Question 1: (i) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ 8” ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(ii) ଗୋଟିଏ ଲୁଡ଼ୁଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ 7 ରୁ କମ୍’’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(iii) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟି ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ ≤3’’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(iv) ମିଲି ଓ ଲିମା ଟେନିସ୍ ଖେଳୁଥିଲେ । ଯଦି ଖେଳରେ ମିଲି ଜିଣିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0.62 ହୁଏ, ତେବେ ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(v) ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । “ ଫଳ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ T’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।
(vi) ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ବା ସରଳ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।
(vii) $P(E)=0.05$ ହେଲେ $P(\overline{E})$ ନିରୂପଣ କର ।

ଏଠାରେ ଆପଣ ପଚାରିଥିବା ସମସ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ବିସ୍ତୃତ ସମାଧାନ ଦିଆଗଲା:

ପ୍ରଶ୍ନ (i): ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ 8” ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ଏବଂ ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା $|S| = 6$।
ଲୁଡୁ ଗୋଟିରେ “8” ନଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା,
ତେଣୁ ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା $|E| = 0$।
ସୂତ୍ର $P(E) = \frac{|E|}{|S|}$
ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଉତ୍ତର ହେବ 0।

ପ୍ରଶ୍ନ (ii): ଗୋଟିଏ ଲୁଡ଼ୁଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ 7 ରୁ କମ୍’’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ: ଏହା ଏକ ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା କାରଣ ଲୁଡୁର ସମସ୍ତ 6ଟି ଯାକ ଫଳାଫଳ 7 ରୁ କମ୍ ଅଟେ (ଅର୍ଥାତ୍ $|E| = 6$)।
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $P(E) = \frac{6}{6} = 1$ ହେବ।

ପ୍ରଶ୍ନ (iii): ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟି ଥରେ ଗଡ଼ାଗଲା । “ଫଳ $\le3$’’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ: ଏଠାରେ ଫଳ $\le3$ ପାଇଁ ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲା
$\{1, 2, 3\}$, ଅର୍ଥାତ୍ $|E| = 3$।
ମୋଟ ଫଳାଫଳ $|S| = 6$।
ଏଣୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେବ $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

ପ୍ରଶ୍ନ (iv): ମିଲି ଓ ଲିମା ଟେନିସ୍ ଖେଳୁଥିଲେ । ଯଦି ଖେଳରେ ମିଲି ଜିଣିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0.62 ହୁଏ, ତେବେ ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ: ଟେନିସ୍ ଖେଳରେ ଜଣେ ଖେଳାଳି ଜିଣିଲେ ଅନ୍ୟ ଜଣେ ହାରିଥାନ୍ତି।
ତେଣୁ ‘ଲିମା ହାରିବାର ଘଟଣା’, ‘ମିଲି ଜିଣିବାର ଘଟଣା’ ସହିତ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ଅଟେ।
ଏଣୁ ଲିମା ହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ମଧ୍ୟ 0.62 ହେବ।

ପ୍ରଶ୍ନ (v): ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । “ ଫଳ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ T’ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ: ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$
ଏବଂ ମୋଟ ଫଳାଫଳ $|S| = 4$ ମିଳିଥାଏ।
‘ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ T’ ଥିବା ଫଳାଫଳ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $\{HT, TH, TT\}$
ଯାହାର ସଂଖ୍ୟା $|E| = 3$।
ତେଣୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି $\frac{3}{4}$।

ପ୍ରଶ୍ନ (vi): ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ବା ସରଳ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ: ଗାଣିତିକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମୌଳିକ (Elementary) ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 1 ହୋଇଥାଏ।

ପ୍ରଶ୍ନ (vii): $P(E)=0.05$ ହେଲେ $P(\overline{E})$ ନିରୂପଣ କର ।

ସମାଧାନ: ଏକ ଘଟଣା ଏବଂ ତାର ପରିପୂରକ ଘଟଣାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି
$P(\overline{E}) = 1 - P(E)$।
ଏଠାରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା
$1 - 0.05 = 0.95$।

Question 2: ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 30 ଥର ଟସ୍ କଲେ 16 ଥର H ଆସିଲା । ଏହି ପରୀକ୍ଷଣ ରେ $P(H)$ ଓ P(T) ନିରୂପଣ କର ।

• Answer: ସମୁଦାୟ ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା = 30 । H ର ବାରମ୍ବାରତା = 16 ।

  • T ର ବାରମ୍ବାରତା = 30 - 16 = 14 ।

  • ସୂତ୍ର: $P(E) = \frac{\text{ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା}}$

  • $P(H) = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ ।

  • $P(T) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$ ।

Question 3: ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 30 ଥର ଟସ୍ କରାଯିବାରୁ H ଯେତେ ଥର ଆସିଲା ତାର ଦୁଇ ଗୁଣ ଥର T ଆସିଲା । ତେବେ $P(H)$ ଓ $P(T)$ ନିରୂପଣ କର ।

• Answer: ମନେକର ‘H’ ଆସିଲା $x$ ଥର, ତେବେ ‘T’ ଆସିବ $2x$ ଥର। ମୋଟ ଟସ୍ = $x + 2x = 3x$ ।

  • ଏଣୁ $3x = 30 \Rightarrow x = 10$ । ‘H’ ବାରମ୍ବାରତା = 10, ‘T’ ବାରମ୍ବାରତା = 20 ।

  • ସୂତ୍ର: $P(E) = \frac{\text{ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା}}$

  • $P(H) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ ।

  • $P(T) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ ।

Question 4: ଯଦି ଗୋଟିଏ ଲୁଡ଼ୁ ଗୋଟିକୁ 30 ଥର ଗଡ଼ାଇଲେ 4 ଥର ସଂଖ୍ୟା 1, 5 ଥର ସଂଖ୍ୟା 2, 6 ଥର ସଂଖ୍ୟା 3, 7 ଥର ସଂଖ୍ୟା 4 ଓ 8 ଥର ସଂଖ୍ୟା 5 ଆସେ; ତେବେ ସଂଖ୍ୟା 6 ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

• Answer: ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା = 30 ।

  • ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ଆସିବାର ମୋଟ ଥର = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 ।

  • ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟା ‘6’ କେବେ ମଧ୍ୟ ଆସିନାହିଁ (ବାରମ୍ବାରତା = 0)।

  • ସୂତ୍ର: $P(6) = \frac{\text{6 ର ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା}}$

  • $P(6) = \frac{0}{30} = 0$ ।

Question 5: 20 ଟି ଚାରା ଗଛ ଲଗାଗଲା । ସେଥିରୁ 8 ଟି ଚାରା ଗଛ ବଞ୍ଚିଲା । ଅବଶିଷ୍ଟ ମରିଗଲା । ମରିଯାଇଥିବା ଗୋଟିଏ ଚାରାଗଛର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?

• Answer: ସମୁଦାୟ ଗଛ ସଂଖ୍ୟା = 20 ।

ବଞ୍ଚିଥିବା ଗଛ = 8, ତେଣୁ ମରିଯାଇଥିବା ଗଛ = 20 - 8 = 12

ସୂତ୍ର: $P(\text{ମରିଯାଇଥିବା ଗଛ}) = \frac{\text{ମରିଯାଇଥିବା ଗଛର ସଂଖ୍ୟା}}{\text{ମୋଟ ଗଛ ସଂଖ୍ୟା}}$

ମରିଯାଇଥିବା ଗଛର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ ।

Question 6: ଗୋଟିଏ ସ୍କୁଲ୍‌ର 100 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ମାଟ୍ରିକ ପରୀକ୍ଷାରେ 10 ଜଣ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀରେ, 15 ଜଣ ଦ୍ଵିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀରେ, 50 ଜଣ ତୃତୀୟ ଶ୍ରେଣୀରେ ପାଶ କଲେ । ଅବଶିଷ୍ଟ ଛାତ୍ର ଫେଲ୍ ହେଲେ । ବିଭିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀରେ ପାଶ୍ କରିଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଏବଂ ଫେଲ୍ ଛାତ୍ରଙ୍କର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• Answer: ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 100 । ଫେଲ୍ ହୋଇଥିବା ଛାତ୍ର = 100 - (10 + 15 + 50) = 25 ।

• ସୂତ୍ର: $P(E) = \frac{\text{ସେହି ବର୍ଗର ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା}}{\text{ମୋଟ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା}}$

  • P(ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ) = $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ ।

  • P(ଦ୍ଵିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀ) = $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ ।

  • P(ତୃତୀୟ ଶ୍ରେଣୀ) = $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ ।

  • P(ଫେଲ୍) = $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ ।

  • ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = $\frac{10}{100} + \frac{15}{100} + \frac{50}{100} + \frac{25}{100} = \frac{100}{100} = 1$ ।

Question 7: 40 ଟି କଖାରୁ ମଞ୍ଜି ବୁଣାଗଲା । ସେଥିରୁ 15 ଟିର ଅଙ୍କୁରୋଦ୍‌ଗମ ହେଲା । 10 ଟି ଅଙ୍କୁରିତ ହୋଇ ମରିଗଲା । ଅବଶିଷ୍ଟ ମଞ୍ଜି ଅଙ୍କୁରିତ ହେଲା ନାହିଁ । ଅଙ୍କୁରିତ ନ ହୋଇ ଥୁବା ଓ ଅଙ୍କୁରିତ ହୋଇଥିବା ଗୋଟିଏ ମଞ୍ଜିର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• Answer: ମୋଟ ମଞ୍ଜି = 40 । ମୋଟ ଅଙ୍କୁରିତ ମଞ୍ଜି (ବଞ୍ଚିଥିବା + ମରିଯାଇଥିବା) = 15 + 10 = 25 ।

  • ଅଙ୍କୁରିତ ନ ହୋଇଥିବା ମଞ୍ଜି = 40 - 25 = 15 ।

  • ସୂତ୍ର: $P(E) = \frac{\text{ଘଟଣାର ବାରମ୍ବାରତା}}{\text{ମୋଟ ମଞ୍ଜି}}$

  • P(ଅଙ୍କୁରିତ ହୋଇଥିବା) = $\frac{25}{40} = \frac{5}{8}$ ।

  • P(ଅଙ୍କୁରିତ ନ ହୋଇଥିବା) = $\frac{15}{40} = \frac{3}{8}$ ।

Question 8: ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ ତିନୋଟି ନୀଳ, ଦୁଇଟି ଧଳା ଓ ଚାରୋଟି ଲାଲ ମାର୍ବଲ ରହିଛି । ସେଥୁରୁ ଗୋଟିଏ ମାର୍ବଲ ବାକ୍ସରୁ ଯଦୃଚ୍ଛା (randomly) ବଛାଗଲା । ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(i) ଗୋଟିଏ ଧଳା ମାର୍ବଲ ଆସିବାର,
(ii) ଗୋଟିଏ ନୀଳ ମାର୍ବଲ ଆସିବାର ଓ
(iii) ଗୋଟିଏ ଲାଲ ମାର୍ବଲ ଆସିବାର ।

• Answer: ସମୁଦାୟ ମାର୍ବଲ = 3 (ନୀଳ) + 2 (ଧଳା) + 4 (ଲାଲ୍) = 9 ।

• ସୂତ୍ର: $P(E) = \frac{|E|}{|S|}$

  • (i) P(ଧଳା) = $\frac{2}{9}$ ।

  • (ii) P(ନୀଳ) = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ।

  • (iii) P(ଲାଲ୍) = $\frac{4}{9}$ ।

Question 9: ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ ପାଞ୍ଚଟି ଧଳା, ଚାରୋଟି ଲାଲ୍ ଏବଂ ତିନୋଟି କଳା ଏକ ଆକୃତିବିଶିଷ୍ଟ ବଲ୍‌ ରହିଛି । ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର । (i) ଗୋଟିଏ କଳା ବଲ୍ ଆସିବାର (ii) ଗୋଟିଏ ଲାଲ୍ ବଲ୍‌ ନଆସିବାର (iii) ଗୋଟିଏ ଧଳାବଲ ନ ଆସିବାର ।

• Answer: ସମୁଦାୟ ବଲ୍ = 5 (ଧଳା) + 4 (ଲାଲ୍) + 3 (କଳା) = 12 ।

  • (i) P(କଳା ବଲ୍) = $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ।

  • (ii) P(ଲାଲ୍ ନଆସିବାର) = 1 - P(ଲାଲ୍) = $1 - \frac{4}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ।

  • (iii) P(ଧଳା ନଆସିବାର) = 1 - P(ଧଳା) = $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ ।

Question 10: ଗୋଟିଏ ବାକ୍ସରେ 60 ଟି ବୈଦ୍ୟୁତିକ ବଲ୍‌ବ ଅଛି । ସେଥ୍‌ର 12 ଟି ଖରାପ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଭଲ ବଲ୍‌ବ । ସେଥ୍ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ବଲ୍‌ବ ଯଦୃଚ୍ଛା ବାହାର କରାଗଲା । ନିମ୍ନଳିଖିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର । (i) ଗୋଟିଏ ଭଲ ବଲ୍‌ବ ବାହାରିବା (ii) ଗୋଟିଏ ଖରାପ ବଲ୍‌ବ ବାହାରିବା ।

• Answer: ସମୁଦାୟ ବଲ୍‌ବ = 60 । ଖରାପ ବଲ୍‌ବ = 12 । ଭଲ ବଲ୍‌ବ = 60 - 12 = 48 ।

  • (i) P(ଭଲ ବଲ୍‌ବ) = $\frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ ।

  • (ii) P(ଖରାପ ବଲ୍‌ବ) = $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ ।