1. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) $x + y = 0$ ସମୀକରଣ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ______ [(4, 5), (5, 5), (4, -4), (-4, 5)]

• ସମାଧାନ: ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $x + y = 0 \Rightarrow x = -y$ । ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଆମେ $x = 4$ ଏବଂ $y = -4$ ନେବା, ତେବେ $4 + (-4) = 0$ ହେବ, ଯାହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି।
• ଉତ୍ତର: (4, -4)

(ii) $x - 2y = 0$ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ______ [(4, 2), (-4, 2), (4, -2), (-4, -2)]

• ସମାଧାନ: ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି $x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$ । ବିକଳ୍ପ (4, 2) କୁ ପରୀକ୍ଷା କଲେ, $4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ ହେଉଛି।
• ଉତ୍ତର: (4, 2)

(iii) $2x + y + 2 = 0$ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ______ [(0, 2), (2, 0), (-2, 0), (0, -2)]

• ସମାଧାନ: ବିକଳ୍ପ (0, -2) କୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, $2(0) + (-2) + 2 = 0 - 2 + 2 = 0$ ।
• ଉତ୍ତର: (0, -2)

(iv) $x - 4y + 1 = 0$ ହେଲେ $x =$ ______ [4y - 1, 4y + 1, -4y + 1, -4y - 1]

• ସମାଧାନ: ସମୀକରଣରୁ $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କଲେ, $x = 4y - 1$ ହେବ।
• ଉତ୍ତର: $4y - 1$

(v) $2x - y + 2 = 0$ ହେଲେ $y =$ ______ [2x - 2, 2x + 2, 2x - 2, -2x - 2]

• ସମାଧାନ: ସମୀକରଣରୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କଲେ, $2x + 2 = y \Rightarrow y = 2x + 2$ ।
• ଉତ୍ତର: $2x + 2$

(vi) $x - 2y + 3 = 0$ ହେଲେ $y =$ ______ $[\frac{1}{2}(x + 3), -\frac{1}{2}(x - 3), -\frac{1}{2}(-x + 3), -\frac{1}{2}(x + 3)]$

• ସମାଧାନ: ସମୀକରଣରୁ $y$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କଲେ, $2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}(x + 3)$ ।
• ଉତ୍ତର: $\frac{1}{2}(x + 3)$

2. ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ିରୁ କେଉଁ ସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ି କ୍ଷେତ୍ରରେ (i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ (ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ଏବଂ (iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ?

ପ୍ରାଥମିକ ନିୟମ: ଯଦି $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, ତେବେ:

• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow$ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ।
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ।
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow$ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

(i) $x + y + 1 = 0, \quad x - y + 1 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$ । ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(ii) $x + y + 1 = 0, \quad 2x + 2y + 2 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ ।
• ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(iii) $x + y + 1 = 0, \quad x + y + 3 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{3}$ ।
• ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

(iv) $2x - y + 3 = 0, \quad -4x + 2y - 6 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ ।
• ଯେହେତୁ ସବୁ ଅନୁପାତ ସମାନ, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(v) $2x - y + 3 = 0, \quad 2x + y - 3 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{1} = -1$ ।
• ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(vi) $2x - y + 3 = 0, \quad -6x + 3y + 5 = 0$

• ସମାଧାନ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ ।
• ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

3. ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ଯେ କୌଣସି ତିନିଗୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

(i) $x - y = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $y = x$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

(ii) $x + y = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $y = -x$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

(iii) $x - 2y = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $2y = x \Rightarrow y = \frac{x}{2}$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

(iv) $x + 2y - 4 = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $2y = 4 - x \Rightarrow y = \frac{4 - x}{2}$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

(v) $x - 2y - 4 = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $2y = x - 4 \Rightarrow y = \frac{x - 4}{2}$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

(vi) $2x - y + 4 = 0$

• ସମୀକରଣରୁ: $y = 2x + 4$
• ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ:

❓ 4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକ ।

(i) $kx + my + 4 = 0$ ଓ $2x + y + 1 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଲେ $k : m$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେବା ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତଟି ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।

ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $\frac{k}{2} = \frac{m}{1} = \frac{4}{1}$। ପ୍ରଥମେ ଓ ଶେଷ ଅନୁପାତରୁ $k = 4 \times 2 = 8$ ମିଳିବ।

ସେହିପରି ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ଶେଷ ଅନୁପାତରୁ $m = 4 \times 1 = 4$ ମିଳିବ।

ବର୍ତ୍ତମାନ $k : m$ ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ $8 : 4$ ହେବ ଯାହାକୁ ସରଳ କଲେ $2 : 1$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $2 : 1$।

(ii) $2x + 3y - 5 = 0$ ଏବଂ $7x - 6y - 1 = 0$ ସମୀକରଣଦ୍ବୟର ସମାଧାନ (1, 1) ନା (1, 3) କେଉଁଟି ?

✏️ ସମାଧାନ: ସଠିକ୍ ସମାଧାନ ଜାଣିବା ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ।

(1, 1) କୁ ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରେ ରଖିଲେ $2(1) + 3(1) - 5 = 5 - 5 = 0$ ହେଉଛି ଏବଂ

ଦ୍ଵିତୀୟରେ ରଖିଲେ $7(1) - 6(1) - 1 = 7 - 7 = 0$ ହେଉଛି। ଯେହେତୁ (1, 1) ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି, ତେଣୁ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (1, 1)।

(iii) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ $3x + ty - 6 = 0$ ର ଅନ୍ୟ ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ?

✏️ ସମାଧାନ: ବିନ୍ଦୁ (1, 1) ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରିବ।

$x$ ସ୍ଥାନରେ 1 ଏବଂ $y$ ସ୍ଥାନରେ 1 ରଖିଲେ ଆମେ ପାଇବା $3(1) + t(1) - 6 = 0$।

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $t - 3 = 0$ ହେବ, ଯାହା ଫଳରେ $t = 3$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଉତ୍ତର ହେଉଛି 3।

(iv) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), $tx - 2y - 10 = 0$ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ହେବ ?

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ସମୀକରଣରେ $x = 1$ ଏବଂ $y = 1$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା।

ଏହାଦ୍ୱାରା $t(1) - 2(1) - 10 = 0$ ହେବ। ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $t - 12 = 0$ ଏବଂ ଶେଷରେ $t = 12$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ଉତ୍ତର ହେଉଛି 12।

(v) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $tx + 2y = 0$ ଓ $3x + ty = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?

✏️ ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ (ଯେହେତୁ $c_1$ ଓ $c_2$ ଉଭୟ ଶୂନ, ଏଗୁଡ଼ିକ ସମ ସହସମୀକରଣ)।

ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{t}{3} = \frac{2}{t}$ ମିଳିବ। ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ $t^2 = 6$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $t = \pm\sqrt{6}$ ହେବ। ତେଣୁ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $\pm\sqrt{6}$।

(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $6x - 3y + 10 = 0$ ଓ $2x - y + 9 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ।

✏️ ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।

ଏଠାରେ ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $\frac{6}{2} = 3$, $\frac{-3}{-1} = 3$ ଏବଂ $\frac{10}{9}$।

ଯେହେତୁ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତ ସମାନ କିନ୍ତୁ ତୃତୀୟଟି ଭିନ୍ନ ଅଟେ (ଅର୍ଥାତ୍ ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର), ତେଣୁ ଏହାର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ବୋଲି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

(vii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $2x + 5y = 17$ ଏବଂ $5x + 3y = 14$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ।

✏️ ସମାଧାନ: ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ) ହେବାର ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$।

ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$ ଏବଂ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{3}$

ଯେହେତୁ $\frac{2}{5} \neq \frac{5}{3}$, ତେଣୁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ଅଟନ୍ତି ଏବଂ ଏଗୁଡ଼ିକ ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ବୋଲି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

(viii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, $3x - 5y - 10 = 0$ ଏବଂ $6x - 10y = 20$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ।

✏️ ସମାଧାନ: ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ ତାହା $6x - 10y - 20 = 0$ ହେବ।

ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$ ଏବଂ $\frac{-10}{-20} = \frac{1}{2}$।

ସମସ୍ତ ଅନୁପାତ ସମାନ ହୋଇଥିବାରୁ ରେଖାଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ବୋଲି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

❓ 5. ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ କର । 📈 (ଏଠାରେ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ବିନ୍ଦୁ ସାରଣୀ ଏବଂ ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରାଯାଇଛି।)

(i) $x + y - 4 = 0$ ଏବଂ $x - y = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = 4 - x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = x$ ମିଳିବ। ଉଭୟ ପାଇଁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସାରଣୀ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା।

ଉଭୟ ସାରଣୀରୁ ଦେଖାଯାଉଛି ଯେ (2, 2) ବିନ୍ଦୁଟି ଉଭୟ ରେଖାରେ ଅଛି, ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 2, y = 2$।

(ii) $x - y = 0$ ଏବଂ $x + y - 2 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = 2 - x$ ମିଳିବ।

ଏଠାରେ ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି (1, 1), ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 1, y = 1$।

(iii) $x + y = 0$ ଏବଂ $-x + y - 2 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = -x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = x + 2$ ମିଳିବ।

ସାରଣୀ ଅନୁଯାୟୀ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି (-1, 1), ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = -1, y = 1$।

(iv) $2x + y - 3 = 0$ ଏବଂ $x + y - 2 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = 3 - 2x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = 2 - x$ ମିଳିବ।

ଉଭୟ ସାରଣୀରେ (1, 1) ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ, ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 1, y = 1$।

(v) $3x + y + 2 = 0$ ଏବଂ $2x + y + 1 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = -3x - 2$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = -2x - 1$ ମିଳିବ।

ସାଧାରଣ ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି (-1, 1) ହୋଇଥିବାରୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = -1, y = 1$।

(vi) $x + 2y + 3 = 0$ ଏବଂ $2x + y + 3 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = \frac{-x - 3}{2}$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = -2x - 3$ ମିଳିବ।

ସାରଣୀଗୁଡ଼ିକରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଛେଦବିନ୍ଦୁ (-1, -1), ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = -1, y = -1$।

(vii) $2x + y - 6 = 0$ ଏବଂ $2x - y + 2 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = 6 - 2x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = 2x + 2$ ମିଳିବ।

ଦୁଇଟି ଯାକ ରେଖାର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି (1, 4), ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 1, y = 4$।

(viii) $x + y - 1 = 0$ ଏବଂ $2x + y - 8 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = 1 - x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = 8 - 2x$ ମିଳିବ।

ଏଠାରେ ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି (7, -6), ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 7, y = -6$।

(ix) $3x + y - 11 = 0$ ଏବଂ $x - y - 1 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = 11 - 3x$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = x - 1$ ମିଳିବ।

ସାରଣୀରେ ଥିବା ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ (3, 2), ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 3, y = 2$।

(x) $2x - 3y - 5 = 0$ ଏବଂ $-4x + 6y - 3 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସହଗ ଅନୁପାତକୁ ତୁଳନା କଲେ $\frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \neq \frac{-5}{-3}$। ଯେହେତୁ ରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର, ଏମାନଙ୍କର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ। ତେଣୁ ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ଅଟେ।

(xi) $2x + y + 2 = 0$ ଏବଂ $4x - y - 8 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = -2x - 2$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = 4x - 8$ ମିଳିବ।

ସାଧାରଣ ଛେଦବିନ୍ଦୁ (1, -4) ହୋଇଥିବାରୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 1, y = -4$।

(xii) $3x + 4y - 7 = 0$ ଏବଂ $5x + 2y - 7 = 0$ ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମରୁ $y = \frac{7 - 3x}{4}$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = \frac{7 - 5x}{2}$ ମିଳିବ।

ସାରଣୀରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ (1, 1) ବିନ୍ଦୁଟି ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଅଟେ, ତେଣୁ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x = 1, y = 1$।

❓ 6. ଲେଖଚିତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ...

(i) $2x - 2y = 2$ ଏବଂ $4x - 4y - 8 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ । ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = x - 1$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $4y = 4x - 8 \Rightarrow y = x - 2$ ମିଳିବ। ନିମ୍ନରେ ସାରଣୀ ଦିଆଗଲା:

ସାରଣୀରୁ ପ୍ରାପ୍ତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖଚିତ୍ରରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ରେଖା ମିଳିବ କାରଣ ଉଭୟଙ୍କର ନତି ସମାନ ମାତ୍ର ସେମାନେ ଛେଦ କରୁନାହାଁନ୍ତି। ତେଣୁ ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

(ii) $2x + 3y = 1$ ଏବଂ $3x - 4y = 1$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି । ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = \frac{1 - 2x}{3}$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = \frac{3x - 1}{4}$ ମିଳିବ।

ଲେଖଚିତ୍ରରେ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଅଙ୍କନ କଲେ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ଯାହା କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି। ତେଣୁ ଏହାର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

(iii) $9x + 3y + 12 = 0$ ଏବଂ $18x + 6y + 24 = 0$ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ । ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = -3x - 4$ ମିଳିବ। ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ସେଥିରୁ ମଧ୍ୟ $y = -3x - 4$ ମିଳିବ।

ଯେହେତୁ ଉଭୟ ସମୀକରଣର ସାରଣୀଗୁଡ଼ିକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ, ଲେଖଚିତ୍ରରେ ଏମାନେ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ସରଳରେଖା ସୃଷ୍ଟି କରିବେ। ତେଣୁ ଏହି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା।

(iv) ଲେଖଚିତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ $2x - y = 1$ ଏବଂ $x + 2y = 8$ ସହସମୀକରଣଦୟର ସମାଧାନ କରି ପ୍ରତ୍ୟେକର y- ଛେଦଂଶ ନିରୂପଣ କର। ✏️ ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ $y = 2x - 1$ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟରୁ $y = \frac{8 - x}{2}$ ମିଳିବ।

ଉଭୟ ସାରଣୀକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ ସ୍ପଷ୍ଟ ହେଉଛି ଯେ (2, 3) ବିନ୍ଦୁଟି ଉଭୟ ସରଳରେଖାର ଛେଦବିନ୍ଦୁ। ତେଣୁ ସମାଧାନଟି ହେଉଛି $x = 2, y = 3$। y-ଛେଦଂଶ (y-intercept) ନିର୍ଣ୍ଣୟ: କୌଣସି ରେଖାର y-ଛେଦଂଶ ହେଉଛି ସେହି ମୂଲ୍ୟ ଯେତେବେଳେ $x = 0$ ହୁଏ। ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପାଇଁ $x = 0$ ହେଲେ $y = -1$, ତେଣୁ y-ଛେଦଂଶ -1। ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ ପାଇଁ $x = 0$ ହେଲେ $y = 4$, ତେଣୁ ଏହାର y-ଛେଦଂଶ 4। ଉତ୍ତର ହେଲା ସମାଧାନ (2, 3) ଏବଂ y-ଛେଦଂଶ ଯଥାକ୍ରମେ -1 ଓ 4।

❓ 7. ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $k$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

💡 ପ୍ରାଥମିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ । ଏହି ନିୟମକୁ ଭିତ୍ତି କରି ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରାଯାଇଛି।

(i) $x - 2y - 3 = 0, 3x + ky - 1 = 0$

✏️ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକରେ $a_1 = 1$, $b_1 = -2$ ଏବଂ $a_2 = 3$, $b_2 = k$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{k}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା $k \neq -6$ ପାଇବା। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq -6$।

(ii) $kx - y - 2 = 0, 6x + 2y - 3 = 0$

✏️ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ $a_1 = k$, $b_1 = -1$ ଏବଂ $a_2 = 6$, $b_2 = 2$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{6} \neq \frac{-1}{2}$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $2k \neq -6$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $k \neq -3$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq -3$।

(iii) $kx + 3y + 8 = 0, 12x + 5y - 2 = 0$

✏️ ଏଠାରେ $a_1 = k$, $b_1 = 3$ ଏବଂ $a_2 = 12$, $b_2 = 5$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{12} \neq \frac{3}{5}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $5k \neq 36$ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $k \neq \frac{36}{5}$। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq \frac{36}{5}$।

(iv) $kx + 2y = 5, 3x + y = 1$

✏️ ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ରୂପରେ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $kx + 2y - 5 = 0$ ଏବଂ $3x + y - 1 = 0$ ହେବ। ଏଠାରେ $a_1 = k$, $b_1 = 2$ ଏବଂ $a_2 = 3$, $b_2 = 1$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$ ବ୍ୟବହାର କଲେ ଆମେ $k \neq 6$ ପାଇବା। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq 6$।

(v) $x - ky = 2, 3x + 2y + 5 = 0$

✏️ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $x - ky - 2 = 0$ ଏବଂ $3x + 2y + 5 = 0$ ମିଳିବ। ଏଠାରେ $a_1 = 1$, $b_1 = -k$ ଏବଂ $a_2 = 3$, $b_2 = 2$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{1}{3} \neq \frac{-k}{2}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $-3k \neq 2$ ହେବ, ଯାହା ଫଳରେ $k \neq -\frac{2}{3}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq -\frac{2}{3}$।

(vi) $4x - ky = 5, 2x - 3y = 12$

✏️ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $4x - ky - 5 = 0$ ଏବଂ $2x - 3y - 12 = 0$ ହେବ। ଏଠାରେ $a_1 = 4$, $b_1 = -k$ ଏବଂ $a_2 = 2$, $b_2 = -3$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{4}{2} \neq \frac{-k}{-3}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $2 \neq \frac{k}{3}$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $k \neq 6$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k \neq 6$।

❓ 8. ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $k$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।

💡 ପ୍ରାଥମିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରାଯାଇଛି।

(i) $7x - y - 5 = 0, 21x - 3y - k = 0$

✏️ ଏହି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକରେ $a_1 = 7$, $b_1 = -1$, $c_1 = -5$ ଏବଂ $a_2 = 21$, $b_2 = -3$, $c_2 = -k$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{7}{21} = \frac{-1}{-3} = \frac{-5}{-k}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମକୁ $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{5}{k}$ ମିଳିବ। ଏଥିରୁ ସହଜରେ ଜଣାପଡୁଛି ଯେ $k = 15$ ଅଟେ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 15$।

(ii) $8x + 2y - 9 = 0, kx + 10y - 18 = 0$

✏️ ଏଠାରେ $a_1 = 8$, $b_1 = 2$, $c_1 = -9$ ଏବଂ $a_2 = k$, $b_2 = 10$, $c_2 = -18$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ସମାନ କଲେ $\frac{8}{k} = \frac{2}{10}$ ମିଳିବ, ଯାହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $\frac{8}{k} = \frac{1}{5}$ ଏବଂ ଶେଷରେ $k = 40$ ହେବ। (ବି.ଦ୍ର: ଗାଣିତିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ $k$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ $k = 40$ ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ ଅଟେ)। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 40$।

(iii) $kx - 2y + 6 = 0, 4x - 3y + 9 = 0$

✏️ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ $a_1 = k$, $b_1 = -2$, $c_1 = 6$ ଏବଂ $a_2 = 4$, $b_2 = -3$, $c_2 = 9$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{4} = \frac{-2}{-3} = \frac{6}{9}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{k}{4} = \frac{2}{3}$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ $3k = 8$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $k = \frac{8}{3}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = \frac{8}{3}$।

(iv) $2x + 3y = 5, 6x + ky = 15$

✏️ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $2x + 3y - 5 = 0$ ଏବଂ $6x + ky - 15 = 0$ ହେବ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{2}{6} = \frac{3}{k} = \frac{-5}{-15}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{1}{3} = \frac{3}{k}$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ସିଧାସଳଖ $k = 9$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 9$।

(v) $5x + 2y = k, 10x + 4y = 3$

✏️ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $5x + 2y - k = 0$ ଏବଂ $10x + 4y - 3 = 0$ ହେବ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{-k}{-3}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମକୁ $\frac{1}{2} = \frac{k}{3}$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $2k = 3$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $k = \frac{3}{2}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = \frac{3}{2}$।

(vi) $kx - 2y - 6 = 0, 4x + 3y + 9 = 0$

✏️ ଏଠାରେ $a_1 = k$, $b_1 = -2$, $c_1 = -6$ ଏବଂ $a_2 = 4$, $b_2 = 3$, $c_2 = 9$ ଅଟେ। ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{4} = \frac{-2}{3} = \frac{-6}{9}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{k}{4} = -\frac{2}{3}$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $3k = -8$ ହେବ ଯାହା ଫଳରେ $k = -\frac{8}{3}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = -\frac{8}{3}$।

❓ 9. $k$ ର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବେ ?

💡 ପ୍ରାଥମିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଅସଙ୍ଗତ (ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ) ହେବା ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ନିମ୍ନରେ ଏହାର ସମାଧାନ ଦିଆଗଲା।

(i) $8x + 5y - 9 = 0, kx + 10y - 15 = 0$

✏️ ଏଠାରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{8}{k} = \frac{5}{10} \neq \frac{-9}{-15}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ନେଲେ ଆମକୁ $\frac{8}{k} = \frac{1}{2}$ ମିଳିବ, ଯାହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ସିଧାସଳଖ $k = 16$ ମିଳିବ। ଏଠାରେ ତୃତୀୟ ଅନୁପାତଟି ଭିନ୍ନ ଅଟେ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 16$।

(ii) $kx - 5y - 2 = 0, 6x + 2y - 7 = 0$

✏️ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{6} = \frac{-5}{2} \neq \frac{-2}{-7}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତରୁ $2k = -30$ ମିଳିବ, ଯାହା ଫଳରେ $k = -15$ ହେବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = -15$।

(iii) $kx + 2y - 3 = 0, 5x + 5y - 7 = 0$

✏️ ଏଠାରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{5} = \frac{2}{5} \neq \frac{-3}{-7}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ସମାନ କଲେ ସହଜରେ $k = 2$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 2$।

(iv) $kx - y - 2 = 0, 6x - 2y - 3 = 0$

✏️ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{k}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-2}{-3}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $\frac{k}{6} = \frac{1}{2}$ ମିଳିବ, ଯାହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $2k = 6$ ଏବଂ ଶେଷରେ $k = 3$ ହେବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 3$।

(v) $x + 2y - 5 = 0, 8x + ky - 10 = 0$

✏️ ଏଠାରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{1}{8} = \frac{2}{k} \neq \frac{-5}{-10}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ସମାଧାନ କଲେ ଆମକୁ $k = 16$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = 16$।

(vi) $3x - 4y + 7 = 0, kx + 3y - 5 = 0$

✏️ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ $\frac{3}{k} = \frac{-4}{3} \neq \frac{7}{-5}$ ପ୍ରୟୋଗ କରିବାକୁ ହେବ। ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ $-4k = 9$ ହେବ, ଯାହା ଫଳରେ $k = -\frac{9}{4}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି $k = -\frac{9}{4}$।