୩.୧ ମୌଳିକ ଧାରଣା: ଅନୁକ୍ରମ (Sequence)

କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ସଜାଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଏକ ସେଟ୍ କୁ ଅନୁକ୍ରମ (Sequence) କୁହାଯାଏ। ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ତାହାର ପଦ (Terms) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣତଃ $t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

୩.୨ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression ବା A.P.) ର ସଂଜ୍ଞା

ଯଦି କୌଣସି ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ପଦ ଏବଂ ତାହାର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ପଦର ଅନ୍ତର (Difference) ସର୍ବଦା ଏକା ସମାନ ଥାଏ, ତେବେ ସେହି ଅନୁକ୍ରମଟିକୁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) କୁହାଯାଏ।

• ସେହି ସ୍ଥିର ଅନ୍ତରକୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common Difference) କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ $d$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।
• A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦକୁ ସାଧାରଣତଃ $a$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

📊 ସୂତ୍ର ଏବଂ ଗାଣିତିକ ରୂପ ସାରଣୀ (Formulas & Representation Table)

(ବି.ଦ୍ର: ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d$ ର ମୂଲ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ (+), ଋଣାତ୍ମକ (-) କିମ୍ବା ଶୂନ (0) ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ।)

📝 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ (Important Examples)

ବର୍ତ୍ତମାନ ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ର $t_n = a + (n - 1)d$ କୁ ବ୍ୟବହାର କରି କିଛି ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ କରିବା, ଯାହା ଅନୁଶୀଳନୀ 3(a) କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ।

ଉଦାହରଣ ୧: ମନେକର ଗୋଟିଏ A.P. ହେଉଛି $3, 7, 11, 15, \dots$ । ଏହାର 15-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ✏️ ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ପ୍ରଦତ୍ତ A.P. ଟି ହେଉଛି: $3, 7, 11, 15, \dots$ ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) $= 3$ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) $= t_2 - t_1 = 7 - 3 = 4$ ଆମକୁ 15-ତମ ପଦ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ $n = 15$। ଆମେ ଜାଣୁ ସୂତ୍ର:

$t_n = a + (n - 1)d$

ଏବେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$t_{15} = 3 + (15 - 1) \times 4$

$t_{15} = 3 + 14 \times 4$

$t_{15} = 3 + 56 = 59$

✅ ଉତ୍ତର: ଉକ୍ତ A.P. ର 15-ତମ ପଦଟି 59 ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୨: $21, 18, 15, \dots$ ଏହି A.P. ର କେଉଁ ପଦଟି -81 ଅଟେ ? ✏️ ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଥିବା A.P.: $21, 18, 15, \dots$ ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ $a = 21$ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $d = t_2 - t_1 = 18 - 21 = -3$ ମନେକର $n$-ତମ ପଦଟି ହେଉଛି -81, ଅର୍ଥାତ୍ $t_n = -81$ । ଆମକୁ $n$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବାର ଅଛି। ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ:

$t_n = a + (n - 1)d$

$-81 = 21 + (n - 1)(-3)$

$-81 - 21 = -3(n - 1)$

$-102 = -3(n - 1)$

$n - 1 = \frac{-102}{-3}$

$n - 1 = 34 \Rightarrow n = 34 + 1 = 35$

✅ ଉତ୍ତର: ଉକ୍ତ A.P. ର 35-ତମ ପଦଟି -81 ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ ୩: ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ର ତୃତୀୟ ପଦ 5 ଏବଂ ସପ୍ତମ ପଦ 9 ହେଲେ, A.P. ଟିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ✏️ ସମାଧାନ: ମନେକର A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ $= a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର $= d$। ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ତୃତୀୟ ପଦ ($t_3$) $= 5$:

$a + (3 - 1)d = 5 \Rightarrow a + 2d = 5 \quad \text{.........(ସମୀକରଣ i)}$

ଏବଂ ସପ୍ତମ ପଦ ($t_7$) $= 9$:

$a + (7 - 1)d = 9 \Rightarrow a + 6d = 9 \quad \text{.........(ସମୀକରଣ ii)}$

ସମୀକରଣ (ii) ରୁ ସମୀକରଣ (i) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ:

$(a + 6d) - (a + 2d) = 9 - 5$

$4d = 4 \Rightarrow d = 1$

ବର୍ତ୍ତମାନ $d = 1$ ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ରଖିଲେ:

$a + 2(1) = 5 \Rightarrow a + 2 = 5 \Rightarrow a = 3$

ତେଣୁ, ପ୍ରଥମ ପଦ ($a$) $= 3$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର ($d$) $= 1$। A.P. ଟି ହେବ: $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ ଅର୍ଥାତ୍: $3, (3+1), (3+2), (3+3), \dots$ ✅ ଉତ୍ତର: ନିର୍ଣ୍ଣେୟ A.P. ଟି ହେଉଛି $3, 4, 5, 6, 7, \dots$