✍️ ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (ସମାଧାନ ସହିତ)

1. $x-y=0$ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରଟି କେଉଁ ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଗତି କରିବ?

• ସମାଧାନ: $x-y=0$ ଅର୍ଥାତ୍ $x=y$ । ଏହି ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମାନ ହେବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, (0, 0), (1, 1), (2, 2) ଇତ୍ୟାଦି ।
• ଉତ୍ତର: ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0, 0) (କିମ୍ବା (1, 1), (2, 2) ଇତ୍ୟାଦି ମଧ୍ୟ ସଠିକ୍) ।

2. $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ (ଯେଉଁଠାରେ $a_1, b_1$ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି) ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରର ଜ୍ୟାମିତିକ ରୂପ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ସର୍ବଦା ଏକ ସରଳରେଖା ହୋଇଥାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ଏକ ସରଳରେଖା ।

3. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $x-2y-7=0$ ସମୀକରଣ ପାଇଁ $x=1$ ହେଲେ $y=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣରେ $x=1$ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $1 - 2y - 7 = 0$ $\Rightarrow -2y - 6 = 0$ $\Rightarrow -2y = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{-2} = -3$
• ଉତ୍ତର: -3

4. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x+y=0$ ଓ $x+ky=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ?

• ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ (ଯେହେତୁ $c_1=0, c_2=0$) $\Rightarrow \frac{1}{1} = \frac{1}{k}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{k}$ $\Rightarrow k=1$
• ଉତ୍ତର: $k=1$

5. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ _____ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ । ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ଥାଏ (ଅନନ୍ୟ ବା ଅସଂଖ୍ୟ), ତାକୁ ସଙ୍ଗତ କୁହାଯାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ସଙ୍ଗତ

6. $x+y-3=0$ ଓ $x+y-5=0$ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର କିପରି ଅବସ୍ଥିତ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା କରିବା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{1} = 1$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ସର୍ତ୍ତ ଅଟେ, ଯାହାର ଲେଖଚିତ୍ର ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
• ଉତ୍ତର: ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

7. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଲେଖଚିତ୍ର ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ____ ସମାଧାନ ଥାଏ ।

• ସମାଧାନ: ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ରେଖା କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ତେଣୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ (ଅନନ୍ୟ) ସମାଧାନ ଥାଏ ।
• ଉତ୍ତର: କେବଳ ଗୋଟିଏ (ବା ଅନନ୍ୟ)

8. $y = 2x-1$ ରେଖାଟି y-ଅକ୍ଷକୁ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ?

• ସମାଧାନ: y-ଅକ୍ଷ ଉପରେ $x=0$ ହୁଏ । $y = 2(0) - 1$ $y = -1$
• ଉତ୍ତର: (0, -1)

9. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $2x-y+3=0$ ଓ $kx-y+3=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ (ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ) ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = \frac{-1}{-1} = \frac{3}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = 1 = 1$ $\Rightarrow \frac{2}{k} = 1 \Rightarrow k=2$
• ଉତ୍ତର: $k=2$

10. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ହୁଏ, ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ _____ ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ଏହା ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ସର୍ତ୍ତ । ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, ତାକୁ ଅସଙ୍ଗତ କୁହାଯାଏ ।
• ଉତ୍ତର: ଅସଙ୍ଗତ

11. $(1, 1)$ ବିନ୍ଦୁଟି $3x+ty-6=0$ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କଲେ $t$ ର ମାନ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $x=1, y=1$ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3(1) + t(1) - 6 = 0$ $\Rightarrow 3 + t - 6 = 0$ $\Rightarrow t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3$
• ଉତ୍ତର: $t = 3$

12. $x-y=4$ ଓ $x+y=6$ ର ସମାଧାନ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x-y) + (x+y) = 4 + 6$ $\Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x=5$
• $x=5$ କୁ $x+y=6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $5+y=6 \Rightarrow y=1$
• ଉତ୍ତର: $x=5, y=1$

13. $2x-y=0$ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ ।

• ସମାଧାନ: $2x-y=0 \Rightarrow y=2x$ । $x$ ର ଯେକୌଣସି ମାନ ପାଇଁ $y$ ର ମାନ ତା'ର ଦୁଇ ଗୁଣ ହେବ । ଯଦି $x=1$, ତେବେ $y=2$ ।
• ଉତ୍ତର: (1, 2) (ଅନ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ, ଯଥା: (2, 4))

14. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $a_{1}x+b_{1}y=0$ ଓ $a_{2}x+b_{2}y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ____ ଅଟେ ।

• ସମାଧାନ: ଏହି ଦୁଇ ସମୀକରଣ ସର୍ବଦା (0, 0) ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ($a_1(0)+b_1(0)=0$) । ଯଦି ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ, ତେବେ ତାହା (0, 0) ହିଁ ହେବ ।
• ଉତ୍ତର: (0, 0)

15. $x+y=0$ ଲେଖଚିତ୍ରଟି କେଉଁ ପାଦ (Quadrant) ଦେଇ ଗତି କରେ?

• ସମାଧାନ: $x+y=0 \Rightarrow y=-x$ ।
  • ଯଦି $x$ ଧନାତ୍ମକ (ପାଦ 1 ବା 4), $y$ ଋଣାତ୍ମକ ହେବ । ତେଣୁ ରେଖାଟି ପାଦ ୪ (Fourth Quadrant) ରେ ଥିବ ।
  • ଯଦି $x$ ଋଣାତ୍ମକ (ପାଦ 2 ବା 3), $y$ ଧନାତ୍ମକ ହେବ । ତେଣୁ ରେଖାଟି ପାଦ ୨ (Second Quadrant) ରେ ଥିବ ।
• ଉତ୍ତର: ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପାଦ ।

16. $4x+6y=10$ ଓ $6x+9y=12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ କିପରି ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା କରିବା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ସମାନ୍ତର ରେଖାର ସର୍ତ୍ତ ।
• ଉତ୍ତର: ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

17. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $x-4y+1=0$ ହେଲେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ $y=$ _____ ।

• ସମାଧାନ: $x-4y+1=0$ $\Rightarrow x+1 = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{x+1}{4}$
• ଉତ୍ତର: $\frac{x+1}{4}$

18. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx+2y-3=0$ ଓ $6x-2y-3=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ନଥିବ?

• ସମାଧାନ: "ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ନଥିବ" ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ହେବ । $\Rightarrow \frac{k}{6} = \frac{2}{-2}$ $\Rightarrow \frac{k}{6} = -1$ $\Rightarrow k = -6$
• ଉତ୍ତର: $k = -6$

19. $x+2y-3=0$ ରେଖାଟି x-ଅକ୍ଷକୁ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ?

• ସମାଧାନ: x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ $y=0$ ହୁଏ । $x + 2(0) - 3 = 0$ $\Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
• ଉତ୍ତର: (3, 0)

20. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ହୁଏ, ତେବେ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ____ ଅଟନ୍ତି ।

• ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବର ଅର୍ଥ ରେଖା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ । ଏହା କେବଳ ସମାନ୍ତର ରେଖା କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭବ ।
• ଉତ୍ତର: ସମାନ୍ତର

21. $x-y=0$ ଓ $x+y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ?

• ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x-y) + (x+y) = 0 + 0$ $\Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0$
• $x=0$ କୁ $x-y=0$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $0-y=0 \Rightarrow y=0$
• ଉତ୍ତର: (0, 0)

22. $k=4$ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ମାନ ପାଇଁ $4x+ky+8=0$ ଓ $2x+2y+2=0$ ର ସମାଧାନ କିପରି ହେବ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$ ଏବଂ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{k}{2}$ ।
• ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, ଅର୍ଥାତ୍ $2 \neq \frac{k}{2} \Rightarrow k \neq 4$ ।
• ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି $k \neq 4$, ତେଣୁ ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
• ଉତ୍ତର: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ

23. $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ ସମୀକରଣରେ $a_1=0$ ଓ $b_1 \neq 0$ ହେଲେ ଲେଖଚିତ୍ରଟି କିପରି ହେବ?

• ସମାଧାନ: $a_1=0$ ହେଲେ ସମୀକରଣଟି $b_1y + c_1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{c_1}{b_1}$ ହେବ ।
• $y = k$ (ଏକ ଧ୍ରୁବକ) ର ଲେଖଚିତ୍ର ସର୍ବଦା X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ହୁଏ ।
• ଉତ୍ତର: X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ।

24. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $5x-3y=0$ ଓ $2x+ky=0$ ର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ $k=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{-3}{k}$ $\Rightarrow 5k = 2 \times (-3) = -6$ $\Rightarrow k = -\frac{6}{5}$
• ଉତ୍ତର: $-\frac{6}{5}$

25. $x+y=3$ ଓ $2x+2y=6$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନର ସ୍ୱରୂପ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା:
  • $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
  • $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$
• ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ । ଏହା ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ ।
• ଉତ୍ତର: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

26. $y=4$ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର କେଉଁ ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର?

• ସମାଧାନ: $y=4$ ରେଖାଟି Y-ଅକ୍ଷକୁ (0, 4) ରେ ଛେଦ କରେ ଏବଂ ଏହାର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ପାଇଁ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ 4 ଅଟେ । ଏହା X-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ।
• ଉତ୍ତର: X-ଅକ୍ଷ ।

27. (ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ) $2x-y+2=0$ ସମୀକରଣଟି $(-1, k)$ ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହେଲେ $k=$ ____ ।

• ସମାଧାନ: $x=-1$ ଓ $y=k$ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2(-1) - k + 2 = 0$ $\Rightarrow -2 - k + 2 = 0$ $\Rightarrow -k = 0 \Rightarrow k = 0$
• ଉତ୍ତର: 0

28. $x=0$ ଓ $y=0$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କ'ଣ?

• ସମାଧାନ: $x=0$ ହେଉଛି Y-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ ଏବଂ $y=0$ ହେଉଛି X-ଅକ୍ଷର ସମୀକରଣ । ଏହି ଦୁଇ ଅକ୍ଷ ପରସ୍ପରକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (0, 0) ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
• ଉତ୍ତର: $x=0, y=0$ ବା (0, 0) ।

29. $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx+2y=5$ ଓ $3x+y=1$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବେ?

• ସମାଧାନ: ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
  1. ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: $\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \Rightarrow k = 6$
  2. ଦ୍ଵିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ ପରୀକ୍ଷା: $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow \frac{2}{1} \neq \frac{-5}{-1} \Rightarrow 2 \neq 5$ । ସର୍ତ୍ତ ସିଦ୍ଧ ହେଉଛି ।
• ଉତ୍ତର: $k=6$

30. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତିରେ $y=2x$ ଓ $x+y=3$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ?

• ସମାଧାନ: $y=2x$ କୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x + (2x) = 3$ $\Rightarrow 3x = 3$ $\Rightarrow x = 1$
• ଉତ୍ତର: $x = 1$