Question 1.

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ $137$ ଓ ସେମାନଙ୍କର ବିୟୋଗଫଳ $43$। ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $x$ ଓ $y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $x + y = 137$ …(i) ଏବଂ $x - y = 43$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x + y = 137$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - y = 43$

$\qquad \qquad \qquad \quad$ ----------------------------------

ଯୋଗ କଲେ $\qquad \quad 2x \quad \;\; = 180 \Rightarrow x = \frac{180}{2} = 90$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $x + y = 137$

$\Rightarrow 90 + y = 137 \Rightarrow y = 137 - 90 \Rightarrow y = 47$

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $90$ ଓ $47$ ।

Question 2.

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x + 4$ ସେ.ମି.,
$4x - y$ ସେ.ମି. ଓ $y + 2$ ସେ.ମି. ହେଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
ଅର୍ଥାତ୍ $x + 4 = 4x - y = y + 2$

$\Rightarrow x + 4 = y + 2$
$\Rightarrow x - y = 2 - 4$

$\Rightarrow x - y = -2$ … (i)

ପୁନଶ୍ଚ $4x - y = y + 2$
$\Rightarrow 4x - y - y = 2$
$\Rightarrow 4x - 2y = 2$

$\Rightarrow 2(2x - y) = 2 \Rightarrow 2x - y = 1$ … (ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 2x - y = 1$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; x - y = -2$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \quad \;\; = 3$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $3 - y = -2$

$\Rightarrow -y = -2 - 3 = -5 \Rightarrow y = 5$

$\therefore$ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= y + 2 = 5 + 2 = 7$ ସେ.ମି. ।

Question 3.

ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର $AB = 3x + y$ ସେ.ମି.,
$BC = 3x + 2$ ସେ.ମି., $CD = 3y - 2x$ ସେ.ମି.
ଓ $DA = y + 3$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ :

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଥାଏ ।

ଅର୍ଥାତ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $AB = CD$
$\Rightarrow 3x + y = 3y - 2x$
$\Rightarrow 5x - 2y = 0$ …(i)

ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $BC = DA$
$\Rightarrow 3x + 2 = y + 3$
$\Rightarrow 3x - y = 1$

ସମୀକରଣଟିକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 6x - 2y = 2$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 6x - 2y = 2$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; 5x - 2y = 0$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \quad \;\; = 2$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $5(2) - 2y = 0$

$\Rightarrow 10 = 2y \Rightarrow y = 5$

ଦୈର୍ଘ୍ୟ $AB = 3(2) + 5 = 11$ ସେ.ମି.
ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $BC = 3(2) + 2 = 8$ ସେ.ମି. ।

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 11 \times 8 = 88$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

$\therefore$ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $88$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 4.

ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ । କିନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟାଟିରେ 18 ଯୋଗ କଲେ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଯାଏ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟିର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $x$ ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $y$ । ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $10x + y = 4(x + y)$
$\Rightarrow 10x + y = 4x + 4y$
$\Rightarrow 6x - 3y = 0$
$\Rightarrow 2x - y = 0$ …(i)

ଏବଂ $(10x + y) + 18 = 10y + x$
$\Rightarrow 9x - 9y = -18 \Rightarrow x - y = -2$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ସମୀକରଣ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad 2x - y = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - y = -2$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \quad \;\; = 2$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $2(2) - y = 0$
$\Rightarrow y = 4$

ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $= 10x + y = 10(2) + 4 = 24$

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଟି $24$ ।

Question 5.

ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାହାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖିଲେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ, ସେ ଦୁହିଁଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 99 ଓ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର 3 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟିର ଦଶକ ଅଙ୍କ $x$ ଓ ଏକକ ଅଙ୍କ $y$ ।
ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ଏବଂ ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇଲେ $10y + x$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ ଉଭୟର ଯୋଗଫଳ $99$ ଅର୍ଥାତ୍ $(10x + y) + (10y + x) = 99$

$\Rightarrow 11x + 11y = 99 \Rightarrow x + y = 9$ …(i)

ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର 3 । ଯଦି ଦଶକ ଅଙ୍କ ବଡ଼ ହୁଏ ତେବେ $x - y = 3$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x + y = 9$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - y = 3$

$\qquad \qquad \qquad \quad$ -------------------------

ଯୋଗ କଲେ $\qquad \quad 2x \quad \;\; = 12 \Rightarrow x = 6$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $6 + y = 9 \Rightarrow y = 3$ ।
ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $63$ ।

ଯଦି ଏକକ ଅଙ୍କ ବଡ଼ ହୁଏ ତେବେ $y - x = 3$ ନେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି $36$ ହେବ ।

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଟି $63$ କିମ୍ବା $36$ ।

Question 6.

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି, ସେମାନଙ୍କ ବିୟୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ 8 । ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ଓ ସାନ ସଂଖ୍ୟାଟି $y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ $8$ । ଅର୍ଥାତ୍ $x + y = 8$ …(i)

ପୁନଶ୍ଚ ଯୋଗଫଳ, ବିୟୋଗଫଳର 4 ଗୁଣ: $x + y = 4(x - y)$
$\Rightarrow 8 = 4(x - y) \Rightarrow x - y = 2$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x + y = 8$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - y = 2$

$\qquad \qquad \qquad \quad$ -------------------------

ଯୋଗ କଲେ $\qquad \quad 2x \quad \;\; = 10 \Rightarrow x = 5$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $5 + y = 8 \Rightarrow y = 3$

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି $5$ ଓ $3$ ।

Question 7.

ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 10; କିନ୍ତୁ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖିଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣରୁ 1 ଊଣା ହୁଏ, ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟିର ଦଶକ ଅଙ୍କ $x$ ଓ ଏକକ ଅଙ୍କ $y$ । ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଟି $10x + y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 10: $x + y = 10$
$\Rightarrow 8x + 8y = 80$ …(i)

ଏବଂ $10y + x = 2(10x + y) - 1 \Rightarrow 10y + x = 20x + 2y - 1 \Rightarrow 19x - 8y = 1$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ସହ ସମୀକରଣ (i) କୁ ଯୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 19x - 8y = 1$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; 8x + 8y = 80$

$\qquad \qquad \qquad \quad$ -------------------------

ଯୋଗ କଲେ $\qquad \quad 27x \qquad = 81$
$\Rightarrow x = \frac{81}{27} = 3$

$x$ ର ମାନକୁ $x + y = 10$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $3 + y = 10 \Rightarrow y = 7$

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଟି $37$ ।

Question 8.

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମଟିର 3 ଗୁଣରୁ ଦ୍ଵିତୀୟଟିର 2 ଗୁଣ ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ 2 ହେବ ଏବଂ ଦ୍ବିତୀୟଟିରେ 7 ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ ପ୍ରଥମଟିର 2 ଗୁଣ ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି $x$ ଓ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି $y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $3x - 2y = 2$ …(i)

ଏବଂ $y + 7 = 2x \Rightarrow 2x - y = 7 \Rightarrow 4x - 2y = 14$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 4x - 2y = 14$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; 3x - 2y = 2$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \qquad = 12$

$x$ ର ମାନକୁ $2x - y = 7$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $2(12) - y = 7 \Rightarrow 24 - y = 7 \Rightarrow y = 17$

$\therefore$ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ $12$ ଓ $17$ ।

Question 9.

ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଓ ହରରେ 2 ଯୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{9}{11}$ । ମାତ୍ର ଲବ ଓ ହରରେ 3 ଯୋଗ କଲେ ତାହା $\frac{5}{6}$ ହୁଏ । ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟିର ଲବ $x$ ଓ ହର $y$ । ଅର୍ଥାତ୍ ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{9}{11}$
$\Rightarrow 11x + 22 = 9y + 18 \Rightarrow 11x - 9y = -4$

ସମୀକରଣଟିକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 55x - 45y = -20$ …(i)

ଏବଂ $\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{5}{6}$
$\Rightarrow 6x + 18 = 5y + 15 \Rightarrow 6x - 5y = -3$

ସମୀକରଣଟିକୁ 9 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 54x - 45y = -27$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ସମୀକରଣ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad 55x - 45y = -20$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 54x - 45y = -27$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \qquad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \qquad \;\;\; = 7$

$x$ ର ମାନକୁ $6x - 5y = -3$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $6(7) - 5y = -3 \Rightarrow 42 - 5y = -3 \Rightarrow -5y = -45 \Rightarrow y = 9$

$\therefore$ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{7}{9}$ ।

Question 10.

ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବର 3 ଗୁଣ ଓ ହରରୁ 3 ବିୟୋଗ କଲେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{18}{11}$ ହୁଏ । ମାତ୍ର ଲବରେ 8 ଯୋଗ କଲେ ଓ ହରକୁ 2 ଗୁଣ କଲେ ତାହା $\frac{2}{5}$ ହୁଏ । ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶ କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟିର ଲବ $x$ ଓ ହର $y$ । ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $\frac{3x}{y - 3} = \frac{18}{11}$
$\Rightarrow \frac{x}{y - 3} = \frac{6}{11}$
$\Rightarrow 11x = 6y - 18 \Rightarrow 11x - 6y = -18$

ସମୀକରଣଟିକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 22x - 12y = -36$ …(i)

ଏବଂ $\frac{x + 8}{2y} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5x + 40 = 4y \Rightarrow 5x - 4y = -40$

ସମୀକରଣଟିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 15x - 12y = -120$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ସମୀକରଣ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad 22x - 12y = -36$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 15x - 12y = -120$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \qquad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad 7x \qquad \;\;\; = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{7} = 12$

$x$ ର ମାନକୁ $5x - 4y = -40$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ,
$5(12) - 4y = -40 \Rightarrow 60 - 4y = -40$
$\Rightarrow -4y = -100 \Rightarrow y = 25$

$\therefore$ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{12}{25}$ ।

Question 11.

5 ଟି କଲମ ଓ 6 ଟି ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ ମିଶି 9 ଟଙ୍କା ଏବଂ 3 ଟି କଲମ ଓ 2 ଟି ପେନ୍‌ସିଲ୍‌ର ଦାମ ମିଶି 5 ଟଙ୍କା ହୁଏ । ତେବେ ଗୋଟିଏ କଲମ ଓ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲ୍‌ର ଦାମ କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଗୋଟିଏ କଲମର ଦାମ $x$ ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ $y$ ଟଙ୍କା ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $5x + 6y = 9$ …(i)

ଏବଂ $3x + 2y = 5 \Rightarrow 9x + 6y = 15$ …(ii) [ସମୀକରଣକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ]

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 9x + 6y = 15$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; 5x + 6y = 9$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (-) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad 4x \qquad \;\; = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{4} = 1.50$

$x$ ର ମାନ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $3(1.50) + 2y = 5$

$\Rightarrow 4.50 + 2y = 5 \Rightarrow 2y = 0.50 \Rightarrow y = 0.25$

$\therefore$ ଗୋଟିଏ କଲମର ଦାମ $1.50$ ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପେନ୍‌ସିଲର ଦାମ $0.25$ ଟଙ୍କା ।

Question 12.

ପିତାଙ୍କ ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର 3 ଗୁଣ | 12 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାଙ୍କ ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର 2 ଗୁଣ ହେବ । ତେବେ ପିତା ଓ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$ ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $y$ ବର୍ଷ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $x = 3y \Rightarrow x - 3y = 0$ …(i)

12 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାଙ୍କ ବୟସ $(x + 12)$ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବୟସ $(y + 12)$ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $x + 12 = 2(y + 12)$
$\Rightarrow x + 12 = 2y + 24$
$\Rightarrow x - 2y = 12$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ସମୀକରଣ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x - 3y = 0$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - 2y = 12$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad -y \quad \;\; = -12 \Rightarrow y = 12$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $x = 3(12) = 36$

$\therefore$ ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 36 ବର୍ଷ ଓ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ।

Question 13.

ଏକ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 5 ସେ.ମି. କମାଇ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 3 ସେ.ମି. ବଢ଼ାଇବା ଦ୍ଵାରା ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 9 ବର୍ଗ ସେ.ମି. କମିଯାଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ 3 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 2 ସେ.ମି. ବଢ଼ାଇବା ଦ୍ଵାରା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 67 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ବଢ଼ିଯାଏ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ ସେ.ମି. । ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= xy$ ।

ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$\Rightarrow xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$\Rightarrow 3x - 5y = 6$

ସମୀକରଣଟିକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 6x - 10y = 12$ …(i)

ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$\Rightarrow xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$\Rightarrow 2x + 3y = 61$

ସମୀକରଣଟିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 6x + 9y = 183$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 6x + 9y = 183$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; 6x - 10y = 12$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \qquad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad 19y \qquad \;\; = 171 \Rightarrow y = 9$

$y$ ର ମାନକୁ $3x - 5y = 6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $3x - 45 = 6 \Rightarrow 3x = 51$
$\Rightarrow x = 17$

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 17 \times 9 = 153$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

$\therefore$ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $153$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 14.

2 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 3 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ଏକତ୍ର ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 5 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରନ୍ତି । ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ 4 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 9 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ ଏକତ୍ର 2 ଦିନରେ ଶେଷ କରି ପାରନ୍ତି । ତେବେ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀ ଲୋକ କିମ୍ବା ଜଣେ ପୁରୁଷ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ କେତେ ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିବ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଜଣେ ପୁରୁଷ ଏକାକୀ କାର୍ଯ୍ୟଟିକୁ $x$ ଦିନରେ ଓ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ $y$ ଦିନରେ ଶେଷ କରନ୍ତି । 1 ଦିନରେ ସେମାନେ ଯଥାକ୍ରମେ $\frac{1}{x}$ ଓ $\frac{1}{y}$ ଅଂଶ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{5}$

ସମୀକରଣଟିକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{2}{5}$ …(i)

ଏବଂ $\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{2}{5}$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (-) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad \frac{3}{y} \qquad \;\; = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow y = 30$

$y$ ର ମାନକୁ $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{5}$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $\frac{2}{x} + \frac{3}{30} = \frac{1}{5}$
$\Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \Rightarrow x = 20$

$\therefore$ ଜଣେ ପୁରୁଷ ଏକାକୀ 20 ଦିନରେ ଏବଂ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ଏକାକୀ 30 ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟଟିକୁ ଶେଷ କରିପାରିବେ ।

Question 15.

A ଓ B ଏକତ୍ର କାମ କରି ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 8 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରନ୍ତି । ସେମାନେ ଏକତ୍ର କାର୍ଯ୍ୟ ଆରମ୍ଭ କରି 3 ଦିନ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବା ପରେ A ଚାଲିଗଲା ଓ ଅବଶିଷ୍ଟ କାର୍ଯ୍ୟକୁ B ଆଉ 15 ଦିନରେ ଶେଷ କଲା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏକାକୀ କାମ କଲେ କେତେ ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ଶେଷ କରି ପାରିବେ ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର A ଏକାକୀ କାମଟିକୁ $x$ ଦିନରେ ଏବଂ B ଏକାକୀ $y$ ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିବେ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$ …(i)

ସେମାନେ ଏକତ୍ର 3 ଦିନ କାମ କଲେ ତେଣୁ $3(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{3}{8}$ ଅଂଶ କାମ ଶେଷ ହେଲା ।

ବାକି କାମ $= 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ । ଏହି କାମକୁ B 15 ଦିନରେ ଶେଷ କଲା ।

ତେଣୁ $15 \times \frac{1}{y} = \frac{5}{8}$
$\Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \Rightarrow y = 24$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $\frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \Rightarrow x = 12$

$\therefore$ A ଏକାକୀ 12 ଦିନରେ ଏବଂ B ଏକାକୀ 24 ଦିନରେ କାମଟିକୁ ଶେଷ କରିପାରିବେ ।

Question 16.

A ଓ B ର ଆୟର ଅନୁପାତ 8:7 ଓ ବ୍ୟୟର ଅନୁପାତ 19:16 । ଯଦି ଉଭୟେ 1250 ଟଙ୍କା ସଂଚୟ କରିପାରନ୍ତି ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର A ର ଆୟ $8x$ ଏବଂ B ର ଆୟ $7x$ । ସେହିପରି A ର ବ୍ୟୟ $19y$ ଏବଂ B ର ବ୍ୟୟ $16y$ ।

ସଞ୍ଚୟ = ଆୟ - ବ୍ୟୟ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $8x - 19y = 1250$ …(i)
ଏବଂ $7x - 16y = 1250$ …(ii)

ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ସମାନ କଲେ $8x - 19y = 7x - 16y$
$\Rightarrow 8x - 7x = 19y - 16y \Rightarrow x = 3y$

$x = 3y$ କୁ ସମୀକରଣ
(i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $8(3y) - 19y = 1250$
$\Rightarrow 24y - 19y = 1250$
$\Rightarrow 5y = 1250 \Rightarrow y = 250$

$y = 250$ ହେଲେ, $x = 3(250) = 750$

A ର ଆୟ $= 8 \times 750 = 6000$
$ଟଙ୍କା ଏବଂ B ର ଆୟ $= 7 \times 750 = 5250$ ଟଙ୍କା ।

$\therefore$ A ର ଆୟ 6000 ଟଙ୍କା ଓ B ର ଆୟ 5250 ଟଙ୍କା ।

Question 17.

5 ବର୍ଷ ପରେ ପିତାର ବୟସ ପୁତ୍ରର ବୟସର ତିନିଗୁଣ ହେବ ଓ 5 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ ପିତାର ବୟସ ପୁତ୍ର ବୟସର ସାତଗୁଣ ଥିଲା । ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $x$ ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ $y$ ବର୍ଷ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ 5 ବର୍ଷ ପରେ $x + 5 = 3(y + 5)$
$\Rightarrow x - 3y = 10$ …(i)

ଏବଂ 5 ବର୍ଷ ପୂର୍ବେ $x - 5 = 7(y - 5) \Rightarrow x - 7y = -30$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ସମୀକରଣ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x - 3y = 10$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - 7y = -30$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad 4y \quad \;\; = 40$
$\Rightarrow y = 10$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $x - 3(10) = 10$
$\Rightarrow x = 10 + 30 \Rightarrow x = 40$

$\therefore$ ପିତାଙ୍କ ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 40 ବର୍ଷ ଏବଂ ପୁତ୍ରର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ 10 ବର୍ଷ ।

Question 18.

ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମି. ଅଧିକ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 2 ମି. କମ୍ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବ.ମି. କମିଯାଏ; ମାତ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 1 ମି. କମ୍ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 2 ମି. ଅଧିକ ହେଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 33 ବ.ମି. ବଢ଼ିଯାଏ । ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ ମି. । ମୂଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= xy$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $(x + 2)(y - 2) = xy - 28$
$\Rightarrow xy - 2x + 2y - 4 = xy - 28$
$\Rightarrow -2x + 2y = -24$
$\Rightarrow x - y = 12$ …(i)

ଏବଂ $(x - 1)(y + 2) = xy + 33$
$\Rightarrow xy + 2x - y - 2 = xy + 33$
$\Rightarrow 2x - y = 35$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 2x - y = 35$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; x - y = 12$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (-)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad x \qquad \;\; = 23$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $23 - y = 12 \Rightarrow y = 11$

ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 23 \times 11 = 253$ ବର୍ଗ ମିଟର ।

$\therefore$ ମୂଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $253$ ବର୍ଗ ମିଟର ।

Question 19.

50 କୁ ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ଯେପରିକି ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବୟର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{1}{12}$

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା $x$ ଏବଂ $y$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $x + y = 50$ …(i)

ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{12}$

$x + y = 50$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{50}{xy} = \frac{1}{12} \Rightarrow xy = 600$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = (50)^2 - 4(600) = 2500 - 2400 = 100 \Rightarrow x - y = 10$ …(ii) [ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ]

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (i) $\qquad x + y = 50$

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad x - y = 10$

$\qquad \qquad \qquad \quad$ -------------------------

ଯୋଗ କଲେ $\qquad \quad 2x \quad \;\; = 60 \Rightarrow x = 30$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $30 + y = 50 \Rightarrow y = 20$

$\therefore$ ସେହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 30 ଏବଂ 20 ।

Question 20.

ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାର ଲବ ଓ ହରକୁ ଯୋଗ କରି ଯୋଗଫଳର ଏକ-ତୃତୀୟାଂଶ ନେଲେ, ତାହା ହରଠାରୁ 4 ଊଣା ହୁଏ ଓ ହରରେ 1 ଯୋଗ କରି ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ଲେଖିଲେ ତାହା $\frac{1}{4}$ ହୁଏ । ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ :

ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି ହେଉଛି $\frac{x}{y}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ $\frac{x + y}{3} = y - 4$
$\Rightarrow x + y = 3y - 12 \Rightarrow x - 2y = -12$ …(i)

ଏବଂ $\frac{x}{y + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4x = y + 1 \Rightarrow 4x - y = 1$

ସମୀକରଣଟିକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ $\Rightarrow 8x - 2y = 2$ …(ii)

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,

ସମୀକରଣ (ii) $\qquad 8x - 2y = 2$

ସମୀକରଣ (i) $\qquad \;\; x - 2y = -12$

$\qquad \qquad \qquad \;\; (-) \;\; (+) \quad \;\; (+)$

$\qquad \qquad \qquad$ -------------------------

ବିୟୋଗ କଲେ $\qquad \quad 7x \qquad \;\; = 14 \Rightarrow x = 2$

$x$ ର ମାନକୁ $4x - y = 1$
ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $4(2) - y = 1 \Rightarrow 8 - y = 1 \Rightarrow y = 7$

$\therefore$ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{2}{7}$ ।