୧.୫ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ (Algebraic Solution of Simultaneous Equations)

ଗ୍ରାଫ୍ ବା ଲେଖଚିତ୍ର ବ୍ୟତୀତ ଆମେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପଦ୍ଧତିରେ ମଧ୍ୟ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରିପାରିବା। ମୁଖ୍ୟତଃ ତିନୋଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀ ରହିଛି:

1. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତି (Method of Substitution)
2. ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି (Method of Elimination)
3. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତି (Cross Multiplication)

୧. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତି (Method of Substitution)

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦତ୍ତ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣକୁ ନେଇ ସେଥିରେ $x$ କୁ $y$ ମାଧ୍ୟମରେ କିମ୍ବା $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ଏବଂ ସେହି ମୂଲ୍ୟକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କରାଯାଏ।

📝 ଉଦାହରଣ ୫: $5x + 2y + 2 = 0$ ଏବଂ $3x + 4y - 10 = 0$ ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ କର। ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: $5x + 2y + 2 = 0 \quad \text{.........(i)}$ $3x + 4y - 10 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ: $2y = -5x - 2 \Rightarrow y = \frac{1}{2}(-5x - 2) \quad \text{.........(iii)}$

ବର୍ତ୍ତମାନ (iii) କୁ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$3x + 4\left[\frac{1}{2}(-5x - 2)\right] - 10 = 0$

$\Rightarrow 3x + 2(-5x - 2) - 10 = 0$

$\Rightarrow 3x - 10x - 4 - 10 = 0$

$\Rightarrow -7x - 14 = 0 \Rightarrow 7x = -14 \Rightarrow x = -2$

$x = -2$ ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$y = \frac{1}{2}(-5(-2) - 2) = \frac{1}{2}(10 - 2) = \frac{8}{2} = 4$

✅ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-2, 4)$ ଅଟେ।

୨. ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି (Method of Elimination)

ଏହି ପଦ୍ଧତିରେ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ $x$ କିମ୍ବା $y$ ର ସହଗ (coefficient) କୁ ସମାନ କରାଯାଏ ଏବଂ ତା'ପରେ ସମୀକରଣଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିୟୋଗ କରି ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ଅପସାରଣ (eliminate) କରାଯାଏ।

📝 ଉଦାହରଣ ୬: $2x + 3y - 8 = 0$ ଏବଂ $3x + y - 5 = 0$ ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: $2x + 3y - 8 = 0 \quad \text{.........(i)}$ $3x + y - 5 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ସମୀକରଣ (i) କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ (ii) କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ($x$ ର ସହଗ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ): $3 \times \text{(i)} \Rightarrow 6x + 9y - 24 = 0 \quad \text{.........(iii)}$ $2 \times \text{(ii)} \Rightarrow 6x + 2y - 10 = 0 \quad \text{.........(iv)}$

ସମୀକରଣ (iii) ରୁ (iv) ବିୟୋଗ କଲେ:

$(6x - 6x) + (9y - 2y) - 24 - (-10) = 0$

$\Rightarrow 7y - 14 = 0 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$

$y = 2$ କୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$2x + 3(2) - 8 = 0 \Rightarrow 2x + 6 - 8 = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

✅ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(1, 2)$ ଅଟେ।

୩. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତି (Cross Multiplication)

ସହସମୀକରଣ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ର ସମାଧାନ ପାଇଁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

(ସର୍ତ୍ତ: $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$)

📝 ଉଦାହରଣ ୭: $2x - 3y - 1 = 0$ ଏବଂ $4x + y - 9 = 0$ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -1$ ଏବଂ $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = -9$ ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$\frac{x}{(-3)(-9) - (1)(-1)} = \frac{y}{(-1)(4) - (-9)(2)} = \frac{1}{(2)(1) - (4)(-3)}$

$\Rightarrow \frac{x}{27 + 1} = \frac{y}{-4 + 18} = \frac{1}{2 + 12}$

$\Rightarrow \frac{x}{28} = \frac{y}{14} = \frac{1}{14}$

ଅତଏବ: $x = \frac{28}{14} = 2$ ଏବଂ $y = \frac{14}{14} = 1$ ✅ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 1)$ ଅଟେ।

୧.୬ ଅଣ-ସରଳରେଖ୍ୟ ସହସମୀକରଣ (Equations reducible to linear form)

କେତେକ ସମୀକରଣ ଏକଘାତୀ ନହେଲେ ମଧ୍ୟ, ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଉପଯୁକ୍ତ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ସେମାନଙ୍କୁ ଏକଘାତୀ ରୂପକୁ ଅଣାଯାଇ ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରେ।

📝 ଉଦାହରଣ ୮: ସମାଧାନ କର: $6x + 3y = 7xy$ ଏବଂ $3x + 9y = 11xy$ $(x \neq 0, y \neq 0)$ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ସମୀକରଣର ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $xy$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

$\frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 7 \quad \text{ଏବଂ} \quad \frac{3}{y} + \frac{9}{x} = 11$

ମନେକର $u = \frac{1}{x}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{y}$ । ତେବେ ସମୀକରଣଦ୍ୱୟ ହେବ: $3u + 6v - 7 = 0 \quad \text{.........(i)}$ $9u + 3v - 11 = 0 \quad \text{.........(ii)}$

ଏହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କିମ୍ବା ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ: $u = 1$ ଏବଂ $v = \frac{2}{3}$ ଯେହେତୁ $u = \frac{1}{x} \Rightarrow 1 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = 1$ ଯେହେତୁ $v = \frac{1}{y} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{3}{2}$ ✅ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ଅଟେ।

ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ୍ ଏବଂ କ୍ରାମର୍‌ଙ୍କ ନିୟମ (Determinants and Cramer's Rule)

କୌଣସି $2 \times 2$ ମାଟ୍ରିକ୍ସ $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ର ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ୍ (Determinant) ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ Cramer's Rule ବ୍ୟବହାର କଲେ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ଗଠନ କରୁ:

• $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$
• $\Delta_x = \begin{vmatrix} -c_1 & b_1 \\ -c_2 & b_2 \end{vmatrix} = -c_1b_2 - (-c_2)b_1$
• $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & -c_1 \\ a_2 & -c_2 \end{vmatrix} = -a_1c_2 - (-a_2)c_1$

ସମାଧାନ ସୂତ୍ର:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \quad (\text{ଯେଉଁଠାରେ } \Delta \neq 0)$

📝 ଉଦାହରଣ ୧୦: କ୍ରାମର୍‌ଙ୍କ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କର: $x + 2y = -1$ ଏବଂ $2x - 3y = 12$ (

ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ସାଧାରଣ ରୂପରେ ଲେଖିଲେ: $x + 2y + 1 = 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2, c_1=1$ $2x - 3y - 12 = 0 \Rightarrow a_2=2, b_2=-3, c_2=-12$

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (2)(2) = -3 - 4 = -7$

$\Delta_x = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 12 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (12)(2) = 3 - 24 = -21$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 12 \end{vmatrix} = (1)(12) - (2)(-1) = 12 + 2 = 14$

ଅତଏବ:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{14}{-7} = -2$

✅ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, -2)$ ଅଟେ।