ଥାତ୍ $2x = 6$ ମିଳିବ, ଯାହା ଫଳରେ $x = 3$ ହେବ। $x = 3$ ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= x + 4 = 3 + 4 = 7$ ସେ.ମି.। ତେଣୁ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି 7 ସେ.ମି.। ✅

❓ 3. ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର $AB = 3x + y$ ସେ.ମି., $BC = 3x + 2$ ସେ.ମି., $CD = 3y - 2x$ ସେ.ମି. ଓ $DA = y + 3$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିରୁପଣ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଥାଏ। ଅର୍ଥାତ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $AB = CD$ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $BC = DA$ । $AB = CD$ ରୁ ଆମେ ପାଇବା $3x + y = 3y - 2x$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $5x - 2y = 0$ ହେବ (ସମୀକରଣ ୧)। ସେହିପରି $BC = DA$ ରୁ $3x + 2 = y + 3$ ମିଳିବ, ଯେଉଁଥିରୁ $y = 3x - 1$ ହେବ (ସମୀକରଣ ୨)। ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ୨ ରୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $5x - 2(3x - 1) = 0$ ହେବ। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $5x - 6x + 2 = 0$ ଅର୍ଥାତ୍ $x = 2$ ମିଳିବ। $x = 2$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $y = 3(2) - 1 = 5$ ହେବ। ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $AB = 3(2) + 5 = 11$ ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $BC = 3(2) + 2 = 8$ ସେ.ମି.। ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \text{ଦୈର୍ଘ୍ୟ} \times \text{ପ୍ରସ୍ଥ} = 11 \times 8 = 88$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.। ✅

❓ 4. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କ ଦ୍ବୟର ଯୋଗ ଫଳର 4 ଗୁଣ । କିନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟାଟିରେ 18 ଯୋଗ କଲେ ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳି ଯାଏ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ? ✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $x$ ଏବଂ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $y$ । ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $10x + y$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $10x + y = 4(x + y)$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $10x + y = 4x + 4y$ ଅର୍ଥାତ୍ $6x - 3y = 0$, ଯାହା ଫଳରେ $y = 2x$ ମିଳିବ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ସଂଖ୍ୟାରେ 18 ଯୋଗ କଲେ ଅଙ୍କ ସ୍ଥାନ ବଦଳେ: $(10x + y) + 18 = 10y + x$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $9y - 9x = 18$ ଅର୍ଥାତ୍ $y - x = 2$ ହେବ। ବର୍ତ୍ତମାନ $y = 2x$ କୁ ଏଠାରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $2x - x = 2$ ମିଳିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $x = 2$ । ଏଣୁ $y = 2(2) = 4$ । ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 24। ✅

❓ 5. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାହାର ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖୁଲେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ, ସେ ଦୁହିଁଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 99 ଓ ଅଙ୍କ ଦ୍ବୟର ଅନ୍ତର 3 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $x$ ଏବଂ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $y$ । ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ଏବଂ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ ମିଳୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା $10y + x$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ଉଭୟର ଯୋଗଫଳ 99 ଅଟେ: $(10x + y) + (10y + x) = 99 \Rightarrow 11x + 11y = 99 \Rightarrow x + y = 9$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର 3: ଅର୍ଥାତ୍ $x - y = 3$ କିମ୍ବା $y - x = 3$ । ଯଦି $x - y = 3$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣ ୧ ସହ ଯୋଗ କଲେ $2x = 12 \Rightarrow x = 6$ ଏବଂ $y = 3$ ହେବ, ଯାହାଦ୍ଵାରା ସଂଖ୍ୟାଟି 63 ହେବ। ଯଦି $y - x = 3$ ହୁଏ, ତେବେ $2y = 12 \Rightarrow y = 6$ ଏବଂ $x = 3$ ହେବ, ଯାହାଦ୍ଵାରା ସଂଖ୍ୟାଟି 36 ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 63 କିମ୍ବା 36 ଅଟେ। ✅

❓ 6. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି, ସେମାନଙ୍କ ବିୟୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ 8 । ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ଏବଂ ସାନ ସଂଖ୍ୟାଟି $y$ । ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ 8, ଅର୍ଥାତ୍ $x + y = 8$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ଯୋଗଫଳ ସେମାନଙ୍କ ବିୟୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ, ଅର୍ଥାତ୍ $x + y = 4(x - y)$ । ଏଠାରେ $x + y = 8$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $8 = 4(x - y)$, ଯାହା ଫଳରେ $x - y = 2$ ହେବ (ସମୀକରଣ ୨)। ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ୧ ଓ ୨ କୁ ଯୋଗ କଲେ $2x = 10 \Rightarrow x = 5$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $5 + y = 8 \Rightarrow y = 3$ ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ 5 ଓ 3 ଅଟେ। ✅

❓ 7. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 10; କିନ୍ତୁ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖିଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣରୁ 1 ଊଣା ହୁଏ, ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦଶକ ଅଙ୍କ $x$ ଏବଂ ଏକକ ଅଙ୍କ $y$ । ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ଏବଂ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ ମିଳୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା $10y + x$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $x + y = 10$ ଅର୍ଥାତ୍ $y = 10 - x$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ନୂତନ ସଂଖ୍ୟା ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣରୁ 1 କମ୍: $10y + x = 2(10x + y) - 1$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $10y + x = 20x + 2y - 1 \Rightarrow 8y - 19x = -1 \Rightarrow 19x - 8y = 1$ ହେବ। ବର୍ତ୍ତମାନ $y = 10 - x$ କୁ ଏଠାରେ ରଖିଲେ $19x - 8(10 - x) = 1 \Rightarrow 19x - 80 + 8x = 1 \Rightarrow 27x = 81$ ମିଳିବ। ଏଥିରୁ $x = 3$ ହେବ। $x = 3$ ହେଲେ $y = 10 - 3 = 7$ ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 37। ✅

❓ 8. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମଟିର 3 ଗୁଣରୁ ଦ୍ଵିତୀୟଟିର 2 ଗୁଣ ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ 2 ହେବ ଏବଂ ଦ୍ବିତୀୟଟିରେ 7 ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ ପ୍ରଥମଟିର 2 ଗୁଣ ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟଟି $y$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $3x - 2y = 2$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାରେ 7 ଯୋଗ କଲେ ତାହା ପ୍ରଥମର 2 ଗୁଣ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $y + 7 = 2x$, ଯେଉଁଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $y = 2x - 7$ (ସମୀକରଣ ୨)। ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ୨ ରୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $3x - 2(2x - 7) = 2$ ହେବ। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $3x - 4x + 14 = 2 \Rightarrow -x = 2 - 14 \Rightarrow -x = -12 \Rightarrow x = 12$ ମିଳିବ। ଏବେ $x = 12$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $y = 2(12) - 7 = 24 - 7 = 17$ ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ହେଉଛି 12 ଓ 17। ✅

❓ 9. ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଓ ହର ରେ 2 ଯୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{9}{11}$ । ମାତ୍ର ଲବ ଓ ହରରେ 3 ଯୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{5}{6}$ ହୁଏ । ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{9}{11}$, ଯାହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $11x + 22 = 9y + 18 \Rightarrow 11x - 9y + 4 = 0$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{5}{6}$, ଯାହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ $6x + 18 = 5y + 15 \Rightarrow 6x - 5y + 3 = 0$ (ସମୀକରଣ ୨) ମିଳିବ। ଏବେ ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି ପ୍ରୟୋଗ କରିବା ପାଇଁ ସମୀକରଣ ୧ କୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ ୨ କୁ 9 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ଯଥାକ୍ରମେ $55x - 45y + 20 = 0$ (ସମୀକରଣ ୩) ଏବଂ $54x - 45y + 27 = 0$ (ସମୀକରଣ ୪) ମିଳିବ। ସମୀକରଣ ୩ ରୁ ୪ ବିୟୋଗ କଲେ $(55x - 54x) + 20 - 27 = 0 \Rightarrow x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ ମିଳିବ। ଏବେ $x = 7$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $6(7) - 5y + 3 = 0 \Rightarrow 42 - 5y + 3 = 0 \Rightarrow 5y = 45 \Rightarrow y = 9$ ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{7}{9}$। ✅

❓ 10. ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବର 3 ଗୁଣ ଓ ହରରୁ 3 ବିୟୋଗ କଲେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{18}{11}$ ହୁଏ । ମାତ୍ର ଲବରେ 8 ଯୋଗ କଲେ ଓ ହରକୁ 2 ଗୁଣ କଲେ ତାହା $\frac{2}{5}$ ହୁଏ । ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶ କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{3x}{y - 3} = \frac{18}{11}$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $\frac{x}{y - 3} = \frac{6}{11}$, ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା $11x = 6y - 18 \Rightarrow 6y = 11x + 18$ ମିଳିବ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{x + 8}{2y} = \frac{2}{5}$, ଯାହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ $5x + 40 = 4y \Rightarrow 4y = 5x + 40$ ହେବ (ସମୀକରଣ ୨)। ସମୀକରଣ ୧ କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ ୨ କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $12y$ ସୃଷ୍ଟି ହେବ। ଅର୍ଥାତ୍ $12y = 22x + 36$ ଏବଂ $12y = 15x + 120$ । ଉଭୟକୁ ସମାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $22x + 36 = 15x + 120 \Rightarrow 7x = 84 \Rightarrow x = 12$ । ଏବେ $x = 12$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $4y = 5(12) + 40 = 60 + 40 = 100 \Rightarrow y = 25$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{12}{25}$। ✅

❓ 11. 5 ଟି କଲମ ଓ 6 ଟି ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ ମିଶି 9 ଟଙ୍କା ଏବଂ 3 ଟି କଲମ ଓ 2 ଟି ପେନ୍‌ସିଲ୍‌ର ଦାମ ମିଶି 5 ଟଙ୍କା ହୁଏ । ତେବେ ଗୋଟିଏ କଲମ ଓ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲ୍‌ର ଦାମ କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଗୋଟିଏ କଲମର ଦାମ $x$ ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ $y$ ଟଙ୍କା। ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $5x + 6y = 9$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $3x + 2y = 5$ (ସମୀକରଣ ୨)। ଏବେ ସମୀକରଣ ୨ କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $9x + 6y = 15$ ମିଳିବ (ସମୀକରଣ ୩)। ସମୀକରଣ ୩ ରୁ ସମୀକରଣ ୧ କୁ ବିୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $(9x - 5x) + (6y - 6y) = 15 - 9$, ଅର୍ଥାତ୍ $4x = 6$, ଯାହା ଫଳରେ $x = 1.50$ ମିଳିବ। ଏବେ $x$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $3(1.50) + 2y = 5 \Rightarrow 4.50 + 2y = 5 \Rightarrow 2y = 0.50 \Rightarrow y = 0.25$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଗୋଟିଏ କଲମର ଦାମ 1.50 ଟଙ୍କା (1 ଟଙ୍କା 50 ପଇସା) ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ 0.25 ଟଙ୍କା (25 ପଇସା)। ✅

❓ 12. ପିତାଙ୍କ ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର 3 ଗୁଣ | 12 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାଙ୍କ ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର 2 ଗୁଣ ହେବ । ତେବେ ପିତା ଓ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$ ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $y$ ବର୍ଷ। ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $x = 3y$ (ସମୀକରଣ ୧)। 12 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାଙ୍କ ବୟସ $(x + 12)$ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବୟସ $(y + 12)$ ହେବ। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $x + 12 = 2(y + 12)$। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $x + 12 = 2y + 24 \Rightarrow x - 2y = 12$ ମିଳିବ। ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ୧ ରୁ $x = 3y$ ଏଠାରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $3y - 2y = 12 \Rightarrow y = 12$ ହେବ। $y = 12$ ହେଲେ, $x = 3(12) = 36$ ହେବ। ତେଣୁ ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 36 ବର୍ଷ ଓ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ଅଟେ। ✅

❓ 13. ଏକ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 5 ସେ.ମି. କମାଇ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 3 ସେ.ମି. ବଢ଼ାଇବା ଦ୍ଵାରା ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 9 ବର୍ଗ ସେ.ମି. କମିଯାଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 3 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 2 ସେ.ମି. ବଢ଼ାଇବା ଦ୍ଵାରା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 67 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ବଢ଼ିଯାଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ ସେ.ମି.। ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= xy$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $(x - 5)(y + 3) = xy - 9$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9 \Rightarrow 3x - 5y = 6$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $(x + 3)(y + 2) = xy + 67$ । ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67 \Rightarrow 2x + 3y = 61$ (ସମୀକରଣ ୨)। ସମୀକରଣ ୧ କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ ୨ କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ଯଥାକ୍ରମେ $6x - 10y = 12$ ଏବଂ $6x + 9y = 183$ ମିଳିବ। ଦ୍ଵିତୀୟରୁ ପ୍ରଥମକୁ ବିୟୋଗ କଲେ $19y = 171 \Rightarrow y = 9$ ହେବ। ଏବେ $y = 9$ କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $3x - 45 = 6 \Rightarrow 3x = 51 \Rightarrow x = 17$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 17 \times 9 = 153$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ। ✅

❓ 14. 2 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 3 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ଏକତ୍ର ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 5 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରନ୍ତି । ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ 4 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 9 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ଏକତ୍ର 2 ଦିନରେ ଶେଷ କରି ପାରନ୍ତି । ତେବେ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ କିମ୍ବା ଜଣେ ପୁରୁଷ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ କେତେ ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିବ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଜଣେ ପୁରୁଷ କାର୍ଯ୍ୟଟିକୁ $x$ ଦିନରେ ଓ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ $y$ ଦିନରେ ଶେଷ କରନ୍ତି। ତେଣୁ 1 ଦିନରେ ସେମାନେ ଯଥାକ୍ରମେ କାର୍ଯ୍ୟର $\frac{1}{x}$ ଏବଂ $\frac{1}{y}$ ଅଂଶ କରନ୍ତି। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{5}$ (ସମୀକରଣ ୧) ଏବଂ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$ (ସମୀକରଣ ୨)। ସମୀକରଣ ୧ କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $\frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{2}{5}$ (ସମୀକରଣ ୩) ମିଳିବ। ସମୀକରଣ ୨ ରୁ ସମୀକରଣ ୩ ବିୟୋଗ କଲେ $\frac{3}{y} = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10}$ ମିଳିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $y = 30$ । ଏବେ $\frac{3}{y} = \frac{1}{10}$ କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $\frac{2}{x} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$ ମିଳିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $x = 20$। ତେଣୁ ଜଣେ ପୁରୁଷ ଏକାକୀ 20 ଦିନରେ ଏବଂ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ଏକାକୀ 30 ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟଟିକୁ ଶେଷ କରିପାରିବେ। ✅

❓ 15. A ଓ B ଏକତ୍ର କାମ କରି ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 8 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରନ୍ତି । ସେମାନେ ଏକତ୍ର କାର୍ଯ୍ୟ ଆରମ୍ଭ କରି 3 ଦିନ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବା ପରେ A ଚାଲିଗଲା ଓ ଅବଶିଷ୍ଟ କାର୍ଯ୍ୟକୁ B ଆଉ 15 ଦିନରେ ଶେଷ କଲା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକାକୀ କାମ କଲେ କେତେ ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ଶେଷ କରି ପାରିବେ ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର A ଏକାକୀ କାମଟିକୁ $x$ ଦିନରେ ଏବଂ B ଏକାକୀ $y$ ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିବେ। ତେଣୁ 1 ଦିନରେ ସେମାନେ ଯଥାକ୍ରମେ କାର୍ଯ୍ୟର $\frac{1}{x}$ ଏବଂ $\frac{1}{y}$ ଅଂଶ କରନ୍ତି। ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$ । ସେମାନେ ଏକତ୍ର 3 ଦିନ କାମ କଲେ, ତେଣୁ $3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{3}{8}$ ଅଂଶ କାମ ଶେଷ ହେଲା। ବାକି ଥିବା କାମ $= 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ । ଏହି କାମକୁ B 15 ଦିନରେ ଶେଷ କଲା। ତେଣୁ $15 \times \frac{1}{y} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$, ଅର୍ଥାତ୍ $y = 24$ । ବର୍ତ୍ତମାନ $\frac{1}{y}$ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରେ ରଖିଲେ $\frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ ମିଳିବ, ଅର୍ଥାତ୍ $x = 12$। ତେଣୁ A ଏକାକୀ 12 ଦିନରେ ଏବଂ B ଏକାକୀ 24 ଦିନରେ କାମଟିକୁ ଶେଷ କରିପାରିବେ। ✅

❓ 16. A ଓ B ର ଆୟର ଅନୁପାତ 8:7 ଓ ବ୍ୟୟର ଅନୁପାତ 19:16 । ଯଦି ଉଭୟେ 1250 ଟଙ୍କା ସଂଚୟ କରିପାରନ୍ତି ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର A ର ଆୟ $8x$ ଏବଂ B ର ଆୟ $7x$ । ସେହିପରି A ର ବ୍ୟୟ $19y$ ଏବଂ B ର ବ୍ୟୟ $16y$ । ଉଭୟଙ୍କର ସଞ୍ଚୟ ସମାନ (1250 ଟଙ୍କା)। ସଞ୍ଚୟ = ଆୟ - ବ୍ୟୟ। ତେଣୁ $8x - 19y = 1250$ (ସମୀକରଣ ୧) ଏବଂ $7x - 16y = 1250$ (ସମୀକରଣ ୨)। ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ସମାନ କଲେ $8x - 19y = 7x - 16y \Rightarrow 8x - 7x = 19y - 16y \Rightarrow x = 3y$ । ବର୍ତ୍ତମାନ $x = 3y$ କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $8(3y) - 19y = 1250 \Rightarrow 24y - 19y = 1250 \Rightarrow 5y = 1250 \Rightarrow y = 250$ ମିଳିବ। ଯେହେତୁ $x = 3y$, ତେଣୁ $x = 3(250) = 750$ । ଅତଏବ A ର ଆୟ $= 8 \times 750 = 6000$ ଟଙ୍କା ଏବଂ B ର ଆୟ $= 7 \times 750 = 5250$ ଟଙ୍କା ଅଟେ। ✅

❓ 17. 5 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାର ବୟସ ପୁତ୍ରର ବୟସର ତିନିଗୁଣ ହେବ ଓ 5 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ପିତାର ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର ସାତଗୁଣ ଥିଲା । ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$ ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $y$ ବର୍ଷ। ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, 5 ବର୍ଷ ପରେ $x + 5 = 3(y + 5)$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $x - 3y = 10$ (ସମୀକରଣ ୧) ହେବ। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, 5 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ $x - 5 = 7(y - 5)$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $x - 7y = -30$ (ସମୀକରଣ ୨) ମିଳିବ। ସମୀକରଣ ୧ ରୁ ସମୀକରଣ ୨ କୁ ବିୟୋଗ କଲେ $(x - x) + (-3y - (-7y)) = 10 - (-30) \Rightarrow 4y = 40 \Rightarrow y = 10$ ମିଳିବ। ଏବେ $y = 10$ କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $x - 3(10) = 10 \Rightarrow x = 10 + 30 \Rightarrow x = 40$ ହେବ। ତେଣୁ ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 40 ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 10 ବର୍ଷ ଅଟେ। ✅

❓ 18. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମି. ଅଧୂକ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 2 ମି. କମ୍ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବ.ମି. କମିଯାଏ; ମାତ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 1 ମି. କମ୍ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 2 ମି. ଅଧୂକ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 33 ବ.ମି. ବଢ଼ିଯାଏ । ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ମିଟର ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ ମିଟର। ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= xy$। ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $(x + 2)(y - 2) = xy - 28$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $xy - 2x + 2y - 4 = xy - 28 \Rightarrow -2x + 2y = -24 \Rightarrow x - y = 12$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $(x - 1)(y + 2) = xy + 33$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $xy + 2x - y - 2 = xy + 33 \Rightarrow 2x - y = 35$ (ସମୀକରଣ ୨)। ସମୀକରଣ ୨ ରୁ ସମୀକରଣ ୧ କୁ ବିୟୋଗ କଲେ $(2x - x) + (-y - (-y)) = 35 - 12 \Rightarrow x = 23$ ମିଳିବ। ଏବେ $x = 23$ କୁ ସମୀକରଣ ୧ ରେ ରଖିଲେ $23 - y = 12 \Rightarrow y = 11$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 23 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 11 ମି.। ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 23 \times 11 = 253$ ବର୍ଗ ମିଟର ଅଟେ। ✅

❓ 19. 50 କୁ ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ଯେପରିକି ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବୟର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{1}{12}$

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $x$ ଏବଂ $y$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $x + y = 50$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{12}$ ମିଳିବ। $x + y = 50$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{50}{xy} = \frac{1}{12} \Rightarrow xy = 600$ (ସମୀକରଣ ୨)। ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = (50)^2 - 4(600) = 2500 - 2400 = 100$। ଏଥିରୁ $x - y = 10$ (ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ)। ଏବେ $x + y = 50$ ଏବଂ $x - y = 10$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $2x = 60 \Rightarrow x = 30$ ଏବଂ $y = 20$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 30 ଏବଂ 20। ✅

❓ 20. ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାର ଲବ ଓ ହରକୁ ଯୋଗ କରି ଯୋଗଫଳର ଏକ-ତୃତୀୟାଂଶ ନେଲେ, ତାହା ହରଠାରୁ 4 ଊଣା ହୁଏ ଓ ହରରେ 1 ଯୋଗ କରି ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ଲେଖିଲେ ତାହା $\frac{1}{4}$ ହୁଏ । ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ । ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{x + y}{3} = y - 4$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $x + y = 3y - 12 \Rightarrow x - 2y = -12$ (ସମୀକରଣ ୧)। ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{x}{y + 1} = \frac{1}{4}$, ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $4x = y + 1 \Rightarrow 4x - y = 1$ (ସମୀକରଣ ୨)। ଏବେ ସମୀକରଣ ୨ କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $8x - 2y = 2$ (ସମୀକରଣ ୩) ମିଳିବ। ସମୀକରଣ ୩ ରୁ ସମୀକରଣ ୧ କୁ ବିୟୋଗ କଲେ $(8x - x) = 2 - (-12) \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2$ ମିଳିବ। ଏବେ $x = 2$ କୁ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ରଖିଲେ $4(2) - y = 1 \Rightarrow 8 - y = 1 \Rightarrow y = 7$ ହେବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{2}{7}$। ✅

୨.୧ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) 🌟

ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ରେ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି $ax^2 + bx + c = 0$, ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$ । ଏଠାରେ $a$ ଓ $b$ ଯଥାକ୍ରମେ $x^2$ ଏବଂ $x$ ର ସହଗ (coefficient) ଏବଂ $c$ ଏକ ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା (constant) ଅଟେ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସର୍ବାଧିକ ଦୁଇଟି ମୂଳ ବା ବୀଜ (roots) ଥାଏ।

୨.୨ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution by Completing the Squares) 📐

ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ $ax^2 + bx + c = 0$ କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ସମାଧାନ କଲେ ଏହାର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଏକ ସୂତ୍ର ମିଳେ, ଯାହାକୁ ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula) କୁହାଯାଏ। ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଭାରତୀୟ ଗଣିତଜ୍ଞ ଶ୍ରୀଧର ଆଚାର୍ଯ୍ୟ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ଉଦ୍ଭାବନ କରିଥିଲେ। ସୂତ୍ରଟି ହେଉଛି:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ଯଦି ମୂଳଦ୍ଵୟ $\alpha$ ଏବଂ $\beta$ ହୁଏ, ତେବେ:

$\alpha = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{ଏବଂ} \quad \beta = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

୨.୩ ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) 🔍

ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରୁଥିବା ରାଶି $b^2 - 4ac$ କୁ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ $D$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ଅର୍ଥାତ୍, $D = b^2 - 4ac$ ।

୨.୪ ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ୱରୂପ (Nature of roots) 📊

ପ୍ରଭେଦକ ($D$) ର ମୂଲ୍ୟ ଉପରେ ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ନିର୍ଭର କରେ। ଏହାକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି: