ପରିମିତି ଅନୁଶୀଳନୀ 5(e) ର ସୂତ୍ର (କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ଓ ପୃଷ୍ଠତଳ) ଉପରେ ଆଧାରିତ ୧୦ଟି ଅତିରିକ୍ତ (Additional) ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ସବିଶେଷ ସମାଧାନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା ।

❓ ୧. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 24 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ଦତ୍ତ ଅଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 7$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 24$ ସେ.ମି.
ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ ସେ.ମି.
ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଘନଫଳ $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232$ ଘନ ସେ.ମି.
ଏହା ହିଁ କୋନ୍‌ର ଆବଶ୍ୟକୀୟ ମୂଲ୍ୟ ଅଟେ

❓ ୨. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 25 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ଦତ୍ତ ଅଛି ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 154$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ତେଣୁ $\frac{22}{7} \times r^2 = 154$ ଯେଉଁଥିରୁ $r^2 = 154 \times \frac{7}{22} = 49$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{49} = 7$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = 25$ ସେ.ମି.
ଉଚ୍ଚତା $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 154 \times 24 = 154 \times 8 = 1232$ ଘନ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୩. ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଏବଂ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଉଭୟକୁ ଦ୍ୱିଗୁଣିତ କରାଯାଏ, ତେବେ ନୂତନ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ ପୁରାତନ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର କେତେ ଗୁଣ ହେବ ?

💡 ମନେକର ପୁରାତନ କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h$
ଏହାର ଘନଫଳ $V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
ନୂତନ କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 2r$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $H = 2h$ ହେବ
ନୂତନ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ $V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3}\pi (4r^2) (2h) = 8 \times (\frac{1}{3}\pi r^2 h)$
ଅର୍ଥାତ୍ $V_2 = 8 \times V_1$
ତେଣୁ ନୂତନ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ ପୁରାତନ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର 8 ଗୁଣ ହେବ

❓ ୪. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର $\sqrt{10}$ ଗୁଣ ଅଟେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ 3:1 ଅଟେ ।

💡 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{10} \times$ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଅର୍ଥାତ୍ $\pi r l = \sqrt{10} \times \pi r^2$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi r$ କାଟିଦେଲେ $l = \sqrt{10} r$ ମିଳିବ
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ବର୍ଗ କଲେ $l^2 = 10 r^2$ ହେବ
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $l^2 = h^2 + r^2$
ତେଣୁ $h^2 + r^2 = 10 r^2$ ଯେଉଁଥିରୁ $h^2 = 9 r^2$ ମିଳିବ
ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ $h = 3r$ ହେବ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{h}{r} = \frac{3}{1}$
ଏଣୁ ଉଚ୍ଚତା ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ 3:1 ଅଟେ

❓ ୫. ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ଘନଫଳର ଅନୁପାତ 4:5 ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ 2:3 ଅଟେ । ସେମାନଙ୍କର ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଦତ୍ତ ଅଛି ଘନଫଳର ଅନୁପାତ $\frac{V_1}{V_2} = \frac{4}{5}$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$
ଘନଫଳର ଅନୁପାତ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 \times h_1}{r_2^2 \times h_2}$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $(\frac{2}{3})^2 \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$ ହେବ
ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{4}{9} \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$
ଏଥିରୁ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ $\frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5} \times \frac{9}{4} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5}$ ମିଳିବ
ଏଣୁ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 9:5 ଅଟେ

❓ ୬. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ 100$\pi$ ଘନ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ବା ଘନଫଳ ସୂତ୍ର $\frac{1}{3}\pi r^2 h = 100\pi$
ଉଚ୍ଚତା $h = 12$ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 12 = 100\pi$
ଯାହାକି $4\pi r^2 = 100\pi$ ହେବ
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi$ କାଟିଦେଲେ ଏବଂ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ $r^2 = \frac{100}{4} = 25$ ମିଳିବ
ଏଣୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 5$ ସେ.ମି.
ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 13 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୭. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 90$\pi$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 13 ସେ.ମି. । କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi r (r + l) = 90\pi$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi$ କାଟିଦେଲେ $r(r + l) = 90$ ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = 13$
ତେଣୁ $r(r + 13) = 90$ ଅର୍ଥାତ୍ $r^2 + 13r - 90 = 0$
ଏହି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ $r^2 + 18r - 5r - 90 = 0$ ମିଳିବ
ଯାହାକି $r(r + 18) - 5(r + 18) = 0$ ଅର୍ଥାତ୍ $(r - 5)(r + 18) = 0$ ହେବ
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେବେ ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ହୋଇନପାରେ ତେଣୁ $r = 5$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୮. ଗୋଟିଏ ତମ୍ବୁ କୋନ୍ ଆକାରର ଏବଂ ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 24 ମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତା 5 ମିଟର । ତମ୍ବୁ ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ କପଡ଼ାର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ମିଟରକୁ 10 ଟଙ୍କା ହେଲେ, ସମୁଦାୟ କେତେ ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ? ($\pi=3.14$)

💡 ତମ୍ବୁର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 24 ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 12$ ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 5$ ମି.
ତମ୍ବୁର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ ମି.
କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ତମ୍ବୁର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r l = 3.14 \times 12 \times 13 = 3.14 \times 156 = 489.84$ ବର୍ଗ ମିଟର
ପ୍ରତି ବର୍ଗ ମିଟରର ମୂଲ୍ୟ 10 ଟଙ୍କା ହୋଇଥିବାରୁ ସମୁଦାୟ ଖର୍ଚ୍ଚ $= 489.84 \times 10 = 4898.4$ ଟଙ୍କା ହେବ
ତମ୍ବୁ ତିଆରି ପାଇଁ 4898.4 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ

❓ ୯. ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତଭୂମିକ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ପରିଧି 44 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 9 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଘନଫଳ କେତେ ? ($\pi\simeq\frac{22}{7}$)

💡 ଭୂମିର ପରିଧି ସୂତ୍ର $2\pi r = 44$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ $2 \times \frac{22}{7} \times r = 44$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{44}{7} \times r = 44$ ମିଳିବ
ଏଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 7$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଦତ୍ତ ଅଛି ଉଚ୍ଚତା $h = 9$ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ ସୂତ୍ର $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଘନଫଳ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 9 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 9 = 22 \times 7 \times 3 = 462$ ଘନ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ 462 ଘନ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ୧୦. ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ 1005$\frac{5}{7}$ ଘନ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 201$\frac{1}{7}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. । କୋନ୍‌ଟିର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଦତ୍ତ ଅଛି ଘନଫଳ $= 1005\frac{5}{7} = \frac{7040}{7}$ ଘନ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 201\frac{1}{7} = \frac{1408}{7}$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ $= \frac{1}{3} \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} \times \text{ଉଚ୍ଚତା}$
ତେଣୁ $\frac{7040}{7} = \frac{1}{3} \times \frac{1408}{7} \times h$
ଏହି ସମୀକରଣରୁ ଉଚ୍ଚତା $h = \frac{7040}{7} \times \frac{7}{1408} \times 3$ ମିଳିବ
ସମାଧାନ କଲେ $h = 5 \times 3 = 15$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 15 ସେ.ମି. ଅଟେ