1.1 ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction)

• ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ରେ ସରଳ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି $ax+b=0$, ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$ ।
• ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ଓ $y$ ରେ ଗୋଟିଏ ସରଳ ସମୀକରଣ (ଏକଘାତୀ)ର ସାଧାରଣ ରୂପ:

$a_1x+b_1y+c_1=0$

(ଯେଉଁଠାରେ $a_1$ ଓ $b_1$ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି)

• ସମୀକରଣଟିର ଜ୍ୟାମିତିକ ରୂପ xy-ସମତଳରେ (ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମତଳରେ) ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅଟେ ।
• ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସହ-ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆମକୁ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ:

$a_1x+b_1y+c_1=0 \quad \text{.........(1)}$

$a_2x+b_2y+c_2=0 \quad \text{.........(2)}$

1.2 ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Geometrical Representation)

ମନେକର ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ର ଲେଖଚିତ୍ର ଯଥାକ୍ରମେ $L_1$ ଓ $L_2$ ସରଳରେଖା ଅଟନ୍ତି । ଏହି ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ସମତଳରେ ତିନି ପ୍ରକାରରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୋଇପାରିବେ:

1. ପରସ୍ପର ଛେଦୀ (Intersecting): ରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର କେବଳ ଗୋଟିଏ ବା ଅନନ୍ୟ (unique) ସମାଧାନ ରହିବ ।
2. ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (Coincident): ରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଉପରେ ସମାପତିତ ହେବେ । ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଅସଂଖ୍ୟ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
3. ସମାନ୍ତର (Parallel): ରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

1.3 ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ବାରା ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ

ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କରି ସେମାନଙ୍କର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ସେହି ଛେଦବିନ୍ଦୁ ହିଁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହୋଇଥାଏ ।

ଉଦାହରଣ ୧: $x+2y-3=0$ ଏବଂ $2x-y-1=0$ ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ସେଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପରକୁ (1, 1) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x=1, y=1$ ।

1.4 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ (Conditions of Solvability)

$a_1x+b_1y+c_1=0$ ଏବଂ $a_2x+b_2y+c_2=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ତୁଳନାତ୍ମକ ସର୍ତ୍ତଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଗଲା:

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ: ସମୀକରଣ $a_1x+b_1y=0$ ଓ $a_2x+b_2y=0$ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନଟି ସର୍ବଦା $(0,0)$ ଅଟେ (ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$)। ଏହାକୁ ସମ ସହସମୀକରଣ (Homogeneous Simultaneous Equation) କୁହାଯାଏ ।

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ (Examples)

ଉଦାହରଣ (i): $k$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $4x+ky+8=0$, $2x+2y+2=0$ ସହସମୀକରଣ ଦୁଇଟିର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a_1=4, b_1=k, c_1=8$ ଏବଂ $a_2=2, b_2=2, c_2=2$ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ସର୍ତ୍ତ:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

$\Rightarrow \frac{4}{2} \neq \frac{k}{2}$

$\Rightarrow k \neq 4$

ଉତ୍ତର: $k=4$ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ମାନ ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

ଉଦାହରଣ (ii): $k$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $kx+3y-(k-3)=0$ ଓ $12x+ky-k=0$ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a_1=k, b_1=3, c_1=-(k-3)$ ଏବଂ $a_2=12, b_2=k, c_2=-k$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ସର୍ତ୍ତ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

$\Rightarrow \frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k-3)}{-k}$

ପ୍ରଥମ ସମାନତାରୁ ଆମେ ପାଇବା:

$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6 \quad \text{.........(i)}$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମାନତାରୁ ଆମେ ପାଇବା:

$\frac{3}{k} = \frac{k-3}{k} \Rightarrow 3k = k(k-3) \Rightarrow k^2 - 6k = 0 \Rightarrow k(k-6) = 0 \Rightarrow k=0 \text{ କିମ୍ବା } k=6 \quad \text{.........(ii)}$

ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ଏହା ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଉଭୟ ସର୍ତ୍ତକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବା ସାଧାରଣ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି $k=6$ ।

ଉତ୍ତର: $k=6$ ହେଲେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

ଉଦାହରଣ (iii): $k$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $5x-3y=0$ ଓ $2x+ky=0$ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ?

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a_1=5, b_1=-3$ ଏବଂ $a_2=2, b_2=k$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବାର ସର୍ତ୍ତ:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

$\Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{-3}{k}$

$\Rightarrow 5k = -6 \Rightarrow k = -\frac{6}{5}$

ଉତ୍ତର: $k = -\frac{6}{5}$ ହେଲେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।