📐 କୋନ୍ (Cone) ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଘନଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟ 📐

ଗୋଟିଏ ସରଳ ବୃତ୍ତଭୂମିକ କୋନ୍‌ର ଆଧାର ବା ଭୂମି ଏକ ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ର ଅଟେ । କୋନ୍‌ର ବିଭିନ୍ନ ମାପକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଙ୍କେତ ଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ: 🔸 ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ 🔸 ଉଚ୍ଚତା = $h$ 🔸 ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା (Slant height) = $l$

କୋନ୍‌ର ଏହି ତିନୋଟି ମାପ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ପିଥାଗୋରାସ୍ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ: $l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow l = \sqrt{r^2 + h^2}$

📊 କୋନ୍‌ର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ରାବଳୀ (Formulas) 📊

📝 ଅନୁଶୀଳନୀ 5(e) ପୂର୍ବରୁ ଥିବା ସମାହିତ ପ୍ରଶ୍ନବଳୀ (ଉଦାହରଣ ୧୫ ରୁ ୨୦) 📝

🌟 ଉଦାହରଣ ୧୫: ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ $ABC$ ର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ତା’ର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ $AB$ ର ଚତୁର୍ଦ୍ଦିଗରେ ଘୂରାଇଲେ ଯେଉଁ କୋନ୍‌ଟି ଉତ୍ପନ୍ନ ହେବ ତାହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 💡 ସମାଧାନ: 🔹 ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ $AB = 5$ ସେ.ମି., ଏବଂ $BC = 12$ ସେ.ମି. । 🔹 କର୍ଣ୍ଣ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ସେ.ମି. । 🔹 କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ ଚାରିପାଖରେ ଘୂରାଇଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 12$ ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା $h = 5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 13$ ସେ.ମି. ହେବ । 🔹 ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\pi r(r+l) = \pi \times 12(12+13) = \pi \times 12 \times 25 = 300\pi$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. । 🔹 ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (12)^2 \times 5 = \frac{1}{3} \pi \times 144 \times 5 = 240\pi$ ଘନ ସେ.ମି. ।

🌟 ଉଦାହରଣ ୧୬: ଗୋଟିଏ ସରଳ ବୃତ୍ତଭୂମିକ କୋନ୍ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ତମ୍ବୁର ଉଚ୍ଚତା 28 ମି. ଓ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ମି. । ଏହି ତମ୍ବୁ ନିର୍ମାଣ ପାଇଁ କେତେ କାନ୍‌ଭାସ୍ କନା ଲାଗିବ ସ୍ଥିର କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) 💡 ସମାଧାନ: 🔹 କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 21$ ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା $h = 28$ ମି. । 🔹 ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$ ମି. । 🔹 ତମ୍ବୁଟିର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (କନା ପରିମାଣ) = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310$ ବର୍ଗ ମି. ।

🌟 ଉଦାହରଣ ୧୭: ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପାତ୍ରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 8 ସେ.ମି. । ଏହା ଆଂଶିକ ଜଳପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଛି । ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ସେ.ମି. ଥିବା ଏକ ନିଦା କୋନ୍‌କୁ ଉକ୍ତ ଜଳରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ବୁଡ଼ାଇ ରଖିଲେ ଜଳସ୍ତର କେତେ ଉପରକୁ ଉଠିବ ସ୍ଥିର କର । 💡 ସମାଧାନ: 🔹 କୋନ୍‌ଟିର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 6 ସେ.ମି., ତେଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3$ ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା $h = 8$ ସେ.ମି. । 🔹 କୋନ୍‌ଟିର ଆୟତନ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (3)^2 \times 8 = 24\pi$ ଘନ ସେ.ମି. । 🔹 ସିଲିଣ୍ଡର ପାତ୍ରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 8 ସେ.ମି., ତେଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 4$ ସେ.ମି. । ମନେକର ଜଳସ୍ତର $x$ ସେ.ମି. ଉପରକୁ ଉଠିବ । 🔹 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନ = କୋନ୍‌ର ଆୟତନ $\Rightarrow \pi (4)^2 \times x = 24\pi$ । 🔹 $16\pi x = 24\pi \Rightarrow x = \frac{24}{16} = 1.5$ ସେ.ମି. ।

🌟 ଉଦାହରଣ ୧୮: ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆଧାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 3:4 । ଯଦି ଏହାର ଆୟତନ 301.44 ଘ.ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq 3.14$) 💡 ସମାଧାନ: 🔹 ମନେକର କୋନ୍‌ଟିର ଆଧାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3x$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 4x$ ସେ.ମି. । 🔹 ଆୟତନ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h \Rightarrow \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3x)^2 \times 4x = 3.14 \times 3x^2 \times 4x = 3.14 \times 12x^3$ । 🔹 ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ $3.14 \times 12x^3 = 301.44 \Rightarrow x^3 = \frac{301.44}{3.14 \times 12} = \frac{301.44}{37.68} = 8$ । 🔹 $x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$ । ତେଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3(2) = 6$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 4(2) = 8$ ସେ.ମି. । 🔹 ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ ସେ.ମି. ।

🌟 ଉଦାହରଣ ୧୯: 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଓ 24 ସେ.ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ଫମ୍ପା କୋନ୍ ଦସ୍ତାପାତରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବାକୁ ହେବ । ଆଧାର ସହିତ କୋନ୍‌ଟିକୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଦସ୍ତାପାତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଏହାର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) 💡 ସମାଧାନ: 🔹 ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 7$ ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା $h = 24$ ସେ.ମି. । 🔹 ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ ସେ.ମି. । 🔹 ଆଧାର ସହିତ ଦସ୍ତାପାତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ) = $\pi r(r+l) = \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 25) = 22 \times 32 = 704$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. । 🔹 ଆୟତନ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232$ ଘନ ସେ.ମି. ।

🌟 ଉଦାହରଣ ୨୦: ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ $314\frac{2}{7}$ ଘ.ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 12:13 । ଏହାର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) 💡 ସମାଧାନ: 🔹 ମନେକର ଉଚ୍ଚତା $h = 12x$ ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 13x$ । 🔹 ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{(13x)^2 - (12x)^2} = \sqrt{169x^2 - 144x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x$ ସେ.ମି. । 🔹 ଆୟତନ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5x)^2 \times 12x = \frac{22}{7} \times 100x^3$ । 🔹 ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ $\frac{22}{7} \times 100x^3 = 314\frac{2}{7} = \frac{2200}{7}$ । 🔹 $100x^3 = 100 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$ । ତେଣୁ $r = 5(1) = 5$ ସେ.ମି. ଏବଂ $l = 13(1) = 13$ ସେ.ମି. । 🔹 ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 5 \times 13 = \frac{1430}{7} = 204\frac{2}{7}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।