❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧(a): ଯେଉଁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ (i) 10 ସେ.ମି., (ii) 2.8 ସେ.ମି., (iii) 14 ସେ.ମି., (iv) 4.2 ସେ.ମି. ପରିଧୂ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ବୃତ୍ତର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $C = 2\pi r$
(i) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 10$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 10 = \frac{440}{7} \approx 62.85$ ସେ.ମି.
(ii) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 2.8$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 = 44 \times 0.4 = 17.6$ ସେ.ମି.
(iii) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 14$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 44 \times 2 = 88$ ସେ.ମି.
(iv) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 4.2$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 = 44 \times 0.6 = 26.4$ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧(b): ବୃତ୍ତର ପରିଧୂ (i) 34.9 ସେ.ମି., (ii) 1047 ସେ.ମି., (iii) 25.128 ସେ.ମି., (iv) 15.705 ସେ.ମି. ହେଲେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ? ($\pi \simeq 3.141$)

💡 ଉତ୍ତର: ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $r = \frac{C}{2\pi}$
(i) ପରିଧି $C = 34.9$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେବ $r = \frac{34.9}{2 \times 3.141} = \frac{34.9}{6.282} \approx 5.55$ ସେ.ମି.
(ii) ପରିଧି $C = 1047$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେବ $r = \frac{1047}{2 \times 3.141} = \frac{1047}{6.282} \approx 166.66$ ସେ.ମି.
(iii) ପରିଧି $C = 25.128$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେବ $r = \frac{25.128}{2 \times 3.141} = \frac{25.128}{6.282} = 4$ ସେ.ମି.
(iv) ପରିଧି $C = 15.705$ ସେ.ମି. ପାଇଁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେବ $r = \frac{15.705}{2 \times 3.141} = \frac{15.705}{6.282} = 2.5$ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: ଏକ ବୃତ୍ତର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $L$, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$, ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta$ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) (a) $r = 56$ ସେ.ମି., $\theta = 45^\circ$ ହେଲେ $L$ କେତେ ? (b) $L = 110$ ମି., $\theta = 75^\circ$ ହେଲେ $r$ କେତେ ? (c) $2r = 96$ ସେ.ମି., $L = 22$ ସେ.ମି. ହେଲେ $\theta$ କେତେ ?

💡 ଉତ୍ତର: (a) ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $L = \frac{\theta}{180} \times \pi r$
ସମାଧାନ କଲେ $L = \frac{45}{180} \times \frac{22}{7} \times 56 = \frac{1}{4} \times 22 \times 8 = 44$ ସେ.ମି.
(b) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $r = \frac{L \times 180}{\theta \times \pi}$
ସମାଧାନ କଲେ $r = \frac{110 \times 180}{75 \times \frac{22}{7}} = \frac{110 \times 180 \times 7}{75 \times 22} = \frac{5 \times 180 \times 7}{75} = 84$ ମିଟର
(c) ପ୍ରଥମେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{96}{2} = 48$ ସେ.ମି.
ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\theta = \frac{L \times 180}{\pi r}$
ସମାଧାନ କଲେ $\theta = \frac{22 \times 180}{\frac{22}{7} \times 48} = \frac{22 \times 180 \times 7}{22 \times 48} = 26.25^\circ$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$) (a) କୌଣସି ଏକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ 10.5 ସେ.ମି. ହେଲେ ସେହି ବୃତ୍ତର 11 ସେ.ମି. ପରିମିତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ କେତେ ହେବ ? (b) 21 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $72^\circ$ ହେଲେ ଚାପଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ହେବ ? (c) ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ କେତେ ହେଲେ ସେହି ବୃତ୍ତର 11 ସେ.ମି. ପରିମିତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $18^\circ$ ହେବ ? (d) ଏକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ଏକକ, ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $y$ ଏକକ, ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $z$ ଡିଗ୍ରୀ ହେଲେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାଧ୍ଯମରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (e) $r$ ଏକକ ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ $a$ ଏକକ ଦୀର୍ଘ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ହେଲେ $a$ ଏବଂ $r$ ମଧ୍ୟରେ ସଂପର୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: (a) ଏଠାରେ $r = 10.5$ ଏବଂ $L = 11$
ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ପାଇଁ ସୂତ୍ର $\theta = \frac{L \times 180}{\pi r}$
ସମାଧାନ କଲେ $\frac{11 \times 180}{\frac{22}{7} \times 10.5} = \frac{11 \times 180 \times 7}{22 \times 10.5} = 60^\circ$
(b) ଏଠାରେ $r = 21$ ଏବଂ $\theta = 72^\circ$
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ର $L = \frac{\theta}{180} \times \pi r$
ଫଳାଫଳ ହେବ $\frac{72}{180} \times \frac{22}{7} \times 21 = 26.4$ ସେ.ମି.
(c) ଏଠାରେ $L = 11$ ଏବଂ $\theta = 18^\circ$
ସୂତ୍ର ହେଉଛି $r = \frac{L \times 180}{\theta \times \pi}$
ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ $\frac{11 \times 180}{18 \times \frac{22}{7}} = 35$ ସେ.ମି.
(d) ସୂତ୍ର ହେଉଛି $L = \frac{\theta}{180} \pi r$
ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ରଖିଲେ ଆମେ ପାଇବା $y = \frac{z}{180} \pi x$
ଏଥିରୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ହେବ $x = \frac{180y}{\pi z}$
(e) ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ବୃତ୍ତ ଭିତରେ ଥାଏ ସେତେବେଳେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ ହେଉଛି $a\sqrt{2}$ ଏବଂ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ହେଉଛି $2r$
ତେଣୁ ସମ୍ପର୍କଟି ହେବ $a\sqrt{2} = 2r$ ଅର୍ଥାତ୍ $a = r\sqrt{2}$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ବିଷୁବରେଖାଠାରେ ପୃଥ‌ିବୀର ବ୍ୟାସ 12530 କି.ମି. ହେଲେ ବିଷୁବ ବୃତ୍ତର ପରିଧ୍ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ବ୍ୟାସ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ପରିଧି ବାହାର କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $C = \pi d$
ସମାଧାନ କଲେ ପରିଧି ହେବ $\frac{22}{7} \times 12530$
ଏହାକୁ ଗୁଣନ କଲେ ମିଳିବ $22 \times 1790 = 39380$ କିଲୋମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫: 44 ମି. ଦୀର୍ଘ ତାରରୁ 5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ବୃତ୍ତ ତିଆରି କରାଯାଇପାରିବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ ତାରର ମୋଟ ଲମ୍ବକୁ ସେଣ୍ଟିମିଟରରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା, 44 ମିଟର ଅର୍ଥାତ୍ 4400 ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ତିଆରି କରିବାକୁ ଦରକାର ହେଉଥିବା ତାରର ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ସହ ସମାନ ହେବ
ପରିଧିର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 5 = \frac{220}{7}$ ସେ.ମି.
ମୋଟ ବୃତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଜାଣିବାକୁ ହେଲେ ଆମକୁ ମୋଟ ଲମ୍ବକୁ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବାକୁ ପଡିବ
ବୃତ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $\frac{4400}{\frac{220}{7}} = \frac{4400 \times 7}{220} = 20 \times 7 = 140$ ଟି

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତାକାର ରାସ୍ତାର ବାହାର ଓ ଭିତର ପରିଧୂ ଯଥାକ୍ରମେ 396 ଓ 352 ମିଟର ହେଲେ ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ତୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବାହାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$ ଏବଂ ଭିତରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଅଟେ
ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ ହେବ $R - r$
ବାହାରର ପରିଧି $2\pi R = 396$ ଏବଂ ଭିତରର ପରିଧି $2\pi r = 352$
ଏହି ଦୁଇଟିର ପାର୍ଥକ୍ୟ ବାହାର କଲେ ଆମେ ପାଇବା $2\pi R - 2\pi r = 396 - 352$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $2\pi (R - r) = 44$ ହେବ
ଏଥିରୁ $R - r = \frac{44}{2\pi} = \frac{44}{2 \times \frac{22}{7}} = \frac{44 \times 7}{44} = 7$ ମିଟର
ତେଣୁ ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ 7 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ପରିଧୂର ଅନ୍ତର 44 ମିଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 77 ମିଟର ହେଲେ ପରିଧୂଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ $R$ ଏବଂ $r$ ଅଟେ
ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $R + r = 77$
ପରିଧିର ଅନ୍ତର ସୂତ୍ରରୁ ଆମେ ପାଇବା $2\pi R - 2\pi r = 44$
ଅର୍ଥାତ୍ $2\pi(R - r) = 44$ ଯାହାଦ୍ୱାରା $R - r = \frac{44}{2 \times \frac{22}{7}} = 7$ ମିଳିବ
ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି: $R + r = 77$ ଏବଂ $R - r = 7$
ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗ କଲେ ପାଇବା $2R = 84$ ଅର୍ଥାତ୍ $R = 42$ ମିଟର
ଏଥିରୁ ଆମେ ଜାଣିଲୁ ଯେ $r = 77 - 42 = 35$ ମିଟର
ବଡ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 264$ ମିଟର
ସାନ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220$ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରିକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ଅନୁପାତ 3 : 4 । ସେମାନଙ୍କର ପରିଧୂଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 308 ସେ.ମି. ହେଲେ ବଳୟର ପ୍ରସ୍ତୁ କେତେ ହେବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ଛୋଟ ଏବଂ ବଡ଼ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ $3x$ ଏବଂ $4x$ ଅଟେ
ସେମାନଙ୍କର ପରିଧିର ସମଷ୍ଟିକୁ ସମୀକରଣ ଆକାରରେ ଲେଖିଲେ $2\pi(3x) + 2\pi(4x) = 308$ ହେବ
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $14\pi x = 308$ ଅର୍ଥାତ୍ $14 \times \frac{22}{7} \times x = 308$ ମିଳିବ
ଏଥିରୁ $44x = 308$ ଏବଂ $x = 7$ ବାହାରିବ
ଏଥିରୁ ଆମେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପାଇଗଲୁ: ଛୋଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 3 \times 7 = 21$ ସେ.ମି. ଏବଂ ବଡ଼ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = 4 \times 7 = 28$ ସେ.ମି.
ବଳୟର ପ୍ରସ୍ଥ ହେବ ଦୁଇ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନ୍ତର ଅର୍ଥାତ୍ $R - r = 28 - 21 = 7$ ସେ.ମି.

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୯: ଗୋଟିଏ ବଳୟ ଆକାରର ରାସ୍ତାର ବାହାର ଓ ଭିତର ବୃତ୍ତର ପରିଧୂ ଯଥାକ୍ରମେ 300 ମିଟର ଓ 200 ମିଟର ହେଲେ, ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ତୁ କେତେ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$ ଏବଂ ଭିତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ଅଟେ
ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ ହେବ $R - r$
ବାହାର ପରିଧି $2\pi R = 300$ ଏବଂ ଭିତର ପରିଧି $2\pi r = 200$
ଦୁଇଟିର ପାର୍ଥକ୍ୟ ବାହାର କଲେ $2\pi R - 2\pi r = 100$ ହେବ
ଅର୍ଥାତ୍ $2\pi(R - r) = 100$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ $R - r = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\frac{22}{7}} = \frac{350}{22} = \frac{175}{11}$ ମିଳିବ
ତେଣୁ ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ ହେବ $\frac{175}{11}$ ମିଟର ବା ପାଖାପାଖି 15.9 ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧: ଗୋଟିଏ ସାଇକେଲ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚକ ମିନିଟ୍‌ରେ 80 ଥର ଘୂରନ୍ତି । ଚକର ବର୍ହିବ୍ୟାସ 42 ସେ.ମି. ହେଲେ ସାଇକେଲ୍‌ର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ସାଇକେଲ୍ ଚକର ବର୍ହିବ୍ୟାସ ($d$) 42 ସେ.ମି. ଅଟେ
ଚକଟି ଥରେ ଘୂରିଲେ ଏହା ତାର ପରିଧି ସହିତ ସମାନ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିଥାଏ
ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, $C = \pi d$
ଏଠାରେ ପରିଧି ହେବ $\frac{22}{7} \times 42 = 22 \times 6 = 132$ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଚକଟି ଗୋଟିଏ ମିନିଟରେ 80 ଥର ଘୂରିଥାଏ
ତେଣୁ 1 ମିନିଟରେ ସାଇକେଲଟି ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ଦୂରତା ହେବ $80 \times 132 = 10560$ ସେ.ମି.
ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ 60 ମିନିଟରେ ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ଦୂରତା ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ
60 ମିନିଟରେ ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ମୋଟ ଦୂରତା ହେଉଛି $10560 \times 60 = 633600$ ସେ.ମି.
ଏବେ ଆମେ ସେଣ୍ଟିମିଟରକୁ କିଲୋମିଟରରେ ପରିଣତ କରିବା
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ 1 କିଲୋମିଟର 100000 ସେ.ମି. ସହିତ ସମାନ ଅଟେ
ତେଣୁ ମୋଟ ଦୂରତା କିଲୋମିଟରରେ ହେବ $\frac{633600}{100000} = 6.336$ କି.ମି.
ସୁତରାଂ, ସାଇକେଲ୍‌ର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ହେଉଛି 6.336 କି.ମି. ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟା

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୨: ଗୋଟିଏ ଗାଡ଼ିର ବଡ଼ ଚକ ଓ ସାନ ଚକର ପରିଧିର ଅନୁପାତ 4 : 1 । 440 ମିଟର ରାସ୍ତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାରେ ସାନ ଚକ ବଡ଼ ଚକ ଅପେକ୍ଷା 15 ଥର ଅଧିକ ଘୂରେ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚକର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ସାନ ଚକର ପରିଧି ହେଉଛି $x$ ମିଟର ଏବଂ ବଡ଼ ଚକର ପରିଧି ହେଉଛି $4x$ ମିଟର (ଯେହେତୁ ଅନୁପାତ 4:1 ଦିଆଯାଇଛି)
440 ମିଟର ରାସ୍ତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ସାନ ଚକର ମୋଟ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $\frac{440}{x}$ ଥର
ସେହିପରି 440 ମିଟର ରାସ୍ତା ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ବଡ଼ ଚକର ମୋଟ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $\frac{440}{4x} = \frac{110}{x}$ ଥର
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ସାନ ଚକ ବଡ଼ ଚକ ଅପେକ୍ଷା 15 ଥର ଅଧିକ ଘୂରିଥାଏ
ଏହାକୁ ଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ଆକାରରେ ଲେଖିଲେ ଏହା ହେବ $\frac{440}{x} - \frac{110}{x} = 15$
ସମୀକରଣଟିକୁ ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $\frac{330}{x} = 15$ ଅର୍ଥାତ୍ $15x = 330$
ଏଥିରୁ $x$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାରିବ $\frac{330}{15} = 22$ ମିଟର
ସୁତରାଂ, ସାନ ଚକର ପରିଧି ହେଉଛି 22 ମିଟର ଏବଂ ବଡ଼ ଚକର ପରିଧି ହେଉଛି $4x = 4 \times 22 = 88$ ମିଟର

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩: ଗୋଟିଏ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର ଜମିର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ ମିଟରକୁ 75 ପଇସା ହିସାବରେ 216 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲେ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର ଜମିର ବ୍ୟାସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ ଆମେ ଜମିର ମୋଟ ପରିସୀମା ବାହାର କରିବା
ଦିଆଯାଇଛି ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ 216 ଟଙ୍କା ଏବଂ ପ୍ରତି ମିଟର ପିଛା ଖର୍ଚ୍ଚ 75 ପଇସା ଯାହାକି 0.75 ଟଙ୍କା ଅଟେ
ଜମିର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚକୁ ପ୍ରତି ମିଟର ଖର୍ଚ୍ଚରେ ଭାଗ କରିବା
ପରିସୀମା ହେବ $\frac{216}{0.75} = 288$ ମିଟର
ଏକ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $C = \pi r + 2r$
ଏହି ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଆମେ ଲେଖିପାରିବା $r(\pi + 2) = 288$
ଏଥିରେ ପାଇ ($\pi$) ର ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $r(\frac{22}{7} + 2) = 288$ ଯାହାକି $r(\frac{22 + 14}{7}) = 288$ ସହ ସମାନ
ଏହାକୁ ଆହୁରି ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ $r(\frac{36}{7}) = 288$ ଅର୍ଥାତ୍ $r = \frac{288 \times 7}{36} = 8 \times 7 = 56$ ମିଟର
ଆମକୁ ଜମିର ବ୍ୟାସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ପଡିବ
ବ୍ୟାସ ($d$) ହେଉଛି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଦୁଇଗୁଣ ଅର୍ଥାତ୍ $2r = 2 \times 56 = 112$ ମିଟର
ତେଣୁ, ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତାକାର ଜମିର ବ୍ୟାସ 112 ମିଟର ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୪: ଗୋଟିଏ ଘୋଡ଼ା ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥରେ ଘୂରିଆସି ସିଧା ଯାଇ କେନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ତାକୁ 10 ମିନିଟ୍ 12 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ଲାଗିଲା । ସେ କେବଳ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଘୂରିଥିଲେ ତାକୁ କେତେ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ ମୋଟ ସମୟକୁ ସେକେଣ୍ଡରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା
10 ମିନିଟ୍ 12 ସେକେଣ୍ଡ ହେଉଛି $(10 \times 60) + 12 = 612$ ସେକେଣ୍ଡ
ଘୋଡ଼ାଟି ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥରେ ଘୂରିଆସି କେନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ସେ ପରିଧି ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଉଭୟ ଅତିକ୍ରମ କରିଛି
ତେଣୁ ମୋଟ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା ହେବ $2\pi r + r = r(2\pi + 1)$
ପାଇ ($\pi$) ର ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $r(2 \times \frac{22}{7} + 1) = r(\frac{44}{7} + 1) = r(\frac{51}{7})$
ମନେକର ଘୋଡ଼ାର ବେଗ $v$ ଏକକ ଅଟେ
ସମୟ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ସମୟ ସମାନ ଦୂରତା ଭକ୍ତ ବେଗ
ତେଣୁ $\frac{r(\frac{51}{7})}{v} = 612$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{r}{v} \times \frac{51}{7} = 612$
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $\frac{r}{v} = \frac{612 \times 7}{51} = 12 \times 7 = 84$
ଯଦି ସେ କେବଳ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଘୂରିଥାନ୍ତା ଅର୍ଥାତ୍ କେବଳ ପରିଧି ଅତିକ୍ରମ କରିଥାନ୍ତା ତେବେ ତାକୁ ଲାଗିବା ସମୟ ହେବ $\frac{2\pi r}{v} = 2\pi \times \frac{r}{v}$
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $2 \times \frac{22}{7} \times 84 = 44 \times 12 = 528$ ସେକେଣ୍ଡ
528 ସେକେଣ୍ଡକୁ ମିନିଟ୍‌ରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ ଏହା ହେଉଛି 8 ମିନିଟ୍ 48 ସେକେଣ୍ଡ
ସୁତରାଂ, କେବଳ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଘୂରିଥିଲେ ତାକୁ 8 ମିନିଟ୍ 48 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ଲାଗିଥାନ୍ତା

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୫: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥରେ ଭ୍ରମଣ କରିବାକୁ ଯେତେ ସମୟ ଲାଗେ ବୃତ୍ତଟିର ବ୍ୟାସ ପରିମିତ ପଥ ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ 45 ସେକେଣ୍ଡ କମ୍ ଲାଗେ । ଯଦି ଲୋକଟିର ବେଗ ଏକ ମିନିଟ୍‌ରେ 80 ମିଟର ହୁଏ ତେବେ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ କେତେ ହେବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଲୋକଟିର ବେଗ ମିନିଟ୍‌ରେ 80 ମିଟର ଅଟେ
ଏହାକୁ ସେକେଣ୍ଡ ପ୍ରତି ମିଟରରେ ବାହାର କଲେ ବେଗ ($v$) ହେବ $\frac{80}{60} = \frac{4}{3}$ ମିଟର ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡ
ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଭ୍ରମଣ କଲେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ହେଉଛି ପରିଧି $2\pi r$ ଏବଂ ବ୍ୟାସ ପରିମିତ ପଥ ହେଉଛି $2r$
ଉଭୟ ଦୂରତାକୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବାରେ ଲାଗୁଥିବା ସମୟର ପାର୍ଥକ୍ୟ 45 ସେକେଣ୍ଡ ଅଟେ
ଗାଣିତିକ ସମୀକରଣଟି ହେବ $\frac{2\pi r}{v} - \frac{2r}{v} = 45$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $\frac{2r(\pi - 1)}{v} = 45$
ବେଗର ମୂଲ୍ୟ ବସାଇଲେ ଏହା ହେବ $\frac{2r(\frac{22}{7} - 1)}{\frac{4}{3}} = 45$ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{2r(\frac{15}{7})}{\frac{4}{3}} = 45$
ଏହାକୁ ଆଗକୁ ବଢାଇଲେ ମିଳିବ $2r(\frac{15}{7}) = 45 \times \frac{4}{3} = 60$
ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ହେଉଛି $2r$
ତେଣୁ ବ୍ୟାସ $2r = \frac{60 \times 7}{15} = 4 \times 7 = 28$ ମିଟର
ସୁତରାଂ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ 28 ମିଟର ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୬: ଖଣ୍ଡେ ତାରକୁ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜାକୃତି କଲେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $1936\sqrt{3}$ ବ.ମି. ହୁଏ । ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ସହ ସମାନ ପରିଧି ଥିବା ବୃତ୍ତଟିର ବ୍ୟାସ କେତେ ହେବ ? ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a$ ମିଟର ଅଟେ
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି $1936\sqrt{3}$
ତେଣୁ ସମୀକରଣଟି ହେବ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 1936\sqrt{3}$
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $\sqrt{3}$ କାଟିଦେଲେ ଆମେ ପାଇବା $a^2 = 1936 \times 4$
ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ ନେଲେ ମିଳିବ $a = \sqrt{1936} \times \sqrt{4} = 44 \times 2 = 88$ ମିଟର
ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ହେଉଛି $3a$ ଅର୍ଥାତ୍ $3 \times 88 = 264$ ମିଟର
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଏହି ପରିସୀମା ବୃତ୍ତର ପରିଧି ସହ ସମାନ
ବୃତ୍ତର ପରିଧି ସୂତ୍ର ହେଉଛି $C = \pi d = 264$ ମିଟର
ଏଠାରୁ ବ୍ୟାସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ମିଳିବ $\frac{22}{7} \times d = 264$ ଯାହାକି $d = \frac{264 \times 7}{22} = 12 \times 7 = 84$ ମିଟର
ସୁତରାଂ, ବୃତ୍ତଟିର ବ୍ୟାସ 84 ମିଟର ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୭: 20 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହେଲେ ବୃତ୍ତର ପରିଧି କେତେ ହେବ ? ($\pi \simeq 3.14$)

💡 ଉତ୍ତର: ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହୋଇଥାଏ ସେତେବେଳେ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ($d$) ସେହି ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି 20 ସେ.ମି.
ତେଣୁ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ହେବ $d = 20$ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $C = \pi d$
ଏଠାରେ ପାଇ ($\pi$) ର ମୂଲ୍ୟ 3.14 ନେବାକୁ କୁହାଯାଇଛି
ତେଣୁ ପରିଧି ହେବ $3.14 \times 20 = 62.8$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ, ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି 62.8 ସେ.ମି. ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୮: 42 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିଲିଖିତ ଓ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $a = 42$ ସେ.ମି.
ପ୍ରଥମେ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ($h$) ବାହାର କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
ତେଣୁ ଉଚ୍ଚତା ହେବ $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 42 = 21\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($R$) ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାର ଦୁଇ ତୃତୀୟାଂଶ ଅଟେ
ଅର୍ଥାତ୍ $R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 21\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ସେହିପରି ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) ଉଚ୍ଚତାର ଏକ ତୃତୀୟାଂଶ ଅଟେ
ଅର୍ଥାତ୍ $r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \times 21\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ବର୍ତ୍ତମାନ ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା
ପରିଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ହେବ $2\pi R = 2 \times \frac{22}{7} \times 14\sqrt{3} = 88\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ହେବ $2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7\sqrt{3} = 44\sqrt{3}$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ, ପରିଲିଖିତ ଓ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଯଥାକ୍ରମେ $88\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ଏବଂ $44\sqrt{3}$ ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୯(a): 21 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା 64 ସେ.ମି. ହେଲେ, ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସ୍ଥିର କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 21$ ସେ.ମି. ଏବଂ ପରିସୀମା 64 ସେ.ମି. ଅଟେ
ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2r + L$ ଯେଉଁଠାରେ $L$ ହେଉଛି ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
ସମୀକରଣ ଅନୁସାରେ ଆମେ ଲେଖିପାରିବା $2(21) + L = 64$ ଅର୍ଥାତ୍ $42 + L = 64$ ଯାହାଦ୍ୱାରା $L = 64 - 42 = 22$ ସେ.ମି. ମିଳିବ
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $L = \frac{\theta}{180} \pi r$
ଏଠାରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $22 = \frac{\theta}{180} \times \frac{22}{7} \times 21$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ $22 = \frac{\theta}{180} \times 66$ ଅର୍ଥାତ୍ $\theta = \frac{22 \times 180}{66} = \frac{180}{3} = 60^\circ$
ସୁତରାଂ, ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $60^\circ$ ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୯(b): ଏକ ବୃତ୍ତରେ ଯେଉଁ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $40^\circ$, ସେହି ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା 26.98 ସେ.ମି. ହେଲେ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ? ($\pi \simeq 3.14$)

💡 ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଛି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta = 40^\circ$ ଏବଂ ପରିସୀମା 26.98 ସେ.ମି.
ପରିସୀମାର ସୂତ୍ର $2r + L$ ଅନୁଯାୟୀ ଆମେ ଲେଖିପାରିବା $2r + \frac{\theta}{180} \pi r = 26.98$
ସମୀକରଣଟି ହେବ $r(2 + \frac{40}{180} \times 3.14) = 26.98$
ଏହାକୁ ଗଣନା କଲେ ଆମେ ପାଇବା $r(2 + \frac{2}{9} \times 3.14) = 26.98$ ଯାହାକି $r(2 + \frac{6.28}{9}) = 26.98$ ଏବଂ ପରିଶେଷରେ $r(2 + 0.6977) = 26.98$ ସହ ସମାନ ହେବ
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $2.6977 \times r = 26.98$
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{26.98}{2.6977} \approx 10$ ସେ.ମି. ହେବ
ସୁତରାଂ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପ୍ରାୟ 10 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୦: କୌଣସି ଏକ ବୃତ୍ତକଳାର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ $20^\circ$ । ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \approx 3.1416$)

💡 ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ ଦିଆଯାଇଛି କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ବା ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta = 20^\circ$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = 5$ ସେ.ମି.
ପ୍ରଥମେ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $L$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $L = \frac{\theta}{180} \pi r$
ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $L = \frac{20}{180} \times 3.1416 \times 5 = \frac{1}{9} \times 15.708$
ଏହାକୁ ଭାଗ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $L \approx 1.7453$ ସେ.ମି.
ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା ହେଉଛି ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଯାହାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2r + L$
ତେଣୁ ପରିସୀମା ହେବ $2(5) + 1.7453 = 10 + 1.7453 = 11.7453$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ, ଉକ୍ତ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା 11.7453 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୧: କୌଣସି ଏକ ବୃତ୍ତର ଏକ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $40^\circ$ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଏକ ବୃତ୍ତର ସମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $60^\circ$ ହେଲେ ଉଭୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_2$ ଅଟେ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଉଭୟ ବୃତ୍ତର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ, ଯାହାକୁ ଆମେ $L$ ବୋଲି ଧରିବା
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $L = \frac{\theta}{180} \pi r$
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta_1 = 40^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ହେବ, $L = \frac{40}{180} \pi r_1$
ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta_2 = 60^\circ$ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ହେବ, $L = \frac{60}{180} \pi r_2$
ଉଭୟ ସମୀକରଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଥିବାରୁ ଆମେ ଏହାକୁ ସମାନ କଲେ ପାଇବା: $\frac{40}{180} \pi r_1 = \frac{60}{180} \pi r_2$
ବର୍ତ୍ତମାନ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ $\frac{\pi}{180}$ କୁ କାଟିଦେଲେ ସମୀକରଣଟି ହେବ: $40 r_1 = 60 r_2$
ଏବେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ବାହାର କରିବା: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$
ସୁତରାଂ, ଉଭୟ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ 3:2 ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୨: ଗୋଟିଏ ଘଣ୍ଟାର ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟାର ଅଗ୍ରଭାଗ 5 ମିନିଟ୍‌ରେ $7\frac{1}{3}$ ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କରେ । ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟାଟି 60 ମିନିଟ୍‌ରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଗୋଟିଏ ଥର ବା $360^\circ$ ଘୂରିଥାଏ
ତେଣୁ ଏହା କେବଳ 5 ମିନିଟ୍‌ରେ କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା କୋଣ ବା ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta = \frac{5}{60} \times 360^\circ = 30^\circ$ ହେବ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ଅଙ୍କନ ହୋଇଥିବା ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $L = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ ସେ.ମି. ଅଟେ
ମନେରଖନ୍ତୁ ଯେ ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହିଁ ଆମ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) ସହ ସମାନ ହେବ
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ର $L = \frac{\theta}{180} \pi r$ ରେ ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପକାଇବା: $\frac{22}{3} = \frac{30}{180} \times \frac{22}{7} \times r$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ମିଳିବ: $\frac{22}{3} = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times r$
ବର୍ତ୍ତମାନ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା: $r = \frac{22}{3} \times \frac{6 \times 7}{22} = 2 \times 7 = 14$ ସେ.ମି.
ଏଣୁ, ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୩: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଅନ୍ୟ ଏକ ବୃତ୍ତର ପରିଧିର ତିନିଗୁଣ । ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର 10 ସେ.ମି. ପରିମିତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $30^\circ$ ହେଲେ ଦ୍ଵିତୀୟ ବୃତ୍ତର ପରିଧି କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ପରିଧି $C_1$, ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r_1$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ପରିଧି $C_2$ ଅଟେ
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ ଏମାନଙ୍କର ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି $C_1 = 3 C_2$
ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତ ପାଇଁ ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $L_1 = 10$ ସେ.ମି. ଏବଂ ତାହାର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $\theta_1 = 30^\circ$
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସୂତ୍ରରୁ ଆମେ ପାଇବା: $L_1 = \frac{\theta_1}{180} \pi r_1$
ଏହି ସମୀକରଣରେ ମୂଲ୍ୟ ବସାଇଲେ: $10 = \frac{30}{180} \pi r_1$ ଅର୍ଥାତ୍ $10 = \frac{1}{6} \pi r_1$
ଏଥିରୁ ଆମେ ପାଇବା $\pi r_1 = 10 \times 6 = 60$
ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରଥମ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା: $C_1 = 2 \pi r_1 = 2 \times 60 = 120$ ସେ.ମି.
ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $C_1 = 3 C_2$, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଏହା ହେବ $120 = 3 C_2$
ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ମିଳିବ $C_2 = \frac{120}{3} = 40$ ସେ.ମି.
ସୁତରାଂ, ଦ୍ୱିତୀୟ ବୃତ୍ତର ପରିଧି 40 ସେ.ମି. ଅଟେ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୪: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ପରିଧି 6.282 ହେଲେ ଓ ଏହା ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? ($\pi \simeq 3.141$)

💡 ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ ଆମକୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ପଡିବ
ପ୍ରଶ୍ନରେ ପରିଧି $C = 6.282$ ଦିଆଯାଇଛି
ପରିଧି ସୂତ୍ର $C = 2 \pi r$ ଅନୁଯାୟୀ: $2 \times 3.141 \times r = 6.282$
ଏହାକୁ ଗୁଣନ କଲେ: $6.282 \times r = 6.282$, ଯାହାଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r = \frac{6.282}{6.282} = 1$ ଏକକ ମିଳିବ
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହୋଇଥାଏ, ସେହି ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ($r$) ସେହି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ($h$) ର ଏକ ତୃତୀୟାଂଶ ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ
ଅର୍ଥାତ୍ $r = \frac{h}{3}$
ଏହି ସମ୍ପର୍କରୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା $h = 3 \times r = 3 \times 1 = 3$ ଏକକ ବାହାରିବ
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ (ଯେଉଁଠାରେ $a$ ହେଉଛି ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)
ଏହି ସୂତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ: $\frac{\sqrt{3}}{2} a = 3$
ଏଥିରୁ ଆମେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇବା $a = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
ଏହାକୁ ଆହୁରି ସରଳ କଲେ ଆମେ ପାଇବା $a = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$
ତେଣୁ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $2\sqrt{3}$ ଏକକ ହେବ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୫: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ $60^\circ$ । ଏହାର ଦୁଇ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଓ ଚାପକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରି ଏକ ବୃତ୍ତ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଏହି ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଓ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମାର ଅନୁପାତ 11:16 । ($\pi \simeq \frac{22}{7}$)

💡 ଉତ୍ତର: ମନେକର ବୃତ୍ତକଳାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେଉଛି $R$ ଏବଂ ତାହା ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ହୋଇଥିବା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ହେଉଛି $r$
ଯଦି ଆମେ ବୃତ୍ତକଳାର କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁରୁ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରୁ, ତେବେ ତାହା ମୂଳ $60^\circ$ କୋଣକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡିତ କରେ, ଯାହାଦ୍ୱାରା ଏହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହିତ $30^\circ$ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ
ବର୍ତ୍ତମାନ ଯଦି ଆମେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବୃତ୍ତକଳାର ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଉପରେ ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରିବା, ତେବେ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠିତ ହେବ ଯାହାର ଲମ୍ବ ହେଉଛି $r$
ତ୍ରିକୋଣମିତିର ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ $\sin(30^\circ) = \frac{r}{d}$ (ଯେଉଁଠାରେ $d$ ହେଉଛି ବୃତ୍ତକଳାର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଥିବା ଦୂରତା)
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ତେଣୁ ଏହା ହେବ $\frac{1}{2} = \frac{r}{d}$ ଯାହାଫଳରେ $d = 2r$
ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତଟି ବୃତ୍ତକଳାର ବାହ୍ୟ ଚାପକୁ ମଧ୍ୟ ସ୍ପର୍ଶ କରୁଥିବାରୁ, ବୃତ୍ତକଳାର ମୋଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R = d + r$ ସହ ସମାନ ହେବ
ତେଣୁ $R = 2r + r = 3r$
ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା
ଏହାର ସୂତ୍ର: ପରିସୀମା = $2R + \text{ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (L)}$
ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $L = \frac{60}{180} \pi R = \frac{\pi}{3} R$
ତେଣୁ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା = $2R + \frac{\pi}{3} R = R(2 + \frac{\pi}{3})$
ଏହି ସମୀକରଣରେ $R$ ବଦଳରେ $3r$ ଏବଂ $\pi$ ବଦଳରେ $\frac{22}{7}$ ପକାଇଲେ: ପରିସୀମା = $3r(2 + \frac{22}{21}) = 3r(\frac{42 + 22}{21}) = 3r(\frac{64}{21}) = r(\frac{64}{7})$
ଏହାପରେ ଆମେ ଅନ୍ତର୍ଲିଖିତ ବୃତ୍ତର ପରିଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଯାହାର ସୂତ୍ର: ପରିଧି = $2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times r = \frac{44r}{7}$
ଶେଷରେ, ବୃତ୍ତର ପରିଧି ଓ ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମାର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟକୁ ଭାଗ କରିବା: ଅନୁପାତ = $\frac{\frac{44r}{7}}{\frac{64r}{7}} = \frac{44}{64}$
ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରକୁ 4 ଦ୍ୱାରା କାଟିଲେ ଏହା $\frac{11}{16}$ ହେବ
ଅତଏବ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ଅନୁପାତ 11:16 ଅଟେ