❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ଏକ ସରଳ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମିବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a, b, c, ଉଚ୍ଚତା h, ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ L, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ W ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର । (a) a=10 ସେ.ମି., b=6 ସେ.ମି., c=8 ସେ.ମି., h=20 ସେ.ମି. ହେଲେ, L ଓ W ସ୍ଥିର କର । (b) a=5 ମି., b=5 ମି., c=6 ମି., h=8 ମି. ହେଲେ, L ଓ W ସ୍ଥିର କର । (c) a=b=15 ମି., c=24 ମି., h=18 ମି. ହେଲେ, L ଓ W ସ୍ଥିର କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $L = (a+b+c)h$ ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ}$
(a) ଏଠାରେ $a=10, b=6, c=8$ ଯାହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରେ ($6^2 + 8^2 = 10^2$)
ତେଣୁ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
$L = (10+6+8) \times 20 = 24 \times 20 = 480$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
$W = 480 + 2(24) = 480 + 48 = 528$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(b) ଏଠାରେ $a=5, b=5, c=6$ ଯାହା ଏକ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ
ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା $s = \frac{5+5+6}{2} = 8$
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} = 12$ ବର୍ଗ ମିଟର
$L = (5+5+6) \times 8 = 16 \times 8 = 128$ ବର୍ଗ ମିଟର
$W = 128 + 2(12) = 128 + 24 = 152$ ବର୍ଗ ମିଟର
(c) ଏଠାରେ $a=15, b=15, c=24$ ଏବଂ ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା $s = \frac{15+15+24}{2} = 27$
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{27(27-15)(27-15)(27-24)} = \sqrt{27 \times 12 \times 12 \times 3} = \sqrt{81 \times 144} = 9 \times 12 = 108$ ବର୍ଗ ମିଟର
$L = (15+15+24) \times 18 = 54 \times 18 = 972$ ବର୍ଗ ମିଟର
$W = 972 + 2(108) = 972 + 216 = 1188$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ଗୋଟିଏ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h, ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ L ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ W ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର । (a) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 40 ମି., h=50 ମି., L ଓ W କେତେ ? ($\sqrt{2} \approx 1.414$) (b) ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜାକାର ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ଡେ.ମି., h=20 ଡେ.ମି. ହେଲେ, L ଓ W କେତେ ? ($\sqrt{3} \simeq 1.732$) (c) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି., h=25 ସେ.ମି. ହେଲେ, L ଓ W କେତେ ? ($\sqrt{3} \simeq 1.732$)

💡 ଉତ୍ତର: (a) ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣ 40 ମିଟର
ତେଣୁ ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ହେଲେ $2x^2 = 40^2 = 1600 \Rightarrow x^2 = 800 \Rightarrow x = 20\sqrt{2}$
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 40 + 40\sqrt{2}$
$L = P \times h = (40 + 40\sqrt{2}) \times 50 = 2000 + 2000\sqrt{2} = 2000(1 + 1.414) = 2000 \times 2.414 = 4828$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}(800) = 400$
$W = L + 2 \times \text{କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 4828 + 2(400) = 5628$ ବର୍ଗ ମିଟର
(b) ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ବାହୁ $a = 6$
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 6 \times 6 = 36$
$L = P \times h = 36 \times 20 = 720$ ବର୍ଗ ଡେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(36) = 54\sqrt{3}$
$W = L + 2 \times \text{କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 720 + 2(54\sqrt{3}) = 720 + 108(1.732) = 720 + 187.056 = 907.056$ ବର୍ଗ ଡେ.ମି.
(c) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ $a = 16$
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 3 \times 16 = 48$
$L = P \times h = 48 \times 25 = 1200$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(256) = 64\sqrt{3}$
$W = 1200 + 2(64\sqrt{3}) = 1200 + 128(1.732) = 1200 + 221.696 = 1421.696$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଓ 15 ସେ.ମି. । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 840 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ପ୍ରିଜିମ୍‌ଟିର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 13 + 14 + 15 = 42$ ସେ.ମି.
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = P \times h = 840$
ତେଣୁ ଉଚ୍ଚତା $h = \frac{840}{42} = 20$ ସେ.ମି.
ଭୂମିର ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା $s = \frac{42}{2} = 21$
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 840 + 2(84) = 840 + 168 = 1008$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ଗୋଟିଏ ଖୁଣ୍ଟ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍ । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵତଳଗୁଡ଼ିକୁ କାଗଜ ମଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ 15 ପଇସା ହିସାବରେ ଟ.18.90 ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । ଖୁଣ୍ଟଟିର ଉଚ୍ଚତା $8\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ 18.90 ଟଙ୍କା ବା 1890 ପଇସା
ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି. କୁ ଖର୍ଚ୍ଚ 15 ପଇସା
ତେଣୁ ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = \frac{1890}{15} = 126$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଆମେ ଜାଣୁ $L = P \times h$
ଏଠାରେ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ $a$ ହେଲେ ପରିସୀମା $P = 3a$
ଉଚ୍ଚତା $h = 8\sqrt{3}$
ତେଣୁ $3a \times 8\sqrt{3} = 126 \Rightarrow 24\sqrt{3}a = 126 \Rightarrow a = \frac{126}{24\sqrt{3}} = \frac{21}{4\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\frac{7\sqrt{3}}{4}$ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫: 18 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମିବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି., 16 ମି. ଓ 20 ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍‌ଟିର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ଭୂମିର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ 12, 16, ଓ 20 ମିଟର ଯାହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରେ ($12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$)
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 12 + 16 + 20 = 48$ ମିଟର
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = P \times h = 48 \times 18 = 864$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96$ ବର୍ଗ ମିଟର
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 864 + 2(96) = 864 + 192 = 1056$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬: ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2100 ବ.ସେ.ମି ଓ ଉଚ୍ଚତା 30 ସେ.ମି. । ଏହାର ଆଧାର ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 29 ସେ.ମି. । ଆଧାରର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = 2100$ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା $h = 30$
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = \frac{L}{h} = \frac{2100}{30} = 70$ ସେ.ମି.
ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ 29 ହୋଇଥିବାରୁ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁ $a$ ଓ $b$ ର ସମଷ୍ଟି $a+b = 70 - 29 = 41$
ପିଥାଗୋରାସ୍ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $a^2 + b^2 = 29^2 = 841$
ଆମେ ଜାଣୁ $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \Rightarrow 41^2 = 841 + 2ab \Rightarrow 1681 = 841 + 2ab \Rightarrow 2ab = 840$
ପୁନଶ୍ଚ $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 841 - 840 = 1 \Rightarrow a-b = 1$
ଏବେ $a+b = 41$ ଏବଂ $a-b = 1$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ $2a = 42 \Rightarrow a = 21$ ଏବଂ $b = 20$ ମିଳିବ
ସୁତରାଂ ଆଧାରର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ସେ.ମି. ଏବଂ 20 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. । ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 20 ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି 24 ସେ.ମି. ଓ ସମାନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 13 ସେ.ମି.
ପରିସୀମା $P = 13 + 13 + 24 = 50$ ସେ.ମି.
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = P \times h = 50 \times 20 = 1000$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା $= \sqrt{13^2 - (24/2)^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ ସେ.ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 1000 + 2(60) = 1120$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ଯ 50 ସେ.ମି., ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 1.2 ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\sqrt{3} \approx 1.732$)

💡 ଉତ୍ତର: ଭୂମିର ବାହୁ $a = 50$ ସେ.ମି. ବା $0.5$ ମିଟର
ଉଚ୍ଚତା $h = 1.2$ ମିଟର
ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 3 \times 0.5 = 1.5$ ମିଟର
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = P \times h = 1.5 \times 1.2 = 1.8$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1.732}{4} \times (0.5)^2 = 0.433 \times 0.25 = 0.10825$ ବର୍ଗ ମିଟର
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 1.8 + 2(0.10825) = 1.8 + 0.2165 = 2.0165$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୯: ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଓ 15 ସେ.ମି. । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1050 ବ.ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ଭୂମିର ପରିସୀମା $P = 13 + 14 + 15 = 42$ ସେ.ମି.
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = 1050$
ଉଚ୍ଚତା $h = \frac{L}{P} = \frac{1050}{42} = 25$ ସେ.ମି.
ଭୂମିର ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା $s = 21$
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $W = L + 2 \times \text{ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = 1050 + 2(84) = 1050 + 168 = 1218$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦: ଗୋଟିଏ କାଠବାଡ଼ି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍ । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵତଳଗୁଡ଼ିକୁ କାଗଜ ମଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ 15 ପଇସା ହିସାବରେ ଟ. 18.90 ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । କାଠବାଡ଼ିଟିର ଉଚ୍ଚତା $8\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ 18.90 ଟଙ୍କା ବା 1890 ପଇସା
ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି. କୁ ଖର୍ଚ୍ଚ 15 ପଇସା
ପାର୍ଶ୍ୱ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $L = \frac{1890}{15} = 126$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା $P = 3a$ ଓ ଉଚ୍ଚତା $h = 8\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
$L = P \times h \Rightarrow 126 = 3a \times 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}a$
ତେଣୁ ବାହୁ $a = \frac{126}{24\sqrt{3}} = \frac{21}{4\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧: ଗୋଟିଏ ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ r, ବ୍ୟାସ d ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା h ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ସମାଧାନ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) (a) d=16 ସେ.ମି., h=21 ସେ.ମି. ହେଲେ ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ? (b) ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1188 ବ.ମି., d=18 ମି. ହେଲେ, h କେତେ ? (c) ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1386 ବ.ସେ.ମି. ଓ h=36 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: (a) ବ୍ୟାସ $d=16 \Rightarrow r=8$, ଏବଂ $h=21$
ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 2\pi r h = \pi d h = \frac{22}{7} \times 16 \times 21 = 22 \times 16 \times 3 = 1056$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(b) ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 1188$ ଏବଂ $d=18$
ସୂତ୍ର $\pi d h = 1188 \Rightarrow \frac{22}{7} \times 18 \times h = 1188 \Rightarrow h = \frac{1188 \times 7}{22 \times 18} = \frac{66 \times 7}{22} = 3 \times 7 = 21$ ମିଟର
(c) ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r^2 = 1386 \Rightarrow \frac{22}{7} r^2 = 1386 \Rightarrow r^2 = \frac{1386 \times 7}{22} = 63 \times 7 = 441 \Rightarrow r = 21$ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 2\pi r(r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times (21 + 36) = 132 \times 57 = 7524$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୨: ଗୋଟିଏ ରୋଲର୍‌ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 1.6 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 70 ସେ.ମି. । ଏହା କେତେଥର ଘୂରିଲେ 26.4 ବର୍ଗମିଟର ଆୟତନ ବିଶିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରିପାରିବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ରୋଲର୍ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (h) = 1.6 ମିଟର
ଏହାର ଉଚ୍ଚତା (ଯାହାକି ଶୋଇ ରହିଥିବା ରୋଲର୍ ର ବ୍ୟାସ $d$ ଅଟେ) = 70 ସେ.ମି. = 0.7 ମିଟର
ରୋଲର୍ ଥରେ ଘୂରିଲେ ତାହାର ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ ସହ ସମାନ ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରେ
ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi d h = \frac{22}{7} \times 0.7 \times 1.6 = 22 \times 0.1 \times 1.6 = 3.52$ ବର୍ଗ ମିଟର
ମୋଟ 26.4 ବର୍ଗମିଟର ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରିବା ପାଇଁ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସଂଖ୍ୟା $= \frac{26.4}{3.52} = \frac{2640}{352} = 7.5$ ଥର
ସୁତରାଂ ଏହା $7.5$ ଥର ଘୂରିବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩: 1540 ବର୍ଗମିଟର ଭୂମିରେ ଗୋଟିଏ ରୋଲର୍ 20ଥର ଗଡ଼ାଇବାକୁ ପଡ଼େ । ରୋଲର୍‌ଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ବ୍ୟାସ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1540 ବର୍ଗମିଟର ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସଂଖ୍ୟା 20
ତେଣୁ ରୋଲର୍ ର ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1540}{20} = 77$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଆମେ ଜାଣୁ ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi d h$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ରୋଲର୍ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ($h$) ତାର ବ୍ୟାସ ($d$) ସହ ସମାନ
ତେଣୁ $\pi d \times d = 77 \Rightarrow \frac{22}{7} d^2 = 77$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $d^2 = \frac{77 \times 7}{22} = \frac{7 \times 7}{2} = 24.5$ ମିଳିବ
ଦୈର୍ଘ୍ୟ $d = \sqrt{24.5} \approx 4.95$ ମିଟର
ସୁତରାଂ ରୋଲର୍ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରାୟ 4.95 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୪: ଗୋଟିଏ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାର ସ୍ତମ୍ଭର ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳକୁ ରଙ୍ଗ କରିବାର ପ୍ରତି ବର୍ଗମିଟରକୁ 60 ପଇସା ହିସାବରେ 792 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ 792 ଟଙ୍କା ଏବଂ ପ୍ରତି ବର୍ଗମିଟର କୁ ଖର୍ଚ୍ଚ 60 ପଇସା (0.60 ଟଙ୍କା)
ତେଣୁ ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{792}{0.60} = 1320$ ବର୍ଗ ମିଟର
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 154 \Rightarrow \frac{22}{7} r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 49 \Rightarrow r = 7$ ମିଟର
ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳ ସୂତ୍ର $2\pi r h = 1320 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = 1320 \Rightarrow 44h = 1320 \Rightarrow h = \frac{1320}{44} = 30$ ମିଟର
ସୁତରାଂ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 30 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୫: ଗୋଟିଏ ଦୁଇପାଖ ଖୋଲା ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 5ମି. । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 14ମି. ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 748 ବ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ବହିଃ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R=5$ ମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତା $h=14$ ମିଟର
ମନେକର ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ମିଟର
ଦୁଇପାଖ ଖୋଲା ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $2\pi(R+r)(h + R - r)$ ଅଟେ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ $2 \times \frac{22}{7} \times (5+r)(14 + 5 - r) = 748 \Rightarrow \frac{44}{7}(5+r)(19-r) = 748$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $(5+r)(19-r) = 748 \times \frac{7}{44} = 17 \times 7 = 119$ ମିଳିବ
ଏବେ ଗୁଣନ କଲେ $95 - 5r + 19r - r^2 = 119 \Rightarrow -r^2 + 14r - 24 = 0 \Rightarrow r^2 - 14r + 24 = 0$
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ $(r-12)(r-2) = 0$
ଯେହେତୁ ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$, ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ଠାରୁ ଛୋଟ ହେବ, ତେଣୁ $r=2$ ମିଟର ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ
ସୁତରାଂ ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 2 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୬: ଗୋଟିଏ ଲୁହା ନଳର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 84 ସେ.ମି. । ଏହାର ବେଧ 2 ସେ.ମି. । ଭୂମିର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 8 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ଲୁହାନଳର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବା ଉଚ୍ଚତା ($h$) = 84 ସେ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ($R$) = 8 ସେ.ମି.
ନଳର ବେଧ ($t$) = 2 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ($r$) = ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ - ବେଧ = $8 - 2 = 6$ ସେ.ମି.
ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡର ବା ନଳର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2\pi(R + r)(h + R - r)$ ଯାହାକି $2\pi(R + r)(h + t)$ ସହ ସମାନ
ଏହି ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା: ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $2 \times \frac{22}{7} \times (8 + 6) \times (84 + 2)$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ: $2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 86 = 2 \times 22 \times 2 \times 86 = 88 \times 86 = 7568$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଲୁହାନଳର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 7568 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୭: ଗୋଟିଏ ଲୁହା ନଳର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 100 ସେ.ମି. ଏବଂ ଲୁହାର ପ୍ରସ୍ଥ 4 ସେ.ମି. । ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 9152 ବ.ସେ.ମି. ହେଲେ ଭୂମିର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଓ ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଲୁହାନଳର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ $R$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ $r$ ସେ.ମି.
ଦିଆଯାଇଛି ନଳର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ($h$) = 100 ସେ.ମି. ଏବଂ ଲୁହାର ବେଧ ବା ପ୍ରସ୍ଥ ($t$) = $R - r = 4$ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 9152 ବ.ସେ.ମି. ଦିଆଯାଇଛି
ଆମେ ଜାଣୁ ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2\pi(R + r)(h + t)$
ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ: $2 \times \frac{22}{7} \times (R + r) \times (100 + 4) = 9152$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ: $\frac{44}{7} \times (R + r) \times 104 = 9152$
ଏଥିରୁ $R + r = \frac{9152 \times 7}{44 \times 104} = 14$ ମିଳିବ
ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି: $R + r = 14$ ଏବଂ $R - r = 4$
ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା: $2R = 18$ ଯାହାଦ୍ୱାରା $R = 9$ ସେ.ମି.
ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ $r = 14 - 9 = 5$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସୁତରାଂ ଲୁହାନଳର ବହିଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 9 ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ତଃ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ