❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର (i) ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 31.5 ମିଟର (ii) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 112 ସେ.ମି. (iii) ପରିଧି 286 ସେ.ମି. (iv) ବ୍ୟାସ 44 ମି. ।

💡 ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $A = \pi r^2$
(i) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 31.5$ ମିଟର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A = \frac{22}{7} \times 31.5 \times 31.5 = 22 \times 4.5 \times 31.5 = 3118.5$ ବର୍ଗ ମିଟର
(ii) ଏଠାରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 112$ ସେ.ମି. ଦିଆଯାଇଛି
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A = \frac{22}{7} \times 112 \times 112 = 22 \times 16 \times 112 = 39424$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(iii) ପରିଧି $C = 286$ ସେ.ମି. ଅର୍ଥାତ୍ $2\pi r = 286$
ଏଥିରୁ $r = \frac{286 \times 7}{2 \times 22} = 45.5$ ସେ.ମି.
ତେଣୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A = \frac{22}{7} \times 45.5 \times 45.5 = 6506.5$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(iv) ବ୍ୟାସ $d = 44$ ମିଟର ଅର୍ଥାତ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 22$ ମିଟର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A = \frac{22}{7} \times 22 \times 22 = \frac{10648}{7} \approx 1521.14$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: (i) ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ବ୍ୟାସର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ii) ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 7546 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିଧ୍ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: (i) ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 154$ ବର୍ଗମିଟର
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{22}{7} r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = 154 \times \frac{7}{22} = 49$
ଅର୍ଥାତ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{49} = 7$ ମିଟର
ତେଣୁ ବ୍ୟାସ $d = 2r = 2 \times 7 = 14$ ମିଟର
(ii) ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 7546$ ବର୍ଗ ମିଟର
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{22}{7} r^2 = 7546 \Rightarrow r^2 = \frac{7546 \times 7}{22} = 343 \times 7 = 2401$
ଅର୍ଥାତ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{2401} = 49$ ମିଟର
ପରିଧି ସୂତ୍ର $C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 308$ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେଉଁ ବୃତ୍ତକଳାର (i) ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 120°, ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 28 ସେ.ମି. । (ii) ସଂପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 7546 ବର୍ଗ ମି. ଓ ସଂପୃକ୍ତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 105° । (iii) ସଂପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତର ପରିଧୂ 396 ମିଟର ଏବଂ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ମିଟର । (iv) ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 66 ମିଟର ଏବଂ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 70° ।

💡 ଉତ୍ତର: (i) ଏଠାରେ $\theta = 120^\circ$ ଏବଂ $r = 28$ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\frac{\theta}{360} \times \pi r^2 = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 28^2 = \frac{1}{3} \times 22 \times 4 \times 28 = \frac{2464}{3} = 821.33$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(ii) ସମ୍ପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 7546$ ଏବଂ $\theta = 105^\circ$
ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{105}{360} \times 7546 = \frac{7}{24} \times 7546 = \frac{52822}{24} = 2200.91$ ବର୍ଗ ମିଟର
(iii) ପରିଧି $2\pi r = 396$ ଅର୍ଥାତ୍ $r = \frac{396 \times 7}{44} = 63$ ମିଟର ଏବଂ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l = 36$ ମିଟର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \times 36 \times 63 = 1134$ ବର୍ଗ ମିଟର
(iv) ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l = 66$ ଏବଂ $\theta = 70^\circ$
$l = \frac{\theta}{180} \pi r \Rightarrow 66 = \frac{70}{180} \times \frac{22}{7} \times r \Rightarrow 66 = \frac{11}{9} r \Rightarrow r = \frac{66 \times 9}{11} = 54$ ମିଟର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \times 66 \times 54 = 1782$ ବର୍ଗ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର (i) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1848 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ ସଂପୃକ୍ତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 120° । (ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48.4 ବର୍ଗ ଡେକାମିଟର ଓ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 121 ମିଟର ।

💡 ଉତ୍ତର: (i) ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 1848$ ଏବଂ $\theta = 120^\circ$
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $\frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times r^2 = 1848$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} r^2 = 1848 \Rightarrow r^2 = \frac{1848 \times 21}{22} = 84 \times 21 = 1764$
ଅର୍ଥାତ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{1764} = 42$ ମିଟର
(ii) ଏଠାରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 48.4$ ବର୍ଗ ଡେକାମିଟର ଏବଂ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l = 121$ ମିଟର ଯାହାକି $12.1$ ଡେକାମିଟର ସହ ସମାନ
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{2} l r$
ଏଣୁ $48.4 = \frac{1}{2} \times 12.1 \times r \Rightarrow r = \frac{48.4 \times 2}{12.1} = 8$ ଡେକାମିଟର
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 8 ଡେକାମିଟର ବା 80 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫: ବୃତ୍ତକଳାର ସଂପୃକ୍ତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର : (i) ଯାହାର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 36 ମିଟର, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 792 ବର୍ଗ ମିଟର । (ii) ଯାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 924 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ସଂପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2464 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । (iii) ଯାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 231 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ମିଟର ।

💡 ଉତ୍ତର: (i) ଏଠାରେ $r = 36$ ମିଟର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 792$ ବର୍ଗ ମିଟର
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $\frac{\theta}{360} \pi r^2 = 792 \Rightarrow \frac{\theta}{360} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 36 = 792$
ସମାଧାନ କଲେ $\theta = \frac{792 \times 360 \times 7}{22 \times 36 \times 36} = \frac{792 \times 10 \times 7}{22 \times 36} = \frac{22 \times 10 \times 7}{22} = 70^\circ$
(ii) ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{\theta}{360} \times$ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଅର୍ଥାତ୍ $924 = \frac{\theta}{360} \times 2464 \Rightarrow \theta = \frac{924 \times 360}{2464} = \frac{3}{8} \times 360 = 135^\circ$
(iii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 231$ ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ $l = 22$ ମିଟର
$\frac{1}{2} l r = 231 \Rightarrow \frac{1}{2} \times 22 \times r = 231 \Rightarrow 11r = 231 \Rightarrow r = 21$ ମିଟର
ବର୍ତ୍ତମାନ $l = \frac{\theta}{180} \pi r \Rightarrow 22 = \frac{\theta}{180} \times \frac{22}{7} \times 21 \Rightarrow 22 = \frac{\theta \times 66}{180} \Rightarrow \theta = \frac{22 \times 180}{66} = 60^\circ$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬: ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସମାନ ହେଲେ ସଂପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତକଳାଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର କେତେ ହେବ ଯେତେବେଳେ (i) ଚାପ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 25 ମି. ଓ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 80 ମି. । (ii) ଚାପ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 50 ସେ.ମି. ଓ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର 24 ସେ.ମି. ।

💡 ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ବୃତ୍ତକଳାଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{2} (l_1 - l_2)(R + r)$ କିମ୍ବା $\frac{1}{2} (l_1 + l_2)(R - r)$
(i) ଦିଆଯାଇଛି ଚାପ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର $(l_1 - l_2) = 25$ ମିଟର ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ସମଷ୍ଟି $(R + r) = 80$ ମିଟର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର $= \frac{1}{2} \times 25 \times 80 = 1000$ ବର୍ଗ ମିଟର
(ii) ଦିଆଯାଇଛି ଚାପ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି $(l_1 + l_2) = 50$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନ୍ତର $(R - r) = 24$ ସେ.ମି.
କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର $= \frac{1}{2} \times 50 \times 24 = 600$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ x ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହାର (i) ଅନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? (ii) ଅନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? (iii) ଅନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $x = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{x}{\pi}}$
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ସର୍ବଦା ସେହି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ
ଅର୍ଥାତ୍ କର୍ଣ୍ଣ $= 2r = 2\sqrt{\frac{x}{\pi}}$ ଏକକ
(ii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ ($2r$)
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ $a = \frac{\text{କର୍ଣ୍ଣ}}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$
ତେଣୁ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= \sqrt{\frac{x}{\pi}} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2x}{\pi}}$ ଏକକ
(iii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସମ୍ପର୍କରୁ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$
ତେଣୁ ବାହୁ $a = r\sqrt{3} = \sqrt{\frac{x}{\pi}} \times \sqrt{3} = \sqrt{\frac{3x}{\pi}}$ ଏକକ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 42 ସେ.ମି. ଓ 56 ସେ.ମି. । ଅନ୍ୟ ଏକ ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପ୍ରଥମୋକ୍ତ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳା ଳର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପ୍ରଥମ ଦୁଇ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି
ଅର୍ଥାତ୍ $\pi R^2 = \pi (42)^2 + \pi (56)^2$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi$ କାଟିଦେଲେ $R^2 = 42^2 + 56^2 = 1764 + 3136 = 4900$
ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ଆମେ ପାଇବା $R = \sqrt{4900} = 70$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ତୃତୀୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 70 ସେ.ମି. ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୯: ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହିତ ସମାନ । ସେମାନଙ୍କର ପରିସୀମାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ $a$ ଏବଂ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅର୍ଥାତ୍ $a^2 = \pi r^2$
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $a = r\sqrt{\pi}$
ବର୍ତ୍ତମାନ ସେମାନଙ୍କ ପରିସୀମାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା $4a$ ଏବଂ ବୃତ୍ତର ପରିଧି $2\pi r$
ଅନୁପାତ $= \frac{4a}{2\pi r} = \frac{4(r\sqrt{\pi})}{2\pi r} = \frac{4\sqrt{\pi}}{2\pi}$
ଏହାକୁ ସରଳ କଲେ ଏହା $\frac{2\sqrt{\pi}}{\pi} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$ ସହ ସମାନ ହେବ
ସୁତରାଂ ସେମାନଙ୍କର ପରିସୀମାର ଅନୁପାତ $2:\sqrt{\pi}$ ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. । ଏହାର ୨ ଗୁଣ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1 = 5$ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi r_1^2 = \pi (5)^2 = 25\pi$
ମନେକର ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_2$ ଯାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପ୍ରଥମର 2 ଗୁଣ ଅଟେ
ଅର୍ଥାତ୍ $\pi r_2^2 = 2 \times 25\pi = 50\pi$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi$ କାଟିଦେଲେ $r_2^2 = 50$
ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ଆମେ ପାଇବା $r_2 = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ନୂତନ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $5\sqrt{2}$ ସେ.ମି. ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ପରିଧୂ ଯେତେ ଏକକ ଏହାଦ୍ଵାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସେତିକି ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ ଏକକ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ବୃତ୍ତର ପରିଧି = ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏଣୁ ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $2\pi r = \pi r^2$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi r$ କାଟିଦେଲେ ଆମେ ପାଇବା $r = 2$ ଏକକ
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 2 ଏକକ ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୨: ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ C ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଲିଖୁତ ଓ ପରିଲିଖୁତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $C$ ବର୍ଗ ଏକକ
ତେଣୁ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a = \sqrt{C}$ ଏକକ ହେବ
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଅଧା ଅଟେ
ତେଣୁ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1 = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{C}}{2}$ ଏକକ
ସେହିପରି ପରିଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ସହ ସମାନ ଅଟେ ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\sqrt{2}a$ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ବାହାରିବ
ତେଣୁ ପରିଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_2 = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}$ ବା $\sqrt{\frac{C}{2}}$ ଏକକ
ସୁତରାଂ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $\frac{\sqrt{C}}{2}$ ଏକକ ଏବଂ ପରିଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $\sqrt{\frac{C}{2}}$ ଏକକ ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩: ପ୍ରମାଣ କର ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଓ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4\pi}} : 1$ ହେବ ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ ଏବଂ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $a$
ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $\pi r^2$ ଏବଂ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଏହି ଦୁଇଟି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ଅଟେ
ତେଣୁ $\pi r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $\frac{r^2}{a^2} = \frac{\sqrt{3}}{4\pi}$
ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ଆମେ ପାଇବା $\frac{r}{a} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4\pi}}$
ତେଣୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4\pi}} : 1$ ଅଟେ ଯାହାକି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୪: ଗୋଟିଏ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 252 ସେ.ମି. ହେଳେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ ସେ.ମି.
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $r(\pi + 2)$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ $r(\frac{22}{7} + 2) = 252$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $r(\frac{22 + 14}{7}) = 252$ ଅର୍ଥାତ୍ $r(\frac{36}{7}) = 252$ ମିଳିବ
ଏଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{252 \times 7}{36} = 7 \times 7 = 49$ ସେ.ମି.
ବର୍ତ୍ତମାନ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{2} \pi r^2$
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 49 = 11 \times 7 \times 49 = 77 \times 49 = 3773$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3773 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୫: ଗୋଟିଏ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତର ପରିସୀମା ବ୍ୟାସ ଅପେକ୍ଷା 44 ମିଟର ଅଧୂକ ହେଲେ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ ମିଟର
ତେଣୁ ବ୍ୟାସ ହେବ $2r$ ମିଟର
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତର ପରିସୀମା ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r + 2r$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ପରିସୀମା ବ୍ୟାସ ଠାରୁ 44 ମିଟର ଅଧିକ ଅଟେ
ଏଣୁ ସମୀକରଣଟି ହେବ $(\pi r + 2r) - 2r = 44$
ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $\pi r = 44$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{22}{7} \times r = 44$
ଏଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{44 \times 7}{22} = 14$ ମିଟର ବାହାରିବ
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 11 \times 2 \times 14 = 308$ ବର୍ଗ ମିଟର ହେବ
ସୁତରାଂ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 308 ବର୍ଗ ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୬: ଗୋଟିଏ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2772 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହି ପଡ଼ିଆକୁ ବାଡ଼ ଦ୍ଵାରା ଆବଦ୍ଧ କରିବାକୁ ହେଲେ ମିଟର ପ୍ରତି 37 ପଇସା ଦରରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ପଡ଼ିଆର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $r$ ମିଟର
ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{2} \pi r^2$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times r^2 = 2772$
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{11}{7} r^2 = 2772$ ଅର୍ଥାତ୍ $r^2 = \frac{2772 \times 7}{11} = 252 \times 7 = 1764$
ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ଆମେ ପାଇବା $r = 42$ ମିଟର
ଏବେ ପଡ଼ିଆର ପରିସୀମା ବାହାର କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର $r(\pi + 2)$ ଅଟେ
ପରିସୀମା = $42(\frac{22}{7} + 2) = 42(\frac{36}{7}) = 6 \times 36 = 216$ ମିଟର
ବାଡ଼ ଦେବାର ଖର୍ଚ୍ଚ ମିଟର ପ୍ରତି 37 ପଇସା ବା 0.37 ଟଙ୍କା ଦିଆଯାଇଛି
ତେଣୁ ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ $216 \times 0.37 = 79.92$ ଟଙ୍କା
ସୁତରାଂ ପଡ଼ିଆକୁ ବାଡ଼ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କରିବାକୁ ମୋଟ 79.92 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୭: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତାକାର ରାସ୍ତାର ବାହାର ଓ ଭିତର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ଯଥାକ୍ରମେ 56 ସେ.ମି. ଓ 42 ସେ.ମି. । ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବାହାର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ = 56 ସେ.ମି. ତେଣୁ ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = \frac{56}{2} = 28$ ସେ.ମି.
ସେହିପରି ଭିତର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ = 42 ସେ.ମି. ତେଣୁ ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{42}{2} = 21$ ସେ.ମି.
ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅର୍ଥାତ୍ ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi (R^2 - r^2)$
ଏହାକୁ ଖୋଲି ଲେଖିଲେ $\pi (R + r)(R - r)$ ମିଳିବ
ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣରେ ପକାଇଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{22}{7} \times (28 + 21) \times (28 - 21) = \frac{22}{7} \times 49 \times 7 = 22 \times 49 = 1078$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1078 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୮: 32 ମିଟର ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତାକାର ବଗିଚା ମଧ୍ଯରେ ତାହାର ସୀମାକୁ ଲାଗି ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ନିର୍ମିତ ହୋଇଛି । ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 352 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ ଏହାର ପ୍ରସ୍ତୁ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବଗିଚାର ବ୍ୟାସ = 32 ମିଟର ତେଣୁ ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = \frac{32}{2} = 16$ ମିଟର
ମନେକର ରାସ୍ତାଟି ବଗିଚାର ଭିତର ପଟେ ଅଛି ତେଣୁ ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧକୁ $r$ ମିଟର ନେବା
ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର $\pi (R^2 - r^2) = 352$ ଅଟେ
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{22}{7} (16^2 - r^2) = 352 \Rightarrow 256 - r^2 = \frac{352 \times 7}{22} = 16 \times 7 = 112$
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $r^2 = 256 - 112 = 144$ ଅର୍ଥାତ୍ $r = \sqrt{144} = 12$ ମିଟର
ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ ହେଉଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର $R - r$
ତେଣୁ ପ୍ରସ୍ଥ $= 16 - 12 = 4$ ମିଟର
ସୁତରାଂ ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ 4 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୯: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ପରିଧୂର ସମଷ୍ଟି 220 ସେ.ମି. । କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର 770 ବର୍ଗ ସେ.ମି । ବୃତ୍ତଦ୍ୱୟର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବଡ଼ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$ ଏବଂ ସାନ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଅଟେ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ପରିଧିର ସମଷ୍ଟି ସୂତ୍ରରୁ $2\pi R + 2\pi r = 220 \Rightarrow 2\pi(R + r) = 220 \Rightarrow R + r = \frac{220 \times 7}{2 \times 22} = 35$
ସେହିପରି କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର ସୂତ୍ରରୁ $\pi R^2 - \pi r^2 = 770 \Rightarrow \pi(R + r)(R - r) = 770$
ବର୍ତ୍ତମାନ $R + r$ ର ମୂଲ୍ୟ 35 ପକାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା $\frac{22}{7} \times 35 \times (R - r) = 770 \Rightarrow 110 \times (R - r) = 770 \Rightarrow R - r = 7$
ଏବେ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି ଯାହା ହେଲା $R + r = 35$ ଏବଂ $R - r = 7$
ଉଭୟକୁ ଯୋଗ କଲେ $2R = 42$ ଅର୍ଥାତ୍ $R = 21$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ତେଣୁ $r = 35 - 21 = 14$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତଦ୍ୱୟର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 21 ସେ.ମି. ଏବଂ 14 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୦: ଗୋଟିଏ ଲୁହା ତାରକୁ ବର୍ଗାକୃତି କଲେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 484 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୁଏ । ଯଦି ଏହାକୁ ବୃତ୍ତାକୃତି କରାଯାଏ ତେବେ ବୃତ୍ତଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 484 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ତେଣୁ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ର $a = \sqrt{\text{କ୍ଷେତ୍ରଫଳ}}$ ରୁ $a = \sqrt{484} = 22$ ସେ.ମି. ବାହାରିବ
ଲୁହା ତାରର ମୋଟ ଲମ୍ବ ବା ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା ହେବ $4a = 4 \times 22 = 88$ ସେ.ମି.
ଏହି ତାରକୁ ବୃତ୍ତାକୃତି କଲେ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ମଧ୍ୟ ସେହି 88 ସେ.ମି. ହେବ
ଅର୍ଥାତ୍ $2\pi r = 88 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \Rightarrow \frac{44}{7} r = 88$
ଏଥିରୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{88 \times 7}{44} = 14$ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi r^2$
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 616 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୧: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ 4 : 5 । ଯଦି ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 352 ବର୍ଗ ସେ.ମି ହୁଏ; ଦ୍ଵିତୀୟଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ $d_1 : d_2 = 4 : 5$
ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ମଧ୍ୟ $r_1 : r_2 = 4 : 5$ ହେବ
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ବର୍ଗର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ ଅଟେ
ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A_1 = 352$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ତେଣୁ $\frac{352}{A_2} = \frac{16}{25}$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A_2 = \frac{352 \times 25}{16} = 22 \times 25 = 550$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସୁତରାଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 550 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୨: ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖିତ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $14\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ହେଲେ, ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a = 14\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($R$) ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
ଏହି ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $R = \frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ବର୍ତ୍ତମାନ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର $\pi R^2$ ଅଟେ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଉକ୍ତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 616 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୩: ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ବ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଅନ୍ତଃବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ମିଟର
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଅନ୍ତଃବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi r^2 = 154$ ବର୍ଗ ମିଟର
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{22}{7} \times r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49$
ଅର୍ଥାତ୍ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \sqrt{49} = 7$ ମିଟର
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ($a$) ଏବଂ ତାର ଅନ୍ତଃବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
ଏଣୁ ବାହୁ $a = 2\sqrt{3}r = 2\sqrt{3} \times 7 = 14\sqrt{3}$ ମିଟର
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା $= 3a = 3 \times 14\sqrt{3} = 42\sqrt{3}$ ମିଟର
ସୁତରାଂ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା $42\sqrt{3}$ ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୪: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଏକ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ତିନିଗୁଣ । ପ୍ରଥମଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 27 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଦ୍ଵିତୀୟ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଅଟେ
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l_1$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟଟିର $l_2$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ $l_1 = 3l_2$
ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{1}{2} l r$
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A_1 = \frac{1}{2} l_1 r$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟଟିର $A_2 = \frac{1}{2} l_2 r$
ଉଭୟର ଅନୁପାତ ନେଲେ $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{1}{2} l_1 r}{\frac{1}{2} l_2 r} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{3l_2}{l_2} = 3$
ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି $A_1 = 27$ ବର୍ଗ ସେ.ମି. (ଅନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ)
ତେଣୁ $\frac{27}{A_2} = 3 \Rightarrow A_2 = \frac{27}{3} = 9$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 9 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୫: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକଳା ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ କୌଣସି କ୍ଷେତ୍ରର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ ଦେବା ପାଇଁ ମିଟରକୁ ଟ.1.50 ହିସାବରେ ଟ.75 ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 90° ହେଲେ ତାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ବାଡ଼ ଦେବାର ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ 75 ଟଙ୍କା ଏବଂ ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ 1.50 ଟଙ୍କା
ତେଣୁ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା $= \frac{75}{1.50} = 50$ ମିଟର
ଆମେ ଜାଣୁ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା $P = 2r + l$
ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta = 90^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $l = \frac{90}{360} \times 2\pi r = \frac{\pi r}{2}$
ଏଣୁ ପରିସୀମା $2r + \frac{\pi r}{2} = 50$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $r(2 + \frac{22}{7 \times 2}) = 50 \Rightarrow r(2 + \frac{11}{7}) = 50$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $r(\frac{14 + 11}{7}) = 50 \Rightarrow r(\frac{25}{7}) = 50$
ଏଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{50 \times 7}{25} = 14$ ମିଟର
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 14 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୬: 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ତିନୋଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରନ୍ତି । ବୃତ୍ତମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଦଶମିକ ଦୁଇସ୍ଥାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଆସନ୍ନମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\sqrt{3} \simeq 1.73, \pi \simeq 3.14$)

💡 ଉତ୍ତର: ତିନୋଟି ସମାନ ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ ସ୍ପର୍ଶ କଲେ ସେମାନଙ୍କର କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କଲେ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠିତ ହୁଏ
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a = 7 + 7 = 14$ ସେ.ମି. ହେବ
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1.73}{4} \times 14^2 = \frac{1.73 \times 196}{4} = 1.73 \times 49 = 84.77$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ବୃତ୍ତକଳା ଅଛି ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ $60^\circ$ ଅଟେ
ତିନୋଟି ବୃତ୍ତକଳାର ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 3 \times \frac{60}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi r^2 = 0.5 \times 3.14 \times 7^2 = 1.57 \times 49 = 76.93$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ ସ୍ଥାନର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ବୃତ୍ତକଳାଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= 84.77 - 76.93 = 7.84$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପ୍ରାୟ 7.84 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୭: ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 12 ସେ.ମି. ଓ ବହିଃବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 13 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବା ଏକ ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ ହେଲେ ବୃତ୍ତଟିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ବଳୟର ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 12$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 13$ ସେ.ମି.
ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\pi(R^2 - r^2)$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \pi(13^2 - 12^2) = \pi(169 - 144) = 25\pi$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ନୂତନ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ ଯାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1$ ଅଟେ
ତେଣୁ $\pi r_1^2 = 25\pi$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\pi$ କାଟିଦେଲେ $r_1^2 = 25$
ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1 = \sqrt{25} = 5$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତଟିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୮: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଅଙ୍କିତ ଏକ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 60° । ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ଚାପକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରୁଥିବା ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $9\pi$ ବର୍ଗ ଏକକ ହେଲେ, (i) ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ii) ବୃତ୍ତକଳା ଓ ଏହା ମଧ୍ୟରେ ଅଙ୍କିତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $x$ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $\pi x^2 = 9\pi \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ଏକକ
$60^\circ$ ବୃତ୍ତକଳା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି $x = R\sin(30^\circ) / (1 + \sin(30^\circ))$ ଯାହାକି ସରଳ କଲେ $x = \frac{R}{3}$ ହୁଏ
(i) ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $\frac{R}{3} = 3 \Rightarrow R = 9$ ଏକକ
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 9 ଏକକ ଅଟେ
(ii) ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{60}{360} \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi (9)^2 = \frac{81\pi}{6} = 13.5\pi$ ବର୍ଗ ଏକକ
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $9\pi$ ବର୍ଗ ଏକକ
ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ $= \frac{13.5\pi}{9\pi} = \frac{13.5}{9} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$
ସୁତରାଂ ଅନୁପାତ 3:2 ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୯: 5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତରେ (i) 8 ସେ.ମି. ପରିମିତ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଚ୍ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ii) $5\sqrt{2}$ ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq 3.14$)

💡 ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 5$ ସେ.ମି.
(i) ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 8$ ସେ.ମି.
କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ, ତେଣୁ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି 4 ସେ.ମି. ଏବଂ ଅତିଭୂଜ (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ) 5 ସେ.ମି. ହେବ
ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ ସେ.ମି.
ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ସାଇନ୍ ମୂଲ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରି ଆୟତନ ବାହାର କଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆସନ୍ନ 11.18 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେବ (ଉଚ୍ଚତର ତ୍ରିକୋଣମିତି ବ୍ୟବହାର ଦ୍ୱାରା)
(ii) ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= 5\sqrt{2}$ ସେ.ମି.
ଏଠାରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ହୋଇଥିବାରୁ ଜ୍ୟାଟି କେନ୍ଦ୍ରରେ $90^\circ$ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ (ଯେହେତୁ $5^2 + 5^2 = (5\sqrt{2})^2$)
ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{90}{360} \times 3.14 \times 5^2 - \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 25 - 12.5$
ଗଣନା କଲେ $= 19.625 - 12.5 = 7.125$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 7.125 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୦: 20 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରରେ 60° କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\sqrt{3} \simeq 1.732, \pi \simeq 3.141$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 20$ ସେ.ମି. ଏବଂ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ $\theta = 60^\circ$
ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $= \frac{60}{360} \pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} r^2$ (କାରଣ $60^\circ$ କୋଣ ଥିଲେ ଏହା ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ହୁଏ)
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $= \frac{1}{6} \times 3.141 \times 20^2 - \frac{1.732}{4} \times 20^2 = \frac{1}{6} \times 3.141 \times 400 - \frac{1.732}{4} \times 400$
ଗଣନା କଲେ $= \frac{1256.4}{6} - 1.732 \times 100 = 209.4 - 173.2 = 36.2$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 36.2 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୧: 10 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରରେ 120° କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq 3.141, \sqrt{3} \simeq 1.732$)

💡 ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 10$ ସେ.ମି. ଏବଂ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ $\theta = 120^\circ$
ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ - ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{120}{360} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ)$
ଆମେ ଜାଣୁ $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
ତେଣୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $= \frac{1}{3} \times 3.141 \times 100 - \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{314.1}{3} - 25\sqrt{3}$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ $= 104.7 - 25 \times 1.732 = 104.7 - 43.3 = 61.4$ ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 61.4 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଅଟେ