💡 ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ସମାଧାନ

❓ 1. $x + y = 8$ ଏବଂ $x - y = 2$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: $x + y = 8$ .....(i) $x - y = 2$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x + y) + (x - y) = 8 + 2$ $\Rightarrow 2x = 10$ $\Rightarrow x = 5$ $\therefore x = 5$

---

❓ 2. $x = 3y$ ଏବଂ $x + y = 12$ ହେଲେ, $y$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x = 3y$ କୁ $x + y = 12$ ରେ ସ୍ଥାପନ (substitute) କଲେ: $(3y) + y = 12$ $\Rightarrow 4y = 12$ $\Rightarrow y = 3$ $\therefore y = 3$

---

❓ 3. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx + 2y = 5$ ଏବଂ $3x + y = 1$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ଏଠାରେ, $a_1 = k, b_1 = 2, a_2 = 3, b_2 = 1$ $\Rightarrow \frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$ $\Rightarrow k \neq 6$ $\therefore k \neq 6$ ହେଲେ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 4. p ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x + 2y = 3$ ଏବଂ $5x + py = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ) ହେବେ? ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{2}{p}$ $\Rightarrow p = 5 \times 2 = 10$ $\therefore p = 10$

---

❓ 5. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $2x + 3y = 4$ ଏବଂ $4x + 6y = k$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{k}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{k}$ ତୁଳନା କଲେ, $\frac{1}{2} = \frac{4}{k} \Rightarrow k = 8$ $\therefore k = 8$

---

❓ 6. $y = 5$ ଏବଂ $2x - y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 5$ କୁ $2x - y = 3$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2x - 5 = 3$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 7. $x + 2y = 5$ ଏବଂ $2x + 4y = 10$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 8. $x - y = 0$ ଏବଂ $x + y = 6$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ $x = y$ କୁ $x + y = 6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $y + y = 6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ $\therefore x = y = 3$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(3, 3)$

---

❓ 9. $2x - y = 3$ ଏବଂ $4x - 2y = 5$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ନା ଅସଙ୍ଗତ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । $\therefore$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ।

---

❓ 10. $ax + by = 0$ ଏବଂ $x + y = c$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ଅପସାରଣ (Elimination) ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ କ’ଣ ହୋଇପାରେ? ସମାଧାନ: $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ $(x + y = c)$ କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $\therefore$ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ: ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

---

❓ 11. $x - 2y = 3$ ଏବଂ $3x + ky = 1$ ପାଇଁ $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \neq \frac{-2}{k}$ $\Rightarrow k \neq -6$ $\therefore k \neq -6$

---

❓ 12. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ (Cramer's Rule) ଅନୁଯାୟୀ $\Delta$ (Delta) ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta = (2 \times -2) - (1 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta = -4 - 3 = -7$ $\therefore \Delta = -7$

---

❓ 13. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_x$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_x = (5 \times -2) - (1 \times 4)$ $\Rightarrow \Delta_x = -10 - 4 = -14$ $\therefore \Delta_x = -14$

---

❓ 14. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_y$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_y = (2 \times 4) - (5 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta_y = 8 - 15 = -7$ $\therefore \Delta_y = -7$

---

❓ 15. $x + 2y = 4$ ଏବଂ $2x + 4y = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ କି? ସମାଧାନ: ହଁ, କାରଣ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$)। ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ । $\therefore$ ହଁ, ନିର୍ଭରଶୀଳ ।

---

❓ 16. $3x + y = 7$ ଏବଂ $2x + y = 5$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $3x + y = 7$ .....(i) $2x + y = 5$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(3x + y) - (2x + y) = 7 - 5$ $\Rightarrow x = 2$ $\therefore x = 2$

---

❓ 17. $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$ ନେଲେ, $\frac{5}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ସମୀକରଣର ରୂପାନ୍ତରିତ ରୂପ କ'ଣ? ସମାଧାନ: $5 \left(\frac{1}{x}\right) - 1 \left(\frac{1}{y}\right) = 3$ $\Rightarrow 5u - v = 3$ $\therefore 5u - v = 3$

---

❓ 18. $4x + 3y = 0$ ଏବଂ $2x - y = 0$ ର ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: ଏହା ଦୁଇଟି ସମ-ସହସମୀକରଣ (Homogeneous equations) । ଏହାର ଏକମାତ୍ର ସମାଧାନ ହେଉଛି $(0, 0)$ । (ପରୀକ୍ଷା: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1} = -3$ । ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, କେବଳ $(0, 0)$ ହିଁ ସମାଧାନ) $\therefore$ ସମାଧାନ $(0, 0)$

---

❓ 19. $x - 4y = 0$ ଏବଂ $x + 4y = 8$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x - 4y = 0$ .....(i) $x + 4y = 8$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x - 4y) + (x + 4y) = 0 + 8$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 20. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ରରେ $y$ ତଳେ ଥିବା ହର (denominator) ଟି ଲେଖ । ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର: $\frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}$ $\therefore$ ହରଟି ହେଉଛି $(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})$ ।

---

❓ 21. $2x + y = 3$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ । ସମାଧାନ: ମନେକର $x = 1$ $\Rightarrow 2(1) + y = 3$ $\Rightarrow 2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$ $\therefore$ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ $(1, 1)$ । (ଅନ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ)

---

❓ 22. $|\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(5 \times 4) - (2 \times 3) = 20 - 6 = 14$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ 14 ।

---

❓ 23. $|\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(-1 \times -5) - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ -1 ।

---

❓ 24. $4x - ky = 5$ ଏବଂ $2x - 3y = 12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ $k$ କେତେ? ସମାଧାନ: ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{-k}{-3}$ $\Rightarrow 2 = \frac{k}{3}$ $\Rightarrow k = 6$ $\therefore k = 6$

---

❓ 25. $x = y + 2$ ଏବଂ $y = x - 2$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି? ସମାଧାନ: $x - y = 2$ $-x + y = -2 \Rightarrow x - y = 2$ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ । $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2} = 1$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 26. $x + y = 10$ ଏବଂ $x = 4$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x = 4$ କୁ $x + y = 10$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $4 + y = 10 \Rightarrow y = 6$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(4, 6)$

---

❓ 27. $a - b = 2$ ଏବଂ $a + b = 4$ ହେଲେ, $a$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(a - b) + (a + b) = 2 + 4$ $\Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$ $\therefore a = 3$

---

❓ 28. $3x + 2y = 0$ ଏବଂ $y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 3$ କୁ $3x + 2y = 0$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2(3) = 0$ $\Rightarrow 3x + 6 = 0$ $\Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$ $\therefore x = -2$

---

❓ 29. $x + 2y = 5$ ସମୀକରଣରେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର । ସମାଧାନ: $x + 2y = 5$ $\Rightarrow 2y = 5 - x$ $\Rightarrow y = \frac{5 - x}{2}$ $\therefore y = \frac{5 - x}{2}$

---

❓ 30. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ $\Delta = 0$ ଏବଂ $\Delta_x = 0$ ହେଲେ ସମାଧାନ କ’ଣ ହେବ? ସମାଧାନ: ଯଦି $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ ହୁଏ (ଏଠାରେ $\Delta = 0$ ଓ $\Delta_x = 0$ ଦିଆଯାଇଛି), ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ । $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

❓ 1. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x+3y=9$ $3x - 4y = 5$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $2x + 3y = 9$ .....(i) $3x - 4y = 5$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ଆମେ ପାଇବା: $2x = 9 - 3y$ $\Rightarrow x = \frac{9 - 3y}{2}$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ, $x$ ର ଏହି ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3\left(\frac{9 - 3y}{2}\right) - 4y = 5$

ସମଗ୍ର ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ: $\Rightarrow 3(9 - 3y) - 8y = 10$ $\Rightarrow 27 - 9y - 8y = 10$ $\Rightarrow 27 - 17y = 10$ $\Rightarrow -17y = 10 - 27$ $\Rightarrow -17y = -17$ $\Rightarrow \mathbf{y = 1}$

$y=1$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x = \frac{9 - 3(1)}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ $\Rightarrow \mathbf{x = 3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, 1)$

---

❓ 2. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $3x + 4y = 25$ $5x - 3y = 9$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $3x + 4y = 25$ .....(i) $5x - 3y = 9$ .....(ii)

ଏଠାରେ $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ (ii) କୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

$3 \times (i) \Rightarrow 9x + 12y = 75$ .....(iii) $4 \times (ii) \Rightarrow 20x - 12y = 36$ .....(iv)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(9x + 12y) + (20x - 12y) = 75 + 36$ $\Rightarrow 29x = 111$ $\Rightarrow x = \frac{111}{29}$ $\Rightarrow \mathbf{x = \frac{111}{29}}$ (ଏହା ଏକ ଜଟିଳ ଉତ୍ତର ଆସୁଛି, ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ । ତଥାପି ଆମେ ସମାଧାନ ଜାରି ରଖିବା)

(ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି $5x + 3y = 9$ ହୋଇଥାନ୍ତା, ଉତ୍ତର ସରଳ ହୋଇଥାନ୍ତା । କିନ୍ତୁ ଆମେ $5x - 3y = 9$ ହିସାବରେ ସମାଧାନ କରିବା ।) ପୁନଃ ହିସାବ: $29x = 111$ । 29 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା । 111, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ (1+1+1=3) । $111 = 3 \times 37$ । ତେଣୁ $x = \frac{111}{29}$ ହିଁ ରହିବ ।

$x = \frac{111}{29}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3\left(\frac{111}{29}\right) + 4y = 25$ $\Rightarrow \frac{333}{29} + 4y = 25$ $\Rightarrow 4y = 25 - \frac{333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{25 \times 29 - 333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{725 - 333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{392}{29}$ $\Rightarrow y = \frac{392}{29 \times 4} = \frac{98}{29}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(\frac{111}{29}, \frac{98}{29})$

---

❓ 3. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{19}{6}$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ସରଳ କରିବା । ସମୀକରଣ (i) କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ (2 ଓ 3 ର ଲ.ସା.ଗୁ.): $6\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = 6 \times 4 \Rightarrow \mathbf{3x + 2y = 24}$ .....(iii)

ସମୀକରଣ (ii) କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ (3 ଓ 2 ର ଲ.ସା.ଗୁ.): $6\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2}\right) = 6 \times \frac{19}{6} \Rightarrow \mathbf{2x + 3y = 19}$ .....(iv)

ବର୍ତ୍ତମାନ $x$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, (iii) କୁ 2 ରେ ଓ (iv) କୁ 3 ରେ ଗୁଣନ କରିବା । $2 \times (iii) \Rightarrow 6x + 4y = 48$ .....(v) $3 \times (iv) \Rightarrow 6x + 9y = 57$ .....(vi)

ସମୀକରଣ (vi) ରୁ (v) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 57 - 48$ $\Rightarrow 5y = 9$ $\Rightarrow \mathbf{y = \frac{9}{5}}$

$y = \frac{9}{5}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2\left(\frac{9}{5}\right) = 24$ $\Rightarrow 3x + \frac{18}{5} = 24$ $\Rightarrow 3x = 24 - \frac{18}{5} = \frac{120 - 18}{5}$ $\Rightarrow 3x = \frac{102}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{102}{5 \times 3} = \frac{34}{5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(\frac{34}{5}, \frac{9}{5})$

---

❓ 4. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $8x + 5y = 9 \Rightarrow 8x + 5y - 9 = 0$ $3x + 2y = 4 \Rightarrow 3x + 2y - 4 = 0$

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ: $a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9$ $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$

$\Rightarrow \frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$

$\Rightarrow \frac{x}{-20 - (-18)} = \frac{y}{-27 - (-32)} = \frac{1}{16 - 15}$

$\Rightarrow \frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{1}$

$\Rightarrow \frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ତୁଳନା କଲେ:

1. $\frac{x}{-2} = 1 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$
2. $\frac{y}{5} = 1 \Rightarrow \mathbf{y = 5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-2, 5)$

---

❓ 5. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = a + b$ $ax - by = a^2 - b^2$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $x + y = a + b$ .....(i) $ax - by = a^2 - b^2$ .....(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $b \times (i) \Rightarrow bx + by = b(a + b) \Rightarrow bx + by = ab + b^2$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(ax - by) + (bx + by) = (a^2 - b^2) + (ab + b^2)$ $\Rightarrow ax + bx = a^2 - b^2 + ab + b^2$ $\Rightarrow x(a + b) = a^2 + ab$ $\Rightarrow x(a + b) = a(a + b)$ $\Rightarrow \mathbf{x = a}$

$x = a$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $a + y = a + b$ $\Rightarrow y = a + b - a$ $\Rightarrow \mathbf{y = b}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(a, b)$

---

❓ 6. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$ $\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = -1$

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ଅଣ-ସରଳରେଖ୍ୟ ସମୀକରଣ । ମନେକର $u = \frac{1}{x}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{y}$ ।

ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେବ: $2u + 3v = 2$ .....(i) $4u - 9v = -1$ .....(ii)

$v$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $3 \times (i) \Rightarrow 6u + 9v = 6$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(4u - 9v) + (6u + 9v) = -1 + 6$ $\Rightarrow 10u = 5$ $\Rightarrow u = \frac{5}{10} \Rightarrow \mathbf{u = \frac{1}{2}}$

$u = \frac{1}{2}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2\left(\frac{1}{2}\right) + 3v = 2$ $\Rightarrow 1 + 3v = 2$ $\Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow \mathbf{v = \frac{1}{3}}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳ ମୂଲ୍ୟ ଫେରାଇଲେ:

• $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
• $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow \mathbf{y = 3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 3)$

---

❓ 7. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: $\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4$ $\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2$

ସମାଧାନ: ମନେକର $u = \frac{1}{x+y}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{x-y}$ ।

ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେବ: $10u + 2v = 4 \Rightarrow 5u + v = 2 \Rightarrow \mathbf{v = 2 - 5u}$ .....(i) $15u - 5v = -2$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $v$ ର ମାନକୁ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $15u - 5(2 - 5u) = -2$ $\Rightarrow 15u - 10 + 25u = -2$ $\Rightarrow 40u = 8$ $\Rightarrow u = \frac{8}{40} \Rightarrow \mathbf{u = \frac{1}{5}}$

$u = \frac{1}{5}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $v = 2 - 5\left(\frac{1}{5}\right) = 2 - 1 \Rightarrow \mathbf{v = 1}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳ ମୂଲ୍ୟ ଫେରାଇଲେ:

• $u = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \Rightarrow x + y = 5$ .....(A)
• $v = \frac{1}{x-y} = 1 \Rightarrow x - y = 1$ .....(B)

ସମୀକରଣ (A) ଓ (B) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x + y) + (x - y) = 5 + 1$ $\Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$

$x = 3$ କୁ ସମୀକରଣ (A) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3 + y = 5 \Rightarrow \mathbf{y = 2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, 2)$

---

❓ 8. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $0.2x + 0.3y = 1.3$ $0.4x + 0.5y = 2.3$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ 10 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରି ଦଶମିକି ଦୂର କରିବା । $2x + 3y = 13$ .....(i) $4x + 5y = 23$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ: $2x = 13 - 3y \Rightarrow \mathbf{x = \frac{13 - 3y}{2}}$ .....(iii)

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $4\left(\frac{13 - 3y}{2}\right) + 5y = 23$ $\Rightarrow 2(13 - 3y) + 5y = 23$ $\Rightarrow 26 - 6y + 5y = 23$ $\Rightarrow 26 - y = 23$ $\Rightarrow -y = 23 - 26 = -3$ $\Rightarrow \mathbf{y = 3}$

$y = 3$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2}$ $\Rightarrow \mathbf{x = 2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 3)$

---

❓ 9. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: (ଏହା ଏକ ବିଶେଷ ଧରଣର ପ୍ରଶ୍ନ) $152x - 378y = -74$ $-378x + 152y = -604$

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $x$ ଓ $y$ ର ସହଗ ପରସ୍ପର ବଦଳି ଯାଇଛି । ଏପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଥରେ ଯୋଗ ଓ ଥରେ ବିୟୋଗ କଲେ ସମାଧାନ ସହଜ ହୁଏ । $152x - 378y = -74$ .....(i) $-378x + 152y = -604$ .....(ii)

ସୋପାନ ୧: ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(152 - 378)x + (-378 + 152)y = -74 - 604$ $\Rightarrow -226x - 226y = -678$ $\Rightarrow -226(x + y) = -678$ $\Rightarrow x + y = \frac{-678}{-226}$ $\Rightarrow \mathbf{x + y = 3}$ .....(iii)

ସୋପାନ ୨: ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(152x - 378y) - (-378x + 152y) = -74 - (-604)$ $\Rightarrow (152 + 378)x + (-378 - 152)y = -74 + 604$ $\Rightarrow 530x - 530y = 530$ $\Rightarrow 530(x - y) = 530$ $\Rightarrow \mathbf{x - y = 1}$ .....(iv)

ସୋପାନ ୩: ନୂତନ ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ସମାଧାନ କଲେ: $x + y = 3$ $x - y = 1$ ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗ କଲେ: $2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$ $x=2$ କୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ରଖିଲେ: $2 + y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 1)$

---

❓ 10. ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ $ax - by = a^2 - b^2$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣକୁ ସରଳ କଲେ: $\frac{bx + ay}{ab} = 2 \Rightarrow \mathbf{bx + ay = 2ab}$ .....(i) ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ: $\mathbf{ax - by = a^2 - b^2}$ .....(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଓ (ii) କୁ $a$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $b \times (i) \Rightarrow b^2x + aby = 2ab^2$ .....(iii) $a \times (ii) \Rightarrow a^2x - aby = a(a^2 - b^2) \Rightarrow a^2x - aby = a^3 - ab^2$ .....(iv)

ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(b^2x + aby) + (a^2x - aby) = 2ab^2 + (a^3 - ab^2)$ $\Rightarrow b^2x + a^2x = ab^2 + a^3$ $\Rightarrow x(a^2 + b^2) = a(b^2 + a^2)$ $\Rightarrow \mathbf{x = a}$

$x = a$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $b(a) + ay = 2ab$ $\Rightarrow ab + ay = 2ab$ $\Rightarrow ay = ab$ $\Rightarrow \mathbf{y = b}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(a, b)$

---

ଭାଗ ୨: ୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ)

(ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର କେବଳ ଉତ୍ତର ଦିଆଯାଇଛି । ଉପରୋକ୍ତ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସରଣ କରି ଏଗୁଡିକର ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ।)

❓ 11. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $y = 2x - 3$ ଏବଂ $3x + 2y = 8$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, 1)$

❓ 12. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = 7$ ଏବଂ $12x + 5y = 7$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(-4, 11)$

❓ 13. ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 11$ ଏବଂ $\frac{5x}{6} - \frac{y}{3} = -7$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(6, 36)$

❓ 14. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x - 3y = 7$ ଏବଂ $3x - 2y = 8$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, -1)$

❓ 15. ସମାଧାନ କର: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ ଏବଂ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, 3)$

❓ 16. ସମାଧାନ କର: $2x + y = a + b$ ଏବଂ $x + 2y = a$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(\frac{a+2b}{3}, \frac{a-b}{3})$

❓ 17. ସମାଧାନ କର: $1.5x + 0.1y = 6.2$ ଏବଂ $3x - 0.4y = 11.2$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(4, 2)$

❓ 18. ସମାଧାନ କର: $\frac{4}{x} + 3y = 14$ ଏବଂ $\frac{3}{x} - 4y = 23$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(\frac{1}{5}, -2)$

❓ 19. ସମାଧାନ କର: $s - t = 3$ ଏବଂ $\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(s=9, t=6)$

❓ 20. ସମାଧାନ କର: $7(y + 3) - 2(x + 2) = 14$ ଏବଂ $4(y - 2) + 3(x - 3) = 2$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(5, 2)$

---

❓ 1. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x + 3y = 9$ $3x - 4y = 5$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $2x + 3y = 9$ .....(i) $3x - 4y = 5$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ଆମେ ପାଇବା: $2x = 9 - 3y$ $\Rightarrow x = \frac{9 - 3y}{2}$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ, $x$ ର ଏହି ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3\left(\frac{9 - 3y}{2}\right) - 4y = 5$

ସମଗ୍ର ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ: $\Rightarrow 3(9 - 3y) - 8y = 10$ $\Rightarrow 27 - 9y - 8y = 10$ $\Rightarrow 27 - 17y = 10$ $\Rightarrow -17y = 10 - 27$ $\Rightarrow -17y = -17$ $\Rightarrow \mathbf{y = 1}$

$y=1$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x = \frac{9 - 3(1)}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2}$ $\Rightarrow \mathbf{x = 3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, 1)$

---

❓ 2. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $3x + 4y = 25$ $5x - 3y = 9$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $3x + 4y = 25$ .....(i) $5x - 3y = 9$ .....(ii)

ଏଠାରେ $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଏବଂ ସମୀକରଣ (ii) କୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

$3 \times (i) \Rightarrow 9x + 12y = 75$ .....(iii) $4 \times (ii) \Rightarrow 20x - 12y = 36$ .....(iv)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(9x + 12y) + (20x - 12y) = 75 + 36$ $\Rightarrow 29x = 111$ $\Rightarrow x = \frac{111}{29}$ $\Rightarrow \mathbf{x = \frac{111}{29}}$ (ଏହା ଏକ ଜଟିଳ ଉତ୍ତର ଆସୁଛି, ପ୍ରଶ୍ନରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ । ତଥାପି ଆମେ ସମାଧାନ ଜାରି ରଖିବା)

(ଯଦି ପ୍ରଶ୍ନଟି $5x + 3y = 9$ ହୋଇଥାନ୍ତା, ଉତ୍ତର ସରଳ ହୋଇଥାନ୍ତା । କିନ୍ତୁ ଆମେ $5x - 3y = 9$ ହିସାବରେ ସମାଧାନ କରିବା ।) ପୁନଃ ହିସାବ: $29x = 111$ । 29 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା । 111, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ (1+1+1=3) । $111 = 3 \times 37$ । ତେଣୁ $x = \frac{111}{29}$ ହିଁ ରହିବ ।

$x = \frac{111}{29}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3\left(\frac{111}{29}\right) + 4y = 25$ $\Rightarrow \frac{333}{29} + 4y = 25$ $\Rightarrow 4y = 25 - \frac{333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{25 \times 29 - 333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{725 - 333}{29}$ $\Rightarrow 4y = \frac{392}{29}$ $\Rightarrow y = \frac{392}{29 \times 4} = \frac{98}{29}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(\frac{111}{29}, \frac{98}{29})$

---

❓ 3. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{19}{6}$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ସରଳ କରିବା । ସମୀକରଣ (i) କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ (2 ଓ 3 ର ଲ.ସା.ଗୁ.): $6\left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = 6 \times 4 \Rightarrow \mathbf{3x + 2y = 24}$ .....(iii)

ସମୀକରଣ (ii) କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ (3 ଓ 2 ର ଲ.ସା.ଗୁ.): $6\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2}\right) = 6 \times \frac{19}{6} \Rightarrow \mathbf{2x + 3y = 19}$ .....(iv)

ବର୍ତ୍ତମାନ $x$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, (iii) କୁ 2 ରେ ଓ (iv) କୁ 3 ରେ ଗୁଣନ କରିବା । $2 \times (iii) \Rightarrow 6x + 4y = 48$ .....(v) $3 \times (iv) \Rightarrow 6x + 9y = 57$ .....(vi)

ସମୀକରଣ (vi) ରୁ (v) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 57 - 48$ $\Rightarrow 5y = 9$ $\Rightarrow \mathbf{y = \frac{9}{5}}$

$y = \frac{9}{5}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2\left(\frac{9}{5}\right) = 24$ $\Rightarrow 3x + \frac{18}{5} = 24$ $\Rightarrow 3x = 24 - \frac{18}{5} = \frac{120 - 18}{5}$ $\Rightarrow 3x = \frac{102}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{102}{5 \times 3} = \frac{34}{5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(\frac{34}{5}, \frac{9}{5})$

---

❓ 4. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $8x + 5y = 9 \Rightarrow 8x + 5y - 9 = 0$ $3x + 2y = 4 \Rightarrow 3x + 2y - 4 = 0$

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ: $a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9$ $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4$

ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}} = \frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}} = \frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$

$\Rightarrow \frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$

$\Rightarrow \frac{x}{-20 - (-18)} = \frac{y}{-27 - (-32)} = \frac{1}{16 - 15}$

$\Rightarrow \frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{1}$

$\Rightarrow \frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ତୁଳନା କଲେ:

1. $\frac{x}{-2} = 1 \Rightarrow \mathbf{x = -2}$
2. $\frac{y}{5} = 1 \Rightarrow \mathbf{y = 5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(-2, 5)$

---

❓ 5. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = a + b$ $ax - by = a^2 - b^2$

ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ: $x + y = a + b$ .....(i) $ax - by = a^2 - b^2$ .....(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $b \times (i) \Rightarrow bx + by = b(a + b) \Rightarrow bx + by = ab + b^2$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(ax - by) + (bx + by) = (a^2 - b^2) + (ab + b^2)$ $\Rightarrow ax + bx = a^2 - b^2 + ab + b^2$ $\Rightarrow x(a + b) = a^2 + ab$ $\Rightarrow x(a + b) = a(a + b)$ $\Rightarrow \mathbf{x = a}$

$x = a$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $a + y = a + b$ $\Rightarrow y = a + b - a$ $\Rightarrow \mathbf{y = b}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(a, b)$

---

❓ 6. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$ $\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = -1$

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ଅଣ-ସରଳରେଖ୍ୟ ସମୀକରଣ । ମନେକର $u = \frac{1}{x}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{y}$ ।

ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେବ: $2u + 3v = 2$ .....(i) $4u - 9v = -1$ .....(ii)

$v$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $3 \times (i) \Rightarrow 6u + 9v = 6$ .....(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(4u - 9v) + (6u + 9v) = -1 + 6$ $\Rightarrow 10u = 5$ $\Rightarrow u = \frac{5}{10} \Rightarrow \mathbf{u = \frac{1}{2}}$

$u = \frac{1}{2}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2\left(\frac{1}{2}\right) + 3v = 2$ $\Rightarrow 1 + 3v = 2$ $\Rightarrow 3v = 1 \Rightarrow \mathbf{v = \frac{1}{3}}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳ ମୂଲ୍ୟ ଫେରାଇଲେ:

• $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
• $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow \mathbf{y = 3}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 3)$

---

❓ 7. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: $\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4$ $\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2$

ସମାଧାନ: ମନେକର $u = \frac{1}{x+y}$ ଏବଂ $v = \frac{1}{x-y}$ ।

ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେବ: $10u + 2v = 4 \Rightarrow 5u + v = 2 \Rightarrow \mathbf{v = 2 - 5u}$ .....(i) $15u - 5v = -2$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ $v$ ର ମାନକୁ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $15u - 5(2 - 5u) = -2$ $\Rightarrow 15u - 10 + 25u = -2$ $\Rightarrow 40u = 8$ $\Rightarrow u = \frac{8}{40} \Rightarrow \mathbf{u = \frac{1}{5}}$

$u = \frac{1}{5}$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $v = 2 - 5\left(\frac{1}{5}\right) = 2 - 1 \Rightarrow \mathbf{v = 1}$

ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳ ମୂଲ୍ୟ ଫେରାଇଲେ:

• $u = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \Rightarrow x + y = 5$ .....(A)
• $v = \frac{1}{x-y} = 1 \Rightarrow x - y = 1$ .....(B)

ସମୀକରଣ (A) ଓ (B) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x + y) + (x - y) = 5 + 1$ $\Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$

$x = 3$ କୁ ସମୀକରଣ (A) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3 + y = 5 \Rightarrow \mathbf{y = 2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(3, 2)$

---

❓ 8. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $0.2x + 0.3y = 1.3$ $0.4x + 0.5y = 2.3$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ 10 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରି ଦଶମିକି ଦୂର କରିବା । $2x + 3y = 13$ .....(i) $4x + 5y = 23$ .....(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ: $2x = 13 - 3y \Rightarrow \mathbf{x = \frac{13 - 3y}{2}}$ .....(iii)

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $4\left(\frac{13 - 3y}{2}\right) + 5y = 23$ $\Rightarrow 2(13 - 3y) + 5y = 23$ $\Rightarrow 26 - 6y + 5y = 23$ $\Rightarrow 26 - y = 23$ $\Rightarrow -y = 23 - 26 = -3$ $\Rightarrow \mathbf{y = 3}$

$y = 3$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $x = \frac{13 - 3(3)}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2}$ $\Rightarrow \mathbf{x = 2}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 3)$

---

❓ 9. ନିମ୍ନ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ସମାଧାନ କର: (ଏହା ଏକ ବିଶେଷ ଧରଣର ପ୍ରଶ୍ନ) $152x - 378y = -74$ $-378x + 152y = -604$

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $x$ ଓ $y$ ର ସହଗ ପରସ୍ପର ବଦଳି ଯାଇଛି । ଏପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଥରେ ଯୋଗ ଓ ଥରେ ବିୟୋଗ କଲେ ସମାଧାନ ସହଜ ହୁଏ । $152x - 378y = -74$ .....(i) $-378x + 152y = -604$ .....(ii)

ସୋପାନ ୧: ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(152 - 378)x + (-378 + 152)y = -74 - 604$ $\Rightarrow -226x - 226y = -678$ $\Rightarrow -226(x + y) = -678$ $\Rightarrow x + y = \frac{-678}{-226}$ $\Rightarrow \mathbf{x + y = 3}$ .....(iii)

ସୋପାନ ୨: ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(152x - 378y) - (-378x + 152y) = -74 - (-604)$ $\Rightarrow (152 + 378)x + (-378 - 152)y = -74 + 604$ $\Rightarrow 530x - 530y = 530$ $\Rightarrow 530(x - y) = 530$ $\Rightarrow \mathbf{x - y = 1}$ .....(iv)

ସୋପାନ ୩: ନୂତନ ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ସମାଧାନ କଲେ: $x + y = 3$ $x - y = 1$ ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗ କଲେ: $2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$ $x=2$ କୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ରଖିଲେ: $2 + y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(2, 1)$

---

❓ 10. ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ $ax - by = a^2 - b^2$

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣକୁ ସରଳ କଲେ: $\frac{bx + ay}{ab} = 2 \Rightarrow \mathbf{bx + ay = 2ab}$ .....(i) ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ: $\mathbf{ax - by = a^2 - b^2}$ .....(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ (i) କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଓ (ii) କୁ $a$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $b \times (i) \Rightarrow b^2x + aby = 2ab^2$ .....(iii) $a \times (ii) \Rightarrow a^2x - aby = a(a^2 - b^2) \Rightarrow a^2x - aby = a^3 - ab^2$ .....(iv)

ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(b^2x + aby) + (a^2x - aby) = 2ab^2 + (a^3 - ab^2)$ $\Rightarrow b^2x + a^2x = ab^2 + a^3$ $\Rightarrow x(a^2 + b^2) = a(b^2 + a^2)$ $\Rightarrow \mathbf{x = a}$

$x = a$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $b(a) + ay = 2ab$ $\Rightarrow ab + ay = 2ab$ $\Rightarrow ay = ab$ $\Rightarrow \mathbf{y = b}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(a, b)$

---

ଭାଗ ୨: ୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ)

(ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର କେବଳ ଉତ୍ତର ଦିଆଯାଇଛି । ଉପରୋକ୍ତ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସରଣ କରି ଏଗୁଡିକର ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ।)

❓ 11. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $y = 2x - 3$ ଏବଂ $3x + 2y = 8$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, 1)$

❓ 12. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = 7$ ଏବଂ $12x + 5y = 7$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(-4, 11)$

❓ 13. ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 11$ ଏବଂ $\frac{5x}{6} - \frac{y}{3} = -7$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(6, 36)$

❓ 14. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x - 3y = 7$ ଏବଂ $3x - 2y = 8$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, -1)$

❓ 15. ସମାଧାନ କର: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ ଏବଂ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(2, 3)$

❓ 16. ସମାଧାନ କର: $2x + y = a + b$ ଏବଂ $x + 2y = a$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(\frac{a+2b}{3}, \frac{a-b}{3})$

❓ 17. ସମାଧାନ କର: $1.5x + 0.1y = 6.2$ ଏବଂ $3x - 0.4y = 11.2$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(4, 2)$

❓ 18. ସମାଧାନ କର: $\frac{4}{x} + 3y = 14$ ଏବଂ $\frac{3}{x} - 4y = 23$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(\frac{1}{5}, -2)$

❓ 19. ସମାଧାନ କର: $s - t = 3$ ଏବଂ $\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(s=9, t=6)$

❓ 20. ସମାଧାନ କର: $7(y + 3) - 2(x + 2) = 14$ ଏବଂ $4(y - 2) + 3(x - 3) = 2$ $\therefore$ ଉତ୍ତର: $(5, 2)$

---

💡 ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ସମାଧାନ

❓ 1. $x + y = 8$ ଏବଂ $x - y = 2$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: $x + y = 8$ .....(i) $x - y = 2$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x + y) + (x - y) = 8 + 2$ $\Rightarrow 2x = 10$ $\Rightarrow x = 5$ $\therefore x = 5$

---

❓ 2. $x = 3y$ ଏବଂ $x + y = 12$ ହେଲେ, $y$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x = 3y$ କୁ $x + y = 12$ ରେ ସ୍ଥାପନ (substitute) କଲେ: $(3y) + y = 12$ $\Rightarrow 4y = 12$ $\Rightarrow y = 3$ $\therefore y = 3$

---

❓ 3. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx + 2y = 5$ ଏବଂ $3x + y = 1$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ଏଠାରେ, $a_1 = k, b_1 = 2, a_2 = 3, b_2 = 1$ $\Rightarrow \frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$ $\Rightarrow k \neq 6$ $\therefore k \neq 6$ ହେଲେ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 4. p ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x + 2y = 3$ ଏବଂ $5x + py = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ) ହେବେ? ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{2}{p}$ $\Rightarrow p = 5 \times 2 = 10$ $\therefore p = 10$

---

❓ 5. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $2x + 3y = 4$ ଏବଂ $4x + 6y = k$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{k}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{k}$ ତୁଳନା କଲେ, $\frac{1}{2} = \frac{4}{k} \Rightarrow k = 8$ $\therefore k = 8$

---

❓ 6. $y = 5$ ଏବଂ $2x - y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 5$ କୁ $2x - y = 3$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2x - 5 = 3$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 7. $x + 2y = 5$ ଏବଂ $2x + 4y = 10$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 8. $x - y = 0$ ଏବଂ $x + y = 6$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ $x = y$ କୁ $x + y = 6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $y + y = 6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ $\therefore x = y = 3$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(3, 3)$

---

❓ 9. $2x - y = 3$ ଏବଂ $4x - 2y = 5$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ନା ଅସଙ୍ଗତ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । $\therefore$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ।

---

❓ 10. $ax + by = 0$ ଏବଂ $x + y = c$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ଅପସାରଣ (Elimination) ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ କ’ଣ ହୋଇପାରେ? ସମାଧାନ: $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ $(x + y = c)$ କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $\therefore$ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ: ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

---

❓ 11. $x - 2y = 3$ ଏବଂ $3x + ky = 1$ ପାଇଁ $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \neq \frac{-2}{k}$ $\Rightarrow k \neq -6$ $\therefore k \neq -6$

---

❓ 12. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ (Cramer's Rule) ଅନୁଯାୟୀ $\Delta$ (Delta) ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta = (2 \times -2) - (1 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta = -4 - 3 = -7$ $\therefore \Delta = -7$

---

❓ 13. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_x$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_x = (5 \times -2) - (1 \times 4)$ $\Rightarrow \Delta_x = -10 - 4 = -14$ $\therefore \Delta_x = -14$

---

❓ 14. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_y$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_y = (2 \times 4) - (5 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta_y = 8 - 15 = -7$ $\therefore \Delta_y = -7$

---

❓ 15. $x + 2y = 4$ ଏବଂ $2x + 4y = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ କି? ସମାଧାନ: ହଁ, କାରଣ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$)। ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ । $\therefore$ ହଁ, ନିର୍ଭରଶୀଳ ।

---

❓ 16. $3x + y = 7$ ଏବଂ $2x + y = 5$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $3x + y = 7$ .....(i) $2x + y = 5$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(3x + y) - (2x + y) = 7 - 5$ $\Rightarrow x = 2$ $\therefore x = 2$

---

❓ 17. $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$ ନେଲେ, $\frac{5}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ସମୀକରଣର ରୂପାନ୍ତରିତ ରୂପ କ'ଣ? ସମାଧାନ: $5 \left(\frac{1}{x}\right) - 1 \left(\frac{1}{y}\right) = 3$ $\Rightarrow 5u - v = 3$ $\therefore 5u - v = 3$

---

❓ 18. $4x + 3y = 0$ ଏବଂ $2x - y = 0$ ର ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: ଏହା ଦୁଇଟି ସମ-ସହସମୀକରଣ (Homogeneous equations) । ଏହାର ଏକମାତ୍ର ସମାଧାନ ହେଉଛି $(0, 0)$ । (ପରୀକ୍ଷା: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1} = -3$ । ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, କେବଳ $(0, 0)$ ହିଁ ସମାଧାନ) $\therefore$ ସମାଧାନ $(0, 0)$

---

❓ 19. $x - 4y = 0$ ଏବଂ $x + 4y = 8$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x - 4y = 0$ .....(i) $x + 4y = 8$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x - 4y) + (x + 4y) = 0 + 8$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 20. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ରରେ $y$ ତଳେ ଥିବା ହର (denominator) ଟି ଲେଖ । ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର: $\frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}$ $\therefore$ ହରଟି ହେଉଛି $(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})$ ।

---

❓ 21. $2x + y = 3$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ । ସମାଧାନ: ମନେକର $x = 1$ $\Rightarrow 2(1) + y = 3$ $\Rightarrow 2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$ $\therefore$ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ $(1, 1)$ । (ଅନ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ)

---

❓ 22. $|\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(5 \times 4) - (2 \times 3) = 20 - 6 = 14$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ 14 ।

---

❓ 23. $|\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(-1 \times -5) - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ -1 ।

---

❓ 24. $4x - ky = 5$ ଏବଂ $2x - 3y = 12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ $k$ କେତେ? ସମାଧାନ: ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{-k}{-3}$ $\Rightarrow 2 = \frac{k}{3}$ $\Rightarrow k = 6$ $\therefore k = 6$

---

❓ 25. $x = y + 2$ ଏବଂ $y = x - 2$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି? ସମାଧାନ: $x - y = 2$ $-x + y = -2 \Rightarrow x - y = 2$ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ । $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2} = 1$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 26. $x + y = 10$ ଏବଂ $x = 4$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x = 4$ କୁ $x + y = 10$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $4 + y = 10 \Rightarrow y = 6$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(4, 6)$

---

❓ 27. $a - b = 2$ ଏବଂ $a + b = 4$ ହେଲେ, $a$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(a - b) + (a + b) = 2 + 4$ $\Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$ $\therefore a = 3$

---

❓ 28. $3x + 2y = 0$ ଏବଂ $y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 3$ କୁ $3x + 2y = 0$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2(3) = 0$ $\Rightarrow 3x + 6 = 0$ $\Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$ $\therefore x = -2$

---

❓ 29. $x + 2y = 5$ ସମୀକରଣରେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର । ସମାଧାନ: $x + 2y = 5$ $\Rightarrow 2y = 5 - x$ $\Rightarrow y = \frac{5 - x}{2}$ $\therefore y = \frac{5 - x}{2}$

---

❓ 30. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ $\Delta = 0$ ଏବଂ $\Delta_x = 0$ ହେଲେ ସମାଧାନ କ’ଣ ହେବ? ସମାଧାନ: ଯଦି $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ ହୁଏ (ଏଠାରେ $\Delta = 0$ ଓ $\Delta_x = 0$ ଦିଆଯାଇଛି), ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ । $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

💡 ୧ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ସମାଧାନ

❓ 1. $x + y = 8$ ଏବଂ $x - y = 2$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: $x + y = 8$ .....(i) $x - y = 2$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x + y) + (x - y) = 8 + 2$ $\Rightarrow 2x = 10$ $\Rightarrow x = 5$ $\therefore x = 5$

---

❓ 2. $x = 3y$ ଏବଂ $x + y = 12$ ହେଲେ, $y$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x = 3y$ କୁ $x + y = 12$ ରେ ସ୍ଥାପନ (substitute) କଲେ: $(3y) + y = 12$ $\Rightarrow 4y = 12$ $\Rightarrow y = 3$ $\therefore y = 3$

---

❓ 3. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $kx + 2y = 5$ ଏବଂ $3x + y = 1$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ଏଠାରେ, $a_1 = k, b_1 = 2, a_2 = 3, b_2 = 1$ $\Rightarrow \frac{k}{3} \neq \frac{2}{1}$ $\Rightarrow k \neq 6$ $\therefore k \neq 6$ ହେଲେ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 4. p ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $x + 2y = 3$ ଏବଂ $5x + py = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ) ହେବେ? ସମାଧାନ: ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{2}{p}$ $\Rightarrow p = 5 \times 2 = 10$ $\therefore p = 10$

---

❓ 5. k ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ $2x + 3y = 4$ ଏବଂ $4x + 6y = k$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\Rightarrow \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{k}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{k}$ ତୁଳନା କଲେ, $\frac{1}{2} = \frac{4}{k} \Rightarrow k = 8$ $\therefore k = 8$

---

❓ 6. $y = 5$ ଏବଂ $2x - y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 5$ କୁ $2x - y = 3$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $2x - 5 = 3$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 7. $x + 2y = 5$ ଏବଂ $2x + 4y = 10$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 8. $x - y = 0$ ଏବଂ $x + y = 6$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ $x = y$ କୁ $x + y = 6$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $y + y = 6 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ $\therefore x = y = 3$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(3, 3)$

---

❓ 9. $2x - y = 3$ ଏବଂ $4x - 2y = 5$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ନା ଅସଙ୍ଗତ? ସମାଧାନ: ଅନୁପାତଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କଲେ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ । ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । $\therefore$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (Inconsistent) ।

---

❓ 10. $ax + by = 0$ ଏବଂ $x + y = c$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟକୁ ଅପସାରଣ (Elimination) ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ କ’ଣ ହୋଇପାରେ? ସମାଧାନ: $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣ $(x + y = c)$ କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା । $\therefore$ ପ୍ରଥମ ସୋପାନ: ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।

---

❓ 11. $x - 2y = 3$ ଏବଂ $3x + ky = 1$ ପାଇଁ $k$ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ? ସମାଧାନ: ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \neq \frac{-2}{k}$ $\Rightarrow k \neq -6$ $\therefore k \neq -6$

---

❓ 12. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ (Cramer's Rule) ଅନୁଯାୟୀ $\Delta$ (Delta) ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta = (2 \times -2) - (1 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta = -4 - 3 = -7$ $\therefore \Delta = -7$

---

❓ 13. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_x$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_x = (5 \times -2) - (1 \times 4)$ $\Rightarrow \Delta_x = -10 - 4 = -14$ $\therefore \Delta_x = -14$

---

❓ 14. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_y$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow \Delta_y = (2 \times 4) - (5 \times 3)$ $\Rightarrow \Delta_y = 8 - 15 = -7$ $\therefore \Delta_y = -7$

---

❓ 15. $x + 2y = 4$ ଏବଂ $2x + 4y = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ କି? ସମାଧାନ: ହଁ, କାରଣ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ (ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$)। ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ । $\therefore$ ହଁ, ନିର୍ଭରଶୀଳ ।

---

❓ 16. $3x + y = 7$ ଏବଂ $2x + y = 5$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $3x + y = 7$ .....(i) $2x + y = 5$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $(3x + y) - (2x + y) = 7 - 5$ $\Rightarrow x = 2$ $\therefore x = 2$

---

❓ 17. $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$ ନେଲେ, $\frac{5}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ସମୀକରଣର ରୂପାନ୍ତରିତ ରୂପ କ'ଣ? ସମାଧାନ: $5 \left(\frac{1}{x}\right) - 1 \left(\frac{1}{y}\right) = 3$ $\Rightarrow 5u - v = 3$ $\therefore 5u - v = 3$

---

❓ 18. $4x + 3y = 0$ ଏବଂ $2x - y = 0$ ର ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: ଏହା ଦୁଇଟି ସମ-ସହସମୀକରଣ (Homogeneous equations) । ଏହାର ଏକମାତ୍ର ସମାଧାନ ହେଉଛି $(0, 0)$ । (ପରୀକ୍ଷା: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{-1} = -3$ । ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, କେବଳ $(0, 0)$ ହିଁ ସମାଧାନ) $\therefore$ ସମାଧାନ $(0, 0)$

---

❓ 19. $x - 4y = 0$ ଏବଂ $x + 4y = 8$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $x - 4y = 0$ .....(i) $x + 4y = 8$ .....(ii) ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗ କଲେ: $(x - 4y) + (x + 4y) = 0 + 8$ $\Rightarrow 2x = 8$ $\Rightarrow x = 4$ $\therefore x = 4$

---

❓ 20. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ରରେ $y$ ତଳେ ଥିବା ହର (denominator) ଟି ଲେଖ । ସମାଧାନ: ସୂତ୍ର: $\frac{y}{c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}}$ $\therefore$ ହରଟି ହେଉଛି $(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})$ ।

---

❓ 21. $2x + y = 3$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ । ସମାଧାନ: ମନେକର $x = 1$ $\Rightarrow 2(1) + y = 3$ $\Rightarrow 2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$ $\therefore$ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ $(1, 1)$ । (ଅନ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ)

---

❓ 22. $|\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(5 \times 4) - (2 \times 3) = 20 - 6 = 14$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ 14 ।

---

❓ 23. $|\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix}|$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? ସମାଧାନ: $(-1 \times -5) - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$ $\therefore$ ମୂଲ୍ୟ -1 ।

---

❓ 24. $4x - ky = 5$ ଏବଂ $2x - 3y = 12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ $k$ କେତେ? ସମାଧାନ: ଅସଙ୍ଗତ ପାଇଁ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ $\Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{-k}{-3}$ $\Rightarrow 2 = \frac{k}{3}$ $\Rightarrow k = 6$ $\therefore k = 6$

---

❓ 25. $x = y + 2$ ଏବଂ $y = x - 2$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି? ସମାଧାନ: $x - y = 2$ $-x + y = -2 \Rightarrow x - y = 2$ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ । $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$; $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{2} = 1$ ଯେହେତୁ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

❓ 26. $x + y = 10$ ଏବଂ $x = 4$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ? ସମାଧାନ: $x = 4$ କୁ $x + y = 10$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $4 + y = 10 \Rightarrow y = 6$ $\therefore$ ସମାଧାନ $(4, 6)$

---

❓ 27. $a - b = 2$ ଏବଂ $a + b = 4$ ହେଲେ, $a$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: ଦୁଇ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $(a - b) + (a + b) = 2 + 4$ $\Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$ $\therefore a = 3$

---

❓ 28. $3x + 2y = 0$ ଏବଂ $y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ? ସମାଧାନ: $y = 3$ କୁ $3x + 2y = 0$ ରେ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2(3) = 0$ $\Rightarrow 3x + 6 = 0$ $\Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$ $\therefore x = -2$

---

❓ 29. $x + 2y = 5$ ସମୀକରଣରେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର । ସମାଧାନ: $x + 2y = 5$ $\Rightarrow 2y = 5 - x$ $\Rightarrow y = \frac{5 - x}{2}$ $\therefore y = \frac{5 - x}{2}$

---

❓ 30. $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ଏବଂ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ପାଇଁ $\Delta = 0$ ଏବଂ $\Delta_x = 0$ ହେଲେ ସମାଧାନ କ’ଣ ହେବ? ସମାଧାନ: ଯଦି $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$ ହୁଏ (ଏଠାରେ $\Delta = 0$ ଓ $\Delta_x = 0$ ଦିଆଯାଇଛି), ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ । $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

---

ଅଧିକ ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ ଅନୁଶୀଳନୀ 1(b) ଉପରେ ଆଧାରିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଣାଳୀର ୧୦ଟି ଲେଖାଏଁ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ) ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା।

୧. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Substitution Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

1. 2x+y=72x + y = 7 ଏବଂ 4x−3y+1=04x - 3y + 1 = 0
2. x−2y=8x - 2y = 8 ଏବଂ 3x+y=33x + y = 3
3. 5x+3y=115x + 3y = 11 ଏବଂ 2x−7y=−122x - 7y = -12
4. 3x−5y=−13x - 5y = -1 ଏବଂ x+2y=7x + 2y = 7
5. 0.2x+0.3y=1.30.2x + 0.3y = 1.3 ଏବଂ 0.4x+0.5y=2.30.4x + 0.5y = 2.3
6. 2x+3y=0\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0 ଏବଂ 3x−8y=0\sqrt{3}x - \sqrt{8}y = 0
7. x2+y=8\frac{x}{2} + y = 8 ଏବଂ x−y3=1x - \frac{y}{3} = 1
8. 7x−15y=27x - 15y = 2 ଏବଂ x+2y=3x + 2y = 3
9. x+y=a+bx + y = a + b ଏବଂ ax−by=a2−b2ax - by = a^2 - b^2
10. 3x−y=33x - y = 3 ଏବଂ 9x−3y=99x - 3y = 9

୨. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Elimination Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

1. 3x+4y=103x + 4y = 10 ଏବଂ 2x−2y=22x - 2y = 2
2. 8x+5y=98x + 5y = 9 ଏବଂ 3x+2y=43x + 2y = 4
3. x2+2y3=−1\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 ଏବଂ x−y3=3x - \frac{y}{3} = 3
4. 152x−378y=−74152x - 378y = -74 ଏବଂ −378x+152y=−604-378x + 152y = -604
5. 5x+4y=225x + 4y = 22 ଏବଂ 3x+2y=123x + 2y = 12
6. 3x−5y−4=03x - 5y - 4 = 0 ଏବଂ 9x=2y+79x = 2y + 7
7. ax+by=cax + by = c ଏବଂ bx+ay=1+cbx + ay = 1 + c
8. 2x+3y=82x + 3y = 8 ଏବଂ 4x+5y=144x + 5y = 14
9. 4x−3y=84x - 3y = 8 ଏବଂ 6x−y=2936x - y = \frac{29}{3}
10. x+y=5x + y = 5 ଏବଂ 2x−3y=42x - 3y = 4

୩. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ (Cross-Multiplication Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

1. 2x+3y−46=02x + 3y - 46 = 0 ଏବଂ 3x+5y−74=03x + 5y - 74 = 0
2. x−3y−7=0x - 3y - 7 = 0 ଏବଂ 3x−3y−15=03x - 3y - 15 = 0
3. 8x+5y−9=08x + 5y - 9 = 0 ଏବଂ 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0
4. 2x+y=52x + y = 5 ଏବଂ 3x+2y=83x + 2y = 8
5. ax+by=a−bax + by = a - b ଏବଂ bx−ay=a+bbx - ay = a + b
6. 5x+3y=355x + 3y = 35 ଏବଂ 2x+4y=282x + 4y = 28
7. 4x−7y+28=04x - 7y + 28 = 0 ଏବଂ 5x−3y+12=05x - 3y + 12 = 0
8. 3x+2y−11=03x + 2y - 11 = 0 ଏବଂ 2x+3y−4=02x + 3y - 4 = 0
9. xa+yb=2\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 ଏବଂ ax−by=a2−b2ax - by = a^2 - b^2
10. mx−ny=m2+n2mx - ny = m^2 + n^2 ଏବଂ x+y=2mx + y = 2m

୪. ରୂପାନ୍ତରଣ ପଦ୍ଧତି (Equations Reducible to Linear Form)

ଉପଯୁକ୍ତ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

1. 1x+1y=5\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 ଏବଂ 2x−3y=0\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 0
2. 5x−1+1y−2=2\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2 ଏବଂ 6x−1−3y−2=1\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1
3. 2x+3y=2\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2 ଏବଂ 4x−9y=−1\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{y}} = -1
4. 10x+y+2x−y=4\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4 ଏବଂ 15x+y−5x−y=−2\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2
5. 7x−2y=5xy7x - 2y = 5xy ଏବଂ 8x+7y=15xy8x + 7y = 15xy
6. 3x+y+2x−y=2\frac{3}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 2 ଏବଂ 9x+y−4x−y=1\frac{9}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 1
7. 13x+y+13x−y=34\frac{1}{3x+y} + \frac{1}{3x-y} = \frac{3}{4} ଏବଂ 12(3x+y)−12(3x−y)=−18\frac{1}{2(3x+y)} - \frac{1}{2(3x-y)} = -\frac{1}{8}
8. x+yxy=2\frac{x+y}{xy} = 2 ଏବଂ x−yxy=6\frac{x-y}{xy} = 6
9. 2x+3y=4xy2x + 3y = 4xy ଏବଂ 3x−2y=5xy3x - 2y = 5xy
10. 4x+3y=14\frac{4}{x} + 3y = 14 ଏବଂ 3x−4y=23\frac{3}{x} - 4y = 23