📘 ସରଳ ସହସମୀକରଣ (Linear Simultaneous Equations)

୧.୭ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗ (Application in solving Arithmetic Problems)

ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଆମେ ଅନେକ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ କରିଥାଉ। ସେହିପରି ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସହସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗରେ ଜଟିଳ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସହଜ ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ।

ସମାଧାନ ପାଇଁ ମୁଖ୍ୟ ସୋପାନ (Key Steps for Solving):

1. ପ୍ରଶ୍ନରେ ମଗାଯାଇଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଦୁଇଟିକୁ $x$ ଏବଂ $y$ ରୂପେ ନିଆଯାଏ।
2. ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $x$ ଓ $y$ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରି ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ସହସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ।
3. ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀ (ପ୍ରତିକଳ୍ପନ, ଅପସାରଣ କିମ୍ବା ବଜ୍ରଗୁଣନ) ବ୍ୟବହାର କରି ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ କରାଯାଏ ଏବଂ ଇପ୍ସିତ ଉତ୍ତର ମିଳିଥାଏ।

📊 ସାଧାରଣ ପ୍ରଶ୍ନ ପ୍ରକାର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରକାଶ (Table of Common Problem Types):

📝 ଉଦାହରଣ (Examples)

ଉଦାହରଣ ୧୧: (ବୟସ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ପିତାଙ୍କ ବୟସର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ପୁତ୍ରର ବୟସର ସମଷ୍ଟି 105 ବର୍ଷ। ମାତ୍ର ପିତାଙ୍କ ବୟସ ଓ ପୁତ୍ରର ବୟସର ଦୁଇଗୁଣର ସମଷ୍ଟି 75 ବର୍ଷ। ତେବେ ପିତା ଓ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସ ନିରୂପଣ କର।

ସମାଧାନ: ମନେକର ପିତାଙ୍କ ବୟସ $= x$ ବର୍ଷ ଓ ପୁତ୍ରର ବୟସ $= y$ ବର୍ଷ। ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ:

$2x + y = 105 \quad \Rightarrow \quad 2x + y - 105 = 0 \quad \text{.........(i)}$

$x + 2y = 75 \quad \Rightarrow \quad x + 2y - 75 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ କଲେ:

$\frac{x}{1(-75) - 2(-105)} = \frac{y}{-105(1) - (-75)(2)} = \frac{1}{2(2) - 1(1)}$

$\Rightarrow \frac{x}{-75 + 210} = \frac{y}{-105 + 150} = \frac{1}{4 - 1}$

$\Rightarrow \frac{x}{135} = \frac{y}{45} = \frac{1}{3}$

ଏଥିରୁ $x = \frac{135}{3} = 45$ ଏବଂ $y = \frac{45}{3} = 15$ ମିଳିବ। ଉତ୍ତର: ପିତାଙ୍କ ବୟସ 45 ବର୍ଷ ଓ ପୁତ୍ରର ବୟସ 15 ବର୍ଷ।

ଉଦାହରଣ ୧୨: (ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 12। ସଂଖ୍ୟାଟିର ଅଙ୍କ ଦ୍ବୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖୁଲେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ ତାହା ମୂଳ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ 18 ଅଧିକ। ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟିର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $= x$ ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ $= y$। ସଂଖ୍ୟାଟି $= 10x + y$ । ଅଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଇ ଲେଖୁଲେ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟାଟି $= 10y + x$ । ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ:

$x + y = 12 \quad \text{.........(i)}$

$(10y + x) - (10x + y) = 18$

$\Rightarrow 9y - 9x = 18 \quad \Rightarrow \quad y - x = 2 \quad \text{.........(ii)}$

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

$(x + y) + (y - x) = 12 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2y = 14 \quad \Rightarrow \quad y = 7$

$y$ ର ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ $x + 7 = 12 \Rightarrow x = 5$। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 57।

ଉଦାହରଣ ୧୩: (ଭଗ୍ନାଂଶ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ) ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ଲବ ଓ ହର ଉଭୟରେ 1 ଯୋଗକଲେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{4}{5}$ ହୁଏ। ଯଦି ଲବ ଓ ହର ଉଭୟରୁ 5 ବିୟୋଗ କଲେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{1}{2}$ ହୁଏ, ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି କେତେ ?

ସମାଧାନ: ମନେକର ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{x}{y}$। ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ:

$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 5x + 5 = 4y + 4 \quad \Rightarrow \quad 5x - 4y + 1 = 0 \quad \text{.........(i)}$

$\frac{x - 5}{y - 5} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2x - 10 = y - 5 \quad \Rightarrow \quad 2x - y - 5 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ସମୀକରଣ (ii) କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $8x - 4y - 20 = 0 \quad \text{.........(iv)}$। ଏବେ (i) ରୁ (iv) ବିୟୋଗ କଲେ:

$(5x - 8x) = -1 - (-20) \quad \Rightarrow \quad -3x = 19 \quad \Rightarrow \quad 3x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = 7$

$x = 7$ କୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ରଖିଲେ $5(7) - 4y + 1 = 0 \Rightarrow 36 = 4y \Rightarrow y = 9$। ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଭଗ୍ନାଂଶଟି $\frac{7}{9}$ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୧୪: (କାର୍ଯ୍ୟ ଓ ସମୟ) 8 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 12 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ଗୋଟିଏ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 10 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରନ୍ତି। 6 ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ 8 ଜଣ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ଉକ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟକୁ 14 ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିଲେ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟକୁ କେତେ ଦିନରେ ଶେଷ କରିପାରିବ ?

ସମାଧାନ: ମନେକର ଜଣେ ପୁରୁଷ ଏକାକୀ $x$ ଦିନରେ ଓ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ $y$ ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟଟି ଶେଷ କରିପାରିବେ। ତେଣୁ ଜଣେ ପୁରୁଷ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ କାର୍ଯ୍ୟର $\frac{1}{x}$ ଅଂଶ ଓ ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ $\frac{1}{y}$ ଅଂଶ କରିପାରିବ। ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ:

$\frac{8}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{10}$

$\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{1}{14}$

ମନେକର $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$।

$80u + 120v - 1 = 0 \quad \text{.........(i)}$

$840u + 112v - 1 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:

$\frac{v}{84(-1) - 80(-1)} = \frac{1}{80(112) - 120(84)}$

$\Rightarrow \frac{v}{-4} = \frac{1}{-1120} \quad \Rightarrow \quad v = \frac{4}{1120} = \frac{1}{280}$

ଯେହେତୁ $v = \frac{1}{y}$, ତେଣୁ $y = 280$। ଉତ୍ତର: ଜଣେ ସ୍ତ୍ରୀଲୋକ ଏକାକୀ କାର୍ଯ୍ୟଟିକୁ 280 ଦିନରେ ସମାପ୍ତ କରିପାରିବ।

ଉଦାହରଣ ୧୫: (ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ) ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 15 ଓ ସେମାନଙ୍କ ବ୍ୟୁତକ୍ରମ (reciprocal) ରାଶିଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ $\frac{3}{10}$ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିରୁପଣ କର।

ସମାଧାନ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ $x$ ଓ $y$ । ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ $\frac{1}{x}$ ଓ $\frac{1}{y}$ । ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ:

$x + y = 15 \quad \text{.........(i)}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad \frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$

ସମୀକରଣ (i) ର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\frac{15}{xy} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad xy = \frac{150}{3} = 50$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$।

$(x - y)^2 = (15)^2 - 4(50) = 225 - 200 = 25$

$\Rightarrow x - y = \pm 5$

ଏବେ ସମୀକରଣ (i) $x + y = 15$ ଏବଂ $x - y = 5$ (କିମ୍ବା $-5$) କୁ ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ $x = 10, y = 5$ କିମ୍ବା $x = 5, y = 10$ ପାଇବା। ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ 10 ଓ 5 ଅଟେ।