📘 ମୁଖ୍ୟ ବିଷୟବସ୍ତୁ: ବୃତ୍ତ, ବଳୟ ଏବଂ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area)

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ମୁଖ୍ୟତଃ ବୃତ୍ତ (Circle), ବୃତ୍ତାକାର ବଳୟ (Circular Ring) ଏବଂ ବୃତ୍ତକଳାର (Sector of a Circle) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ, ସେ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବା।

୧. ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a Circle) 🔴

ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଦି $r$ ହୁଏ, ତେବେ ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବାହାର କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: $A = \pi r^2$ (ଯେଉଁଠାରେ $\pi \approx \frac{22}{7}$ କିମ୍ବା $3.14$ ଏବଂ $A$ ହେଉଛି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

ଯଦି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ $d$ ଦିଆଯାଇଥାଏ (ଆମେ ଜାଣୁ $r = \frac{d}{2}$), ତେବେ: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

୨. ବୃତ୍ତାକାର ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a Circular Ring) 🍩

ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ (Concentric) ବୃତ୍ତ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସ୍ଥାନକୁ ବଳୟ କୁହାଯାଏ। ମନେକର ବାହାର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $R$ ଏବଂ ଭିତର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$। ତେବେ ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ଅର୍ଥାତ୍ ବଡ଼ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ସାନ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ): $A = \pi R^2 - \pi r^2$ $A = \pi (R^2 - r^2)$ ଏହାକୁ ଆମେ ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଏପରି ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା: $A = \pi (R + r)(R - r)$

୩. ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a Sector) 🍕

ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଖଣ୍ଡିତ ଚାପକୁ ନେଇ ଗଠିତ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ବୃତ୍ତକଳା କୁହାଯାଏ। ମନେକର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$, ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $l$ ଏବଂ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ (ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ) = $\theta^\circ$।

ସୂତ୍ର ୧ (କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଦିଆଯାଇଥିଲେ): $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$

ସୂତ୍ର ୨ (ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦିଆଯାଇଥିଲେ): ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l = \frac{\theta}{180} \times \pi r$। ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ: $A = \frac{1}{2} l r$

📊 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର ସାରଣୀ (Formula Table)

📝 ଉଦାହରଣ (Solved Examples)

ଉଦାହରଣ ୧: 🟢 ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 14 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) ସମାଧାନ: ଦିଆଯାଇଛି, ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = $14$ ସେ.ମି.। ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସୂତ୍ର: $A = \pi r^2$ $A = \frac{22}{7} \times 14 \times 14$ $A = 22 \times 2 \times 14 = 44 \times 14 = 616 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$ ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 616 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ। ✅

ଉଦାହରଣ ୨: 🍩 ପ୍ରଶ୍ନ: ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 21 ସେ.ମି. ଏବଂ 14 ସେ.ମି.। ତେବେ ଏହି ଦୁଇ ବୃତ୍ତ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) ସମାଧାନ: ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($R$) = $21$ ସେ.ମି. ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = $14$ ସେ.ମି. ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\pi (R^2 - r^2)$ $A = \frac{22}{7} \times (21^2 - 14^2)$ $A = \frac{22}{7} \times (441 - 196)$ $A = \frac{22}{7} \times 245$ $A = 22 \times 35 = 770 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$ ଉତ୍ତର: ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 770 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ। ✅

ଉଦାହରଣ ୩: 🍕 ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ $90^\circ$ ହେଲେ, ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) ସମାଧାନ: ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = $7$ ସେ.ମି. କୋଣ ($\theta$) = $90^\circ$ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $\frac{\theta}{360} \times \pi r^2$ $A = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$ $A = \frac{1}{4} \times 22 \times 7$ $A = \frac{154}{4} = 38.5 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$ ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 38.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ। ✅

ଉଦାହରଣ ୪: 📐 ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ? ସମାଧାନ: ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ($l$) = $12$ ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = $5$ ସେ.ମି. ଯେହେତୁ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦିଆଯାଇଛି, ଆମେ ଦ୍ୱିତୀୟ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା: $A = \frac{1}{2} l r$ $A = \frac{1}{2} \times 12 \times 5$ $A = 6 \times 5 = 30 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$ ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 30 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ। ✅

💡 ମନେରଖନ୍ତୁ: 5(b) ଅନୁଶୀଳନୀର ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଆବଶ୍ୟକ। ପ୍ରଥମେ ପ୍ରଶ୍ନରେ କଣ ଦିଆଯାଇଛି ତାହା ଲେଖି, ଉପଯୁକ୍ତ ସୂତ୍ର ପକାଇଲେ ଅତି ସହଜରେ ଉତ୍ତର ମିଳିଯିବ!