କୌଣସି ଘନ ପଦାର୍ଥ ଶୂନ୍ୟରେ ବା ବାୟୁରେ ଯେତିକି ସ୍ଥାନ ଅଧିକାର କରେ, ତାହାର ପରିମାପକୁ ସେହି ପଦାର୍ଥର ଆୟତନ (Volume) ବା ଘନଫଳ କୁହାଯାଏ। ଆୟତନ ଏକ ତ୍ରି-ମାତ୍ରିକ (3D) ରାଶି ଅଟେ। 📏

📐 ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Key Formulas)

📝 ପାଠ୍ୟପୁସ୍ତକ ଉଦାହରଣ (Examples) - ପୃଷ୍ଠା ୨୯ ରୁ ୩୨

🔹 ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଆୟତନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ

ଉଦାହରଣ - ୭ : ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୧୨ ସେ.ମି., ୫ ସେ.ମି., ୧୩ ସେ.ମି.। ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ୧୦ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

• ସମାଧାନ:
  • ଭୂମିର ବାହୁମାନେ ହେଲେ ୧୨, ୫ ଓ ୧୩। ଏଠାରେ $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2$।
  • ତେଣୁ ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ।
  • ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \times \text{ଭୂମି} \times \text{ଉଚ୍ଚତା} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \text{ ବର୍ଗ ସେ.ମି.}$।
  • ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଆୟତନ $= \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} \times \text{ଉଚ୍ଚତା} = 30 \times 10 = 300 \text{ ଘନ ସେ.ମି.}$।
  • ଉତ୍ତର: ୩୦୦ ଘ.ସେ.ମି. ✅

ଉଦାହରଣ - ୮ : ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଆୟତନ ୩୭୮୦୦ ଘ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ ୩୯ ମି., ୪୨ ମି. ଓ ୪୫ ମି.। ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

• ସମାଧାନ:
  • ଅର୍ଦ୍ଧ ପରିସୀମା $(s) = \frac{39+42+45}{2} = 63 \text{ ମି.}$।
  • ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{63 \times 24 \times 21 \times 18} = 756 \text{ ବର୍ଗ ମି.}$।
  • ଉଚ୍ଚତା $(h) = \frac{\text{ଆୟତନ}}{\text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ}} = \frac{37800}{756} = 50 \text{ ମି.}$।
  • ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \text{ପରିସୀମା} \times h = (39+42+45) \times 50 = 126 \times 50 = 6300 \text{ ବ.ମି.}$।
  • ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 6300 + 2 \times 756 = 6300 + 1512 = 7812 \text{ ବ.ମି.}$। ✅

ଉଦାହରଣ - ୯ : ୧୦ ସେ.ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ। ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଆୟତନ ୧୨୦ ଘ.ସେ.ମି. ହେଲେ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। $(\sqrt{3} \approx 1.732)$

• ସମାଧାନ:
  • ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{120}{10} = 12 \text{ ବ.ସେ.ମି.}$।
  • ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 12 \Rightarrow a^2 = \frac{48}{\sqrt{3}} \approx 27.71$।
  • ବାହୁ $(a) \approx 5.264 \text{ ସେ.ମି.}$। ପରିସୀମା $= 3a = 15.792 \text{ ସେ.ମି.}$।
  • ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳ $= 15.792 \times 10 = 157.92 \text{ ବ.ସେ.ମି.}$।
  • ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ $= 157.92 + 2(12) = 181.92 \text{ ବ.ସେ.ମି.}$। ✅

ଉଦାହରଣ - ୧୦ (ପୃଷ୍ଠା ୩୧): ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ବାହୁର ଅନୁପାତ ୫:୧୨। ଆୟତନ ୧୮୦୦ ଘ.ସେ.ମି. ଓ ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳ ୯୦୦ ବ.ସେ.ମି. ହେଲେ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ କେତେ?

• ସମାଧାନ:
  • ବାହୁଗୁଡ଼ିକ $5x, 12x$ ଓ କର୍ଣ୍ଣ $13x$। ପରିସୀମା $= 30x$। ଭୂମି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 30x^2$।
  • $30x^2 h = 1800$ (i) ଏବଂ $30xh = 900$ (ii)।
  • (i) କୁ (ii) ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ: $\frac{30x^2h}{30xh} = \frac{1800}{900} \Rightarrow x = 2$।
  • ବାହୁଗୁଡ଼ିକ: $5 \times 2 = 10 \text{ ସେ.ମି.}$, $12 \times 2 = 24 \text{ ସେ.ମି.}$। ✅

ଉଦାହରଣ - ୧୧ : ଆୟତନ ୪୫୦୦ ଘ.ମି., ଭୂମି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣ ୪୧ ମି.। ଉଚ୍ଚତା ୨୫ ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁ କେତେ?

• ସମାଧାନ:
  • ଭୂମି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{4500}{25} = 180 \text{ ବ.ମି.}$।
  • $\frac{1}{2}ab = 180 \Rightarrow ab = 360$। ଆଉ $a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$।
  • $(a+b)^2 = 1681 + 2(360) = 2401 \Rightarrow a+b = 49$।
  • $(a-b)^2 = 1681 - 720 = 961 \Rightarrow a-b = 31$।
  • ସମାଧାନ କଲେ: $a = 40 \text{ ମି.}$, $b = 9 \text{ ମି.}$। ✅

🔹 ସିଲିଣ୍ଡରର ଆୟତନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ

ଉଦାହରଣ - ୧୨ ): ନିଦା ସିଲିଣ୍ଡରର ଘନଫଳ ୧୦୧୩୭୬ ଘ.ଡେ.ମି., ଭୂମିର ବ୍ୟାସ ୪୮ ଡେ.ମି. ହେଲେ ଉଚ୍ଚତା କେତେ?

• ସମାଧାନ:
  • ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $(r) = 24 \text{ ଡେ.ମି.}$।
  • $\pi r^2 h = 101376 \Rightarrow \frac{22}{7} \times 24 \times 24 \times h = 101376$।
  • $h = \frac{101376 \times 7}{22 \times 576} = 56 \text{ ଡେ.ମି.}$। ✅

ଉଦାହରଣ - ୧୩ : ଆୟତନ ୧୨୬୭୨ ଘ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ ୨୧୧୨ ବ.ମି. ହେଲେ ଭୂମିର ପରିଧି କେତେ?

• ସମାଧାନ:
  • $\frac{\pi r^2 h}{2\pi r h} = \frac{12672}{2112} \Rightarrow \frac{r}{2} = 6 \Rightarrow r = 12 \text{ ମି.}$।
  • ପରିଧି $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 12 = \frac{528}{7} = 75 \frac{3}{7} \text{ ମି.}$। ✅

ଉଦାହରଣ - ୧୪ : କାଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨୪ ଡେ.ମି.। ୭୫ ପଇସା ହିସାବରେ ୭୭ ଟଙ୍କାରେ କିଣାଗଲା। ପରିଧି କେତେ?

• ସମାଧାନ:
  • କାଠର ଆୟତନ $= \frac{7700}{75} = \frac{308}{3} \text{ ଘ.ଡେ.ମି.}$।
  • $\frac{22}{7} r^2 \times 24 = \frac{308}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{49}{36} \Rightarrow r = \frac{7}{6}$।
  • ପରିଧି $= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{6} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \text{ ଡେ.ମି.}$। ✅