Page No- 54 "ନିଜେ କରି ଦେଖ"

❓ 1. କାଠି ସାହାଯ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ଉପସ୍ଥାପନ କରି ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣ କରିବାର ଉପାୟ:

✍️ ଉତ୍ତର: ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା (1, 2, 3…) ର ବ୍ୟବହାର ନ କରି କେବଳ କାଠି ମାଧ୍ୟମରେ ଆମେ ନିମ୍ନମତେ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା କରିପାରିବା:

• ଯୋଗ (Addition): ଦୁଇଟି ଅଲଗା ଅଲଗା କାଠି ସମୂହକୁ ଆଣି ଏକାଠି ମିଶାଇ ଦେଲେ, ମୋଟ କାଠିଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗଫଳ ଦର୍ଶାଇବ। (ଯଥା: | | ଏବଂ | | | କୁ ଏକାଠି ରଖିଲେ ମୋଟ | | | | | ହେବ)।

• ବିୟୋଗ (Subtraction): ଗୋଟିଏ ବଡ଼ କାଠି ସମୂହରୁ ଏକ ସାନ ସମୂହର ସମାନ ପରିମାଣର କାଠି ବାହାର କରିଦେଲେ, ବଳକା କାଠିଗୁଡ଼ିକ ବିୟୋଗଫଳ ଦର୍ଶାଇବ।

• ଗୁଣନ (Multiplication): ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କାଠି ସମୂହକୁ ଏକାଧିକ ଥର ପୁନରାବୃତ୍ତି କରି ଏକାଠି କଲେ ଗୁଣଫଳ ମିଳିବ। (ଯଥା: | | କୁ 3 ଥର ଏକାଠି କଲେ | | | | | | ଅର୍ଥାତ୍ ମୋଟ | | | | | | ହେବ)।

• ହରଣ (Division): ଏକ ବଡ଼ କାଠି ସମୂହକୁ ସମାନ ଭାଗରେ (ଛୋଟ ଛୋଟ ଦଳରେ) ବାଣ୍ଟିଲେ, କେତୋଟି ସମାନ ଦଳ ସୃଷ୍ଟି ହେଲା ତାହା ଭାଗଫଳ ଦର୍ଶାଇବ।

❓ 2. ଦ୍ୱିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ (ଅକ୍ଷର ବ୍ୟବହାର କରି) ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇବା:

✍️ ଉତ୍ତର: ଯଦି 1 ପାଇଁ ‘a’, 2 ପାଇଁ ‘b’ ଏବଂ 26 ପାଇଁ ‘z’ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ, ତେବେ 26 ପରେ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ସରିଯିବ। ଏହାକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇବା ପାଇଁ ଆମେ ଏକାଧିକ ଅକ୍ଷରର ସମାହାର (ଯୋଡ଼ି) ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା। ଯଥା:

• 27 ପାଇଁ aa

• 28 ପାଇଁ ab

• 29 ପାଇଁ ac … ଏବଂ ଏହିପରି az (ଯାହା 52 କୁ ବୁଝାଇବ) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ।

• ତା’ପରେ ପୁଣି ba, bb, bc କ୍ରମରେ ଆଗକୁ ବଢ଼ିପାରିବ। (ଆଧୁନିକ ଯୁଗରେ ଏହାକୁ କମ୍ପ୍ୟୁଟରର ଏକ୍ସେଲ୍-ସିଟ୍ (MS Excel) ର କଲମ୍ ନାମକରଣରେ ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ)।

❓ 3. ନିଜେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ ଚେଷ୍ଟାକର:

✍️ ଉତ୍ତର: ଆମେ ନିଜେ ଯେକୌଣସି ନୂଆ ଚିତ୍ର ବା ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ମଜାଦାର ପ୍ରଣାଳୀ ତିଆରି କରିପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ:

• △ (ତ୍ରିଭୁଜ) = 1

• ☐ (ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର) = 5

• ◯ (ବୃତ୍ତ) = 10

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଯଦି ଆମକୁ 17 ଲେଖିବାକୁ ହୁଏ, ତେବେ ଆମେ ଏହାକୁ ◯ ☐ △ △ ($10 + 5 + 1 + 1$) ଆକାରରେ ଲେଖିପାରିବା।

Page No-56

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ସେମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ନାମଗୁଡିକ କିପରି ଗଠିତ ହୋଇଛି, ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି ? … ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାନାମଗୁଡିକ କିପରି ଗଠିତ ହୋଇଛି, ତାହା ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି ?

✍️ ଉତ୍ତର:

ହଁ, ଆମେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛୁ ଯେ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 2, 2 କରି (ଯୋଡ଼ା ବା ଦୁଇର ସମୂହରେ) ଗଣାଯାଉଛି। ଏହି ପଦ୍ଧତିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନମତେ ଗଠିତ ହୋଇଛି:

• $3 = 2 + 1$ (ଉକାସର - ଉରାପୋନ)

• $4 = 2 + 2$ (ଉକାସର - ଉକାସର)

• $5 = 2 + 2 + 1$ (ଏହାର ସଂଖ୍ୟାନାମ ହେବ: ଉକାସର - ଉକାସର - ଉରାପୋନ)

• $6 = 2 + 2 + 2$ (ଏହାର ସଂଖ୍ୟାନାମ ହେବ: ଉକାସର - ଉକାସର - ଉକାସର)

ମୂଳତଃ, ଯେକୌଣସି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରିବା ପାଇଁ ଏଠାରେ କେବଳ 1 (‘ଉରାପୋନ’) ଏବଂ 2 (‘ଉକାସର’) ର ସଂଖ୍ୟାନାମକୁ ବାରମ୍ବାର ଯୋଗ କରି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି। (ଏହା ହେଉଛି ଅଷ୍ଟ୍ରେଲିଆର ଗୁମୁଲଗାଲ୍ ଆଦିବାସୀ ସମ୍ପ୍ରଦାୟର ଏକ ପ୍ରାଚୀନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ)।

Page No- 57

ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ଓ ଦ୍ରୁତ ଗଣନାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

• ବାକ୍ସ ୧ (କୁକୁଡ଼ା): 2 (ସହଜରେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

• ବାକ୍ସ ୨ (ଫୁଲ): ଅନେକ (ଏକାଥରକେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରିବା ଅସମ୍ଭବ)

• ବାକ୍ସ ୩ (କଣ୍ଢେଇ): 4 (ସହଜରେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

• ବାକ୍ସ ୪ (ପାହାଚ): ଅନେକ (ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରିବା କଷ୍ଟକର)

• ବାକ୍ସ ୫ (କୁକୁର): 1 (ସହଜରେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

• ବାକ୍ସ ୬ (ଅଙ୍ଗୁର ଥେନ୍ତା): ଅନେକ (ଏକାଥରକେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରିବା ଅସମ୍ଭବ)

• ବାକ୍ସ ୭ (ସେଓ): 5 (ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

• ବାକ୍ସ ୮ (ପେନ୍‌ସିଲ୍/କାଠି): 6 (ସାମାନ୍ୟ ଚେଷ୍ଟାରେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

• ବାକ୍ସ ୯ (ପିରାମିଡ୍): 2 (ସହଜରେ ଦ୍ରୁତ ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ)

✍️ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ:

ମଣିଷର ମସ୍ତିଷ୍କ ସାଧାରଣତଃ ୧ ରୁ ୫ ଟି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବସ୍ତୁକୁ ବିନା ଗଣନାରେ କେବଳ ଥରେ ଦେଖି ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ କହିପାରେ। କିନ୍ତୁ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ବସ୍ତୁ (ଯେପରିକି ଫୁଲ, ପାହାଚ ଏବଂ ଅଙ୍ଗୁର) କୁ ଥରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି ତୁରନ୍ତ ଗଣିବା କଷ୍ଟକର ହୋଇଥାଏ, ସେଥିପାଇଁ ଗୋଟି ଗୋଟି କରି ଗଣିବା ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ।

Page No- 58

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଆକାରର ସମୂହକୁ ନେଇ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବା ପ୍ରଣାଳୀର ବ୍ୟବହାର ଯୋଗୁଁ କେଉଁ ସବୁ ଅସୁବିଧା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥାଏ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା (ଯେପରିକି ୨ ବା ୫) ର ସମୂହକୁ ନେଇ ଗଣିବା ଦ୍ୱାରା ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସହଜରେ ଗଣାଯାଇପାରେ କିମ୍ବା ଟାଲି (Tally) କରାଯାଇପାରେ। କିନ୍ତୁ ପ୍ରଧାନ ଅସୁବିଧା ହେଉଛି, ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ କଷ୍ଟଦାୟକ ଏବଂ ଅସୁବିଧାଜନକ ହୋଇଥାଏ। ବହୁତ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିବା ପାଇଁ ସେହି ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାରର ସମୂହକୁ ବାରମ୍ବାର (ଶହ ଶହ କିମ୍ବା ହଜାର ହଜାର ଥର) ଲେଖିବାକୁ ପଡ଼ିବ, ଯାହାକି ସମୟସାପେକ୍ଷ ଏବଂ ଭ୍ରମ ସୃଷ୍ଟି କରିଥାଏ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: କେବଳ 5 ର ସମୂହରେ ଗଣନା କରି ତିଆରି ହୋଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ତୁମେ 1345କୁ କିପରି ପରିପ୍ରକାଶ କରିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

କେବଳ ‘5 ର ସମୂହ’ ପ୍ରଣାଳୀରେ 1345 କୁ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା ଅର୍ଥ ହେଉଛି, ଆମକୁ 1345 ଭିତରେ କେତୋଟି ‘5’ ଅଛି ତାହା ବାହାର କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ଗଣନା: $1345 \div 5 = 269$

ଅର୍ଥାତ୍, ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ 1345 କୁ ଲେଖିବା ପାଇଁ ଆମକୁ “5 ର ସମୂହ” କୁ 269 ଥର ଲେଖିବାକୁ କିମ୍ବା ଦର୍ଶାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଏହା ଏକ ଅତି ଲମ୍ବା ଏବଂ ଅବ୍ୟବହାରିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା। ଏଥୁରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ପ୍ରମାଣିତ ହୁଏ ଯେ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୂହ (Base) ର ବ୍ୟବହାର ଫଳପ୍ରଦ ନୁହେଁ।

Page No- 59 “ନିଜେ କରି ଦେଖ”

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ଭାଙ୍ଗି ଲେଖିଲେ:

(i) 1222

• ଗଣନା: $1000 + 200 + 20 + 2$

• ରୋମାନ୍ ସଂକେତ: $M + CC + XX + II$

• ଉତ୍ତର: MCCXXII

(ii) 2999

• ଗଣନା: $2000 + 900 + 90 + 9$

• ରୋମାନ୍ ସଂକେତ: $MM + CM + XC + IX$

• ଉତ୍ତର: MMCMXCIX

(iii) 302

• ଗଣନା: $300 + 2$

• ରୋମାନ୍ ସଂକେତ: $CCC + II$

• ଉତ୍ତର: CCCII

(iv) 715

• ଗଣନା: $700 + 10 + 5$

• ରୋମାନ୍ ସଂକେତ: $DCC + X + V$

• ଉତ୍ତର: DCCXV

Page No- 60

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନ କରି ତୁମେ କିପରି ଗୁଣନ କରିବ ? ନିମ୍ନଲିଖିତ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡିଗୁଡିକର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର :

$V \times L$, $L \times D$, $V \times D$, $VII \times IX$

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

1. ଗୁଣନ କରିବାର ଉପାୟ:

ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ସ୍ଥାନୀୟ ମାନ (Place value) ଏବଂ ଶୂନ (0) ର ବ୍ୟବହାର ନଥିବାରୁ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସିଧାସଳଖ ଗୁଣନ କରିବା ଅତ୍ୟନ୍ତ କଷ୍ଟକର। ଏହି କାରଣରୁ ପ୍ରାଚୀନ ରୋମାନମାନେ ଗୁଣନ ଓ ଭାଗ ଭଳି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ମୌଖିକ ବା ଲିଖିତ ଆକାରରେ ନକରି, ତାହାକୁ ସମ୍ପାଦନ କରିବା ପାଇଁ ଆବାକସ୍ (Abacus) ନାମକ ଏକ ଉପକରଣ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ।

2. ଦିଆଯାଇଥିବା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ:

ଗଣନା କରିବା ସହଜ ହେବାପାଇଁ ଆମେ ପ୍ରଥମେ ଏହାକୁ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ବୁଝିବା ଏବଂ ତା’ପରେ ରୋମାନ୍ ସଂକେତରେ ଲେଖିବା:

• $V \times L$ $\rightarrow$ ($5 \times 50$) = $250$ $\rightarrow$ CCL

• $L \times D$ $\rightarrow$ ($50 \times 500$) = $25000$ $\rightarrow$ $\overline{XXV}$ (ସାଧାରଣତଃ 4000 ରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ରୋମାନ୍‌ରେ ସଂକେତ ଉପରେ ଏକ ଗାର ବା ରେଖା ଦିଆଯାଏ, ଯାହାର ଅର୍ଥ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର 1000 ଗୁଣ। ତେଣୁ 25 ର 1000 ଗୁଣ ପାଇଁ $XXV$ ଉପରେ ରେଖା ଦିଆଯାଏ)

• $V \times D$ $\rightarrow$ ($5 \times 500$) = $2500$ $\rightarrow$ MMD

• $VII \times IX$ $\rightarrow$ ($7 \times 9$) = $63$ $\rightarrow$ LXIII

(ପୃଷ୍ଠା 60 ଏବଂ 61) ଥିବା “ନିଜେ କରି ଦେଖ”

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗରୀୟ ଦ୍ୱୀପର ଏକ ଆଦିବାସୀ ସମ୍ପ୍ରଦାୟ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁକୁ ଜାଣିବା ପାଇଁ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାନାମର କ୍ରମକୁ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ। ତେବେ ଚିନ୍ତା କରି କହ, ସେମାନେ କାହିଁକି ଏପରି କରୁଥିଲେ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରାଚୀନ କାଳରେ ମଣିଷମାନଙ୍କର ବିମୂର୍ତ୍ତ (abstract) ସଂଖ୍ୟା ଧାରଣା ନଥିଲା। ଅର୍ଥାତ୍ ‘5’ କହିଲେ କେବଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ, ବରଂ ‘5 ଟି ପକ୍ଷୀ’ ଏବଂ ‘5 ଟି ପଥର’ କୁ ସେମାନେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଲଗା ବୋଲି ଭାବୁଥିଲେ। ବସ୍ତୁର ଆକାର, ପ୍ରକୃତି (ଯେପରିକି ଲମ୍ବା, ଗୋଲ୍, ଜୀବିତ, ନିର୍ଜୀବ) ଅନୁସାରେ ସେମାନେ ଗଣିବା ପାଇଁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାନାମର ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ। ଏହା ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରାଥମିକ ଗଣନ ପଦ୍ଧତି ଥିଲା।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ‘ଗୁମୁଲଗାଲ’ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଗୁଡ଼ିକୁ ମୂଲ୍ୟାୟନ କର (ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର ନକରି):

(ସୂଚନା: ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ‘ଉକାସର’ = 2 ଏବଂ ‘ଉରାପୋନ’ = 1 ଅଟେ)

(i) (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉରାପୋନ) + (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉରାପୋନ)

• ଅର୍ଥାତ୍: $(2+2+2+2+1) + (2+2+2+1) = 9 + 7 = 16$

• ✍️ ଉତ୍ତର: (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର) (ଅର୍ଥାତ୍ ୮ ଥର ଉକାସର ଲେଖାଯିବ, କାରଣ $8 \times 2 = 16$)

(ii) (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉରାପୋନ) – (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର)

• ଅର୍ଥାତ୍: $9 - 6 = 3$

• ✍️ ଉତ୍ତର: (ଉକାସର - ଉରାପୋନ) (କାରଣ 3 = 2 + 1)

(iii) (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉରାପୋନ) $\times$ (ଉକାସର-ଉକାସର)

• ଅର୍ଥାତ୍: $9 \times 4 = 36$

• ✍️ ଉତ୍ତର: 18 ଥର ‘ଉକାସର’ ଲେଖାଯିବ (ଉକାସର-ଉକାସର… 18 ଥର, କାରଣ $18 \times 2 = 36$)

(iv) (ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର-ଉକାସର) $\div$ (ଉକାସର-ଉକାସର)

• ଅର୍ଥାତ୍: $16 \div 4 = 4$

• ✍️ ଉତ୍ତର: (ଉକାସର - ଉକାସର) (କାରଣ 4 = 2 + 2)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର କେଉଁ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ତୁଳନାରେ ଅଧିକ ଫଳପ୍ରଦ ବୋଲି ଭାବୁଛ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀ ଠାରୁ ଅଧିକ ଫଳପ୍ରଦ ହେବାର ମୁଖ୍ୟ କାରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

1. ସ୍ଥାନୀୟ ମାନ ପ୍ରଣାଳୀ (Place Value System): ହିନ୍ଦୁ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଙ୍କର ନିଜସ୍ୱ ସ୍ଥାନ ଅନୁଯାୟୀ ଏକ ମୂଲ୍ୟ ଥାଏ (ଯେପରିକି ଏକକ, ଦଶକ, ଶତକ), ଯାହାଦ୍ୱାରା ଯେକୌଣସି ବିଶାଳ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିବା ସହଜ ହୁଏ।

2. ଶୂନ (0) ର ବ୍ୟବହାର: ଶୂନ ଏକ ସ୍ଥାନ-ଧାରକ (Placeholder) ଭାବରେ କାମ କରେ, ଯାହା ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନଥିଲା।

3. ସୀମିତ ଅଙ୍କ: କେବଳ 10 ଟି ଅଙ୍କ (0 ରୁ 9) ବ୍ୟବହାର କରି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖିହୁଏ। କିନ୍ତୁ ରୋମାନ୍‌ରେ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ବହୁତ ଗୁଡ଼ିଏ ନୂଆ ସଂକେତ (I, V, X, L, C, D, M) ମନେ ରଖିବାକୁ ପଡ଼େ।

4. ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଜ: ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣ କରିବା ହିନ୍ଦୁ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଅତି ସହଜ, କିନ୍ତୁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏହା କଷ୍ଟକର ଓ ଜଟିଳ ଅଟେ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 4: ଏହି ବିଭାଗରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଥିବା ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ପୂର୍ବରୁ ସୃଷ୍ଟି କରିପାରିଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଅଧିକ ସୁନ୍ଦର ବା ପରିମାର୍ଜିତ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।

✍️ ଉତ୍ତର: (ଏହା ଏକ ସୃଜନଶୀଳ ଅଭ୍ୟାସ କାର୍ଯ୍ୟ)

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ତିଆରି କରିଥିବା ନିଜସ୍ୱ ସଂକେତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଯଦି ଆମେ ଦୁଇଟି ନୂଆ ଧାରଣା ଯୋଡ଼ିଦେବା ତେବେ ତାହା ପରିମାର୍ଜିତ ହୋଇପାରିବ:

.1. ଶୂନ (0) ପାଇଁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂକେତ ସୃଷ୍ଟି କରିବା (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: ଏକ ଫାଙ୍କା ବୃତ୍ତ ‘○’)।

.2. ସ୍ଥାନୀୟ ମାନ ଲାଗୁ କରିବା (ଯେପରି ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ ଆସିଲେ ସଂକେତର ମୂଲ୍ୟ ୧୦ ଗୁଣ ବଢ଼ିବ)। ଏହାଦ୍ୱାରା ଆମେ ବହୁତ କମ୍ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ବହୁତ ବଡ଼ ବଡ଼ ଗଣନା ସହଜରେ କରିପାରିବା।

ପୃଷ୍ଠା 62

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କର ।

(1023, 2660, 784, 1111, 70507)

✍️ ଉତ୍ତର:

• 1023 = 1000 + 20 + 3

  👉 1 ଟି ପଦ୍ମ ଫୁଲ (❀), 2 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ (∩ ∩), 3 ଟି ଗାର (| | |)

• 2660 = 2000 + 600 + 60

  👉 2 ଟି ପଦ୍ମ ଫୁଲ (❀ ❀), 6 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ (e e e e e e), 6 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ (∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩)

• 784 = 700 + 80 + 4

  👉 7 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ, 8 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ, 4 ଟି ଗାର

• 1111 = 1000 + 100 + 10 + 1

  👉 1 ଟି ପଦ୍ମ ଫୁଲ, 1 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ, 1 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ, 1 ଟି ଗାର

• 70507 = 70000 + 500 + 7

  👉 7 ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଚିହ୍ନ (𓂭), 5 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ (e), 7 ଟି ଗାର (|)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବୁଝାଏ ?

(i) * ବିଶ୍ଳେଷଣ: ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଉପରେ 2 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ/ସ୍ପାଇରାଲ୍ (2 × 100 = 200), ମଝିରେ 6 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ/∩ (6 × 10 = 60), ଏବଂ ତଳେ 7 ଟି ଗାର/| (7 × 1 = 7) ଅଛି।

• ଗଣନା: 200 + 60 + 7 = 267

• ✍️ ଉତ୍ତର: 267

(ii)

• ବିଶ୍ଳେଷଣ: ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଉପରେ 4 ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଚିହ୍ନ (4 × 10,000 = 40,000), ମଝିରେ 3 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ/ସ୍ପାଇରାଲ୍ (3 × 100 = 300), ଏବଂ ତଳେ 2 ଟି ଗାର ଓ 2 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ (2 + 20 = 22) ଅଛି।

• ଗଣନା: 40000 + 300 + 22 = 40322

• ✍️ ଉତ୍ତର: 40322

(ପୃଷ୍ଠା 63) ରେ ଥିବା "ନିଜେ କରି ଦେଖ"

** ସୂଚନା ( 5 ଆଧାରର ସଂକେତଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: △=1, ☐=5, ⬡=25, ଏବଂ 〇=125)**

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ସାରଣୀ - 2 ରେ ଥିବା ସଂକେତଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ । (15, 50, 137, 293, 651)

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

5 ଆଧାର (Base-5) ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 5 ର ଘାତ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ (ଯଥା: $1, 5, 25, 125, 625$)। ସାଂଖ୍ୟିକ ରୂପରେ ଏବଂ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ଏଗୁଡ଼ିକୁ ନିମ୍ନମତେ ଲେଖାଯିବ:

• 15 = $(3 \times 5) + (0 \times 1)$

  👉 5-ଆଧାରରେ ଅଙ୍କ: 30

  👉 ସଂକେତରେ: ☐ ☐ ☐

• 50 = $(2 \times 25) + (0 \times 5) + (0 \times 1)$

  👉 5-ଆଧାରରେ ଅଙ୍କ: 200

  👉 ସଂକେତରେ: ⬡ ⬡

• 137 = $(1 \times 125) + (0 \times 25) + (2 \times 5) + (2 \times 1)$

  👉 5-ଆଧାରରେ ଅଙ୍କ: 1022

  👉 ସଂକେତରେ: 〇 ☐ ☐ △ △

• 293 = $(2 \times 125) + (1 \times 25) + (3 \times 5) + (3 \times 1)$

  👉 5-ଆଧାରରେ ଅଙ୍କ: 2133

  👉 ସଂକେତରେ: 〇 〇 ⬡ ☐ ☐ ☐ △ △ △

• 651 = $(1 \times 625) + (0 \times 125) + (1 \times 25) + (0 \times 5) + (1 \times 1)$

  👉 5-ଆଧାରରେ ଅଙ୍କ: 10101

  (ଏଠାରେ 625 ପାଇଁ ଏକ ନୂଆ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂକେତ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ଯାହା ବହିରେ ଉଲ୍ଲେଖ ନାହିଁ, ତେଣୁ ଏହାକୁ ସାଂଖ୍ୟିକ ରୂପ 10101 ରେ ଲେଖିବା ସବୁଠାରୁ ସଠିକ୍)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି, ଯାହାକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରାଯାଇ ପାରିବ ନାହିଁ ? ଯଦି ହଁ କାହିଁକି, ଯଦି ନା କାହିଁକି ନୁହେଁ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ଯାହାକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇ ପାରିବ ନାହିଁ।

• କାରଣ: କାରଣ ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ର ଘାତ (Powers of 5) ଗୁଡ଼ିକର ବିଭିନ୍ନ ଗୁଣିତକ ରୂପେ ଭାଙ୍ଗି ଲେଖାଯାଇପାରିବ। ସ୍ଥାନୀୟ ମାନ (Place Value) ପ୍ରଣାଳୀର ନିୟମ ଅନୁସାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବେସ୍ (Base) ଗଠନ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ସର୍ବଦା ସମ୍ଭବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ଗୋଟିଏ 7 – ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ ସ୍ଥିର କର । ସାଧାରଣତଃ n–ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିର ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• 7-ଆଧାର (Base-7) ପାଇଁ: ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବ 7 ର ବିଭିନ୍ନ ଘାତ। ଅର୍ଥାତ୍:

  $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4 \dots$

  ସାଂଖ୍ୟିକ ମାନ: 1, 7, 49, 343, 2401 \dots ଇତ୍ୟାଦି।

• ସାଧାରଣତଃ n-ଆଧାର (Base-n) ପାଇଁ: ଯେକୌଣସି ‘n’ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବେ ‘n’ ର ଘାତ। ଅର୍ଥାତ୍:

  $n^0, n^1, n^2, n^3, n^4 \dots$ (ଯାହାକି ଆପଣଙ୍କ ପୃଷ୍ଠାର ଶେଷ ଧାଡ଼ିରେ ମଧ୍ୟ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଛି)।

ପୃଷ୍ଠା 65 ର ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତର

ନିଜେ କରି ଦେଖ

1. ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଲେଖ।

ମିଶରୀୟ ସଂକେତଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ହେଲା: ଗାର ବା Stroke | = 1, ଘୋଡ଼ାନାଲ ବା Heel bone ∩ = 10, କୁଣ୍ଡଳୀ ବା Spiral e = 100, ପଦ୍ମ ଫୁଲ ବା Lotus ❀ = 1000, ଆଙ୍ଗୁଠି ଚିହ୍ନ ବା Pointing finger 𓂭 = 10000

ପ୍ରଶ୍ନ (i) ର ସମାଧାନ

1. ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟିର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା:

• 9 ଟି ପଦ୍ମ ଫୁଲ = $9 \times 1000 = 9000$

• 6 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ = $6 \times 100 = 600$

• 8 ଟି ଗାର = $8 \times 1 = 8$

• ମୋଟ = 9608

2. ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟିର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା:

• 5 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ = $5 \times 100 = 500$

• 7 ଟି ଗାର = $7 \times 1 = 7$

• ମୋଟ = 507

3. ଉଭୟକୁ ଯୋଗ କରିବା:

• $9608 + 507 =$ 10115

4. ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଅନ୍ତିମ ଉତ୍ତର: 10115 କୁ ମିଶରୀୟ ସଂକେତରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ହେଲେ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ:

ପ୍ରଶ୍ନ (ii) ର ସମାଧାନ

1. ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟିର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା:

• 1 ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଚିହ୍ନ = $1 \times 10000 = 10000$

• 8 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ = $8 \times 10 = 80$

• ମୋଟ = 10080

2. ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟିର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା:

• 3 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ = $3 \times 10 = 30$

• 5 ଟି ଗାର = $5 \times 1 = 5$

• ମୋଟ = 35

3. ଉଭୟକୁ ଯୋଗ କରିବା:

• $10080 + 35 =$ 10115

4. ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଅନ୍ତିମ ଉତ୍ତର: ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ଏହାର ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଥମ ପ୍ରଶ୍ନ ସହ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ଆସୁଛି! 10115 କୁ ମିଶରୀୟ ସଂକେତରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ହେଲେ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ:

Page No-68

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ $\cap$ ସହିତ ଗୁଣନ କରିବାର ସରଳ ନିୟମ କ’ଣ ହେବ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ $\cap$ (10) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବାର ସରଳ ନିୟମଟି ହେଉଛି: ସେହି ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ସଂକେତକୁ ତାହାର ଠିକ୍ ପରବର୍ତ୍ତୀ ବଡ଼ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂକେତରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିଦେବା। ଏହାଦ୍ୱାରା ବିନା କୌଣସି ଜଟିଳ ହିସାବରେ ସିଧାସଳଖ ଗୁଣଫଳ ମିଳିଯାଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ:

• ଗାର | (1) ଥିଲେ ତାହା ବଦଳିଯାଇ ଘୋଡ଼ାନାଲ ∩ (10) ହେବ।

• ଘୋଡ଼ାନାଲ ∩ (10) ଥିଲେ ତାହା ବଦଳିଯାଇ କୁଣ୍ଡଳୀ e (100) ହେବ।

• କୁଣ୍ଡଳୀ e (100) ଥିଲେ ତାହା ବଦଳିଯାଇ ପଦ୍ମ ଫୁଲ ❀ (1000) ହେବ।

• ପଦ୍ମ ଫୁଲ ❀ (1000) ଥିଲେ ତାହା ବଦଳିଯାଇ ଆଙ୍ଗୁଠି ଚିହ୍ନ 𓂭 (10,000) ହେବ।

Page No-689

"ନିଜେ କରି ଦେଖ"
❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ଯାହାକୁ ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କଲେ ସଂକେତ 10 ଥରେ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ଥର ଆସିଥାଏ ? କାହିଁକି ନୁହେଁ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ଯେଉଁଥିରେ ଗୋଟିଏ ମିଶରୀୟ ସଂକେତ 10 କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ଥର ବ୍ୟବହାର ହେବ।

• କାରଣ: ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ 10 ଆଧାର (Base-10) ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ଅଟେ। ଏହି ନିୟମ ଅନୁସାରେ, ଯେତେବେଳେ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂକେତ 10 ଥର ହୋଇଯାଏ, ତାହା ମିଶିଯାଇ ତା’ର ଠିକ୍ ପରବର୍ତ୍ତୀ ବଡ଼ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂକେତରେ ପରିଣତ ହୋଇଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, 10 ଟି ଗାର (|) ମିଶି 1 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ (∩) ହୋଇଯାଏ, ଏବଂ 10 ଟି ଘୋଡ଼ାନାଲ ମିଶି 1 ଟି କୁଣ୍ଡଳୀ (e) ହୋଇଯାଏ। ତେଣୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂକେତ ସର୍ବାଧିକ 9 ଥର ହିଁ ରହିପାରିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: 4 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ନିଜର ଏକ ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀ ସୃଷ୍ଟିକର ଏବଂ 1 ରୁ 16 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲେଖ ।

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

4 ଆଧାର (Base-4) ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଆମେ କେବଳ 4 ଟି ଅଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରିବୁ: 0, 1, 2, 3। ଯେତେବେଳେ ସଂଖ୍ୟା 4 ହେବ, ଏହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ସ୍ଥାନକୁ ଘୁଞ୍ଚିଯିବ (ଯେପରି ଦଶମିକ ପ୍ରଣାଳୀରେ 10 ହେଲେ ହୁଏ)।

ଆସନ୍ତୁ 1 ରୁ 16 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 4 ଆଧାରରେ ଲେଖିବା:

• 1 $\rightarrow$ 1

• 2 $\rightarrow$ 2

• 3 $\rightarrow$ 3

• 4 $\rightarrow$ 10 (ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ 4, ଶୂନ 1)

• 5 $\rightarrow$ 11

• 6 $\rightarrow$ 12

• 7 $\rightarrow$ 13

• 8 $\rightarrow$ 20 (ଅର୍ଥାତ୍ ଦୁଇଟି 4)

• 9 $\rightarrow$ 21

• 10 $\rightarrow$ 22

• 11 $\rightarrow$ 23

• 12 $\rightarrow$ 30 (ଅର୍ଥାତ୍ ତିନୋଟି 4)

• 13 $\rightarrow$ 31

• 14 $\rightarrow$ 32

• 15 $\rightarrow$ 33

• 16 $\rightarrow$ 100 (ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ 16 ବା 4², ଶୂନ 4, ଶୂନ 1)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ଆମେ ତିଆରି କରିଥିବା 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ରେ ଗୁଣିବା ପାଇଁ ଏକ ସରଳ ନିୟମ ଲେଖ ।

✍️ ଉତ୍ତର:

5 ଆଧାର (Base-5) ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିବା ପାଇଁ ସରଳ ନିୟମଟି ହେଉଛି:

• ଯଦି ଆମେ ଅଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରୁଛୁ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଶୂନ (0) ଯୋଗ କରିଦେବାକୁ ହେବ। (ଉଦାହରଣ: Base-10 ରେ ଯେପରି 10 ଗୁଣିଲେ ଶେଷରେ 0 ଲାଗେ, Base-5 ରେ 5 ଗୁଣିଲେ ଶେଷରେ 0 ଲାଗିବ)।

• ଯଦି ଆମେ ଚିତ୍ର ବା ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରୁଛୁ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ସଂକେତକୁ ତାହାର ଠିକ୍ ପରବର୍ତ୍ତୀ ବଡ଼ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂକେତରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିଦେବାକୁ ହେବ।

Page-76

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ମାୟା ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ପ୍ରକାଶ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

(i) 77

• ବିଶ୍ଳେଷଣ: 77 କୁ ଆମେ ମାୟା ସ୍ଥାନୀୟ ମାନ (20 ଏବଂ 1) ଅନୁସାରେ ଭାଙ୍ଗିବା: $77 = (3 \times 20) + (17 \times 1)$

• ମାୟା ରୂପରେ (ଉପରୁ ତଳକୁ):

  • ଉପର ସ୍ଥାନ (20 ର ସ୍ଥାନ): 3 $\rightarrow$ 3 ଟି ବିନ୍ଦୁ (• • •)

  • ତଳ ସ୍ଥାନ (1 ର ସ୍ଥାନ): 17 $\rightarrow$ 3 ଟି ଗାର ଏବଂ 2 ଟି ବିନ୍ଦୁ

(ii) 100

• ବିଶ୍ଳେଷଣ: $100 = (5 \times 20) + (0 \times 1)$

• ମାୟା ରୂପରେ (ଉପରୁ ତଳକୁ):

  • ଉପର ସ୍ଥାନ (20 ର ସ୍ଥାନ): 5 $\rightarrow$ 1 ଟି ଗାର (—)

  • ତଳ ସ୍ଥାନ (1 ର ସ୍ଥାନ): 0 $\rightarrow$ ଶାମୁକା ଚିହ୍ନ

(iii) 361

• ବିଶ୍ଳେଷଣ: ଏଠାରେ ଆମେ ତୃତୀୟ ସ୍ଥାନ (360) ବ୍ୟବହାର କରିବା: $361 = (1 \times 360) + (0 \times 20) + (1 \times 1)$

• ମାୟା ରୂପରେ (ଉପରୁ ତଳକୁ):

  • ଉପର ସ୍ଥାନ (360 ର ସ୍ଥାନ): 1 $\rightarrow$ 1 ଟି ବିନ୍ଦୁ (•)

  • ମଝି ସ୍ଥାନ (20 ର ସ୍ଥାନ): 0 $\rightarrow$ ଶାମୁକା ଚିହ୍ନ

  • ତଳ ସ୍ଥାନ (1 ର ସ୍ଥାନ): 1 $\rightarrow$ 1 ଟି ବିନ୍ଦୁ (•)

(iv) 721

• ବିଶ୍ଳେଷଣ: $721 = (2 \times 360) + (0 \times 20) + (1 \times 1)$

• ମାୟା ରୂପରେ (ଉପରୁ ତଳକୁ):

  • ଉପର ସ୍ଥାନ (360 ର ସ୍ଥାନ): 2 $\rightarrow$ 2 ଟି ବିନ୍ଦୁ (• •)

  • ମଝି ସ୍ଥାନ (20 ର ସ୍ଥାନ): 0 $\rightarrow$ ଶାମୁକା ଚିହ୍ନ

  • ତଳ ସ୍ଥାନ (1 ର ସ୍ଥାନ): 1 $\rightarrow$ 1 ଟି ବିନ୍ଦୁ (•)