❓ ୧. ନିମ୍ନରେ କୋନ୍ ଆକୃତିର କେତେକ ଟୋପିର ଉଚ୍ଚତା $h$ ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l$ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତି ଟୋପିରେ ଲାଗିଥିବା କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ଏବଂ ତା’ର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

(i) $h = 3.5$ ସେ.ମି., $l = 9.1$ ସେ.ମି.

(ii) $h = 5.6$ ସେ.ମି., $l = 11.9$ ସେ.ମି.

(iii) $h = 3.5$ ସେ.ମି., $l = 12.5$ ସେ.ମି.

💡 (i) ଦତ୍ତ ଅଛି ଉଚ୍ଚତା $h = 3.5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 9.1$ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ସୂତ୍ର $r = \sqrt{l^2 - h^2}$
ଏଣୁ $r = \sqrt{9.1^2 - 3.5^2} = \sqrt{82.81 - 12.25} = \sqrt{70.56} = 8.4$ ସେ.ମି.
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ (ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 9.1 = 240.24$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 = 221.76$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(ii) ଦତ୍ତ ଅଛି ଉଚ୍ଚତା $h = 5.6$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 11.9$ ସେ.ମି.
$r = \sqrt{11.9^2 - 5.6^2} = \sqrt{141.61 - 31.36} = \sqrt{110.25} = 10.5$ ସେ.ମି.
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 11.9 = 392.7$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 346.5$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(iii) ଦତ୍ତ ଅଛି ଉଚ୍ଚତା $h = 3.5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 12.5$ ସେ.ମି.
$r = \sqrt{12.5^2 - 3.5^2} = \sqrt{156.25 - 12.25} = \sqrt{144} = 12$ ସେ.ମି.
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 12 \times 12.5 = \frac{3300}{7} = 471.42$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. (ପ୍ରାୟ)
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 12 \times 12 = \frac{3168}{7} = 452.57$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. (ପ୍ରାୟ)

❓ ୨. ନିମ୍ନରେ କୋନ୍ ଆକୃତିର ତିନୋଟି ତମ୍ବୁର ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l$ ଓ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ $r$ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତି ତମ୍ବୁର ଭିତରର ଆୟତନ ଓ ତମ୍ବୁରେ ଲାଗିଥିବା କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

(i) $r=10.5$ ମି. $l=14.5$ ମି.

(ii) $h=24$ ମି. $l=25$ ମି.

💡 (i) ଦତ୍ତ ଅଛି $r = 10.5$ ମିଟର ଏବଂ $l = 14.5$ ମିଟର
ଆୟତନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ, $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14.5^2 - 10.5^2} = \sqrt{210.25 - 110.25} = \sqrt{100} = 10$ ମିଟର
ଆୟତନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10 = 1155$ ଘନ ମିଟର ମିଳିବ
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r l$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $\frac{22}{7} \times 10.5 \times 14.5 = 478.5$ ବର୍ଗ ମିଟର ମିଳିବ
(ii) ଦତ୍ତ ଅଛି $h = 24$ ମିଟର ଏବଂ $l = 25$ ମିଟର
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ସୂତ୍ର $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$ ମିଟର
ଆୟତନ $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = 1232$ ଘନ ମିଟର
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ୩. (i) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ 12936 ଘନ ମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 28 ମିଟର ହେଲେ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$) (ii) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ 9240 ଘନ ଏକକ । ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 21 ଏକକ ହେଲେ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 (i) କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $\frac{1}{3} \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} \times h = 12936$
ଉଚ୍ଚତା $h = 28$ ମିଟର ଦିଆଯାଇଛି
ଏଣୁ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{12936 \times 3}{28} = 1386$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଆମେ ଜାଣୁ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 1386$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{22}{7} r^2 = 1386$
ଏଥିରୁ $r^2 = \frac{1386 \times 7}{22} = 441$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{441} = 21$ ମିଟର
ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$ ମିଟର
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 2310$ ବର୍ଗ ମିଟର
(ii) କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ସୂତ୍ର $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = 9240$
ଦତ୍ତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 21$
ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21^2 \times h = 9240$ ଅର୍ଥାତ୍ $462h = 9240$
ଏଣୁ $h = \frac{9240}{462} = 20$ ଏକକ
ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$ ଏକକ
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 1914$ ବର୍ଗ ଏକକ

❓ ୪. (i) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 550 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 7 ସେ.ମି. ହେଲେ କୋନ୍‌ଟିର ଆୟତନ ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

(ii) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 4070 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା 37 ସେ.ମି. ହେଲେ ତାହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ ନିରୂପଣ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 (i) ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi r l = 550$
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 7$ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{22}{7} \times 7 \times l = 550$ ଅର୍ଥାତ୍ $22l = 550$
ଏଥିରୁ $l = 25$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ ସେ.ମି.
ଆୟତନ ସୂତ୍ର $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = 1232$ ଘନ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $= \pi r (r + l) = \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 25) = 22 \times 32 = 704$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(ii) ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r l = 4070$ ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 37$ ଦିଆଯାଇଛି
ସୂତ୍ରରେ ପକାଇଲେ $\frac{22}{7} \times r \times 37 = 4070$ ଯେଉଁଥିରୁ $r = \frac{4070 \times 7}{22 \times 37} = 35$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35^2 = 3850$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{1369 - 1225} = \sqrt{144} = 12$ ସେ.ମି.
ଆୟତନ $= \frac{1}{3} \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} \times h = \frac{1}{3} \times 3850 \times 12 = 15400$ ଘନ ସେ.ମି.

❓ ୫. ଯେଉଁ କୋନ୍‌ର ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2816 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 14 ସେ.ମି. ତାହାର ଆୟତନ ଓ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r (r + l) = 2816$
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 14$ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{22}{7} \times 14 \times (14 + l) = 2816$ ଅର୍ଥାତ୍ $44(14 + l) = 2816$
ଏଥିରୁ $14 + l = \frac{2816}{44} = 64$ ହେବ ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 64 - 14 = 50$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 14 \times 50 = 2200$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48$ ସେ.ମି.
ଆୟତନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14^2 \times 48 = 9856$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ

❓ ୬. ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1386 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 770 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୋଇଥିବା କୋନ୍‌ଟିର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ଆମେ ଜାଣୁ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏଣୁ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 1386 - 770 = 616$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi r^2 = 616$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{22}{7} r^2 = 616$
ଏଥିରୁ $r^2 = \frac{616 \times 7}{22} = 196$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{196} = 14$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi r l = 770$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $\frac{22}{7} \times 14 \times l = 770$ ଅର୍ଥାତ୍ $44l = 770$
ଏଥିରୁ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \frac{770}{44} = 17.5$ ସେ.ମି. ହେବ
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17.5^2 - 14^2} = \sqrt{306.25 - 196} = \sqrt{110.25} = 10.5$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ସୂତ୍ର $= \frac{1}{3} \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} \times h = \frac{1}{3} \times 616 \times 10.5 = 2156$ ଘନ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୭. (i) ଆୟତନ 12936 ଘନସେ.ମି. ଏବଂ $r:h=3:4$ ହୋଇଥିବା ଏକ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

(ii) ଆୟତନ 17248 ଘନ ମିଟର ଏବଂ $r:l=4:5$ ଥିବା ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 (i) ମନେକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3x$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 4x$
ଏଣୁ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{(3x)^2 + (4x)^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = \sqrt{25x^2} = 5x$ ହେବ
ଆୟତନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h = 12936$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3x)^2 \times 4x = 12936$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{264}{7} x^3 = 12936$
ଏଥିରୁ $x^3 = \frac{12936 \times 7}{264} = 343$ ଏବଂ $x = 7$ ମିଳିବ
ଏଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3 \times 7 = 21$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 5 \times 7 = 35$ ସେ.ମି.
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 2310$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(ii) ମନେକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 4x$ ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 5x$
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{(5x)^2 - (4x)^2} = \sqrt{25x^2 - 16x^2} = \sqrt{9x^2} = 3x$ ହେବ
ଆୟତନ ସୂତ୍ର $\frac{1}{3}\pi r^2 h = 17248$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (4x)^2 \times 3x = 17248$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{352}{7} x^3 = 17248$
ଏଥିରୁ $x^3 = \frac{17248 \times 7}{352} = 343$ ଏବଂ $x = 7$ ମିଳିବ
ଏଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 4 \times 7 = 28$ ମିଟର ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା $l = 5 \times 7 = 35$ ମିଟର
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 28 \times 35 = 3080$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ୮. (i) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଅନୁପାତ 3:5 ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 1:3 ହେଲେ ସେ ଦୁଇଟିର ଆୟତନର ଅନୁପାତ ସ୍ଥିର କର ।

(ii) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଅନୁପାତ 2:7 ଓ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 3:8 ହେଲେ ଉକ୍ତ କୋନ୍‌ଦ୍ଵୟର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iii) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 1:9 ଏବଂ ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 5:21 ହେଲେ ସେ ଦୁଇଟିର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ ସ୍ଥିର କର ।

💡 (i) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ଆୟତନର ଅନୁପାତର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 \times \frac{h_1}{h_2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆୟତନର ଅନୁପାତ $= (\frac{3}{5})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{9}{25} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{25}$ ଅର୍ଥାତ୍ ଅନୁପାତ 3:25 ହେବ
(ii) ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{C_1}{C_2} = \frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{l_1}{l_2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ $= \frac{2}{7} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$ ଅର୍ଥାତ୍ ଅନୁପାତ 3:28 ହେବ
(iii) ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ଦିଆଯାଇଛି $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{1}{9}$ ଯେଉଁଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ ମିଳିବ
ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ଦିଆଯାଇଛି $\frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2} = \frac{5}{21}$
ଏହି ସମୀକରଣରେ $\frac{r_1}{r_2}$ ର ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $(\frac{1}{3}) \times \frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{21}$ ଅର୍ଥାତ୍ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ $\frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{21} \times 3 = \frac{5}{7}$ ମିଳିବ
ଏଣୁ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 5:7 ଅଟେ

❓ ୯. (i) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅଧା । କୋନ୍‌ଟିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $5\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi=3.14$)

💡 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ($h$) ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ($l$) ର ଅଧା ଅର୍ଥାତ୍ $h = \frac{l}{2}$ ଯେଉଁଥିରୁ $l = 2h$ ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 5\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୋନ୍ ପାଇଁ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $l^2 = h^2 + r^2$
ଏହି ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $(2h)^2 = h^2 + (5\sqrt{3})^2$
ଯାହାକି $4h^2 = h^2 + 75$ ଅର୍ଥାତ୍ $3h^2 = 75$ ହେବ
ଏଥିରୁ $h^2 = 25$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 5$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \times 3.14 \times (5\sqrt{3})^2 \times 5 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 75 \times 5$
ଯାହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $3.14 \times 25 \times 5 = 3.14 \times 125 = 392.5$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ 392.5 ଘନ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୯. (ii) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅଧା । କୋନ୍‌ଟିର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 50 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi=3.14$)

💡 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ($h$) ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) ର ଅଧା ଅର୍ଥାତ୍ $h = \frac{r}{2}$ ଯେଉଁଥିରୁ $r = 2h$ ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = 50$ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ସୂତ୍ର $l^2 = h^2 + r^2$
ଏହି ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $50^2 = h^2 + (2h)^2$
ଯାହାକି $2500 = h^2 + 4h^2 = 5h^2$ ହେବ
ଏଥିରୁ $h^2 = 500$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ବର୍ଗ $r^2 = 4h^2 = 4 \times 500 = 2000$ ହେବ
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \times 3.14 \times 2000 \times 10\sqrt{5} = \frac{62800\sqrt{5}}{3}$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଏହା ହିଁ କୋନ୍‌ର ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଘନଫଳ ଅଟେ

❓ ୯. (iii) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଓ ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ 2:3 ଏବଂ ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 20 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi=\sqrt{10}$)

💡 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ($h$) ଏବଂ ଭୂମିର ବ୍ୟାସ ($2r$) ର ଅନୁପାତ 2:3 ଅଟେ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{h}{2r} = \frac{2}{3}$
ଏହି ସମୀକରଣରୁ ଆମେ ପାଇବା $3h = 4r$ ଯେଉଁଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{3}{4}h$ ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = 20$ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $l^2 = h^2 + r^2$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $20^2 = h^2 + (\frac{3}{4}h)^2$
ଯାହାକି $400 = h^2 + \frac{9}{16}h^2 = \frac{25}{16}h^2$ ହେବ
ଏଥିରୁ $h^2 = \frac{400 \times 16}{25} = 16 \times 16 = 256$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 16$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{3}{4} \times 16 = 12$ ସେ.ମି. ହେବ
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \times \sqrt{10} \times 12^2 \times 16 = \frac{1}{3} \times \sqrt{10} \times 144 \times 16$
ଯାହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $48 \times 16 \times \sqrt{10} = 768\sqrt{10}$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଏହା ହିଁ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ବା ଘନଫଳ ଅଟେ

❓ ୧୦. ଏକ ସମଘନାକାର କାଠଖଣ୍ଡର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ସେ.ମି. । ଏଥିରୁ କଟା ଯାଇ ମିଳିଥିବା ବୃହତ୍ତମ ଆୟତନ ବିଶିଷ୍ଟ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ସମଘନାକାର କାଠଖଣ୍ଡରୁ କଟା ଯାଇପାରିବା ବୃହତ୍ତମ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେବ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ମଧ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେବ
ତେଣୁ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 21 ସେ.ମି. ଯେଉଁଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{21}{2} = 10.5$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା $h = 21$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \times 21 = \frac{22}{21} \times \frac{441}{4} \times 21 = \frac{11 \times 441}{2} = 2425.5$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{21^2 + 10.5^2} = \sqrt{441 + 110.25} = \sqrt{551.25} = 10.5\sqrt{5}$ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r (r + l)$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{22}{7} \times 10.5 \times (10.5 + 10.5\sqrt{5}) = 33 \times 10.5(1 + \sqrt{5}) = 346.5(1 + \sqrt{5})$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୧୧. ବୃତ୍ତକଳା ଆକୃତିର ଗୋଟିଏ ଟିଣପତ୍ରକୁ ମୋଡ଼ି ତା’ର ଦୁଇ ପାଖର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧକୁ ଯୋଡ଼ି ଝଳାଇ କରି କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପାତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଗଲା । ଟିଣପତ୍ରଟିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 12 ସେ.ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ବୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ କୋଣ ପରିମାଣ 120° ହେଲେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ପାତ୍ରଟିରେ କେତେ ପାଣି ରହି ପାରିବ ? ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ଟିଣପତ୍ରକୁ ମୋଡ଼ି କୋନ୍ ତିଆରି କଲେ ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହିଁ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ($l$) ହେବ
ତେଣୁ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = 12$ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ପରିଧି ସହ ସମାନ ହେବ
ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{\theta}{360} \times 2\pi R$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\frac{120}{360} \times 2 \times \pi \times 12 = 8\pi$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ପରିଧି ସୂତ୍ର $2\pi r = 8\pi$ ଯେଉଁଥିରୁ କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 4$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ସୂତ୍ର $h = \sqrt{l^2 - r^2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{12^2 - 4^2} = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ ସେ.ମି.
ପାତ୍ରଟିରେ ରହିପାରିବା ପାଣିର ପରିମାଣ ଅର୍ଥାତ୍ ଘନଫଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times 8\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times 8\sqrt{2} = \frac{2816\sqrt{2}}{21}$ ଘନ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୧୨. ଗୋଟିଏ ନିଦା କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ସେ.ମି. । ଏହାକୁ ଆଂଶିକ ଜଳପୂର୍ଣ୍ଣ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାରର ପାତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ ରୂପେ ବୁଡ଼ାଇ ଦିଆଗଲା । ସିଲିଣ୍ଡରର ଭିତରର ବ୍ୟାସ 8 ସେ.ମି. ହେଲେ ସେଥିରେ ଥିବା ଜଳସ୍ତର କେତେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ ?

💡 କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 6 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 8$ ସେ.ମି. ଦତ୍ତ ଅଛି
କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ବା ଘନଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆୟତନ = $\frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 8 = 24\pi$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାର ପାତ୍ରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 8 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 4$ ସେ.ମି.
ମନେକର କୋନ୍ ବୁଡ଼ିବା ପରେ ସିଲିଣ୍ଡରରେ ଜଳସ୍ତର $x$ ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ
ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi R^2 x$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆୟତନ = $\pi \times 4^2 \times x = 16\pi x$
ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନ ନିଦା କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ସହ ସମାନ ହେବ ତେଣୁ $16\pi x = 24\pi$
ଏହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କଲେ $x = \frac{24\pi}{16\pi} = 1.5$ ମିଳିବ
ତେଣୁ ସିଲିଣ୍ଡରରେ ଜଳସ୍ତର 1.5 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ

❓ ୧୩. ଗୋଟିଏ ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ଯାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 35 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ମି. ଏବଂ ଉପରାଂଶ 35 ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ 12 ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ କୋନ୍ ଆକାରର । ତମ୍ବୁଟିକୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ କେତେ ବର୍ଗମିଟର କପଡ଼ା ଲାଗିଥିବ ସ୍ଥିର କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡର ଯାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 35$ ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h_1 = 8$ ମି.
ସିଲିଣ୍ଡର ଅଂଶର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2\pi r h_1$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 8 = 44 \times 40 = 1760$ ବର୍ଗ ମିଟର
ତମ୍ବୁର ଉପରାଂଶ ଏକ କୋନ୍ ଯାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 35$ ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h_2 = 12$ ମି.
କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ସୂତ୍ର $l = \sqrt{r^2 + h_2^2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$ ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍ ଅଂଶର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r l$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{22}{7} \times 35 \times 37 = 110 \times 37 = 4070$ ବର୍ଗ ମିଟର
ତମ୍ବୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବାକୁ ଆବଶ୍ୟକ କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ଉଭୟ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ
ତେଣୁ ସମୁଦାୟ କପଡ଼ାର ପରିମାଣ = $1760 + 4070 = 5830$ ବର୍ଗ ମିଟର ଅଟେ

❓ ୧୪. ଏକ ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ 30 ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ବୃତ୍ତ ଭୂମିକ ସିଲିଣ୍ଡର ଓ ଉପର ଅଂଶ କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ । ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ମି. ଏବଂ ଭୂପୃଷ୍ଠରୁ ତମ୍ବୁଶୀର୍ଷର ଉଚ୍ଚତା 58 ମି. ହେଲେ ତମ୍ବୁରେ ବ୍ୟବହୃତ କ୍ୟାନ୍‌ଭାସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ (ସିଲିଣ୍ଡର) ର ଉଚ୍ଚତା $h_1 = 30$ ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 21$ ମି.
ସିଲିଣ୍ଡର ଅଂଶର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2\pi r h_1$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 30 = 132 \times 30 = 3960$ ବର୍ଗ ମିଟର
ତମ୍ବୁର ସମୁଦାୟ ଉଚ୍ଚତା 58 ମି. ହୋଇଥିବାରୁ କୋନ୍ ଅଂଶର ଉଚ୍ଚତା $h_2 = 58 - 30 = 28$ ମି. ହେବ
ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 21$ ମି.
କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ସୂତ୍ର $l = \sqrt{r^2 + h_2^2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $l = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35$ ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍ ଅଂଶର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r l$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 66 \times 35 = 2310$ ବର୍ଗ ମିଟର
ବ୍ୟବହୃତ କ୍ୟାନ୍‌ଭାସ୍‌ର ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଉଭୟ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ
ତେଣୁ ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $3960 + 2310 = 6270$ ବର୍ଗ ମିଟର ଅଟେ

❓ ୧୫. ଗୋଟିଏ ଜଳ ପୂର୍ଣ୍ଣ କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପାତ୍ରର ଉପର ବୃତ୍ତାକାର ଧାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 2.5 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗଭୀରତା 11 ସେ.ମି. । 0.25 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ କେତେଗୋଟି ସୀସା ଗୋଲି ଏହା ମଧ୍ୟକୁ ପକାଇଲେ ଏଥିରେ ଥିବା ଜଳର $\frac{2}{5}$ ଅଂଶ ବାହାରକୁ ଅପସାରିତ ହୋଇଯିବ, ସ୍ଥିର କର ।

💡 ଜଳପୂର୍ଣ୍ଣ କୋନ୍ ଆକାର ପାତ୍ରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 2.5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଗଭୀରତା ବା ଉଚ୍ଚତା $H = 11$ ସେ.ମି.
ପାତ୍ରରେ ଥିବା ଜଳର ସମୁଦାୟ ଆୟତନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{3}\pi R^2 H$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆୟତନ = $\frac{1}{3} \times \pi \times (2.5)^2 \times 11 = \frac{1}{3} \times \pi \times 6.25 \times 11 = \frac{68.75\pi}{3}$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବାହାରକୁ ଅପସାରିତ ହୋଇଥିବା ଜଳର ଆୟତନ ସମୁଦାୟ ଆୟତନର $\frac{2}{5}$ ଅଂଶ ଅଟେ
ତେଣୁ ଅପସାରିତ ଜଳର ଆୟତନ = $\frac{2}{5} \times \frac{68.75\pi}{3} = \frac{27.5\pi}{3}$ ଘନ ସେ.ମି.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୀସା ଗୋଲି (ଗୋଲକ) ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 0.25$ ସେ.ମି. ବା $\frac{1}{4}$ ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ସୀସା ଗୋଲିର ଆୟତନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{4}{3}\pi r^3$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆୟତନ = $\frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{4})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{64} = \frac{\pi}{48}$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସମୁଦାୟ ସୀସା ଗୋଲି ସଂଖ୍ୟା ଅପସାରିତ ଜଳର ଆୟତନକୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଲିର ଆୟତନରେ ଭାଗ କଲେ ମିଳିବ
ତେଣୁ ଗୋଲି ସଂଖ୍ୟା = $\frac{\frac{27.5\pi}{3}}{\frac{\pi}{48}} = \frac{27.5\pi}{3} \times \frac{48}{\pi} = 27.5 \times 16 = 440$
ତେଣୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସୀସା ଗୋଲି ସଂଖ୍ୟା 440 ଅଟେ

❓ ୧୬. ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. । ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁକୁ ସ୍ଥିର ରଖି, ତା’ର ଚାରିପାଖରେ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ଘୂରାଇଲେ ଯେଉଁ କୋନ୍ ସୃଷ୍ଟି ହେବ, ତା’ର ଘନଫଳ ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ '$\pi$' ମାଧ୍ୟମରେ ସ୍ଥିର କର ।

💡 ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 12 ସେ.ମି. ଏବଂ 5 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ବା କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ ସେ.ମି. ହେବ
କର୍ଣ୍ଣକୁ ଅକ୍ଷ କରି ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଘୂରାଇଲେ ଦୁଇଟି କୋନ୍ ଏକାଠି ମିଶିଥିବା ଏକ ଦ୍ଵିକୋନ୍ ସୃଷ୍ଟି ହେବ
ଏହି ଉଭୟ କୋନ୍‌ର ସାଧାରଣ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେବ
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{a \times b}{c}$ ଯେଉଁଠାରେ $a$ ଏବଂ $b$ ହେଉଛନ୍ତି ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁ
ତେଣୁ ସାଧାରଣ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{12 \times 5}{13} = \frac{60}{13}$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ $l_1 = 12$ ସେ.ମି. ଏବଂ $l_2 = 5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଭୟଙ୍କ ଉଚ୍ଚତାର ସମଷ୍ଟି କର୍ଣ୍ଣ ସହ ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ $h_1 + h_2 = 13$ ସେ.ମି. ହେବ
ଦ୍ଵିକୋନ୍‌ର ସମୁଦାୟ ଘନଫଳ ଉଭୟ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ସମଷ୍ଟି ଅଟେ
ଘନଫଳ ସୂତ୍ର $\frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2)$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ = $\frac{1}{3}\pi (\frac{60}{13})^2 \times 13 = \frac{1}{3}\pi \times \frac{3600}{169} \times 13 = \frac{1200\pi}{13}$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଉଭୟ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ
ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\pi \times \frac{60}{13} \times (12 + 5) = \pi \times \frac{60}{13} \times 17 = \frac{1020\pi}{13}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ