❓ 4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ସମାଧାନ କର ।

(i) $x^2 + x - 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ ମଝି ପଦର ସହଗର ଅଧାର ବର୍ଗକୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଯୋଗ କରିବା। $x^2 + x = 6 \Rightarrow x^2 + 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2 = 6 + (\frac{1}{2})^2$।

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $(x + \frac{1}{2})^2 = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} = (\pm \frac{5}{2})^2$ ମିଳିବ।

ତେଣୁ $x + \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{2}$। ଯଦି $x + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ହୁଏ, ତେବେ $x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ହେବ।

ଯଦି $x + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ ହୁଏ, ତେବେ $x = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} = -3$ ହେବ।

ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -3 ଅଟେ। ✅

(ii) $2x^2 - 9x + 4 = 0$

✏️ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା ${}^{}$

$x^2 - \frac{9}{2}x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2(x)(\frac{9}{4}) + (\frac{9}{4})^2 = -2 + (\frac{9}{4})^2$।

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $(x - \frac{9}{4})^2 = -2 + \frac{81}{16} = \frac{-32 + 81}{16} = \frac{49}{16} = (\pm \frac{7}{4})^2$ ହେବ।

ଏଥିରୁ $x - \frac{9}{4} = \pm \frac{7}{4}$ ମିଳିବ। ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ $x = \frac{9}{4} + \frac{7}{4} = \frac{16}{4} = 4$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ $x = \frac{9}{4} - \frac{7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ହେବ।

ତେଣୁ ମୂଳଦ୍ଵୟ 4 ଓ $\frac{1}{2}$ ଅଟେ। ✅

(iii) $14x^2 + x - 3 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 14 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ $x^2 + \frac{1}{14}x - \frac{3}{14} = 0 \Rightarrow x^2 + 2(x)(\frac{1}{28}) + (\frac{1}{28})^2 = \frac{3}{14} + (\frac{1}{28})^2$।

ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $(x + \frac{1}{28})^2 = \frac{3}{14} + \frac{1}{784} = \frac{168 + 1}{784} = \frac{169}{784} = (\pm \frac{13}{28})^2$ ହେବ। ତେଣୁ $x + \frac{1}{28} = \pm \frac{13}{28}$।

ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $x = \frac{13}{28} - \frac{1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ $x = -\frac{13}{28} - \frac{1}{28} = -\frac{14}{28} = -\frac{1}{2}$।

ତେଣୁ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{3}{7}$ ଓ $-\frac{1}{2}$ ଅଟେ। ✅

(iv) $3x^2 - 32x + 12 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $9x^2 - 96x + 36 = 0$ ହେବ।

ଏହାକୁ ଆମେ $(3x)^2 - 2(3x)(16) + (16)^2 = -36 + (16)^2$ ରୂପରେ ଲେଖିପାରିବା।

ସରଳ କଲେ $(3x - 16)^2 = -36 + 256 = 220$ ହେବ।

ତେଣୁ $3x - 16 = \pm \sqrt{220} = \pm 2\sqrt{55}$।

ଏଥିରୁ $3x = 16 \pm 2\sqrt{55} \Rightarrow x = \frac{16 \pm 2\sqrt{55}}{3}$ ମିଳିବ।

ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{16 + 2\sqrt{55}}{3}$ ଓ $\frac{16 - 2\sqrt{55}}{3}$ ଅଟେ। ✅

(v) $x^2 + 2px - 3qx - 6pq = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $x^2 + (2p - 3q)x = 6pq$।

ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $(\frac{2p - 3q}{2})^2$ ଯୋଗ କଲେ $x^2 + (2p - 3q)x + (\frac{2p - 3q}{2})^2 = 6pq + (\frac{2p - 3q}{2})^2$ ମିଳିବ।

ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱଟି $(x + \frac{2p - 3q}{2})^2$ ଏବଂ

ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱଟି $6pq + \frac{4p^2 - 12pq + 9q^2}{4} = \frac{24pq + 4p^2 - 12pq + 9q^2}{4} = \frac{4p^2 + 12pq + 9q^2}{4} = (\frac{2p + 3q}{2})^2$ ହେବ।

ତେଣୁ $x + \frac{2p - 3q}{2} = \pm \frac{2p + 3q}{2}$।

ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ $x = \frac{2p + 3q}{2} - \frac{2p - 3q}{2} = \frac{6q}{2} = 3q$

ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ $x = -\frac{2p + 3q}{2} - \frac{2p - 3q}{2} = \frac{-4p}{2} = -2p$

। ତେଣୁ ମୂଳଦ୍ଵୟ $3q$ ଓ $-2p$ ଅଟେ। ✅

(vi) $\sqrt{3}x^2 + 10x + 8\sqrt{3} = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $\sqrt{3}$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ $x^2 + \frac{10}{\sqrt{3}}x + 8 = 0$ ହେବ। ଏହାକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କଲେ $x^2 + 2(x)(\frac{5}{\sqrt{3}}) + (\frac{5}{\sqrt{3}})^2 = -8 + (\frac{5}{\sqrt{3}})^2 \Rightarrow (x + \frac{5}{\sqrt{3}})^2 = -8 + \frac{25}{3} = \frac{-24 + 25}{3} = \frac{1}{3}$। ତେଣୁ $x + \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = -\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}$। ତେଣୁ ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{4}{\sqrt{3}}$ ଓ $-2\sqrt{3}$ ଅଟେ। ✅

(vii) $25x^2 + 30x + 7 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ଆମେ ସିଧାସଳଖ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କରିପାରିବା: $(5x)^2 + 2(5x)(3) + 3^2 - 9 + 7 = 0 \Rightarrow (5x + 3)^2 - 2 = 0 \Rightarrow (5x + 3)^2 = 2$। ଏଥିରୁ $5x + 3 = \pm \sqrt{2} \Rightarrow 5x = -3 \pm \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{2}}{5}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ମୂଳଦ୍ଵୟ ହେଉଛି $\frac{-3 + \sqrt{2}}{5}$ ଓ $\frac{-3 - \sqrt{2}}{5}$। ✅

(viii) $3a^2x^2 + 8abx + 4b^2 = 0 \quad (a \neq 0)$

✏️ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ $9a^2x^2 + 24abx + 12b^2 = 0$ ମିଳିବ। ଏହାକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ରୂପରେ ଲେଖିଲେ $(3ax)^2 + 2(3ax)(4b) + (4b)^2 - 16b^2 + 12b^2 = 0 \Rightarrow (3ax + 4b)^2 = 4b^2$ ହେବ। ତେଣୁ $3ax + 4b = \pm 2b$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $3ax = 2b - 4b = -2b \Rightarrow x = -\frac{2b}{3a}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $3ax = -2b - 4b = -6b \Rightarrow x = -\frac{6b}{3a} = -\frac{2b}{a}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{2b}{3a}$ ଓ $-\frac{2b}{a}$ ଅଟେ। ✅

(ix) $x^2 + ax + b = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $x^2 + 2(x)(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})^2 = -b + (\frac{a}{2})^2 \Rightarrow (x + \frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} - b = \frac{a^2 - 4b}{4}$। ଏଥିରୁ $x + \frac{a}{2} = \pm \frac{\sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ ମିଳିବ। ତେଣୁ $x = -\frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2 - 4b}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{-a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ ଓ $\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$ ଅଟେ। ✅

(x) $x^2 + bx = a^2 - ab$

✏️ ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $(\frac{b}{2})^2$ ଯୋଗ କଲେ $x^2 + bx + \frac{b^2}{4} = a^2 - ab + \frac{b^2}{4}$ ହେବ। ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱଟି $(x + \frac{b}{2})^2$ ହେବ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱଟି $\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{4} = (\frac{2a - b}{2})^2$ ହେବ। ତେଣୁ $x + \frac{b}{2} = \pm \frac{2a - b}{2}$। ଧନାତ୍ମକ ନେଲେ $x = \frac{2a - b}{2} - \frac{b}{2} = \frac{2a - 2b}{2} = a - b$। ଋଣାତ୍ମକ ନେଲେ $x = \frac{-2a + b}{2} - \frac{b}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $a - b$ ଓ $-a$ ଅଟେ। ✅

❓ 5. ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନଲିଖୂତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କର ବୀଜ ବା ମୂଳ ନିରୂପଣ କର । (ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$)

(i) $4x^2 - 11x + 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=4, b=-11, c=6$। $D = (-11)^2 - 4(4)(6) = 121 - 96 = 25$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2(4)} = \frac{11 \pm 5}{8}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{16}{8} = 2$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ $\frac{3}{4}$ ଅଟେ। ✅

(ii) $(2x - 1)(x - 2) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ସମୀକରଣକୁ ସରଳ କଲେ $2x^2 - 4x - x + 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$। ଏଠାରେ $a=2, b=-5, c=2$। $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$। ମୂଳଗୁଡ଼ିକ $x = \frac{8}{4} = 2$ ଏବଂ $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ $\frac{1}{2}$ ଅଟେ। ✅

(iii) $x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=1, b=-(1 + \sqrt{2}), c=\sqrt{2}$। $D = (-(1 + \sqrt{2}))^2 - 4(1)(\sqrt{2}) = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4\sqrt{2} = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = (1 - \sqrt{2})^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{(1 + \sqrt{2}) \pm \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}}{2} = \frac{(1 + \sqrt{2}) \pm (1 - \sqrt{2})}{2}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{2}{2} = 1$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ 1 ଓ $\sqrt{2}$ ଅଟେ। ✅

(iv) $a(x^2 + 1) = x(a^2 + 1) \quad (a \neq 0)$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ସଜାଇ ଲେଖିଲେ $ax^2 - (a^2 + 1)x + a = 0$ ହେବ। $D = (-(a^2 + 1))^2 - 4(a)(a) = a^4 + 2a^2 + 1 - 4a^2 = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{(a^2 + 1) \pm (a^2 - 1)}{2a}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{2a^2}{2a} = a$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $a$ ଓ $\frac{1}{a}$ ଅଟେ। ✅

(v) $6x^2 + 11x + 3 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=6, b=11, c=3$। $D = 11^2 - 4(6)(3) = 121 - 72 = 49$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{-11 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-11 \pm 7}{12}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $-\frac{1}{3}$ ଓ $-\frac{3}{2}$ ଅଟେ। ✅

(vi) $2x^2 + 41x - 115 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=2, b=41, c=-115$। $D = 41^2 - 4(2)(-115) = 1681 + 920 = 2601 = 51^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{-41 \pm 51}{4}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-92}{4} = -23$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{5}{2}$ ଓ $-23$ ଅଟେ। ✅

(vii) $12x^2 + x - 6 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=12, b=1, c=-6$। $D = 1^2 - 4(12)(-6) = 1 + 288 = 289 = 17^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{-1 \pm 17}{24}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{2}{3}$ ଓ $-\frac{3}{4}$ ଅଟେ। ✅

(viii) $(6x + 5)(x - 2) = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $6x^2 - 12x + 5x - 10 = 0 \Rightarrow 6x^2 - 7x - 10 = 0$। $D = (-7)^2 - 4(6)(-10) = 49 + 240 = 289 = 17^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{7 \pm 17}{12}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{24}{12} = 2$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ $-\frac{5}{6}$ ଅଟେ। ✅

(ix) $15x^2 - x - 28 = 0$

✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ $a=15, b=-1, c=-28$। $D = (-1)^2 - 4(15)(-28) = 1 + 1680 = 1681 = 41^2$। ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $x = \frac{1 \pm 41}{30}$। ଧନାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{42}{30} = \frac{7}{5}$ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପାଇଁ $x = \frac{-40}{30} = -\frac{4}{3}$। ମୂଳଦ୍ଵୟ $\frac{7}{5}$ ଓ $-\frac{4}{3}$ ଅଟେ। ✅

(x) $(x + 5)(x - 5) = 39$

✏️ ସମାଧାନ: ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ $x^2 - 25 = 39 \Rightarrow x^2 - 64 = 0$। ଏହାକୁ ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ $a=1, b=0, c=-64$। $D = 0^2 - 4(1)(-64) = 256 = 16^2$। $x = \frac{0 \pm 16}{2} = \pm 8$। ମୂଳଦ୍ଵୟ 8 ଓ -8 ଅଟେ। ✅