🌟 ପରିମିତି ଅଧ୍ୟାୟ ୫(c) ପୂର୍ବର ଆବଶ୍ୟକୀୟ ନୋଟ୍ସ, ସୂତ୍ର ଏବଂ ଉଦାହରଣ 🌟

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ମୁଖ୍ୟତଃ ପ୍ରିଜିମ୍ (Prism) ଏବଂ ସିଲିଣ୍ଡର (Cylinder) ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Surface Area) ଏବଂ ଘନଫଳ ବା ଆୟତନ (Volume) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ବିଷୟରେ ପଢ଼ିବା। ନିମ୍ନରେ ସମସ୍ତ ସୂତ୍ରକୁ ଏକ ସାରଣୀରେ (Table) ସଜାଯାଇଛି ଏବଂ ସହଜ ଉଦାହରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ବୁଝାଇ ଦିଆଯାଇଛି। 📐✨

📦 ୧. ପ୍ରିଜିମ୍ (Prism) ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂତ୍ର

ପ୍ରିଜିମ୍ ହେଉଛି ଏପରି ଏକ ଘନ ପଦାର୍ଥ ଯାହାର ଭୂମି (Base) ଏବଂ ଉପରିଭାଗ (Top) ସର୍ବସମ ବହୁଭୁଜ ଅଟନ୍ତି ଏବଂ ପାର୍ଶ୍ୱପୃଷ୍ଠଗୁଡ଼ିକ ଆୟତାକାର ହୋଇଥାଏ। ଏଠାରେ $P$ = ଭୂମିର ପରିସୀମା, $A$ = ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ $h$ = ଉଚ୍ଚତା।

🛢️ ୨. ସରଳ ବୃତ୍ତଭୂମିକ ସିଲିଣ୍ଡର (Right Circular Cylinder)

ସିଲିଣ୍ଡର ଏକ ପ୍ରକାରର ପ୍ରିଜିମ୍ ଯାହାର ଭୂମି ଏବଂ ଉପରିଭାଗ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଅଟନ୍ତି। ଏଠାରେ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଏବଂ ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା $h$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

🕳️ ୩. ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡର (Hollow Cylinder)

ଯଦି ଏକ ସିଲିଣ୍ଡର ଭିତରେ ଫମ୍ପା ଥାଏ (ଯେପରିକି ପାଣି ପାଇପ୍), ତେବେ ତାର ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$, ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h$ ହୋଇଥାଏ।

📝 ଉଦାହରଣ (Solved Examples)

💡 ଉଦାହରଣ ୧ (ପ୍ରିଜିମ୍): ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ସେ.ମି. ଓ 4 ସେ.ମି. ଅଟେ। ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 10 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଘନଫଳ ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ: ✔️ ପ୍ରଥମେ ଭୂମିର (ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର) ଅତିଭୂଜ (କର୍ଣ୍ଣ) ବାହାର କରିବା: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ସେ.ମି.। ✔️ ଭୂମିର ପରିସୀମା ($P$) = $3 + 4 + 5 = 12$ ସେ.ମି.। ✔️ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ($A$) = $\frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.। ✔️ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ($h$) = 10 ସେ.ମି.।

👉 ଘନଫଳ (V) = ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\times$ ଉଚ୍ଚତା = $A \times h = 6 \times 10 = 60$ ଘନ ସେ.ମି.। 👉 ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L.S.A) = ଭୂମିର ପରିସୀମା $\times$ ଉଚ୍ଚତା = $P \times h = 12 \times 10 = 120$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.। 👉 ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (T.S.A) = $L.S.A + 2A = 120 + 2(6) = 120 + 12 = 132$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.।

💡 ଉଦାହରଣ ୨ (ସିଲିଣ୍ଡର): ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 20 ସେ.ମି. ଅଟେ। ଏହାର ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

ସମାଧାନ: ✔️ ଦିଆଯାଇଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = 7 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ($h$) = 20 ସେ.ମି.।

👉 ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (C.S.A) = $2\pi r h$ $C.S.A. = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 20$ $C.S.A. = 44 \times 20 = 880 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$

👉 ଘନଫଳ (V) = $\pi r^2 h$ $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 20$ $V = 22 \times 7 \times 20 = 154 \times 20 = 3080 \text{ ଘନ ସେ.ମି.}$

💡 ଉଦାହରଣ ୩ (ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ): ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ଆବଦ୍ଧ ସିଲିଣ୍ଡରର ବ୍ୟାସ 14 ମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତା 10 ମିଟର। ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?

ସମାଧାନ: ✔️ ବ୍ୟାସ ($d$) = 14 ମିଟର, ତେଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) = $\frac{14}{2} = 7$ ମିଟର। ✔️ ଉଚ୍ଚତା ($h$) = 10 ମିଟର।

👉 ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (T.S.A) = $2\pi r(r + h)$ $T.S.A. = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10)$ $T.S.A. = 44 \times 17 = 748 \text{ ବର୍ଗ ମିଟର}$