ଅଧିକ ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ ଅନୁଶୀଳନୀ 1(b) ଉପରେ ଆଧାରିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଣାଳୀର ୧୦ଟି ଲେଖାଏଁ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ) ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା।

୧. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Substitution Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

🔸 1. $2x + y = 7$ ଏବଂ $4x - 3y + 1 = 0$

🔸 2. $x - 2y = 8$ ଏବଂ $3x + y = 3$

🔸 3. $5x + 3y = 11$ ଏବଂ $2x - 7y = -12$

🔸 4. $3x - 5y = -1$ ଏବଂ $x + 2y = 7$

🔸 5. $0.2x + 0.3y = 1.3$ ଏବଂ $0.4x + 0.5y = 2.3$

🔸 6. $\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0$ ଏବଂ $\sqrt{3}x - \sqrt{8}y = 0$

🔸 7. $\frac{x}{2} + y = 8$ ଏବଂ $x - \frac{y}{3} = 1$

🔸 8. $7x - 15y = 2$ ଏବଂ $x + 2y = 3$

🔸 9. $x + y = a + b$ ଏବଂ $ax - by = a^2 - b^2$

🔸 10. $3x - y = 3$ ଏବଂ $9x - 3y = 9$

୨. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Elimination Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

🔹 1. $3x + 4y = 10$ ଏବଂ $2x - 2y = 2$

🔹 2. $8x + 5y = 9$ ଏବଂ $3x + 2y = 4$

🔹 3. $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$ ଏବଂ $x - \frac{y}{3} = 3$

🔹 4. $152x - 378y = -74$ ଏବଂ $-378x + 152y = -604$

🔹 5. $5x + 4y = 22$ ଏବଂ $3x + 2y = 12$

🔹 6. $3x - 5y - 4 = 0$ ଏବଂ $9x = 2y + 7$

🔹 7. $ax + by = c$ ଏବଂ $bx + ay = 1 + c$

🔹 8. $2x + 3y = 8$ ଏବଂ $4x + 5y = 14$

🔹 9. $4x - 3y = 8$ ଏବଂ $6x - y = \frac{29}{3}$

🔹 10. $x + y = 5$ ଏବଂ $2x - 3y = 4$

୩. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ (Cross-Multiplication Method)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

🎯 1. $2x + 3y - 46 = 0$ ଏବଂ $3x + 5y - 74 = 0$

🎯 2. $x - 3y - 7 = 0$ ଏବଂ $3x - 3y - 15 = 0$

🎯 3. $8x + 5y - 9 = 0$ ଏବଂ $3x + 2y - 4 = 0$

🎯 4. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x + 2y = 8$

🎯 5. $ax + by = a - b$ ଏବଂ $bx - ay = a + b$

🎯 6. $5x + 3y = 35$ ଏବଂ $2x + 4y = 28$

🎯 7. $4x - 7y + 28 = 0$ ଏବଂ $5x - 3y + 12 = 0$

🎯 8. $3x + 2y - 11 = 0$ ଏବଂ $2x + 3y - 4 = 0$

🎯 9. $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ ଏବଂ $ax - by = a^2 - b^2$

🎯 10. $mx - ny = m^2 + n^2$ ଏବଂ $x + y = 2m$

୪. ରୂପାନ୍ତରଣ ପଦ୍ଧତି (Equations Reducible to Linear Form)

ଉପଯୁକ୍ତ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର। (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ - ୫ ମାର୍କ)

✨ 1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$ ଏବଂ $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 0$

✨ 2. $\frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2$ ଏବଂ $\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1$

✨ 3. $\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2$ ଏବଂ $\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{y}} = -1$

✨ 4. $\frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4$ ଏବଂ $\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2$

✨ 5. $7x - 2y = 5xy$ ଏବଂ $8x + 7y = 15xy$

✨ 6. $\frac{3}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 2$ ଏବଂ $\frac{9}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 1$

✨ 7. $\frac{1}{3x+y} + \frac{1}{3x-y} = \frac{3}{4}$ ଏବଂ $\frac{1}{2(3x+y)} - \frac{1}{2(3x-y)} = -\frac{1}{8}$

✨ 8. $\frac{x+y}{xy} = 2$ ଏବଂ $\frac{x-y}{xy} = 6$

✨ 9. $2x + 3y = 4xy$ ଏବଂ $3x - 2y = 5xy$

✨ 10. $\frac{4}{x} + 3y = 14$ ଏବଂ $\frac{3}{x} - 4y = 23$
ଏଠାରେ ପୂର୍ବ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର କେବଳ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର (ସମାଧାନ) ଦିଆଗଲା। ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ $(x, y)$ ଫର୍ମାଟରେ ଅଛି:

୧. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Substitution Method)

🔸 1. $(2, 3)$

🔸 2. $(2, -3)$

🔸 3. $(1, 2)$

🔸 4. $(3, 2)$

🔸 5. $(2, 3)$

🔸 6. $(0, 0)$

🔸 7. $\left(\frac{22}{7}, \frac{45}{7}\right)$

🔸 8. $\left(\frac{49}{29}, \frac{19}{29}\right)$

🔸 9. $(a, b)$

🔸 10. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite solutions)

୨. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Elimination Method)

🔹 1. $(2, 1)$

🔹 2. $(-2, 5)$

🔹 3. $(2, -3)$

🔹 4. $(2, 1)$

🔹 5. $(2, 3)$

🔹 6. $\left(\frac{9}{13}, -\frac{5}{13}\right)$

🔹 7. $\left( \frac{c(a-b)-b}{a^2-b^2}, \frac{a+c(a-b)}{a^2-b^2} \right)$

🔹 8. $(1, 2)$

🔹 9. $\left(\frac{3}{2}, -\frac{2}{3}\right)$

🔹 10. $\left(\frac{19}{5}, \frac{6}{5}\right)$

୩. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ (Cross-Multiplication Method)

🎯 1. $(8, 10)$

🎯 2. $(4, -1)$

🎯 3. $(2, -1)$

🎯 4. $(2, 1)$

🎯 5. $(1, -1)$

🎯 6. $(4, 5)$

🎯 7. $(0, 4)$

🎯 8. $(5, -2)$

🎯 9. $(a, b)$

🎯 10. $(m+n, m-n)$

୪. ରୂପାନ୍ତରଣ ପଦ୍ଧତି (Equations Reducible to Linear Form)

✨ 1. $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$

✨ 2. $(4, 5)$

✨ 3. $(4, 9)$

✨ 4. $(3, 2)$

✨ 5. $(1, 1)$

✨ 6. $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$

✨ 7. $(1, 1)$

✨ 8. $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$

✨ 9. $\left(\frac{13}{2}, \frac{13}{23}\right)$

✨ 10. $\left(\frac{1}{5}, -2\right)$

📘 ବିଭାଗ କ:

❓ 1. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ $\Delta$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2 \times -2) - (1 \times 3) = -4 - 3$

$\therefore \Delta = -7$

❓ 2. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_x$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (5 \times -2) - (1 \times 4) = -10 - 4$

$\therefore \Delta_x = -14$

❓ 3. $2x + y = 5$ ଏବଂ $3x - 2y = 4$ ପାଇଁ $\Delta_y$ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (2 \times 4) - (5 \times 3) = 8 - 15$

$\therefore \Delta_y = -7$

❓ 4. $x + 2y = 4$ ଏବଂ $2x + 4y = 8$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ କି?

ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, ଏବଂ $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ।

ଯେହେତୁ ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ସମାନ, ସେଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଭରଶୀଳ ଅଟନ୍ତି। (ଉତ୍ତର: ହଁ)

❓ 5. $3x + y = 7$ ଏବଂ $2x + y = 5$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ?

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$(3x - 2x) + (y - y) = 7 - 5 \Rightarrow x = 2$

❓ 6. $\frac{1}{x} = u$ ଏବଂ $\frac{1}{y} = v$ ନେଲେ, $\frac{5}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ସମୀକରଣର ରୂପାନ୍ତରିତ ରୂପ କ’ଣ ହେବ?

ସମାଧାନ:

$5\left(\frac{1}{x}\right) - \left(\frac{1}{y}\right) = 3 \Rightarrow 5u - v = 3$

❓ 7. $4x + 3y = 0$ ଏବଂ $2x - y = 0$ ର ସମାଧାନ କ’ଣ?

ସମାଧାନ:

ଏହା ସମ-ସହସମୀକରଣ (Homogeneous Equations) ଅଟେ। ଯେହେତୁ ଧ୍ରୁବକ ପଦ ଶୂନ ଅଟେ, ଏହାର ଏକମାତ୍ର ସମାଧାନ ହେଉଛି $(0, 0)$ ।

❓ 8. $x - 4y = 0$ ଏବଂ $x + 4y = 8$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ?

ସମାଧାନ:

ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$

❓ 9. ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ରରେ $y$ ତଳେ ଥିବା ହର (denominator) ଟି କ’ଣ?

ସମାଧାନ:

ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ହରଟି ହେଉଛି: $c_1a_2 - c_2a_1$

❓ 10. $2x + y = 3$ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:

ଯଦି $x = 1$ ନିଆଯାଏ, ତେବେ $2(1) + y = 3 \Rightarrow y = 1$ । $\therefore$ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ: $(1, 1)$

❓ 11. $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$(5 \times 4) - (2 \times 3) = 20 - 6 = 14$

❓ 12. $\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix}$ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$(-1 \times -5) - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$

❓ 13. $4x - ky = 5$ ଏବଂ $2x - 3y = 12$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ $k$ କେତେ?

ସମାଧାନ:

ଅସଙ୍ଗତ ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{-k}{-3} \Rightarrow 2 = \frac{k}{3} \Rightarrow k = 6$

❓ 14. $x = y + 2$ ଏବଂ $y = x - 2$ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି?

ସମାଧାନ:

ଦୁଇଟି ଯାକ ସମୀକରଣର ଅର୍ଥ ସମାନ ($x - y = 2$) । ସେଗୁଡ଼ିକ ସଙ୍ଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ । $\therefore$ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ।

❓ 15. $x + y = 10$ ଏବଂ $x = 4$ ହେଲେ, ସମାଧାନ କ’ଣ?

ସମାଧାନ:

$x = 4$ ମାନକୁ ସ୍ଥାପନ କଲେ, $4 + y = 10 \Rightarrow y = 6$ । $\therefore$ ସମାଧାନ: $(4, 6)$

❓ 16. $a - b = 2$ ଏବଂ $a + b = 4$ ହେଲେ, $a$ ର ମାନ କେତେ?

ସମାଧାନ:

ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ଯୋଗ କଲେ: $2a = 6 \Rightarrow a = 3$

❓ 17. $3x + 2y = 0$ ଏବଂ $y = 3$ ହେଲେ, $x$ ର ମାନ କେତେ?

ସମାଧାନ:

$y = 3$ ସ୍ଥାପନ କଲେ: $3x + 2(3) = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$

❓ 18. $x + 2y = 5$ ସମୀକରଣରେ $y$ କୁ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମାଧାନ:

$2y = 5 - x \Rightarrow y = \frac{5 - x}{2}$

❓ 19. ଯଦି $\Delta = 0$ ଏବଂ $\Delta_x = 0$ ହେଲେ ସମାଧାନ କ’ଣ ହେବ?

ସମାଧାନ:

ଯଦି $\Delta = 0$ ଓ $\Delta_x = 0$ ହୁଏ (ଏବଂ $\Delta_y = 0$ ଥାଏ), ତେବେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

📘 ବିଭାଗ ଖ: ୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନ (Long Answer Questions)

📝 1. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x + 3y = 9$ ଏବଂ $3x - 4y = 5$

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ:

$2x + 3y = 9$ …(i)

$3x - 4y = 5$ …(ii)

ସମୀକରଣ (i) ରୁ ଆମେ ପାଇବା:

$2x = 9 - 3y \Rightarrow x = \frac{9 - 3y}{2}$ …(iii)

ବର୍ତ୍ତମାନ, $x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$3\left(\frac{9 - 3y}{2}\right) - 4y = 5$

$\Rightarrow \frac{27 - 9y}{2} - 4y = 5$

ସମଗ୍ର ସମୀକରଣକୁ $2$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ:

$\Rightarrow 27 - 9y - 8y = 10$

$\Rightarrow 27 - 17y = 10 \Rightarrow -17y = 10 - 27 \Rightarrow -17y = -17 \Rightarrow y = 1$

$y = 1$ ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$x = \frac{9 - 3(1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(x, y) = (3, 1)$

📝 2. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $3x + 4y = 25$ ଏବଂ $5x - 3y = 9$

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ:

$3x + 4y = 25$ …(i)

$5x - 3y = 9$ …(ii)

ଏଠାରେ $y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ:

ସମୀକରଣ (i) $\times 3 \Rightarrow 9x + 12y = 75$ …(iii)

ସମୀକରଣ (ii) $\times 4 \Rightarrow 20x - 12y = 36$ …(iv)

ସମୀକରଣ (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

$29x = 111 \Rightarrow x = \frac{111}{29}$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$3\left(\frac{111}{29}\right) + 4y = 25$

$\Rightarrow \frac{333}{29} + 4y = 25 \Rightarrow 4y = 25 - \frac{333}{29}$

$\Rightarrow 4y = \frac{725 - 333}{29} = \frac{392}{29} \Rightarrow y = \frac{392}{29 \times 4} = \frac{98}{29}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(x, y) = \left(\frac{111}{29}, \frac{98}{29}\right)$

📝 3. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ ଏବଂ $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{19}{6}$

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାକୁ ରୂପାନ୍ତର କରିବା।

ସମୀକରଣ (i) କୁ $6$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ: $3x + 2y = 24$ …(iii)

ସମୀକରଣ (ii) କୁ $6$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ: $2x + 3y = 19$ …(iv)

ଏଠାରେ $x$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ:

ସମୀକରଣ (iii) $\times 2 \Rightarrow 6x + 4y = 48$ …(v)

ସମୀକରଣ (iv) $\times 3 \Rightarrow 6x + 9y = 57$ …(vi)

ସମୀକରଣ (vi) ରୁ (v) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$5y = 9 \Rightarrow y = \frac{9}{5}$

$y$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$3x + 2\left(\frac{9}{5}\right) = 24 \Rightarrow 3x + \frac{18}{5} = 24 \Rightarrow 3x = \frac{120 - 18}{5} = \frac{102}{5}$

$\Rightarrow x = \frac{102}{15} = \frac{34}{5}$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(x, y) = \left(\frac{34}{5}, \frac{9}{5}\right)$

📝 4. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $8x + 5y = 9$ ଏବଂ $3x + 2y = 4$

ସମାଧାନ:

ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଆଦର୍ଶ ରୂପରେ ଲେଖିଲେ:

$8x + 5y - 9 = 0$ …(i)

$3x + 2y - 4 = 0$ …(ii)

ଏଠାରେ $a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9$ ଏବଂ $a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4$ ।

ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$

$$\Rightarrow \frac{x}{(5 \times -4) - (2 \times -9)} = \frac{y}{(-9 \times 3) - (-4 \times 8)} = \frac{1}{(8 \times 2) - (3 \times 5)}$$

$$\Rightarrow \frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 - 15}$$

$$\Rightarrow \frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = 1$$

$\therefore x = -2$ ଏବଂ $y = 5$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(x, y) = (-2, 5)$

📝 5. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = a + b$ ଏବଂ $ax - by = a^2 - b^2$

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ:

$x + y = a + b$ …(i)

$ax - by = a^2 - b^2$ …(ii)

$y$ କୁ ଅପସାରଣ କରିବା ପାଇଁ ସମୀକରଣ (i) କୁ $b$ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା:

$bx + by = ab + b^2$ …(iii)

ସମୀକରଣ (ii) ଓ (iii) କୁ ଯୋଗ କଲେ:

$(a + b)x = a^2 - b^2 + ab + b^2$

$\Rightarrow (a + b)x = a^2 + ab \Rightarrow (a + b)x = a(a + b) \Rightarrow x = a$

$x$ ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$a + y = a + b \Rightarrow y = b$

$\therefore$ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ: $(x, y) = (a, b)$

📘 ବିଭାଗ ଗ: ଅଭ୍ୟାସ ପାଇଁ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (Practice Exercise)

(ଏଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ନିଜେ ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ)

🎯 1. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $y = 2x - 3$ ଏବଂ $3x + 2y = 8$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(2, 1)$

🎯 2. ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $x + y = 7$ ଏବଂ $12x + 5y = 7$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(-4, 11)$

🎯 3. ସମାଧାନ କର: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 11$ ଏବଂ $\frac{5x}{6} - \frac{y}{3} = -7$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(6, 36)$

🎯 4. ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ କର: $2x - 3y = 7$ ଏବଂ $3x - 2y = 8$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(2, -1)$

🎯 5. ରୂପାନ୍ତରଣ ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ କର: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ ଏବଂ $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(2, 3)$

🎯 6. ସମାଧାନ କର: $2x + y = a + b$ ଏବଂ $x + 2y = a$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $\left(\frac{a+2b}{3}, \frac{a-b}{3}\right)$

🎯 7. ସମାଧାନ କର (ଦଶମିକ): $1.5x + 0.1y = 6.2$ ଏବଂ $3x - 0.4y = 11.2$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(4, 2)$

🎯 8. ସମାଧାନ କର: $\frac{4}{x} + 3y = 14$ ଏବଂ $\frac{3}{x} - 4y = 23$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $\left(\frac{1}{5}, -2\right)$

🎯 9. ସମାଧାନ କର: $s - t = 3$ ଏବଂ $\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(s=9, t=6)$

🎯 10. ସମାଧାନ କର: $7(y + 3) - 2(x + 2) = 14$ ଏବଂ $4(y - 2) + 3(x - 3) = 2$

ଉତ୍ତର ସଙ୍କେତ: $(5, 2)$