ପୃଷ୍ଠା ସଂଖ୍ୟା: 84 and 85

ନିଜେ କରି ଦେଖ

❓ Question (a):

ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମାନ ଥିବା ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ?

✅ Answer Steps:

• ମନେକର ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମାନ ଥିବା ତ୍ରିଭୁଜ (ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ) ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $l$

• ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ମୋଟ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା = 3

• ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

• ପରିସୀମା = $l + l + l$

• ତେଣୁ, ପରିସୀମା =

  $$3 \times l$$

❓ Question (b):

ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ?

✅ Answer Steps:

• ମନେକର ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $l$

• ଏକ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ମୋଟ ସମାନ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା = 5

• ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଏହାର 5 ଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

• ପରିସୀମା = $l + l + l + l + l$

• ତେଣୁ, ପରିସୀମା =

  $$5 \times l$$

❓ Question ©:

ସୁଷମ ଷଡଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ?

✅ Answer Steps:

• ମନେକର ସୁଷମ ଷଡଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $l$

• ଏକ ସୁଷମ ଷଡଭୁଜର ମୋଟ ସମାନ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା = 6

• ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଏହାର 6 ଟି ଯାକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

• ପରିସୀମା = $l + l + l + l + l + l$

• ତେଣୁ, ପରିସୀମା =

  $$6 \times l$$

📖 ତିନି ବା ତିନିରୁ ଅଧିକ ବାହୁ ଥିବା କ୍ଷେତ୍ରର ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହେଲେ ତାହାକୁ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

❓ Question 2:

ଜନ୍ ପାଖରେ 20 ମିଟର ଲମ୍ବର ଏକ ପାଣି ପାଇପ୍ ଅଛି । ତଥାପି ସେ ନିଜ ବଗିଚାରେ ଜଳସେଚନ ପାଇଁ ଅଧିକ ଲମ୍ବର ପାଇପ୍ ସେଥିରେ ଯୋଡିବା ପାଇଁ ଚାହୁଁଛନ୍ତି । ତେଣୁ ସେ କିଛି ଲମ୍ବର ପାଇପ୍ ସେଥିରେ ଯୋଡିଲେ, ଯୋଡାଯାଇଥିବା ଦୁଇଟି ପାଇପର ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ । ଯୋଡା ଯାଇଥିବା ଅନ୍ୟ ପାଇପର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ‘$k$’ ବ୍ୟବହାର କର । 🚰🌱

✅ Answer Steps:

• ଜନ୍ ପାଖରେ ପୂର୍ବରୁ ଥିବା ପାଇପର ଲମ୍ବ = 20 ମିଟର

• ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ନୂଆ ଯୋଡା ଯାଇଥିବା ଅନ୍ୟ ପାଇପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $k$ ମିଟର

• ଦୁଇଟି ପାଇପର ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ପୂର୍ବ ପାଇପ୍ ଏବଂ ନୂଆ ପାଇପର ଲମ୍ବକୁ ମିଶାଇବାକୁ ପଡିବ ।

• ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (ପୁରୁଣା ପାଇପର ଲମ୍ବ) + (ନୂଆ ପାଇପର ଲମ୍ବ)

• ତେଣୁ, ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି =

  $$20 + k$$

🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 3:

ରାକେଶ ପାଖରେ 100 ଟଙ୍କା, 20 ଟଙ୍କା ଓ 5 ଟଙ୍କାର କିଛି ନୋଟ୍ ଅଛି । ନୋଟ୍‌ର ସଂଖ୍ୟା ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର । 💵📊

✅ Answer (ସମାଧାନ):

ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିର ହିସାବ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା: ✍️

• ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ି (Row 1):

  • 100 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ 3 ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $3 \times 100 = 300$

  • 20 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ 5 ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $5 \times 20 = 100$

  • 5 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ 6 ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $6 \times 5 = 30$

  • ମୋଟ ପରିମାଣ =

    $$3 \times 100 + 5 \times 20 + 6 \times 5 = 300 + 100 + 30 = 430$$

• ଦ୍ଵିତୀୟ ଧାଡ଼ି (Row 2):

  • ଦିଆଯାଇଥିବା ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେଉଛି:

  • $6 \times 100 + 4 \times 20 + 3 \times 5 = 695$

  • ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ:

  • 100 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍‌ର ସଂଖ୍ୟା = 6

  • 20 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍‌ର ସଂଖ୍ୟା = 4

  • 5 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍‌ର ସଂଖ୍ୟା = 3

• ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ି (Row 3):

  • 100 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ 8 ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $8 \times 100$

  • 20 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ 4 ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $4 \times 20$

  • 5 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ $z$ ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $z \times 5$ ବା $5z$

  • ମୋଟ ପରିମାଣର ପରିପ୍ରକାଶ =

    $$8 \times 100 + 4 \times 20 + z \times 5$$

  • ସରଳ କଲେ =

    $$800 + 80 + 5z = 880 + 5z$$

• ଚତୁର୍ଥ ଧାଡ଼ି (Row 4):

  • 100 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ $x$ ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $x \times 100$

  • 20 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ $y$ ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $y \times 20$

  • 5 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ $z$ ଟି ଅଛି, ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟ = $z \times 5$

  • ମୋଟ ପରିମାଣର ପରିପ୍ରକାଶ =

    $$x \times 100 + y \times 20 + z \times 5$$

  • ସରଳ କଲେ =

    $$100x + 20y + 5z$$

❓ Question 4:

ଅନିତାଙ୍କର ଏକ ଅଟାକଳ ଅଛି । ଅଟାକଳରେ ଥିବା ରୋଲର ଚାଲିବା ଆରମ୍ଭ କରିବାକୁ 10 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ନିଏ । ଥରେ ଚାଲିବା ପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ 1 କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ 8 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ନେଇଥାଏ । ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ପରିପ୍ରକାଶଟି ‘$y$’ କିଲୋଗ୍ରାମ ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ହେଉଥିବା ସମୟକୁ ସୂଚାଉଛି । (ଆରମ୍ଭରୁ ରୋଲରଟି ବନ୍ଦଥୁଲା)

(a) $10 + 8 + y$

(b) $(10 + 8) \times y$

© $10 \times 8 \times y$

(d) $10 + 8 \times y$

(e) $10 \times y + 8$

✅ Answer:

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (d) $10 + 8 \times y$ ।

ସମାଧାନ (Solution): ⚙️

• ରୋଲର ଆରମ୍ଭ ହେବାକୁ ଲାଗୁଥିବା ସମୟ (ସ୍ଥିର ସମୟ) = 10 ସେକେଣ୍ଡ ⏱️

• 1 କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ଲାଗୁଥିବା ସମୟ = 8 ସେକେଣ୍ଡ

• ତେଣୁ, $y$ କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ଲାଗିବ = $8 \times y$ ସେକେଣ୍ଡ

• ମୋଟ ଆବଶ୍ୟକ ସମୟ = ଆରମ୍ଭ ସମୟ + ପେଷିବା ସମୟ =

  $$10 + 8 \times y$$

Here is the complete Question 5 along with its answers:

❓ Question 5:

ନିଜ ପସନ୍ଦର ଅକ୍ଷର ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ । ✍️

(a) ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ 5 ଅଧିକ ।

(b) ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ 4 ଊଣା ।

© ଏକ ସଂଖ୍ୟା ର 13 ଗୁଣରୁ 2 କମ୍

(d) ଏକ ସଂଖ୍ୟା ର 2 ଗୁଣରୁ 13 କମ୍

✅ Answer:

(ମନେକର ଅଜ୍ଞାତ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି ‘$x$’) 🧮

(a)

$$x + 5$$

(b)

$$x - 4$$

(.c)

$$13x - 2$$

(d)

$$2x - 13$$

❓ Question 6:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ସାଧାରଣ ଉକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କର । 🗣️

ଯେପରି : $3 \times x + 2$, $x$ ର 3 ଗୁଣରୁ 2 ଅଧିକ ।

(କ) $8 \times x + 3 \times y$

(ଗ) $15 \times j - 2 \times k$

✅ Answer 6:

(କ) $x$ ର 8 ଗୁଣ ଏବଂ $y$ ର 3 ଗୁଣର ସମଷ୍ଟି ।

(ଗ) $j$ ର 15 ଗୁଣରୁ $k$ ର 2 ଗୁଣ କମ୍ ।

❓ Question 7:

ନିମ୍ନରେ 2027 ମସିହାର ନଭେମ୍ବର ମାସର କ୍ୟାଲେଣ୍ଡର ଦିଆଯାଇଛି । ପ୍ରଦର୍ଶିତ $2 \times 3$ ଗ୍ରିଡରେ ତାରିଖ ଗୁଡ଼ିକ ଲେଖାଯାଇଛି । ଗ୍ରିଡରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ । 🗓️

ନିମ୍ନ $2 \times 3$ ଗ୍ରିଡରେ ତଳ ମଧ୍ୟ କୋଠରୀରେ ତାରିଖକୁ $w$ ଅକ୍ଷର ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ।

✅ Answer 7:

କ୍ୟାଲେଣ୍ଡରର ନିୟମ ଅନୁସାରେ, ଗୋଟିଏ ସପ୍ତାହରେ 7 ଦିନ ଥିବାରୁ ଉପର ଧାଡ଼ିର ତାରିଖ ତଳ ଧାଡ଼ିର ତାରିଖ ଠାରୁ 7 କମ୍ ହୋଇଥାଏ । ସେହିପରି ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ ବାମ ପାଖ ତାରିଖ 1 କମ୍ ଓ ଡାହାଣ ପାଖ ତାରିଖ 1 ଅଧିକ ହୋଇଥାଏ । 📅

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଗ୍ରିଡଟିର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ନିମ୍ନମତେ ହେବ:

(ପୃଷ୍ଠା ସଂଖ୍ୟା: 96) 📄

ନିଜେ କରି ଦେଖ 📝

❓ Question 1:

ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକୁ ଯୋଗକର । ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡିକ ଲେଖ ଏବଂ ସରଳ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସୂଚାଅ ଏବଂ ଦେଖ । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ମିଳିବ । (ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା)

✅ Answer 1:

ଚିତ୍ର 1 (Figure 1):

• ଉପାୟ 1 (ଧାଡ଼ି ଅନୁସାରେ ଯୋଗ / Row-wise sum):

  $$(5y - 6 + x) + (x + 2 + 5y)$$

  $$= 5y + x - 6 + x + 5y + 2$$

  $$= 10y + 2x - 4$$

• ଉପାୟ 2 (ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କରି / Grouping like terms):

  $$(5y + 5y) + (x + x) + (-6 + 2)$$

  $$= 10y + 2x - 4$$

  (ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ସମାନ: $10y + 2x - 4$) ✨

ଚିତ୍ର 2 (Figure 2):

• ଉପାୟ 1 (ଧାଡ଼ି ଅନୁସାରେ ଯୋଗ / Row-wise sum):

  $$(2p + 3q - 2 + 3) + (3q + 2p + 3 - 2) + (2p + 3q) + (3q + 2p)$$

  $$= (2p + 3q + 1) + (2p + 3q + 1) + (2p + 3q) + (2p + 3q)$$

  $$= 8p + 12q + 2$$

• ଉପାୟ 2 (ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କରି / Grouping like terms):

  $$(2p + 2p + 2p + 2p) + (3q + 3q + 3q + 3q) + (-2 + 3 + 3 - 2)$$

  $$= 8p + 12q + 2$$

  (ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ସମାନ: $8p + 12q + 2$) ✨

ଚିତ୍ର 3 (Figure 3):

• ଉପାୟ 1 (ଧାଡ଼ି ଅନୁସାରେ ଯୋଗ / Row-wise sum):

  $$(-5g + 5k + 5k - 5g) + (5k + 5k + 5k + 5k) + (5k + 5k + 5k + 5k) + (-5g + 5k + 5k - 5g)$$

  $$= (10k - 10g) + 20k + 20k + (10k - 10g)$$

  $$= 60k - 20g$$

• ଉପାୟ 2 (ମୋଟ ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରି / Counting total terms):

  ସମୁଦାୟ $5k$ ପଦର ସଂଖ୍ୟା = $12 \Rightarrow 12 \times 5k = 60k$

  ସମୁଦାୟ $-5g$ ପଦର ସଂଖ୍ୟା = $4 \Rightarrow 4 \times (-5g) = -20g$

  ମୋଟ ଯୋଗଫଳ =

  $$60k - 20g$$

  (ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୂଲ୍ୟ ସମାନ: $60k - 20g$) ✨

❓ Question 2:

ନିମ୍ନସ୍ଥ ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡିକ ସରଳକର । ✍️

(a) $p + p + p + p$

(b) $p - q + p - q$

© $p + q - (p + q)$

(d) $2d - d - d - d$

(e) $2d - d - (d - c)$

(f) $2d - d - c - c$

(g) $p + p + p + q$

(h) $p + q + p - q$

(i) $p + q - p + q$

(j) $p - q - p - q$

(k) $2d - d - d - c$

(l) $2d - (d - d) - c$

✅ Answer 2: 🧮

(a) $p + p + p + p$

=

$$4p$$

(b) $p - q + p - q$

= $p + p - q - q$

=

$$2p - 2q$$

© $p + q - (p + q)$

= $p + q - p - q$

=

$$0$$

(d) $2d - d - d - d$

= $2d - 3d$

=

$$-d$$

(e) $2d - d - (d - c)$

= $2d - d - d + c$

= $2d - 2d + c$

=

$$c$$

(f) $2d - d - c - c$

=

$$d - 2c$$

(g) $p + p + p + q$

=

$$3p + q$$

(h) $p + q + p - q$

= $p + p + q - q$

=

$$2p$$

(i) $p + q - p + q$

= $p - p + q + q$

=

$$2q$$

(j) $p - q - p - q$

= $p - p - q - q$

=

$$-2q$$

(k) $2d - d - d - c$

= $2d - 2d - c$

=

$$-c$$

(l) $2d - (d - d) - c$

= $2d - 0 - c$

=

$$2d - c$$

Page -97

🌟 WithTeachers.in🌟

ଭୁଲ ଚିହ୍ନଟକରି ଓ ସଂଶୋଧନ କର 🔍📝

ନିର୍ଦ୍ଦେଶ (Instructions): କେତେକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକୃତ ରୂପ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଏହାର ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତମାନ ରହିବା ଉଚିତ୍ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କର ଏବଂ ସେଥିରେ ଭୁଲ୍ ଥିଲେ ଚିହ୍ନଟ କର ।

• ଯଦି କିଛି ଭୁଲ୍ ଅଛି, କେଉଁ କାରଣ ପାଇଁ ଭୁଲ୍ ହୋଇଛି ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର ।

• ତା’ପରେ ସଠିକ୍ ରୂପେ ସରଳୀକୃତ କର ।

🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 1:

ପରିପ୍ରକାଶ: $3a + 2b$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $5$

✅ Answer 1:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: $3a$ ଏବଂ $2b$ ହେଉଛି ଅସଦୃଶ ପଦ (Unlike terms) । ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରି ଏକ ସଂଖ୍ୟା (5) ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ । ଏଠାରେ କେବଳ ସହଗ ଗୁଡ଼ିକୁ ଭୁଲରେ ଯୋଗ କରାଯାଇଛି ($3+2=5$) ।

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$3a + 2b$$

  (ଏହା ଆଉ ସରଳ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ)

❓ Question 2:

ପରିପ୍ରକାଶ: $3b - 2b - b$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $0$

✅ Answer 2:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ନାହିଁ ✔️

• କାରଣ: ସମସ୍ତେ ସଦୃଶ ପଦ । ସମାଧାନ କଲେ: $3b - (2b + b) = 3b - 3b = 0$ ।

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$0$$

❓ Question 3:

ପରିପ୍ରକାଶ: $6(p + 2)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $6p + 8$

✅ Answer 3:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ବନ୍ଧନୀ ବାହାରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା (6) ବନ୍ଧନୀ ଭିତରେ ଥିବା ଉଭୟ ପଦ ସହ ଗୁଣନ ହେବ । ଏଠାରେ 6 କୁ 2 ସହ ଗୁଣନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଯୋଗ କରାଯାଇଛି ବା ଭୁଲ ଗୁଣନ କରାଯାଇଛି ।

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $6 \times p + 6 \times 2 =$

  $$6p + 12$$

❓ Question 4:

ପରିପ୍ରକାଶ: $(4x + 3y) - (3x + 4y)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $x + y$

✅ Answer 4:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ବିୟୋଗ ସମୟରେ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ ଭିତରେ ଥିବା ଚିହ୍ନ ବଦଳିଥାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ $-(3x + 4y)$ ହେବ $-3x - 4y$ । ଏଠାରେ $4y$ ର ଚିହ୍ନ ବଦଳାଯାଇ ନାହିଁ ($3y - 4y = -y$ ହେବ) ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $4x + 3y - 3x - 4y = (4x - 3x) + (3y - 4y)$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$x - y$$

❓ Question 5:

ପରିପ୍ରକାଶ: $5 - (2 - 6z)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $3 - 6z$

✅ Answer 5:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିବା ସମୟରେ ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନର ଗୁଣନ ଭୁଲ ହୋଇଛି । $-(-6z)$ ସବୁବେଳେ $+6z$ ହୋଇଥାଏ ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $5 - 2 + 6z = 3 + 6z$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$3 + 6z$$

❓ Question 6:

ପରିପ୍ରକାଶ: $2 + (x + 3)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $2x - 6$

✅ Answer 6:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ଏଠାରେ ପଦ ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଯୋଗ (+) ଚିହ୍ନ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଭୁଲରେ ଗୁଣନ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ଚିହ୍ନ ମଧ୍ୟ ଭୁଲ ଦିଆଯାଇଛି ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $2 + x + 3 = x + (2 + 3)$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$x + 5$$

❓ Question 7:

ପରିପ୍ରକାଶ: $2y + (3y - 6)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $-y + 6$

✅ Answer 7:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗ ଭୁଲ୍ ହୋଇଛି । $2y$ ଏବଂ $3y$ କୁ ମିଶାଇଲେ $5y$ ହୁଏ (କିନ୍ତୁ ଦିଆଯାଇଛି $-y$) । ସଂଖ୍ୟାପଦ $-6$ ର ଚିହ୍ନ ମଧ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଯାଇଛି ଯାହା ଅନୁଚିତ୍ ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $(2y + 3y) - 6$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$5y - 6$$

❓ Question 8:

ପରିପ୍ରକାଶ: $7p - p + 5q - 2q$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $7p + 3q$

✅ Answer 8:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: $7p - p$ ର ସମାଧାନ ଭୁଲ ହୋଇଛି । $p$ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $1p$ । ତେଣୁ $7p - 1p = 6p$ ହେବ, କିନ୍ତୁ କେବଳ $7p$ ଲେଖାଯାଇଛି ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $(7p - 1p) + (5q - 2q) = 6p + 3q$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$6p + 3q$$

❓ Question 9:

ପରିପ୍ରକାଶ: $5(2w + 3x + 4w)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $10w + 15x + 20w$

✅ Answer 9:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌ (ଏହା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସରଳୀକୃତ ହୋଇନାହିଁ)

• କାରଣ: ବଣ୍ଟନ ଠିକ୍ ହୋଇଛି, କିନ୍ତୁ ଶେଷରେ ଥିବା ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡ଼ିକୁ ($10w$ ଏବଂ $20w$) ଏକାଠି କରାଯାଇ ନାହିଁ । ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସରଳୀକୃତ ରୂପ ପାଇଁ ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡ଼ିକୁ ମିଶାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $10w + 20w + 15x = 30w + 15x$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$30w + 15x$$

❓ Question 10:

ପରିପ୍ରକାଶ: $3j + 6k + 9h + 12$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $3(j + 2k + 3h + 4)$

✅ Answer 10:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ନାହିଁ ✔️

• କାରଣ: ସମସ୍ତ ପଦରୁ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ (Common factor) ଭାବରେ ‘3’ କୁ ସଠିକ୍ ଭାବେ ବାହାରକୁ ଅଣାଯାଇଛି ।

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$3(j + 2k + 3h + 4)$$

❓ Question 11:

ପରିପ୍ରକାଶ: $4(2r + 3s + 5)$

ଦିଆଯାଇଥିବା ସରଳୀକୃତ ରୂପ: $-20 - 8r - 12s$

✅ Answer 11:

• ଭୁଲ୍ ଅଛି କି? ହଁ ❌

• କାରଣ: ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦ ଧନାତ୍ମକ (Positive) ଏବଂ ବାହାରେ ଥିବା ଗୁଣକ 4 ମଧ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ । ତେଣୁ ଉତ୍ତରର ସମସ୍ତ ପଦ ଧନାତ୍ମକ ହେବା ଉଚିତ୍, କିନ୍ତୁ ଏଠାରେ ସବୁ ଋଣାତ୍ମକ (Negative) ଦିଆଯାଇଛି ।

• ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ: $4 \times 2r + 4 \times 3s + 4 \times 5 = 8r + 12s + 20$

• ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ:

  $$8r + 12s + 20$$

ନିଜେ କରି ଦେଖ 📝

Page No 104 to 108

❓ Question 1:

ଗୋଟିଏ ରୁଟି ପ୍ଲେଟର ମୂଲ୍ୟ 30 ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଭାତ ପ୍ଲେଟର ମୂଲ୍ୟ 20 ଟଙ୍କା । ଗୋଟିଏ ଦିନ $x$ ପ୍ଲେଟ୍ ରୁଟି ଓ $y$ ପ୍ଲେଟ୍ ଭାତ ବରାଦ ହୋଇଥିଲେ । ସେ ଦିନର ସମୁଦାୟ ଆୟ ଟଙ୍କାର ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ? 🍛🍞

(a) $30x + 20y$

(b) $(30 + 20) \times (x + y)$

© $20x + 30y$

(d) $(30 + 20) \times x + y$

(d) $30x - 20y$ (ପୁସ୍ତକରେ ମୁଦ୍ରଣ ଜନିତ ତ୍ରୁଟି ଯୋଗୁଁ ‘d’ ଦୁଇଥର ଅଛି)

✅ Answer Steps:

• ଗୋଟିଏ ରୁଟି ପ୍ଲେଟର ମୂଲ୍ୟ = 30 ଟଙ୍କା

• ତେଣୁ, $x$ ପ୍ଲେଟ୍ ରୁଟିର ମୂଲ୍ୟ = $30 \times x = 30x$ ଟଙ୍କା

• ଗୋଟିଏ ଭାତ ପ୍ଲେଟର ମୂଲ୍ୟ = 20 ଟଙ୍କା

• ତେଣୁ, $y$ ପ୍ଲେଟ୍ ଭାତର ମୂଲ୍ୟ = $20 \times y = 20y$ ଟଙ୍କା

• ସମୁଦାୟ ଆୟ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ରୁଟି ଏବଂ ଭାତର ମୂଲ୍ୟକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

• ସମୁଦାୟ ଆୟ =

  $$30x + 20y$$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (a)
🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 2:

ପୁଷ୍ପିତା ସ୍ୱାଧୀନତା ଦିବସରେ ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଫୁଲ (ଚମ୍ପା ଓ ଗେଣ୍ଡୁ) ବିକ୍ରି କରିଥିଲା । $p$ ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଚମ୍ପା ଫୁଲ, $q$ ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ ଓ $r$ ଜଣ ଗ୍ରାହକ ଉଭୟ ଚମ୍ପା ଓ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ କିଣିଛନ୍ତି । ଠିକ୍ ସେହିଦିନ ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗ୍ରାହକଙ୍କୁ ଏକ ଛୋଟ ଜାତୀୟ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଛନ୍ତି । ସେଦିନ ସେ କେତୋଟି ଜାତୀୟ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଥିବାର ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ହେବ ? 🌼🇮🇳

(a) $p + q + r$

(b) $p + q + 2r$

© $2 \times (p + q + r)$

(d) $p + q + r + 2$

(e) $p + q + r + 1$

(f) $2(p + q)$

✅ Answer Steps:

• କେବଳ ଚମ୍ପା ଫୁଲ କିଣିଥିବା ଗ୍ରାହକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = $p$

• କେବଳ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ କିଣିଥିବା ଗ୍ରାହକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = $q$

• ଉଭୟ ଫୁଲ କିଣିଥିବା ଗ୍ରାହକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = $r$

• ଦୋକାନକୁ ଆସିଥିବା ସମୁଦାୟ ବିଭିନ୍ନ ଗ୍ରାହକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = $p + q + r$

• ଯେହେତୁ ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗ୍ରାହକଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଛନ୍ତି, ମୋଟ ବଣ୍ଟାଯାଇଥିବା ପତାକାର ସଂଖ୍ୟା ମୋଟ ଗ୍ରାହକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ହେବ । କେହି ଉଭୟ ଫୁଲ କିଣିଥିଲେ ମଧ୍ୟ ସେ ଜଣେ ହିଁ ଗ୍ରାହକ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ତାଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ହିଁ ପତାକା ମିଳିବ ।

• ତେଣୁ, ମୋଟ ପତାକା ସଂଖ୍ୟା =

  $$p + q + r$$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (a)

🌟 WithTeachers.in🌟
❓ Question 3:

ଏକ ଗଭୀର କୂଅର କାନ୍ଥରେ ଗୋଟିଏ ଗେଣ୍ଡା ଚଢ଼ିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଛି । ଦିନରେ ଏହା ‘$u$’ ସେ.ମି ଉପରକୁ ଯାଏ ରାତିରେ ଏହା ଧୀରେ ଧୀରେ ‘$d$’ ସେ.ମି ତଳକୁ ଖସିଯାଏ । ଏପରି 10 ଦିନ ଓ 10 ରାତି ଧରି ଚାଲିଥିଲା । 🐌🧱

(a) ଗେଣ୍ଡାଟି ତା’ର ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନ ଠାରୁ କେତେ ଦୂରରେ ଅଛି ବର୍ଣ୍ଣନା କରି ପରିପ୍ରକାଶଟିଏ ଲେଖ ।

(b) ଯଦି $d > u$ ତେବେ ଗେଣ୍ଡାର ଗତିବିଧି ବିଷୟରେ କ’ଣ କହି ପାରିବା ?

✅ Answer 3 (ସମାଧାନ):

(a) ଗେଣ୍ଡାଟି ଗୋଟିଏ ଦିନ-ରାତି ଚକ୍ରରେ ଯେତିକି ଉପରକୁ ଉଠେ:

• ଦିନରେ ଉପରକୁ ଉଠେ = $u$ ସେ.ମି.

• ରାତିରେ ତଳକୁ ଖସେ = $d$ ସେ.ମି.

• 1 ଦିନ ଓ 1 ରାତିରେ ମୋଟ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱଗାମୀ ଦୂରତା = $u - d$ ସେ.ମି.

• ତେଣୁ, 10 ଦିନ ଓ 10 ରାତି ପରେ ଗେଣ୍ଡାଟି ତା’ର ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନ ଠାରୁ ଯେଉଁ ଦୂରତାରେ ରହିବ, ତାହାର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି:

  $$10 \times (u - d)$$

  ବା

  $$10(u - d)$$ ସେ.ମି.

  🌟 WithTeachers.in🌟

(b) ଯଦି $d > u$ ହୁଏ (ଅର୍ଥାତ୍ ରାତିରେ ଖସୁଥିବା ଦୂରତା ଦିନରେ ଉଠୁଥିବା ଦୂରତାଠାରୁ ଅଧିକ ହୁଏ), ତେବେ ଗେଣ୍ଡାଟି ମୋଟ ଉପରେ ଉପରକୁ ଉଠିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଦିନକୁ ଦିନ ତଳକୁ (କୂଅର ଆହୁରି ଗଭୀରକୁ) ଖସିଯିବ । 📉

❓ Question 4:

ଏକ ସାଇକେଲ ରେସ୍‌ରେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବା ପାଇଁ ରାଧା ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରି ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଉଛି । ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ ସେ ପ୍ରତିଦିନ 5 କି.ମି ସାଇକେଲ ଚଳାଇଛି । ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସପ୍ତାହରେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବାର ପ୍ରତିଦିନ ଦୂରତ୍ବକୁ $z$ କି.ମି ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି କରିଛି । ତିନି ସପ୍ତାହ ପରେ ସେ କେତେ କି.ମି ସାଇକେଲ ଚଳାଉଥିବ । (ବୁଝିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର) 🚴‍♀️📊

✅ Answer 4 (ସମାଧାନ):

• ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରୁଥିବା ଦୂରତ୍ୱ = 5 କି.ମି.

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ସପ୍ତାହରେ ଦୂରତ୍ୱ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି = $z$ କି.ମି.

• ଦ୍ଵିତୀୟ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ଦୂରତ୍ୱ = $5 + z$

• ତୃତୀୟ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ଦୂରତ୍ୱ = $5 + z + z = 5 + 2z$

• ତେଣୁ, ତିନି ସପ୍ତାହ ପରେ (ଅର୍ଥାତ୍ ଚତୁର୍ଥ ସପ୍ତାହ ଆରମ୍ଭରେ) ସେ ପ୍ରତିଦିନ ଯେତିକି କି.ମି. ସାଇକେଲ୍ ଚଳାଉଥିବ ତାହାର ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି:

  $$5 + 3z$$ କି.ମି.

🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 5:

ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ $w + 2$ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଗୋଟିଏ ପଥରେ / ଧାଡ଼ିରେ $4w + 20$ ହୋଇଛି ଦେଖ ଅବଶିଷ୍ଟ ପଥର ଶୂନ୍ୟଥିବା କୋଠରି ଗୁଡ଼ିକ ପୂରଣ କର । ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରି ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଓ ବର୍ଗାକୃତି କୋଠରି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସୂଚାଉଛି । 🔲➡️

question

✅ Answer 5 (ସମାଧାନ ଓ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ):

ମଝିରେ ଥିବା ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ (କେନ୍ଦ୍ର) ହେଉଛି: $w + 2$

(୧) ବାମ-ଉପର ପଥ (Top-Left Path):

• କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଉପର ବାମ ଆଡ଼କୁ ଗଲେ, ବର୍ଗାକୃତି କୋଠରିରେ ବିୟୋଗ 5 ($-5$) ଅଛି ।

• ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରି: $(w+2) - 5 = w - 3$

• ତା’ପରେ ଏଥିରେ ଗୁଣନ 3 ($\times 3$) ଅଛି ।

• ଶେଷ ଶୂନ୍ୟ ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରିର ମୂଲ୍ୟ ହେବ:

  $$3(w - 3)$$

  ବା

  $$3w - 9$$

(୨) ବାମ-ତଳ ପଥ (Bottom-Left Path):

• କେନ୍ଦ୍ରରୁ ତଳ ବାମ ଆଡ଼କୁ ଗଲେ, ପ୍ରଥମେ ବିୟୋଗ 8 ($-8$) ଅଛି ।

• ପ୍ରଥମ ଶୂନ୍ୟ ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରିଟି ହେବ: $(w+2) - 8 = \mathbf{w - 6}$

• ତା’ପରେ ଏଥିରୁ ବିୟୋଗ 4 ($-4$) ହୋଇଛି ।

• ଶେଷ ଶୂନ୍ୟ ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରିଟି ହେବ:

  $$(w - 6) - 4 = \mathbf{w - 10}$$

(୩) ଡାହାଣ-ତଳ ପଥ (Bottom-Right Path):

• କେନ୍ଦ୍ରରୁ ତଳ ଡାହାଣ ଆଡ଼କୁ ଗଲେ, ପ୍ରଥମେ ଯୋଗ 3 ($+3$) ଅଛି ।

• ପ୍ରଥମ ଶୂନ୍ୟ ଅଣ୍ଡାକୃତି କୋଠରିଟି ହେବ: $(w+2) + 3 = \mathbf{w + 5}$

• (ସୂଚନା: ଏହା ପରେ $\times 4$ ହୋଇ ଶେଷରେ $3w - 6$ ବହିରେ ଲେଖାଯାଇଛି, ଯାହାକି ଏକ ମୁଦ୍ରଣଗତ ତ୍ରୁଟି ଅଟେ କାରଣ $(w+5) \times 4$ କଲେ ଉତ୍ତର $4w+20$ ହେବ । ତେଣୁ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପାଇଁ ଉତ୍ତରଟି କେବଳ $w+5$ ହେବ ।)

🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 6:

ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ରାସ୍ତାରେ ସମାନ ଦୂରତାରେ ତିନୋଟି ଷ୍ଟେସନରେ ଅଟକିଥାଏ । ଏକ ଷ୍ଟେସନରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଷ୍ଟେସନକୁ ଯିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ‘$t$’ ସମୟ ଲାଗୁଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଷ୍ଟେସନରେ ଟ୍ରେନ୍‌ଟି 2 ମିନିଟ୍ ଅଟକିଥାଏ । 🚂🛤️

(a) ଯଦି $t = 4$ ମିନିଟ୍ ହୁଏ । ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ଯାତ୍ରା କରିବାର ସମୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(b) ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାତ୍ରା ସମୟକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ? (ସୂଚନା : ପରିସ୍ଥିତିକୁ କଳ୍ପନା କରିବାକୁ ଏକ ରଫ୍ ଚିତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କର)

✅ Answer 6 (ସମାଧାନ):

(b) ପ୍ରଥମେ ଆମେ (b) ର ସମାଧାନ କରି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ବାହାର କରିବା:

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଭୁବନେଶ୍ୱର ଓ ପୁରୀ ମଧ୍ୟରେ ଟ୍ରେନ୍ ଟି 3 ଟି ଷ୍ଟେସନରେ ଅଟକୁଛି । ଏକ ରଫ୍ ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଏହାକୁ ବୁଝିବା:

ଭୁବନେଶ୍ୱର ➡️ (ଷ୍ଟେସନ 1) ➡️ (ଷ୍ଟେସନ 2) ➡️ (ଷ୍ଟେସନ 3) ➡️ ପୁରୀ

• ଚିତ୍ରରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, ସମୁଦାୟ 4 ଟି ଯାତ୍ରା ପଥ (Segments) ଅଛି ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯାତ୍ରା ପଥ ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ଲାଗୁଥିବା ସମୟ = $t$

• ମୋଟ ଯାତ୍ରା ସମୟ = $4 \times t = 4t$

• ଟ୍ରେନ୍ ଟି ଅଟକୁଥିବା ମୋଟ ଷ୍ଟେସନ୍ ସଂଖ୍ୟା = 3

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଷ୍ଟେସନରେ ଅଟକିବା ସମୟ = 2 ମିନିଟ୍

• ମୋଟ ଅଟକିବା ସମୟ = $3 \times 2 = 6$ ମିନିଟ୍

• ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ମୋଟ ଯାତ୍ରା ସମୟର ପରିପ୍ରକାଶ:

  $$4t + 6$$

(a) ବର୍ତ୍ତମାନ (a) ର ସମାଧାନ:

• ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ ମୋଟ ସମୟ = $4t + 6$

• ଯଦି $t = 4$ ମିନିଟ୍ ହୁଏ, ତେବେ $t$ ଜାଗାରେ 4 ପକାଇଲେ:

  $$= (4 \times 4) + 6$$

  $$= 16 + 6$$

  $$= 22$$

• ଉତ୍ତର: ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ଯାତ୍ରା କରିବାକୁ ମୋଟ 22 ମିନିଟ୍ ସମୟ ଲାଗିବ । ⏱️

❓ Question 7:

ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡିକୁ ସରଳୀକରଣ କର । ✍️

✅ Answer 7 (ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ):

(a) $3a + 9b - b + 8a - 4b - 7a + 16$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ (Grouping like terms):

  $$= (3a + 8a - 7a) + (9b - b - 4b) + 16$$

  $$= (11a - 7a) + (9b - 5b) + 16$$

  ଉତ୍ତର:

  $$4a + 4b + 16$$

(b) $3(3a - 3b) - 8a - 4b - 16$

• ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ (Expanding brackets):

  $$= 9a - 9b - 8a - 4b - 16$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (9a - 8a) - 9b - 4b - 16$$

  ଉତ୍ତର:

  $$a - 13b - 16$$

© $2(2x - 3) + 8x + 12$

• ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 4x - 6 + 8x + 12$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (4x + 8x) + (12 - 6)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$12x + 6$$

(d) $8x - (2x - 3) + 12$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ ଭିତର ଚିହ୍ନ ବଦଳିବ:

  $$= 8x - 2x + 3 + 12$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (8x - 2x) + (3 + 12)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$6x + 15$$

(e) $8h - (5 + 7h) + 9$

• ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 8h - 5 - 7h + 9$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (8h - 7h) + (9 - 5)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$h + 4$$

(f) $23 + 4(6m - 3n) - 8n - 3m - 18$

• ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 23 + 24m - 12n - 8n - 3m - 18$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (24m - 3m) - 12n - 8n + 23 - 18$$

  $$= 21m - (12n + 8n) + 5$$

  ଉତ୍ତର:

  $$21m - 20n + 5$$
  🌟 WithTeachers.in🌟
  ❓ Question 8:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡିକୁ ଯୋଗ କର । ➕

(a) $4d - 7c + 9$ ଏବଂ $8c - 11 + 9d$

(b) $-6f + 19 - 8s$ ଏବଂ $-23 + 13f + 12s$

© $8d - 14c + 9$ ଏବଂ $16c - (11 + 9d)$

(d) $6f - 20 + 8s$ ଏବଂ $23 - 13f - 12s$

(e) $13m - 12n$ ଏବଂ $12n - 13m$

(f) $-26m + 24n$ ଏବଂ $26m - 24n$

✅ Answer 8 (ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ):

(a) $(4d - 7c + 9) + (8c - 11 + 9d)$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (4d + 9d) + (-7c + 8c) + (9 - 11)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$13d + c - 2$$

(b) $(-6f + 19 - 8s) + (-23 + 13f + 12s)$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (-6f + 13f) + (-8s + 12s) + (19 - 23)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$7f + 4s - 4$$

© $(8d - 14c + 9) + (16c - (11 + 9d))$

• ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲି ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= 8d - 14c + 9 + 16c - 11 - 9d$$

  $$= (8d - 9d) + (-14c + 16c) + (9 - 11)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-d + 2c - 2$$

  (ବା

  $$2c - d - 2$$

  )

(d) $(6f - 20 + 8s) + (23 - 13f - 12s)$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (6f - 13f) + (8s - 12s) + (-20 + 23)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-7f - 4s + 3$$

(e) $(13m - 12n) + (12n - 13m)$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (13m - 13m) + (-12n + 12n)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$0$$

(f) $(-26m + 24n) + (26m - 24n)$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (-26m + 26m) + (24n - 24n)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$0$$

🌟 WithTeachers.in🌟
❓ Question 9:

ବିୟୋଗ ଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ➖ (ପ୍ରଥମ ପରିପ୍ରକାଶରୁ ଦ୍ୱିତୀୟଟିକୁ ବିୟୋଗ କର)

(a) $6a + 9b - 18$ ରୁ $9a - 6b + 14$

(b) $7y - 10 + 3x$ ରୁ $-15x + 13 - 9y$

© $11 - 10g + 3h$ ରୁ $17g + 9 - 7h$

(d) $6a - (9b + 18)$ ରୁ $9a - 6b + 14$

(e) $-3y + 8 - 3x$ ରୁ $10x + 2 + 10y$

(f) $7h - 8g + 20$ ରୁ $8g + 4h - 10$

✅ Answer 9 (ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ):

(a) $(6a + 9b - 18) - (9a - 6b + 14)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 6a + 9b - 18 - 9a + 6b - 14$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (6a - 9a) + (9b + 6b) + (-18 - 14)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-3a + 15b - 32$$

(b) $(7y - 10 + 3x) - (-15x + 13 - 9y)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 7y - 10 + 3x + 15x - 13 + 9y$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (3x + 15x) + (7y + 9y) + (-10 - 13)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$18x + 16y - 23$$

© $(11 - 10g + 3h) - (17g + 9 - 7h)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 11 - 10g + 3h - 17g - 9 + 7h$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (-10g - 17g) + (3h + 7h) + (11 - 9)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-27g + 10h + 2$$

(d) $(6a - (9b + 18)) - (9a - 6b + 14)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ସମସ୍ତ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 6a - 9b - 18 - 9a + 6b - 14$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (6a - 9a) + (-9b + 6b) + (-18 - 14)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-3a - 3b - 32$$

(e) $(-3y + 8 - 3x) - (10x + 2 + 10y)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= -3y + 8 - 3x - 10x - 2 - 10y$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (-3x - 10x) + (-3y - 10y) + (8 - 2)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-13x - 13y + 6$$

(f) $(7h - 8g + 20) - (8g + 4h - 10)$

• ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ସହ ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିଲେ:

  $$= 7h - 8g + 20 - 8g - 4h + 10$$

• ସଦୃଶ ପଦ ଗୁଡିକୁ ଏକାଠି କଲେ:

  $$= (-8g - 8g) + (7h - 4h) + (20 + 10)$$

  ଉତ୍ତର:

  $$-16g + 3h + 30$$
  🌟 WithTeachers.in🌟

❓ Question 10:

ନିମ୍ନସ୍ଥ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡିକୁ ପରିସ୍ଥିତି ଅନୁସାରେ ସାଧାରଣ ଉକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(a) $8x + 3y$

(b) $15x - 2x$

✅ Answer 10 (ସମାଧାନ):

ଏହି ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ଦୈନନ୍ଦିନ ପରିସ୍ଥିତିରେ ନିମ୍ନମତେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ 🗣️:

(a) $8x + 3y$

• ଉକ୍ତି (Statement): “ଯଦି ଗୋଟିଏ କଲମର ମୂଲ୍ୟ $x$ ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଖାତାର ମୂଲ୍ୟ $y$ ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ 8 ଟି କଲମ ଏବଂ 3 ଟି ଖାତାର ମୋଟ ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ।” 🖊️📓

(b) $15x - 2x$

• ଉକ୍ତି (Statement): “ଗୋଟିଏ ବସ୍ତାରେ $15x$ କି.ଗ୍ରା. ଚାଉଳ ଥିଲା। ସେଥିରୁ $2x$ କି.ଗ୍ରା. ଚାଉଳ ରୋଷେଇ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର ହେବା ପରେ ବର୍ତ୍ତମାନ ବସ୍ତାରେ ବଳକା ଥିବା ଚାଉଳର ପରିମାଣ।” 🍚

❓ Question 11:

ଏକ ସିଧା ଦଉଡିର କଳ୍ପନା କର । ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇବା ପରି ଥରେ କାଟିଲେ ଆମେ 2 ଖଣ୍ଡ ଦଉଡି ପାଇବା । ଯଦି ଦଉଡିଟିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦେଖାହେବା ପରି ଗୋଟିଏ ଭାଙ୍ଗକରି କଟାଯାଏ ଆମେ 3 ଖଣ୍ଡ ଦଉଡି ପାଇବା ।

ସଂରଚନାଟିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଏବଂ ଦଉଡିଟି ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇଲା ପରି ଦଶଥର ଭାଙ୍ଗ କରି କାଟିଲେ କେତେ ଖଣ୍ଡ ଦଉଡି ମିଳିବ ? ଦଉଡିକୁ $r$ ଥର ଭାଙ୍ଗକରି କାଟିବା ପରେ ମିଳୁଥିବା ଦଉଡିଖଣ୍ଡ ଗୁଡିକର ସଂଖ୍ୟା ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ରୂପ ଦେଇ ପାରିବା କି ? 🪢✂️

🌟 WithTeachers.in🌟
✅ Answer 11 (ସମାଧାନ):

ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ସଂରଚନା ବା ପ୍ରତିରୂପ (Pattern) କୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ ଆମେ ଦେଖିବା ଯେ 🔍:

• ବିନା ଭାଙ୍ଗରେ (0 ଥର ଭାଙ୍ଗି) ଥରେ କାଟିଲେ ମିଳୁଥିବା ଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା = 2

• 1 ଥର ଭାଙ୍ଗି କାଟିଲେ ମିଳୁଥିବା ଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା = 3 (ଅର୍ଥାତ୍ $1 + 2$)

• 2 ଥର ଭାଙ୍ଗି କାଟିଲେ ମିଳୁଥିବା ଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା = 4 (ଅର୍ଥାତ୍ $2 + 2$)

ଏହି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର ଭାଙ୍ଗିଲେ ଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା ଭାଙ୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ 2 ଅଧିକ ହେଉଛି। ତେଣୁ:

1. ଦଶଥର ଭାଙ୍ଗ କରି କାଟିଲେ: ମିଳିବାକୁ ଥିବା ଦଉଡ଼ି ଖଣ୍ଡର ସଂଖ୍ୟା ହେବ

   $$10 + 2 = 12$$

   ଖଣ୍ଡ।

2. $r$ ଥର ଭାଙ୍ଗକରି କାଟିବା ପରେ: ମିଳୁଥିବା ଦଉଡିଖଣ୍ଡ ଗୁଡିକର ସଂଖ୍ୟାର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେବ

   $$r + 2$$

❓ Question 12:

ନିମ୍ନସ୍ଥ ଦିଆସିଲି କାଠିର ସଂରଚନାକୁ ଦେଖ ଏବଂ ସଂରଚନାକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଏହିପରି 10 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ । ‘$w$’ ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ ? 🔲🔥

✅ Answer 12 (ସମାଧାନ):

ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂରଚନା (Pattern) କୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ ଆମେ ଦେଖିବା ଯେ:

• 1 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ଦରକାର କାଠି ସଂଖ୍ୟା = 4

• 2 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ଦରକାର କାଠି ସଂଖ୍ୟା = 7 (ଅର୍ଥାତ୍ $4 + 3$)

• 3 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ଦରକାର କାଠି ସଂଖ୍ୟା = 10 (ଅର୍ଥାତ୍ $7 + 3$)

ଏହି ସଂରଚନାରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, ପ୍ରଥମ ବର୍ଗଟି ପାଇଁ 4 ଟି କାଠି ଲାଗୁଥିବା ବେଳେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା ଯାଉଥିବା ବର୍ଗ ପାଇଁ ଅତିରିକ୍ତ 3 ଟି ଲେଖାଏଁ କାଠି ଦରକାର ହେଉଛି ।

• ତେଣୁ ‘$w$’ ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ କାଠିର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (ସୂତ୍ର) ହେବ:

  $$1 + 3 \times w$$

  ବା

  $$3w + 1$$

• ଏହି ସୂତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି, 10 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ($w = 10$) କାଠି ସଂଖ୍ୟା ହେବ:

  $$3(10) + 1 = 30 + 1 = 31$$

ଉତ୍ତର: 10 ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ 31 ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ ଏବଂ ‘$w$’ ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ $3w + 1$ ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ ।

❓ Question 13:

ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତର କିପରି ରଙ୍ଗ ଗୁଡିକ ବଦଳିଥାଏ ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଛ କି ? ରଙ୍ଗ ପରିବର୍ତ୍ତନର କ୍ରମ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

90, 190 ଏବଂ 343 ତମ ସ୍ଥାନରେ କେଉଁ କେଉଁ ରଙ୍ଗ ରହିବ ? ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନରେ ରଙ୍ଗର ଅବସ୍ଥାନ ପାଇଁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ପରିକଳ୍ପନା କର ଓ ତାହାକୁ ସୂତ୍ର ରୂପେ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରଶ୍ନ ଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । 🚦🔴🟡🟢

✅ Answer 13 (ସମାଧାନ):

ପ୍ରଥମେ ରଙ୍ଗର କ୍ରମ (Cycle) କୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବା:

• 1ମ ସ୍ଥାନ - ଲାଲ୍ (Red) 🔴

• 2ୟ ସ୍ଥାନ - ହଳଦିଆ (Yellow) 🟡

• 3ୟ ସ୍ଥାନ - ସବୁଜ (Green) 🟢

• 4ର୍ଥ ସ୍ଥାନ - ହଳଦିଆ (Yellow) 🟡

• 5ମ ସ୍ଥାନ - ପୁଣି ଲାଲ୍ (Red) 🔴 …

କ୍ରମଟି ପ୍ରତି 4 ଟି ସ୍ଥାନ ପରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେଉଛି ।

ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ତଥା ସୂତ୍ର (Formula): ମନେକର ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନର କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ‘$n$’ । ଆମେ ‘$n$’ କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା । ମିଳୁଥିବା ଭାଗଶେଷ (Remainder) ଉପରେ ରଙ୍ଗ ନିର୍ଭର କରିବ:

• ଯଦି $n = 4k + 1$ (ଭାଗଶେଷ 1), ତେବେ ରଙ୍ଗ ଲାଲ୍ (Red)

• ଯଦି $n = 4k + 2$ (ଭାଗଶେଷ 2), ତେବେ ରଙ୍ଗ ହଳଦିଆ (Yellow)

• ଯଦି $n = 4k + 3$ (ଭାଗଶେଷ 3), ତେବେ ରଙ୍ଗ ସବୁଜ (Green)

• ଯଦି $n = 4k$ (ଭାଗଶେଷ 0 ବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ), ତେବେ ରଙ୍ଗ ହଳଦିଆ (Yellow)

ଏହି ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

.1. 90 ତମ ସ୍ଥାନ: 90 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $90 = 4 \times 22 + 2$ । ଏଠାରେ ଭାଗଶେଷ ହେଉଛି 2 ।

ତେଣୁ, 90 ତମ ସ୍ଥାନରେ ହଳଦିଆ (Yellow) 🟡 ରଙ୍ଗ ରହିବ ।

.2. 190 ତମ ସ୍ଥାନ: 190 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $190 = 4 \times 47 + 2$ । ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ଭାଗଶେଷ ହେଉଛି 2 ।

ତେଣୁ, 190 ତମ ସ୍ଥାନରେ ମଧ୍ୟ ହଳଦିଆ (Yellow) 🟡 ରଙ୍ଗ ରହିବ ।

.3. 343 ତମ ସ୍ଥାନ: 343 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ: $343 = 4 \times 85 + 3$ । ଏଠାରେ ଭାଗଶେଷ ହେଉଛି 3 ।

ତେଣୁ, 343 ତମ ସ୍ଥାନରେ ସବୁଜ (Green) 🟢 ରଙ୍ଗ ରହିବ ।

❓ Question 14:

ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂରଚନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ଚତୁର୍ଥ, ଦଶମ ଓ 50 ତମ ସ୍ଥାନରେ କେତୋଟି ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ରହିବ ? ଏଥିପାଇଁ ସାଧାରଣ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ । ଯଦି ଆମେ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବାକୁ ଚାହୁଁ ତେବେ ସୂତ୍ର କିପରି ବଦଳିଯିବ ? 🟧🔍

✅ Answer 14 (ସମାଧାନ ପଦକ୍ଷେପ):

୧. ଚିତ୍ରରୁ ସଂରଚନା (Pattern) ବିଶ୍ଳେଷଣ:

ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରଥମେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବା:

• 1ମ ସ୍ଥାନରେ: ମଝିରେ 1 ଟି ଏବଂ ଚାରିପାଖେ 4 ଟି, ମୋଟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 5 (ଯାହାକି $4 \times 1 + 1$)

• 2ୟ ସ୍ଥାନରେ: ମଝିରେ 1 ଟି ଏବଂ 4 ଟି ଶାଖାରେ 2 ଟି ଲେଖାଏଁ, ମୋଟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 9 (ଯାହାକି $4 \times 2 + 1$)

• 3ୟ ସ୍ଥାନରେ: ମଝିରେ 1 ଟି ଏବଂ 4 ଟି ଶାଖାରେ 3 ଟି ଲେଖାଏଁ, ମୋଟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 13 (ଯାହାକି $4 \times 3 + 1$)

୨. ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର (General Formula):

ଉପରୋକ୍ତ ସଂରଚନାରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, ଯଦି ସ୍ଥାନର କ୍ରମାଙ୍କ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ‘$n$’ ହୁଏ, ତେବେ ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କରିବାର ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର ହେବ:

$$4n + 1$$

୩. ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ:

ଏହି ସୂତ୍ର ($4n + 1$) ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ଅନ୍ୟ ସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଉତ୍ତର ବାହାର କରିପାରିବା:

• ଚତୁର୍ଥ (4ର୍ଥ) ସ୍ଥାନରେ ($n = 4$):

  $$4(4) + 1 = 16 + 1 = 17$$

  ଟି ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ରହିବ ।

• ଦଶମ (10ମ) ସ୍ଥାନରେ ($n = 10$):

  $$4(10) + 1 = 40 + 1 = 41$$

  ଟି ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ରହିବ ।

• 50 ତମ ସ୍ଥାନରେ ($n = 50$):

  $$4(50) + 1 = 200 + 1 = 201$$

  ଟି ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ରହିବ ।

୪. ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସୂତ୍ର (Formula for Number of Vertices):

• ଗୋଟିଏ ବର୍ଗର 4 ଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ । ଚିତ୍ରରେ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ଠାରୁ ଅଲଗା (Disjoint) ଭାବରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇଛନ୍ତି (କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ସାଧାରଣ ବା Common ନୁହେଁ) ।

• ତେଣୁ, ମୋଟ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା = $4 \times$ (ମୋଟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା)

• ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ସୂତ୍ର ($4n + 1$) କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିଲେ, ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଗଣିବା ପାଇଁ ନୂତନ ସୂତ୍ରଟି ହେବ:

  $$4(4n + 1)$$

  ବା ସରଳ କଲେ

  $$16n + 4$$

❓ Question 15:

ଏକ ସମାନ ଚଉଡ଼ା ସ୍ତମ୍ଭ ଭିତରେ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ଲେଖାଯାଇଛି । (ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଟେବୁଲ୍ କୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର) 📊

(a) ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟିଏ ଲେଖ । (1, 2, 3, 4)

✅ Answer (a):

ଯଦି ଆମେ ଧାଡ଼ି (Row) ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘$n$’ ଭାବରେ ନେଉ ($n = 1, 2, 3...$), ତେବେ ଟେବୁଲର ସଂରଚନା ଅନୁସାରେ 4 ଟି ଯାକ ସ୍ତମ୍ଭ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶ ଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନମତେ ହେବ:

• ସ୍ତମ୍ଭ 1 ପାଇଁ (Column 1):

  $$4n - 3$$

• ସ୍ତମ୍ଭ 2 ପାଇଁ (Column 2):

  $$4n - 2$$

• ସ୍ତମ୍ଭ 3 ପାଇଁ (Column 3):

  $$4n - 1$$

• ସ୍ତମ୍ଭ 4 ପାଇଁ (Column 4):

  $$4n$$

(ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର: ଯଦି ସ୍ତମ୍ଭ କ୍ରମାଙ୍କ ‘$c$’ ହୁଏ, ତେବେ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ:

$$4n - (4 - c)$$

)

❓ Question (b):

କେଉଁ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଦେଖାଯିବ ?

(i) 124

(ii) 147

(iii) 201

ସଂଖ୍ୟାଟି କେଉଁ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଅଛି ଜାଣିବା ପାଇଁ, ଆମେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା। ଭାଗଫଳରୁ ଧାଡ଼ି ଏବଂ ଭାଗଶେଷରୁ ସ୍ତମ୍ଭ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯିବ। ➗

• (i) 124: $124 \div 4 = 31$ (ଭାଗଶେଷ 0)

  ଯେହେତୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ (ଭାଗଶେଷ 0), ଏହା ଶେଷ ସ୍ତମ୍ଭରେ ରହିବ।

  ଉତ୍ତର: ଧାଡ଼ି 31, ସ୍ତମ୍ଭ 4 ।

• (ii) 147: $147 \div 4 = 36$ (ଭାଗଶେଷ 3)

  ଏହାର ଅର୍ଥ 36 ଟି ଧାଡ଼ି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୋଇ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଧାଡ଼ିର 3ୟ ସ୍ଥାନରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଛି ।

  ଉତ୍ତର: ଧାଡ଼ି 37 ($36 + 1$), ସ୍ତମ୍ଭ 3 ।

• (iii) 201: $201 \div 4 = 50$ (ଭାଗଶେଷ 1)

  ଏହାର ଅର୍ଥ 50 ଟି ଧାଡ଼ି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୋଇ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଧାଡ଼ିର 1ମ ସ୍ଥାନରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଛି ।

  ଉତ୍ତର: ଧାଡ଼ି 51 ($50 + 1$), ସ୍ତମ୍ଭ 1 ।

❓ Question ©:

‘$r$’ ଧାଡ଼ି ଏବଂ ‘$c$’ ସ୍ତମ୍ଭରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦେଖାଯିବ ?

✅ Answer ©:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ 4 ଟି ଲେଖାଏଁ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ତେଣୁ ‘$r$’ ତମ ଧାଡ଼ି ପୂର୍ବରୁ ଥିବା $(r - 1)$ ଟି ଧାଡ଼ିରେ ମୋଟ $4(r - 1)$ ଟି ସଂଖ୍ୟା ଥିବ। ସେହି ଅନୁସାରେ ‘$r$’ ଧାଡ଼ିର ‘$c$’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେବ:

$$4(r - 1) + c$$

ବା ସରଳ କଲେ

$$4r - 4 + c$$

❓ Question (d):

3 ର ଗୁଣିତକ ମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ତୁମେ ଏଥିରେ କୌଣସି ସଂରଚନା ଦେଖୁଛ କି ? ତୁମେ ଦେଖୁଥିବା ଅନ୍ୟ ସଂରଚନା ଗୁଡ଼ିକର ତାଲିକା କର । (ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା)

✅ Answer (d):

3 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: 3, 6, 9, 12, 15… ଇତ୍ୟାଦି।

ଗ୍ରିଡ୍ ରେ ଏମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନ ହେଉଛି: (ଧାଡ଼ି 1, ସ୍ତମ୍ଭ 3), (ଧାଡ଼ି 2, ସ୍ତମ୍ଭ 2), (ଧାଡ଼ି 3, ସ୍ତମ୍ଭ 1), (ଧାଡ଼ି 3, ସ୍ତମ୍ଭ 4), (ଧାଡ଼ି 4, ସ୍ତମ୍ଭ 3)…

• ସଂରଚନା (Pattern) ଦର୍ଶନ ୧: ହଁ, 3 ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ ଗ୍ରିଡ୍ ରେ ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ କୋଣାକୋଣି (diagonally backwards) ଗତି କରୁଛନ୍ତି (ସ୍ତମ୍ଭ 3 ➡️ ସ୍ତମ୍ଭ 2 ➡️ ସ୍ତମ୍ଭ 1)। 1ମ ସ୍ତମ୍ଭରେ ପହଞ୍ଚିବା ପରେ, ପରବର୍ତ୍ତୀ ଗୁଣିତକଟି ପୁଣି 4ର୍ଥ ସ୍ତମ୍ଭରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ ସମାନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପୁନରାବୃତ୍ତି କରୁଛି। 🔄

• ଅନ୍ୟ ସଂରଚନା (Other Patterns):

  1. ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା କ୍ରମାଗତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ ସର୍ବଦା 4 ରହୁଛି (ଯେପରିକି 1ମ ସ୍ତମ୍ଭରେ: 1, 5, 9, 13)।

  2. 4 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକ କେବଳ 4ର୍ଥ ସ୍ତମ୍ଭରେ ହିଁ ଅବସ୍ଥିତ (4, 8, 12, 16…)।

  3. କୌଣସି ବି ଅଯୁଗ୍ମ (Odd) ସଂଖ୍ୟା 2ୟ କିମ୍ବା 4ର୍ଥ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଦେଖାଯିବ ନାହିଁ; ସେଗୁଡ଼ିକ କେବଳ 1ମ ଓ 3ୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଅଛନ୍ତି।