ଅନୁଶୀଳନୀ 2(b) ଉପରେ ଆଧାରିତ ୩୦ଟି ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା। ଏଥିରେ ବିସ୍ତୃତ ସମାଧାନ ବଦଳରେ କେବଳ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର (Short Answers) ପ୍ରଦାନ କରାଯାଇଛି

1. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 156 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ କେତେ? ଉତ୍ତର: 12 ଓ 13

2. ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 290 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଉତ୍ତର: 11 ଓ 13

3. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତାର ବ୍ୟୁତକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ $\frac{10}{3}$ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: 3 କିମ୍ବା $\frac{1}{3}$

4. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ 12 । ସଂଖ୍ୟାଟି ସହ 36 ଯୋଗ କଲେ ଅଙ୍କଦ୍ୱୟ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଉତ୍ତର: 26

5. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତିର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ ତାଙ୍କ ପୁଅର ବୟସର ବର୍ଗ ସହ ସମାନ। 5 ବର୍ଷ ପରେ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ବୟସ ପୁଅର ବୟସର 3 ଗୁଣ ହେବ। ବର୍ତ୍ତମାନ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ବୟସ କେତେ? ଉତ୍ତର: 25 ବର୍ଷ (ଏବଂ ପୁଅର 5 ବର୍ଷ)

6. ପିତା ଓ ପୁତ୍ରଙ୍କ ବୟସର ସମଷ୍ଟି 45 ବର୍ଷ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ 500 ହେଲେ, ଉଭୟଙ୍କ ବୟସ କେତେ? ଉତ୍ତର: 25 ବର୍ଷ ଓ 20 ବର୍ଷ

7. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ 5 ମି. ଅଧିକ। ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ କେତେ? ଉତ୍ତର: ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମିଟର, ପ୍ରସ୍ଥ 10 ମିଟର

8. ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 34 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ କେତେ? ଉତ୍ତର: 12 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି.

9. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ 15 ସେ.ମି. ଓ ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଅନ୍ତର 3 ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? ଉତ୍ତର: 9 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି.

10. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି, ଏହାର ଉଚ୍ଚତାଠାରୁ 2 ସେ.ମି. ଅଧିକ। ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଭୂମି କେତେ? ଉତ୍ତର: 8 ସେ.ମି.

11. ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି 117 ବର୍ଗ ମି. ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର 12 ମି. ହେଲେ ବାହୁ ଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? ଉତ୍ତର: 9 ମିଟର ଓ 6 ମିଟର

12. ଏକ ବହୁଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା 35 ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? (ସୂତ୍ର: $\frac{n(n-3)}{2}$) ଉତ୍ତର: 10

13. ଏକ ଟ୍ରେନ୍ 360 କି.ମି. ଯିବାକୁ ଯେତିକି ସମୟ ନିଏ, ତାର ବେଗ 10 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା ବଢିଲେ ସେହି ରାସ୍ତା ଯିବାକୁ 3 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ନିଏ। ଟ୍ରେନ୍‌ର ମୂଳ ବେଗ କେତେ? ଉତ୍ତର: 30 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା

14. ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି 48 କି.ମି. ଦୂରତା ଯିବାକୁ ଯେତିକି ସମୟ ନିଅନ୍ତି, ତାଙ୍କ ବେଗ 4 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା କମିଲେ ସେହି ଦୂରତା ପାଇଁ 1 ଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ଲାଗେ। ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ମୂଳ ବେଗ କେତେ? ଉତ୍ତର: 16 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା

15. ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଏକ ନୌକାର ବେଗ 8 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ନୌକାଟି ପ୍ରତିକୂଳରେ 15 କି.ମି. ଯାଇ ପୁଣି ଅନୁକୂଳରେ ଫେରିଆସିବାକୁ ମୋଟ 4 ଘଣ୍ଟା ସମୟ ନିଏ। ସ୍ରୋତର ବେଗ କେତେ? ଉତ୍ତର: 2 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା

16. ଦୁଇଟି ପାଇପ୍ ମିଶି ଏକ ଟାଙ୍କିକୁ 6 ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ କରନ୍ତି। ବଡ଼ ପାଇପ୍‌ଟି ଏକାକୀ ଟାଙ୍କି ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବାକୁ ଛୋଟ ପାଇପ୍ ଠାରୁ 5 ଘଣ୍ଟା କମ୍ ସମୟ ନିଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକ କେତେ ସମୟ ନେବେ? ଉତ୍ତର: ଛୋଟ ପାଇପ୍ 15 ଘଣ୍ଟା, ବଡ଼ ପାଇପ୍ 10 ଘଣ୍ଟା

17. A ଓ B ଏକାଠି ଏକ କାମକୁ 4 ଦିନରେ କରନ୍ତି। A ଏକାକୀ କାମଟି କଲେ B ଅପେକ୍ଷା 6 ଦିନ କମ୍ ସମୟ ନିଏ। A ଏକାକୀ କେତେ ଦିନରେ କାମ ସାରିବ? ଉତ୍ତର: 6 ଦିନ

18. ଏକ ବଣଭୋଜି ପାଇଁ 600 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ଅଟକଳ କରାଗଲା। 5 ଜଣ ଛାତ୍ର ନଯିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ 20 ଟଙ୍କା ଅଧିକ ଚାନ୍ଦା ଦେବାକୁ ପଡିଲା। ପ୍ରଥମେ କେତେଜଣ ଯିବାକୁ ସ୍ଥିର ହୋଇଥିଲା? ଉତ୍ତର: 15 ଜଣ

19. 300 ଟଙ୍କାକୁ କିଛି ଲୋକଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଭାଗରେ ବଣ୍ଟାଗଲା। ଯଦି 10 ଜଣ ଅଧିକ ଲୋକ ଥାନ୍ତେ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ 1 ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ କମ୍ ପାଆନ୍ତେ। ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା କେତେ? ଉତ୍ତର: 50 ଜଣ

20. ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରେ ତାର ବର୍ଗକୁ ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ 156 ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଉତ୍ତର: 12 କିମ୍ବା -13

21. ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର 3 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ 504 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ ନିରୂପଣ କର। ଉତ୍ତର: 24 ଓ 21 (କିମ୍ବା -21 ଓ -24)

22. ଏକ ବାଳକର 3 ବର୍ଷ ପୂର୍ବର ବୟସ ଏବଂ 5 ବର୍ଷ ପରର ବୟସର ଗୁଣଫଳ 65 ଅଟେ। ତାର ବର୍ତ୍ତମାନ ବୟସ କେତେ? ଉତ୍ତର: 8 ବର୍ଷ

23. ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 20। ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ 9 ବିୟୋଗ କଲେ ଅଙ୍କ ଦ୍ୱୟ ସ୍ଥାନ ବଦଳାନ୍ତି। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: 54

24. ଗୋଟିଏ ଭଗ୍ନାଂଶର ହର, ଏହାର ଲବ ଠାରୁ 2 ଅଧିକ। ଯଦି ଭଗ୍ନାଂଶ ଏବଂ ତାର ବ୍ୟୁତକ୍ରମର ଯୋଗଫଳ $\frac{58}{21}$ ହୁଏ, ତେବେ ଭଗ୍ନାଂଶଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: $\frac{3}{5}$

25. 14 କୁ ଏପରି ଦୁଇ ଭାଗ କର ଯାହାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 100 ହେବ। ଭାଗ ଦୁଇଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: 6 ଓ 8

26. ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବ.ସେ.ମି.। ଏହାର ଉଚ୍ଚତା, ଭୂମିର ଅଧାରୁ 2 ସେ.ମି. ଅଧିକ। ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? ଉତ୍ତର: 12 ସେ.ମି.

27. ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ ସେଗୁଡିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ? ଉତ୍ତର: 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି.

28. ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗରୁ ତାହାର ଦୁଇଗୁଣ ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ 48 ହୁଏ। ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ? ଉତ୍ତର: 8 କିମ୍ବା -6

29. ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଏକ ନୌକାର ବେଗ 10 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା। ପ୍ରତିକୂଳରେ 24 କି.ମି ଯାଇ ସେହି ସ୍ଥାନକୁ ଫେରିଆସିବାକୁ ଡଙ୍ଗାଟିକୁ ମୋଟ 5 ଘଣ୍ଟା ସମୟ ଲାଗେ। ସ୍ରୋତର ବେଗ କେତେ? ଉତ୍ତର: 2 କି.ମି./ଘଣ୍ଟା

30. ଦୁଇ ସାଙ୍ଗଙ୍କ ବୟସର ଗୁଣଫଳ 400। ସେମାନଙ୍କ ବୟସର ଅନ୍ତର 9 ବର୍ଷ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଉତ୍ତର: 16 ବର୍ଷ ଓ 25 ବର୍ଷ

📘 ଭାଗ - 1: ଅନୁଶୀଳନୀ - 3 (b) ରୁ 30 ଟି ପ୍ରଶ୍ନ (Answers Included)

Question 1. $\frac{1}{15 \times 16} = \dots - \frac{1}{16}$ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର । 填 Answer: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଉତ୍ତର $\frac{1}{15}$ ହେବ । ✅

Question 2. $\frac{1}{n(n+1)} = \dots - \frac{1}{n+1}$ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନରେ କଣ ରହିବ? 🖊️ Answer: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନରେ $\frac{1}{n}$ ରହିବ । ✅

Question 3. 5 ଏବଂ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) କେତେ? 🔢 Answer: $A.M. = \frac{5+9}{2} = \mathbf{7}$ । ✅

Question 4. $x$ ଏବଂ 7 ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ 5 ହେଲେ $x$ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର । 📐 Answer: $5 = \frac{x+7}{2} \Rightarrow 10 = x+7 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$ । ✅

Question 5. $(a+b)$ ଏବଂ $(a-b)$ ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକଟି କେତେ? 📏 Answer: $A.M. = \frac{(a+b)+(a-b)}{2} = \frac{2a}{2} = \mathbf{a}$ । ✅

Question 6. ଦୁଇଟି ରାଶିର A.M. 11 ଏବଂ ଗୋଟିଏ ରାଶି 7 ହେଲେ ଅନ୍ୟଟି କେତେ? 💡 Answer: $11 = \frac{7+y}{2} \Rightarrow 22 = 7+y \Rightarrow \mathbf{y = 15}$ । ✅

Question 7. $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots$ ର 20 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 🔢 Answer: $S_{20} = 1 - \frac{1}{21} = \mathbf{\frac{20}{21}}$ । ✅

Question 8. $\frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \dots$ ର 16 ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 📊 Answer: $S_{16} = \frac{1}{5} - \frac{1}{21} = \mathbf{\frac{16}{105}}$ । ✅

Question 9. $7 \times 15 + 8 \times 20 + 9 \times 25 + \dots$ ର $t_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📐 Answer: $t_n = (n+6)(5n+10) = \mathbf{5n^2 + 40n + 60}$ । ✅

Question 10. $6\Sigma n^2 + 4\Sigma n^3$ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ କେତେ? 🖊️ Answer: ସରଳୀକୃତ ମାନ ହେଉଛି $n(n+1)(n^2 + 3n + 1)$ । ✅

Question 11. $1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1)$ ର $S_{20}$ କେତେ? 🔢 Answer: $S_{20} = \frac{20 \times 21 \times 22}{3} = \mathbf{3080}$ । ✅

Question 12. $1 \times 3 + 2 \times 4 + \dots$ ଶ୍ରେଣୀର $t_n$ କେତେ? 📏 Answer: $t_n = \mathbf{n(n+2)}$ । ✅

Question 13. $1 \times 3 + 2 \times 4 + \dots$ ଶ୍ରେଣୀର $S_{10}$ କେତେ? 🔢 Answer: $S_{10} = \mathbf{495}$ । ✅

Question 14. $1.1 + 2.3 + 3.5 + \dots$ ର $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମଷ୍ଟି କେତେ? 📝 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}}$ । ✅

Question 15. $1.3 + 3.5 + 5.7 + \dots$ ର $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📊 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}}$ । ✅

Question 16. $3.8 + 6.11 + 9.14 + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 🖊️ Answer: $S_n = \mathbf{3n(n+1)(n+3)}$ । ✅

Question 17. $1 + (1+3) + (1+3+5) + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 🔢 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ । ✅

Question 18. $1^2 + 4^2 + 7^2 + \dots$ ର $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📝 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}}$ । ✅

Question 19. $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 🔢 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}}$ । ✅

Question 20. $1 + 5 + 12 + 22 + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 📊 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n^2(n+1)}{2}}$ । ✅

Question 21. 15 ଏବଂ 27 ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 📐 Answer: $A.M. = \mathbf{21}$ । ✅

Question 22. 15 ଏବଂ 27 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 🔢 Answer: ମଧ୍ୟକ ଦ୍ୱୟ ହେଉଛି 19, 23 । ✅

Question 23. 12 ଏବଂ 36 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 📏 Answer: ମଧ୍ୟକ ଦ୍ୱୟ ହେଉଛି 20, 28 । ✅

Question 24. 12 ଏବଂ 36 ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 📐 Answer: ମଧ୍ୟକ ତ୍ରୟ ହେଉଛି 18, 24, 30 । ✅

Question 25. 6 ଏବଂ 46 ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 🔢 Answer: ମଧ୍ୟକ ଦ୍ୱୟ ହେଉଛି $\frac{58}{3}, \frac{98}{3}$ । ✅

Question 26. 6 ଏବଂ 46 ମଧ୍ୟରେ ଚାରୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 📊 Answer: ମଧ୍ୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 14, 22, 30, 38 । ✅

Question 27. 5 ଏବଂ 65 ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 📐 Answer: ମଧ୍ୟକ ତ୍ରୟ ହେଉଛି 20, 35, 50 । ✅

Question 28. 11 ଏବଂ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଟି ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ ସ୍ଥାପନ କର । 🔢 Answer: ମଧ୍ୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 21, 31, 41, 51, 61 । ✅

Question 29. 20 ଏବଂ 80 ମଧ୍ୟରେ $n$ ଟି A.M. ଅଛି । ଯଦି $M_1 : M_n = 1:3$, ତେବେ $n$ ର ମାନ କେତେ? ⚖️ Answer: ସମାଧାନ କଲେ $n = \mathbf{11}$ ମିଳିବ । ✅

Question 30. A.P. ରେ ଥିବା ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 2 ଏବଂ ଆଦ୍ୟ ଓ ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟକ ଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳର 10 ଗୁଣ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେତେ? 📝 Answer: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି -4, -1, 2, 5 । ✅

🌟 ଭାଗ - 2: 40 ଟି ଅତିରିକ୍ତ 5-ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (Answers Included)

ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ BSE Odisha, NCERT, CBSE ଏବଂ ICSE ପରୀକ୍ଷା ପାଟର୍ଣ୍ଣ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛି । 🎓

Question 31. ପ୍ରଥମ $n$ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର । 📐 Answer: $n^3 - (n-1)^3 = 3n^2 - 3n + 1$ ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି ପର୍ଯ୍ୟାୟକ୍ରମେ ଯୋଗ କଲେ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହୁଏ । ✅

Question 32. ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_n = 3n^2 + 4n$ ହେଲେ, ଏହାର 15-ତମ ପଦ ($t_{15}$) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🖊️ Answer: $t_n = S_n - S_{n-1}$ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $t_{15} = S_{15} - S_{14} = 1575 - 1484 = \mathbf{91}$ । ✅

Question 33. ଯଦି $a^2, b^2, c^2$ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ A.P. ରେ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବେ । 📐 Answer: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ $ab+bc+ca$ ଯୋଗ କରି ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ । ✅

Question 34. 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🔢 Answer: $a=2, l=100, n=50$ । $S_{50} = \frac{50}{2}(2+100) = \mathbf{2550}$ । ✅

Question 35. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $t_m = n$ ଏବଂ $t_n = m$, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $t_{m+n} = 0$ । ⚖️ Answer: ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କଲେ $d = -1$ ଏବଂ $a = m+n-1$ ମିଳିବ, ଯାହାଦ୍ୱାରା $t_{m+n} = 0$ ହେବ । ✅

Question 36. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର । 📐 Answer: 'ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା' ପଦ୍ଧତି ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏହାକୁ ସହଜରେ ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ । ✅

Question 37. $1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + \dots$ ଶ୍ରେଣୀର $n$ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🔢 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}$ । ✅

Question 38. ଯଦି ଗୋଟିଏ A.P. ର $S_m = n$ ଏବଂ $S_n = m$ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $S_{m+n} = -(m+n)$ । ⚖️ Answer: $S_m$ ଏବଂ $S_n$ ର ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି $a$ ଓ $d$ ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କଲେ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେବ । ✅

Question 39. 7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🔢 Answer: ଅନୁକ୍ରମଟି $105, 112, \dots, 994$ । $n = 128$ । $S_{128} = \mathbf{70336}$ । ✅

Question 40. 200 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଏବଂ 3 ଦ୍ୱାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📝 Answer: (ମୋଟ ଯୋଗଫଳ) - (3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି) = $19900 - 6633 = \mathbf{13267}$ । ✅

Question 41. $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \{\frac{n(n+1)}{2}\}^2$ ବୋଲି ପ୍ରମାଣ କର । 📐 Answer: ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ଏବଂ ଅଭେଦର ପ୍ରୟୋଗରେ ଏହି ସୂତ୍ରଟି ନିରୂପିତ ହୋଇଥାଏ । ✅

Question 42. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 3:4:5 । 📐 Answer: ବାହୁଗୁଡ଼ିକୁ $a-d, a, a+d$ ନେଇ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହୁଏ । ✅

Question 43. $1 + 6 + 11 + 16 + \dots + x = 148$ ହେଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ? 🔢 Answer: $S_n = 148$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $n = 8$ ମିଳିବ । $x = t_8 = \mathbf{36}$ । ✅

Question 44. ଯଦି $S_n$ ଏକ A.P. ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦର ସମଷ୍ଟି ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $S_{12} = 3(S_8 - S_4)$ । ⚖️ Answer: $S_n$ ର ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସ୍ଥାପନ କରି ସରଳ କଲେ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେବ । ✅

Question 45. $27+24+21+...$ ର କେତୋଟି ପଦ ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 132 ହେବ? 🔢 Answer: ସମାଧାନ କଲେ $n = 8$ ବା $n = 11$ ମିଳିବ । ✅

Question 46. Insert 6 arithmetic means between 3 and 24. 📏 Answer: $d = \frac{24-3}{7} = 3$ । Means: 6, 9, 12, 15, 18, 21 । ✅

Question 47. Find the sum of all two-digit odd numbers. 🔢 Answer: Series: $11, 13, \dots, 99$ । $n = 45$ । $S_{45} = \frac{45}{2}(11+99) = \mathbf{2475}$ । ✅

Question 48. $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 🖊️ Answer: $\Sigma n^2$ ସୂତ୍ରରେ $n=10$ ବସାଇଲେ ଉତ୍ତର 385 ହେବ । ✅

Question 49. Find the sum of first 40 positive integers divisible by 6. 🔢 Answer: $a=6, d=6, n=40$ । $S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + 39(6)] = \mathbf{4920}$ । ✅

Question 50. If the sum of first $p$ terms is $q$ and sum of first $q$ terms is $p$, find $S_{p+q}$. ⚖️ Answer: ସମାଧାନ କଲେ $S_{p+q} = \mathbf{-(p+q)}$ ମିଳିବ । ✅

(Note: ଅବଶିଷ୍ଟ ୨୦ଟି ପ୍ରଶ୍ନ (୫୧-୭୦) ମଧ୍ୟ ସମାନ ପାଟର୍ଣ୍ଣରେ $S_n, t_n$ ଏବଂ Arithmetic Mean ର ପ୍ରୟୋଗ ଉପରେ ଆଧାରିତ ।)

Question 51. $1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 5 + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 📊 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}}$ । ✅

Question 52. 10 ଏବଂ 250 ମଧ୍ୟରେ 4 ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି? 🔢 Answer: ସମାଧାନ କଲେ ମୋଟ 60 ଟି ଗୁଣିତକ ମିଳିବ । ✅

Question 53. ଯଦି $S_n = n^2$ ହୁଏ, ତେବେ $t_{15}$ କେତେ? 🖊️ Answer: $t_{15} = S_{15} - S_{14} = 15^2 - 14^2 = \mathbf{29}$ । ✅

Question 54. $3, 8, 13, \dots, 253$ ଅନୁକ୍ରମର ଶେଷ ପଦରୁ 20-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📐 Answer: ଶେଷରୁ $n$-ତମ ପଦ $= l - (n-1)d = 253 - 19(5) = \mathbf{158}$ । ✅

Question 55. $a, b, c$ A.P. ରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $b+c, c+a, a+b$ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବେ । ⚖️ Answer: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ $a+b+c$ ବିୟୋଗ କଲେ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହୁଏ । ✅

Question 56. 100 ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 🔢 Answer: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ରୁ 98 । $n = 49$ । $S_{49} = \mathbf{2450}$ । ✅

Question 57. $150$ ରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 📊 Answer: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 1 ରୁ 149 । $n = 75$ । $S_{75} = \mathbf{5625}$ । ✅

Question 58. $S_n = n(n+1)$ ହେଲେ $d$ କେତେ? 🖊️ Answer: $t_n = S_n - S_{n-1} = 2n$ । ତେଣୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = \mathbf{2}$ । ✅

Question 59. 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 🔢 Answer: ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ $10, 15, \dots, 95$ । $n = 18$ । $S_{18} = \mathbf{945}$ । ✅

Question 60. Find $n$ if $1+2+3+\dots+n = 5050$. 🔢 Answer: $\frac{n(n+1)}{2} = 5050 \Rightarrow n(n+1) = 10100 \Rightarrow \mathbf{n = 100}$ । ✅

Question 61. $t_n = 2n+3$ ହେଲେ $S_{30}$ କେତେ? 📊 Answer: $S_n = n^2 + 4n$ । ତେଣୁ $S_{30} = 30^2 + 4(30) = \mathbf{1020}$ । ✅

Question 62. Find the sum of first 15 multiples of 8. 🔢 Answer: $a=8, d=8, n=15$ । $S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + 14(8)] = \mathbf{960}$ । ✅

Question 63. If $a, b, c$ are in AP, show that $2b = a+c$. ⚖️ Answer: $b-a = c-b \Rightarrow 2b = a+c$ । ✅

Question 64. Insert 3 AMs between 2 and 10. 📏 Answer: $d = 2$ । Means: 4, 6, 8 । ✅

Question 65. $\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ ର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 🔢 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n}{n+1}}$ । ✅

Question 66. $1+(1+2)+(1+2+3)+\dots$ ର $S_n$ କେତେ? 📝 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$ । ✅

Question 67. $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots$ ର $S_n$ କେତେ? 🔢 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(4n^2-1)}{3}}$ । ✅

Question 68. $1+3+6+10+\dots$ ର $S_n$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 📊 Answer: $S_n = \mathbf{\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$ । ✅

Question 69. 7 ଏବଂ 15 ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ କେତେ? 🖊️ Answer: $A.M. = \frac{7+15}{2} = \mathbf{11}$ । ✅

Question 70. 32 ରୁ 85 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ? 🔢 Answer: $n = 54$ । $S_{54} = \frac{54}{2}(32+85) = \mathbf{3159}$ । ✅