Page No-19

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ ତୁମ ଇଚ୍ଛାନୁସାରେ ଯେତେଥର ଚାହୁଁଛ ସେତେଥର ଭାଙ୍ଗ କରିପାରିବ । 30 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ କେତେ ହେବ ? ଅନୁମାନ କର । ଆସ, ଆମେ ଦେଖିବା, ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ 4 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହା କେତେ ମୋଟା ହେବ । ଧରିନିଅ ଯେ ଏହି କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ମୋଟେଇ 0.01 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• 30 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ: ବହିର ଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ, 30 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ ପ୍ରାୟ 10.7 କି.ମି. ହେବ। ଏହା ଏକ ଉଡ଼ାଜାହାଜ ଉଡ଼ୁଥିବା ଉଚ୍ଚତା ସହିତ ସମାନ ଅଟେ।

• 4 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ ଦୁଇଗୁଣ (ଦ୍ୱିଗୁଣିତ) ହୋଇଥାଏ।

  • ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ = 0.01 ସେ.ମି.

  • ତେଣୁ 4 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ = $0.01 \times 2^4 = 0.01 \times 16 =$ 0.16 ସେ.ମି. ହେବ।
    **

Page no- 20

**

❓ ପ୍ରଶ୍ନ:

ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ ତୁମ ଇଚ୍ଛାନୁସାରେ ଯେତେଥର ଚାହୁଁଛ ସେତେଥର ଭାଙ୍ଗ କରିପାରିବ । 30 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ କେତେ ହେବ ? ଅନୁମାନ କର ।

ଆସ, ଆମେ ଦେଖିବା, ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ 4 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହା କେତେ ମୋଟା ହେବ । ଧରିନିଅ ଯେ ଏହି କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ମୋଟେଇ 0.01 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• 4 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ:

  ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର ଭାଙ୍ଗିଲେ କାଗଜର ମୋଟେଇ ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ହୋଇଯାଏ ।

  • କାଗଜର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ = $0.01$ ସେ.ମି.

  • 4 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ = $0.01 \times 2^4$

  • ଆମେ ଜାଣୁ $2^4 = 16$

  • ତେଣୁ, ମୋଟେଇ = $0.01 \times 16 = \mathbf{0.16}$ ସେ.ମି. ।

• 30 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ (ଅନୁମାନ):

  • ଯଦି କାଗଜର ମୂଳ ମୋଟେଇ 0.01 ସେ.ମି. ଥାଏ, ତେବେ 30 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ଏହା $0.01 \times 2^{30}$ ସେ.ମି. ହୋଇଯିବ ।

  • ଏହାର ହିସାବ କଲେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରାୟ 107 କି.ମି. (107.37 କି.ମି.) ହେବ, ଯାହାକି ମହାକାଶର ସୀମା ପାଖାପାଖି ଅଟେ!

Page no - 22

❓ ପ୍ରଶ୍ନ:

ଏକ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦ 10 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ତାହାର ମୋଟେଇ ପରିପ୍ରକାଶ କିଭଳି ହେବ ? ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ $v$ ଅକ୍ଷର ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ।

(i) $10v$

(ii) $10 + v$

(iii) $2 \times 10 \times v$

(iv) $2^{10}$

(v) $2^{10}v$

(vi) $10^2v$

✍️ ଉତ୍ତର:

ସଠିକ୍ ବିକଳ୍ପ ହେଉଛି (v) $2^{10}v$ ।

କାରଣ:

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କାଗଜକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର ଭାଙ୍ଗିଲେ ଏହାର ମୋଟେଇ ଦୁଇଗୁଣ (2 ଗୁଣ) ହୋଇଯାଏ ।

• କାଗଜର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ = $v$

• 1 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ = $v \times 2 = 2^1v$

• 2 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ = $v \times 2 \times 2 = 2^2v$

• 3 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ = $v \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3v$

ସେହି କ୍ରମରେ, ଯଦି କାଗଜଟିକୁ 10 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା, ତେବେ ଏହାର ମୋଟେଇ 2 ର 10 ଘାତ ଗୁଣିତ ହୋଇଯିବ ।

ଅର୍ଥାତ୍, 10 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ = $2^{10}v$ ହେବ ।

ଆପଣ ଦେଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: 32400 ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏହାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକରେ ପ୍ରକାଶ କର ଏବଂ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ସେମାନଙ୍କ ଘାତାଙ୍କ ରୂପରେ ଚିହ୍ନଟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorization) ଅନୁଯାୟୀ:

$32400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

ଏହାର ଘାତାଙ୍କୀୟ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ: $32400 = 2^4 \times 5^2 \times 3^4$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: $(-1)^5$ ଟି କ’ଣ ? ଏହା ଧନାତ୍ମକ ନା ଋଣାତ୍ମକ ? $(-1)^{56}$ ଟି କ’ଣ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• $(-1)^5 = -1$ । ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାର ଘାତାଙ୍କ ଅଯୁଗ୍ମ (odd) ହେଲେ, ତାର ମାନ ଋଣାତ୍ମକ ହୁଏ। ତେଣୁ ଏହା ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ।

• $(-1)^{56} = 1$ । ଯେହେତୁ ଘାତାଙ୍କ 56 ଏକ ଯୁଗ୍ମ (even) ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ ଏହା ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: $(-2)^4 = 16$ କି ? ଯାଞ୍ଚକର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏହା ସତ୍ୟ।

ଯାଞ୍ଚ: $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$

$= 4 \times 4 = 16$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 4: $0^2, 0^5$ ର ମାନ କେତେ ? $0^n$ ର ମାନ କେତେ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• $0^2 = 0 \times 0 = \mathbf{0}$

• $0^5 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = \mathbf{0}$

• ସେହିପରି, $0^n = 0$ (ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା)। ଶୂନର ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ଘାତର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଶୂନ ହିଁ ହୋଇଥାଏ।

Page No-22 to 23 ନିଜେ କରି ଦେଖ

୧. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ :

(i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

👉 ଉତ୍ତର: $6^4$

(ii) $y \times y$

👉 ଉତ୍ତର: $y^2$

(iii) $b \times b \times b \times b$

👉 ଉତ୍ତର: $b^4$

(iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

👉 ଉତ୍ତର: $5^2 \times 7^3$

(v) $2 \times 2 \times a \times a$

👉 ଉତ୍ତର: $2^2 \times a^2$

(vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

👉 ଉତ୍ତର: $a^3 \times c^4 \times d$

୨. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେମାନଙ୍କର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକର ଘାତର ଗୁଣଫଳ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) 648

$648 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

👉 ଉତ୍ତର: $2^3 \times 3^4$

(ii) 405

$405 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$

👉 ଉତ୍ତର: $3^4 \times 5$

(iii) 540

$540 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$

👉 ଉତ୍ତର: $2^2 \times 3^3 \times 5$

(iv) 3600

$3600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$

👉 ଉତ୍ତର: $2^4 \times 3^2 \times 5^2$

୩. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକର ସାଂଖ୍ୟିକ ମାନ ଲେଖ :

(i) $2 \times 10^3$

$= 2 \times 1000$

👉 ଉତ୍ତର: $2000$

(ii) $7^2 \times 2^3$

$= 49 \times 8$

👉 ଉତ୍ତର: $392$

(iii) $3 \times 4^4$

$= 3 \times 256$

👉 ଉତ୍ତର: $768$

(iv) $(-3)^2 \times (-5)^2$

$= 9 \times 25$

👉 ଉତ୍ତର: $225$

(v) $3^2 \times 10^4$

$= 9 \times 10000$

👉 ଉତ୍ତର: $90000$

(vi) $(-2)^5 \times (-10)^6$

$= -32 \times 1,000,000$

👉 ଉତ୍ତର: $-32,000,000$ (ବା କମା ବ୍ୟବହାର ନକରି ଲେଖିଲେ $-32000000$)

Page no-24

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏହା ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣନ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ସମ୍ଭବ। ନିୟମ ଅନୁସାରେ, ଯଦି ଦୁଇଟି ରାଶିର ଆଧାର ସମାନ ଥାଏ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକ ଗୁଣନ ହୋଇଥାନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କ ଘାତାଙ୍କ ଯୋଗ ହୋଇଯାଏ।

• ସୂତ୍ର: $n^a \times n^b = n^{a+b}$

• ତେଣୁ, $3^2 \times 3^5 = 3^{2+5} = \mathbf{3^7}$ ଅଟେ। ଏହାକୁ ଆମେ ସମାନ ଅକ୍ଷର ବା ସଂଖ୍ୟା ଥିବା ଘାତଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣନ ଭାବରେ ସହଜରେ ବିସ୍ତାରିତ କରିପାରିବା।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: $p^4 \times p^6$ ର ଗୁଣଫଳକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମାଧାନ ଅନୁଯାୟୀ:

$p^4 \times p^6 = (p \times p \times p \times p) \times (p \times p \times p \times p \times p \times p) = \mathbf{p^{10}}$

ଏହାକୁ ଆମେ ସାଧାରଣ ଗୁଣନ ନିୟମ ($n^a \times n^b = n^{a+b}$) ପ୍ରୟୋଗ କରି ସିଧାସଳଖ $p^{4+6} = p^{10}$ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ଏହାକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା କର ।

(i) $2^9$

(ii) $5^7$

(iii) $4^6$

✍️ ଉତ୍ତର:

(i) $2^9$ ର ମୂଲ୍ୟ:

$2^9 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{512}$

(ii) $5^7$ ର ମୂଲ୍ୟ:

$5^7 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = \mathbf{78125}$

(iii) $4^6$ ର ମୂଲ୍ୟ ଓ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନର ଦୁଇଟି ଉପାୟ (ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ):

$4^6$ ର ସିଧାସଳଖ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି 4096। ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ:

• ପ୍ରଥମ ଉପାୟ (ବର୍ଗ ଆକାରରେ): $(4 \times 4 \times 4) \times (4 \times 4 \times 4) = 4^3 \times 4^3$

  $= 64 \times 64 = \mathbf{4096}$

  (ଅର୍ଥାତ୍ $4^3 \times 4^3$ ହେଉଛି $4^3$ ର ବର୍ଗ ବା $(4^3)^2$)

• ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ (ଘନ ଆକାରରେ):

  $(4 \times 4) \times (4 \times 4) \times (4 \times 4) = 4^2 \times 4^2 \times 4^2$

  $= 16 \times 16 \times 16 = \mathbf{4096}$

  (ଅର୍ଥାତ୍ $4^2 \times 4^2 \times 4^2$ ହେଉଛି $4^2$ ର ଘନ ବା $(4^2)^3$)

Page No-24

❓ ପ୍ରଶ୍ନ:

ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଅତିକମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଏକ ଘାତର ଘାତ ଭାବରେ ଲେଖ :

(i) $8^6$

(ii) $7^{15}$

(iii) $9^{14}$

(iv) $5^8$

✍️ ଉତ୍ତର:

ଘାତର ଘାତ ନିୟମ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ କୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରିପାରିବା:

(i) $8^6$

ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ 6 କୁ ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ଗୁଣନଫଳ ଆକାରରେ ଭାଙ୍ଗିପାରିବା ($2 \times 3$ ବା $3 \times 2$):

• ଉପାୟ 1: $(8^2)^3$ * ଉପାୟ 2: $(8^3)^2$

  (ଅତିରିକ୍ତ ଉପାୟ: ଯେହେତୁ ଆଧାର $8 = 2^3$, ଆମେ ଏହାକୁ $(2^3)^6$ ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା।)

(ii) $7^{15}$

ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ 15 କୁ ଆମେ $3 \times 5$ ବା $5 \times 3$ ଆକାରରେ ଭାଙ୍ଗିପାରିବା:

• ଉପାୟ 1: $(7^3)^5$

• ଉପାୟ 2: $(7^5)^3$

(iii) $9^{14}$

ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ 14 କୁ ଆମେ $2 \times 7$ ବା $7 \times 2$ ଆକାରରେ ଭାଙ୍ଗିପାରିବା:

• ଉପାୟ 1: $(9^2)^7$

• ଉପାୟ 2: $(9^7)^2$

  (ଅତିରିକ୍ତ ଉପାୟ: ଯେହେତୁ ଆଧାର $9 = 3^2$, ଆମେ ଏହାକୁ $(3^2)^{14}$ ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା।)

(iv) $5^8$

ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ 8 କୁ ଆମେ $2 \times 4$ ବା $4 \times 2$ ଆକାରରେ ଭାଙ୍ଗିପାରିବା:

• ଉପାୟ 1: $(5^2)^4$

• ଉପାୟ 2: $(5^4)^2$

Page no-25

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଏକ କୁହୁକ ପୋଖରୀ ମଝିରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଲାପୀ ପଦ୍ମଫୁଲ ଅଛି । ଏହି ପୋଖରୀରେ ପ୍ରତିଦିନ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବିଗୁଣିତ ହୁଏ । 30 ଦିନ ପରେ ପୋଖରୀଟି ପଦ୍ମଫୁଲରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣଭାବେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଯାଏ ।

• କେଉଁଦିନ ପୋଖରୀଟି ଅଧାପୂର୍ଣ୍ଣ ଥିଲା ?

• ଯଦି ପୋଖରୀଟି 30 ତମ ଦିନରେ ପଦ୍ମଫୁଲରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣଭାବେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଯାଏ, ତେବେ 29 ତମ ଦିନରେ ଏହାର କେତେ ଅଂଶ ପଦ୍ମଫୁଲରେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• ଯେହେତୁ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ ଦ୍ବିଗୁଣିତ ହୁଏ, ଏବଂ 30 ତମ ଦିନରେ ପୋଖରୀଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭର୍ତ୍ତି ହୁଏ, ତେଣୁ ଠିକ୍ ତା’ ପୂର୍ବ ଦିନ ଅର୍ଥାତ୍ 29 ତମ ଦିନରେ ପୋଖରୀଟି ଅଧାପୂର୍ଣ୍ଣ ଥିଲା।

• 29 ତମ ଦିନରେ ଏହାର ଅଧା ଅଂଶ (1/2 ଅଂଶ) ପଦ୍ମଫୁଲରେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା, ଯାହାକି ପରଦିନ (30 ତମ ଦିନରେ) ଦ୍ବିଗୁଣିତ ହୋଇ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଯାଇଥିଲା।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା (ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ) ଲେଖ, ଯେତେବେଳେ ପୋଖରୀଟି–

(i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ।

(ii) ଅଧା ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ।

✍️ ଉତ୍ତର:

ପ୍ରଥମ ଦିନ ଗୋଟିଏ ଫୁଲ ଥିଲା ($2^0=1$)। ପ୍ରତିଦିନ ଏହା ଦ୍ବିଗୁଣିତ ହେଉଛି। ତେଣୁ $n$ ଦିନରେ ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $2^{n-1}$ ।

• (i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭର୍ତ୍ତି (30 ତମ ଦିନରେ) ଥିବା ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟା: $2^{29}$ * (ii) ଅଧା ଭର୍ତ୍ତି (29 ତମ ଦିନରେ) ଥିବା ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟା: $2^{28}$

(ବିକଳ୍ପ ମତ: ଯଦି ଆମେ ପ୍ରଥମ ଦିନ ଶେଷରେ ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟା $2^1$ ଭାବୁ, ତେବେ 30 ତମ ଦିନରେ ଏହା $2^{30}$ ଏବଂ ଅଧା ଭର୍ତ୍ତି ହେଲାବେଳେ $2^{29}$ ହେବ। କିନ୍ତୁ ପ୍ରଥମ ଦିନର ଆରମ୍ଭରେ ଗୋଟିଏ ଫୁଲ ଅଛି, ତେଣୁ $2^{29}$ ଏବଂ $2^{28}$ ଅଧିକ ସଠିକ୍ ଅଟେ।)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ଆଉ ଏକ ପୋଖରୀ ଅଛି ଯେଉଁଥରେ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ ତିନିଗୁଣ ହୁଏ । ଯେତେବେଳେ ଉଭୟ ପୋଖରୀରେ କୌଣସି ଫୁଲ ନ ଥିଲା, ଶିବାନୀ ଦୁଇଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ଗୋଟିଏ ପଦ୍ମଫୁଲ ରଖିଲେ । 4 ଦିନପରେ ସେ ସେଠାରୁ ସମସ୍ତ ପଦ୍ମଫୁଲ ନେଇ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ରଖିଲେ । ଆଉ 4 ଦିନପରେ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ କେତୋଟି ପଦ୍ମଫୁଲ ଥିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର (ବହିର ସମାଧାନ ଅନୁଯାୟୀ):

• ପ୍ରଥମ 4 ଦିନପରେ, ଦୁଇଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି:

  $1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $2^4$

• ପରବର୍ତ୍ତୀ 4 ଦିନ ପାଇଁ, ଏହି ସମସ୍ତ $2^4$ ଫୁଲକୁ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ରଖାଗଲା। ତେଣୁ ସେଠାରେ ଫୁଲଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତିଦିନ 3 ଗୁଣ ବଢ଼ିବେ।

  ମୋଟ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି: $2^4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 =$ $2^4 \times 3^4$ ଅର୍ଥାତ୍ 8 ଦିନ (4+4 ଦିନ) ପରେ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ମୋଟ $2^4 \times 3^4$ କିମ୍ବା $(2 \times 3)^4 = 6^4$ କିମ୍ବା 1296 ଟି ପଦ୍ମଫୁଲ ଥିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 4: ଯଦି ଶିବାନୀ ଫୁଲଗୁଡ଼ିକୁ ପୋଖରୀରେ ରଖିବାର କ୍ରମ ବଦଳାଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ କେତୋଟି ପଦ୍ମଫୁଲ ରହିଥାନ୍ତା ?

$1 \times 3^4 \times 2^4 = (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2)$

✍️ ଉତ୍ତର: ଯଦି କ୍ରମ ବଦଳାଯାଏ (ପ୍ରଥମେ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ 4 ଦିନ, ତା’ପରେ ଦୁଇଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ 4 ଦିନ), ତଥାପି ମୋଟ ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟାରେ କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ ନାହିଁ।

କାରଣ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ କ୍ରମ ବିନିମୟ ନିୟମ (Commutative property) ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହୁଏ।

ଅର୍ଥାତ୍, $1 \times 3^4 \times 2^4 = 2^4 \times 3^4$ ।

ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୋଟ ଫୁଲ ସଂଖ୍ୟା ହେବ: $81 \times 16 =$ 1296 ଟି ପଦ୍ମଫୁଲ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 5: ଏହି ଗୁଣଫଳକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଙ୍କେତ $m^n$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ କି ? ଯେଉଁଠାରେ $m$ ଏବଂ $n$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।

ବହିରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମାଧାନ ଅନୁଯାୟୀ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନଃଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରାଗଲେ:

$(3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2)$

$= (3 \times 2) \times (3 \times 2) \times (3 \times 2) \times (3 \times 2)$

$= 6 \times 6 \times 6 \times 6 =$ $6^4$

ଏଠାରେ ଏହା $m^n$ ଆକାରରେ ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ $m=6$ ଏବଂ $n=4$ ଅଟେ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 6: ସାଧାରଣତଃ $m^a \times n^a = (mn)^a$, ଯେଉଁଠାରେ $a$ ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ, ଏହି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣକୁ ବ୍ୟବହାର କରି $2^5 \times 5^5$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $m^a \times n^a = (mn)^a$

ସେହିପରି, $2^5 \times 5^5 = (2 \times 5)^5$

$= \mathbf{10^5}$

ଯାହାର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି 1,00,000 (ଏକ ଲକ୍ଷ)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 7: $\frac{10^4}{5^4}$ କୁ ସରଳ କର ଏବଂ ଏହାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ ।

✍️ ଉତ୍ତର: ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ସାଧାରଣ ନିୟମ $\frac{m^a}{n^a} = \left(\frac{m}{n}\right)^a$ ଅନୁଯାୟୀ ଆମେ ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରିପାରିବା:

$\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4$

$= \mathbf{2^4}$

(ଏହାର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$)।

Page No- 26

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ରକି ପାଖରେ 7 ଟି ପୋଷାକ, 2 ଟି ଟୋପି ଏବଂ 3 ଯୋଡ଼ା ଜୋତା ଅଛି । ରକି କେତେ ପ୍ରକାରରେ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ପିନ୍ଧିପାରିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ମୂଳ ଗୁଣନ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ମୋଟ ସମାବେଶ (combinations) ପାଇବା ପାଇଁ ଆମକୁ ସମସ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକୁ ପରସ୍ପର ସହ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ହେବ।

• ପୋଷାକ ସଂଖ୍ୟା = 7

• ଟୋପି ସଂଖ୍ୟା = 2

• ଯୋଡ଼ା ଜୋତା ସଂଖ୍ୟା = 3

ମୋଟ ସମାବେଶ = $7 \times 2 \times 3 =$ 42 ଅର୍ଥାତ୍, ରକି 42 ପ୍ରକାରରେ ଏହି ପୋଷାକ, ଟୋପି ଏବଂ ଜୋତାକୁ ମିଶାଇ ପିନ୍ଧିପାରିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ଇତୁ ଏବଂ ରକିଙ୍କୁ ଏକ ପୁରୁଣା ଷ୍ଟାମ୍ପ ଏବଂ ମୁଦ୍ରା ଥିବା ବାକ୍ସ ମିଳିଲା… ଏହାର ଚାବି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପାସୱାର୍ଡ଼ ଦ୍ୱାରା ସୁରକ୍ଷିତ ଥିଲା… ସବୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାବେଶ ଥର ଚେଷ୍ଟା କରିବା ପରେ ହିଁ ଶେଷ ପାସୱାର୍ଡ଼ରେ ଲକ୍ ଖୋଲିଲା; ସେମାନେ କେତୋଟି ପାସୱାର୍ଡ଼ ନେଇ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ ?

• ସାଧାରଣତଃ ଏହିଭଳି ନମ୍ବର ଲକ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନରେ 0 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ମୋଟ 10 ଟି ଅଙ୍କ ରହିପାରିବ।

• ଯେହେତୁ ପାସୱାର୍ଡ଼ଟି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ, ତେଣୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ 5 ଟି ସ୍ଥାନ ପାଇଁ 10 ଟି ଲେଖାଏଁ ବିକଳ୍ପ ଅଛି।

• ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପାସୱାର୍ଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ହେବ = $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 =$ 1,00,000 (ଏକ ଲକ୍ଷ)।

ତେଣୁ, ଲକ୍ ଖୋଲିବା ପୂର୍ବରୁ ସେମାନେ ମୋଟ 1,00,000 ଟି ପାସୱାର୍ଡ଼ ନେଇ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ।

Page No-27

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଏହିଭଳି ତାଲା ପାଇଁ କେତୋଟି ପାସୱାର୍ଡ଼ ସମ୍ଭବ ?

(ସୂଚନା: ପ୍ରଶ୍ନର ଠିକ୍ ଉପର ଧାଡ଼ିରୁ ଜଣାପଡ଼ୁଛି ଯେ ଏହା ଏକ ଲକ୍ (lock) ବିଷୟରେ କହୁଛି ଯେଉଁଥିରେ ‘A’ ରୁ ‘Z’ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅକ୍ଷର ଥିବା 6 ଟି ସ୍ଲଟ୍ ଅଛି।)

✍️ ଉତ୍ତର:

ଗୁଣନ ନିୟମ (Rule of Product) ଅନୁଯାୟୀ ଆମେ ଏହାର ମୋଟ ସମାବେଶ (combinations) ବାହାର କରିପାରିବା:

• ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାରେ ମୋଟ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା = 26 (‘A’ ରୁ ‘Z’ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)।

• ତାଲାଟିରେ ଥିବା ମୋଟ ସ୍ଲଟ୍ ସଂଖ୍ୟା = 6।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଲଟ୍ ପାଇଁ ଆମ ପାଖରେ 26 ଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ବିକଳ୍ପ ଅଛି।

• ତେଣୁ, ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପାସୱାର୍ଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ହେବ = $26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = \mathbf{26^6}$ ।

• $26^6$ ର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି 308,915,776 । ତେଣୁ ଏହି ତାଲା ପାଇଁ ପ୍ରାୟ 30 କୋଟିରୁ ଅଧିକ ପାସୱାର୍ଡ଼ ସମ୍ଭବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରସଙ୍ଗରେ କେତେ ପ୍ରକାରର ସମାବେଶ ସମ୍ଭବ, ସେ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତାକର । ସମାବେଶର କେତେକ ଉଦାହରଣ (ଯଥା: ପିନ୍‌କୋଡ଼, ମୋବାଇଲ୍ ନମ୍ବର, ଯାନବାହନ ପଞ୍ଜୀକରଣ ନମ୍ବର)… ଏହି ନମ୍ବର ବା କୋଡ୍ କିପରି ଆବଣ୍ଟନ କରାଯାଏ, ଜାଣିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।

✍️ ଉତ୍ତର (ବିଶ୍ଳେଷଣ):

ଆସନ୍ତୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ବାସ୍ତବ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକରେ କେତେ ସମାବେଶ (Combinations) ଲୁଚି ରହିଛି ତାହା ଗଣନା କରିବା:

(i) ପିନ୍‌କୋଡ଼ (PIN Code):

• ଭାରତରେ ପିନ୍‌କୋଡ଼ 6 ଅଙ୍କ (digits) ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇଥାଏ।

• ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନରେ 0 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ, ତେବେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୋଟ ପିନ୍‌କୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା = $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10^6}$ ବା 1,000,000 (10 ଲକ୍ଷ)।

(ii) ମୋବାଇଲ୍ ନମ୍ବର (Mobile Number):

• ଭାରତରେ ଏକ ମୋବାଇଲ୍ ନମ୍ବର ସାଧାରଣତଃ 10 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନ ପାଇଁ 10 ଟି ବିକଳ୍ପ (0 ରୁ 9) ଅଛି।

• ତେଣୁ, ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୋଟ ମୋବାଇଲ୍ ନମ୍ବର ସଂଖ୍ୟା = $\mathbf{10^{10}}$ ବା 10,000,000,000 (1000 କୋଟି)।

(iii) ଯାନବାହନ ପଞ୍ଜୀକରଣ ନମ୍ବର (Vehicle Registration Number - ଉଦାହରଣ: OD02CU4256):

ଏହି ନମ୍ବରର ସଂରଚନାକୁ ଖଣ୍ଡ ଖଣ୍ଡ କରି ଦେଖିଲେ:

• ରାଜ୍ୟ କୋଡ୍ (OD) = 2 ଟି ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର = $26 \times 26 = \mathbf{26^2}$ ବିକଳ୍ପ।

• RTO ଅଫିସ୍ କୋଡ୍ (02) = 2 ଟି ଅଙ୍କ = $10 \times 10 = \mathbf{10^2}$ ବିକଳ୍ପ।

• ସିରିଜ୍ (CU) = 2 ଟି ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର = $26 \times 26 = \mathbf{26^2}$ ବିକଳ୍ପ।

• ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ନମ୍ବର (4256) = 4 ଟି ଅଙ୍କ = $10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10^4}$ ବିକଳ୍ପ।

• ଏହି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଫର୍ମାଟ୍ ପାଇଁ ମୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଗାଡ଼ି ନମ୍ବର ସଂଖ୍ୟା = $26^2 \times 10^2 \times 26^2 \times 10^4 = \mathbf{26^4 \times 10^6}$ ।

• ଏହାର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି 456,976,000,000। ଏତେ ବିପୁଳ ସମାବେଶ ଥିବା କାରଣରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗାଡ଼ିକୁ ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ନମ୍ବର (Unique ID) ଦିଆଯାଇପାରୁଛି।

Page No- 29

📌 ଘାତାଙ୍କୀୟ ନିୟମ ଓ ସରଳୀକରଣ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଏଠାରେ $a$ ଓ $b$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି । ମାତ୍ର $a$ ଏବଂ $b$ ସ୍ଥାନରେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ନେଇପାରିବା କି ? ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ କି ?

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, $a$ ଏବଂ $b$ ସ୍ଥାନରେ ଆମେ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (ଧନାତ୍ମକ, ଋଣାତ୍ମକ ବା ଶୂନ) ନେଇପାରିବା। ଘାତାଙ୍କର ସାଧାରଣ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ (ଯେପରିକି $x^a \times x^b = x^{a+b}$) ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସମତୁଲ୍ୟ ରୂପ ଲେଖ :

(i) $2^{-4}$

(ii) $10^{-5}$

(iii) $(-7)^{-2}$

(iv) $(-5)^{-3}$

(v) $10^{-100}$

✍️ ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$

(i) $2^{-4} =$ $\frac{1}{2^4}$

(ii) $10^{-5} =$ $\frac{1}{10^5}$

(iii) $(-7)^{-2} =$ $\frac{1}{(-7)^2}$

(iv) $(-5)^{-3} =$ $\frac{1}{(-5)^3}$

(v) $10^{-100} =$ $\frac{1}{10^{100}}$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ସରଳକର ଏବଂ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ :

(i) $2^{-4} \times 2^7$

(ii) $3^2 \times 3^{-5} \times 3^6$

(iii) $p^3 \times p^{-10}$

(iv) $2^4 \times (-4)^{-2}$

(v) $8^p \times 8^q$

✍️ ଉତ୍ତର: (i) $2^{-4} \times 2^7 = 2^{-4+7} =$ $2^3$

(ii) $3^2 \times 3^{-5} \times 3^6 = 3^{2 - 5 + 6} = 3^{8-5} =$ $3^3$

(iii) $p^3 \times p^{-10} = p^{3 - 10} =$ $p^{-7}$ (ବା $\frac{1}{p^7}$)

(iv) $2^4 \times (-4)^{-2} = 2^4 \times \frac{1}{(-4)^2} = 16 \times \frac{1}{16} = 1 =$ $2^0$ (କାରଣ 1 କୁ $2^0$ ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ)

(v) $8^p \times 8^q =$ $8^{p+q}$

Page no-30

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଆମେ 16384 (=$4^7$) ସଂଖ୍ୟାଟି 1024 (=$4^5$) ଠାରୁ 16 (=$4^2$) ଗୁଣ ବଡ଼ ବୋଲି କହିପାରିବା କି ?

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏହା କହିପାରିବା।

କାରଣ (ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ): ଘାତାଙ୍କର ଭାଗ ନିୟମ ଅନୁସାରେ:

$4^7 \div 4^5 = 4^{7-5} = 4^2$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $4^2 = 16$। ତେଣୁ 16384 ସଂଖ୍ୟାଟି 1024 ଠାରୁ ଠିକ୍ 16 ଗୁଣ ବଡ଼ ଅଟେ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: $4^{-2}$ ଠାରୁ $4^2$ କେତେଗୁଣ ବଡ଼ ?

✍️ ଉତ୍ତର: $4^2$ ସଂଖ୍ୟାଟି $4^{-2}$ ଠାରୁ 256 ଗୁଣ (ବା $4^4$ ଗୁଣ) ବଡ଼ ଅଟେ।

ସମାଧାନ: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟଟିଠାରୁ କେତେ ଗୁଣ ବଡ଼ ତାହା ଜାଣିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବାକୁ ହେବ।

$\frac{4^2}{4^{-2}}$

ଘାତାଙ୍କର ଭାଗ ନିୟମ ($x^a \div x^b = x^{a-b}$) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$= 4^{2 - (-2)}$

$= 4^{2 + 2}$

$= 4^4$

ଏହାର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି: $4 \times 4 \times 4 \times 4 =$ 256।

ଅତଏବ, ଏହା 256 ଗୁଣ ବଡ଼।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: 7 ର ଘାତରେଖା ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

Question

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଉପରୋକ୍ତ ଉପାୟରେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ : (i) 172, (ii) 5642, (iii) 6474

✍️ ଉତ୍ତର:

(i) 172

$172 = (1 \times 100) + (7 \times 10) + 2$

$10$ ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି:

$172 = (1 \times 10^2) + (7 \times 10^1) + (2 \times 10^0)$

(ii) 5642

$5642 = (5 \times 1000) + (6 \times 100) + (4 \times 10) + 2$

$10$ ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି:

$5642 = (5 \times 10^3) + (6 \times 10^2) + (4 \times 10^1) + (2 \times 10^0)$

(iii) 6474

$6474 = (6 \times 1000) + (4 \times 100) + (7 \times 10) + 4$

$10$ ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି:

$6474 = (6 \times 10^3) + (4 \times 10^2) + (7 \times 10^1) + (4 \times 10^0)$

Page No- 32

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ଏହି ତିନୋଟି ଦୂରତା ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଦୂରତାଟି ସବୁଠାରୁ ସାନ, ତୁମେ କହିପାରିବ କି ?

✍️ ଉତ୍ତର: ସାଧାରଣତଃ ସୌରମଣ୍ଡଳର ଗ୍ରହମାନଙ୍କ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ଦେଖିଲେ, ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ପୃଥିବୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା ଶନି ବା ଅନ୍ୟ ଦୂର ଗ୍ରହମାନଙ୍କ ତୁଳନାରେ ସବୁଠାରୁ ସାନ ଅଟେ। (କାରଣ ପୃଥିବୀର ଦୂରତା ହେଉଛି ପ୍ରାୟ $1.496 \times 10^{11}$ ମିଟର, ଯାହା ଅନ୍ୟମାନଙ୍କଠାରୁ ଯଥେଷ୍ଟ କମ୍)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ପୃଥିବୀର ଆପେକ୍ଷିକ ସ୍ଥିତି ଚିହ୍ନଟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ ଉଭୟ ଦୂରତାକୁ ସମାନ ଘାତାଙ୍କରେ (Power of 10) ପ୍ରକାଶ କରିବା:

• ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ଶନି ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା = $1.4335 \times 10^{12}$ ମିଟର = $14.335 \times 10^{11}$ ମିଟର।

• ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ପୃଥିବୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା = $1.496 \times 10^{11}$ ମିଟର।

ଏଠାରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ପୃଥିବୀର ଦୂରତା ଶନିର ଦୂରତାର ପ୍ରାୟ ଦଶ ଭାଗରୁ ଏକ ଭାଗ ($\approx \frac{1}{10}$)।

ଚିହ୍ନଟ କରିବା ପ୍ରଣାଳୀ: ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ‘ସୂର୍ଯ୍ୟ’ ଏବଂ ‘ଶନି’ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ମନେମନେ ୧୦ଟି ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର। ସୂର୍ଯ୍ୟ ପାଖରୁ ପ୍ରଥମ ଭାଗ (1/10th distance) ପାଖରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ତାହାକୁ ‘ପୃଥିବୀ’ ଭାବରେ ନାମିତ କର। ଏହା ସୂର୍ଯ୍ୟର ଖୁବ୍ ନିକଟରେ ରହିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ମାନକରୂପରେ (Standard Form / Scientific Notation) ପ୍ରକାଶ କର :

✍️ ଉତ୍ତର:

(i) 59,583

$= \mathbf{5.9583 \times 10^4}$

(ii) 65,950

$= \mathbf{6.595 \times 10^4}$

(iii) 34,30,000

$= \mathbf{3.43 \times 10^6}$

(iv) 70,04,00,00,000

$= \mathbf{7.004 \times 10^{10}}$

Page No- 38

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ବିଶ୍ୱ ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ $8 \times 10^9$ ଓ ଆଫ୍ରିକୀୟ ହାତୀ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $4 \times 10^5$ । ଆମେ କହିପାରିବା କି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାତୀ ପାଇଁ ପ୍ରାୟ 20,000 ଲୋକ ଅଛନ୍ତି ?

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏହା କହିପାରିବା। ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ।

ସମାଧାନ ଓ କାରଣ:

ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାତୀ ପାଇଁ କେତେ ଲୋକ ଅଛନ୍ତି ତାହା ଜାଣିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ମୋଟ ଜନସଂଖ୍ୟାକୁ ହାତୀ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

• ବିଶ୍ୱ ଜନସଂଖ୍ୟା = $8 \times 10^9$

• ଆଫ୍ରିକୀୟ ହାତୀ ସଂଖ୍ୟା = $4 \times 10^5$

ଅନୁପାତ (ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାତୀ ପାଇଁ ଲୋକ ସଂଖ୍ୟା) = $\frac{8 \times 10^9}{4 \times 10^5}$

ଏବେ ଘାତାଙ୍କର ଭାଗ ନିୟମ ($x^a \div x^b = x^{a-b}$) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$= \left(\frac{8}{4}\right) \times 10^{9 - 5}$

$= 2 \times 10^4$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $10^4 = 10000$

$= 2 \times 10000 =$ 20000

ତେଣୁ, ଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାତୀ ପାଇଁ ପ୍ରାୟ 20,000 ଲୋକ ଅଛନ୍ତି।

ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନା କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

❓ (i) ବିଶ୍ବରେ ମନୁଷ୍ୟ ଓ ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ କେତେ ?

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

ବହିର ପୂର୍ବ ତଥ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ:

• ବିଶ୍ୱର ଜନସଂଖ୍ୟା (ମନୁଷ୍ୟ) $\approx 8.2 \times 10^9$

• ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନଙ୍କ ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା $\approx 20 \times 10^{15}$ ବା $2 \times 10^{16}$

• ଅନୁପାତ (ମନୁଷ୍ୟ : ପିମ୍ପୁଡ଼ି) = $\frac{8.2 \times 10^9}{2 \times 10^{16}}$

  $= 4.1 \times 10^{9 - 16} =$ $4.1 \times 10^{-7}$

  (ସହଜ ଭାଷାରେ ବୁଝିବାକୁ ଗଲେ, ପ୍ରତି ଜଣେ ମଣିଷ ପିଛା ପୃଥିବୀରେ ପ୍ରାୟ $2.4 \times 10^6$ ବା 24 ଲକ୍ଷ ପିମ୍ପୁଡ଼ି ଅଛନ୍ତି।)

❓ (ii) ଯଦି ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ପକ୍ଷୀମାନଙ୍କର ଏକ ଦଳରେ 10,000 ପକ୍ଷୀ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ବିଶ୍ବରେ କେତେ ଦଳ ପକ୍ଷୀ ଥାଇପାରନ୍ତି ?

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

ଏହାର ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ବହିରେ ଥିବା ମୋଟ ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ (Starling) ପକ୍ଷୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ। କିନ୍ତୁ ଆମେ ଏହାକୁ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଏପରି ହିସାବ କରିପାରିବା:

• ଗୋଟିଏ ଦଳରେ ଥିବା ପକ୍ଷୀ ସଂଖ୍ୟା = $10,000 = 10^4$

• ସୂତ୍ର: ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଦଳ ସଂଖ୍ୟା = $\frac{\text{ବିଶ୍ୱରେ ମୋଟ ପକ୍ଷୀ ସଂଖ୍ୟା}}{10^4}$

  (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: ଯଦି ବହିର ତଥ୍ୟ ଅନୁସାରେ ବିଶ୍ୱରେ ମୋଟ $10^9$ ପକ୍ଷୀ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ଦଳ ସଂଖ୍ୟା $\frac{10^9}{10^4} =$ $10^5$ ବା 1 ଲକ୍ଷ ଦଳ ହେବ।)

❓ (iii) ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗଛରେ $10^4$ ସଂଖ୍ୟକ ପତ୍ରଥାଏ, ତେବେ ପୃଥିବୀର ସମସ୍ତ ଗଛରେ ଥିବା ପତ୍ର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

ବହିର ପୂର୍ବ ତଥ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ:

• ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ମୋଟ ଗଛ ସଂଖ୍ୟା $\approx 3 \times 10^{12}$

• ଗୋଟିଏ ଗଛରେ ପତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = $10^4$

• ମୋଟ ପତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = $(3 \times 10^{12}) \times 10^4$

  ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣନ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $= 3 \times 10^{12 + 4} =$ $3 \times 10^{16}$

  ତେଣୁ ପୃଥିବୀର ସମସ୍ତ ଗଛରେ ପ୍ରାୟ $3 \times 10^{16}$ ଟି ପତ୍ର ଅଛି।

❓ (iv) ଯଦି ତୁମେ କାଗଜ-ଫର୍ଦ୍ଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉପରକୁ ଉପର ଥାକ କରି ରଖିବ, ତେବେ ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ତୁମକୁ କେତେ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

• ପୃଥିବୀରୁ ଚନ୍ଦ୍ରର ଆନୁମାନିକ ଦୂରତା $\approx 384,400$ କି.ମି. ବା $3.844 \times 10^{10}$ ସେ.ମି.

• ଗୋଟିଏ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ମୋଟେଇ (ପୂର୍ବ ପ୍ରଶ୍ନର ଅନୁମାନ ଅନୁଯାୟୀ) $\approx 0.01$ ସେ.ମି. ବା $10^{-2}$ ସେ.ମି.

• ଆବଶ୍ୟକ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦ ସଂଖ୍ୟା = $\frac{\text{ମୋଟ ଦୂରତା (ସେ.ମି. ରେ)}}{\text{ଗୋଟିଏ କାଗଜର ମୋଟେଇ (ସେ.ମି. ରେ)}}$

  $= \frac{3.844 \times 10^{10}}{10^{-2}}$

  ଘାତାଙ୍କର ଭାଗ ନିୟମ ଅନୁସାରେ:

  $= 3.844 \times 10^{10 - (-2)}$

  $= 3.844 \times 10^{10 + 2} =$ $3.844 \times 10^{12}$

  ତେଣୁ ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ପ୍ରାୟ $3.844 \times 10^{12}$ (ବା 3.84 ଟ୍ରିଲିୟନ) ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ।

Page-39

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି ତୁମେ ଏକ ନିୟୁତ ସେକେଣ୍ଡ ବଞ୍ଚିଛ, ତେବେ ତୁମକୁ କେତେ ବୟସ ହେବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

ଯଦି ଆପଣ 1 ନିୟୁତ (1 Million ବା 10 ଲକ୍ଷ) ସେକେଣ୍ଡ ବଞ୍ଚିଛନ୍ତି, ତେବେ ଆପଣଙ୍କ ବୟସ ପ୍ରାୟ 11.57 ଦିନ (ବା 11 ଦିନ 13 ଘଣ୍ଟା 46 ମିନିଟ୍) ହେବ।

ସମାଧାନ ଓ ଗଣନା (Calculation):

• ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, 1 ନିୟୁତ = 1,000,000 (ଏକ ଦଶମିକ ପରେ ଛଅଟି ଶୂନ ବା $10^6$)

• ଦିଆଯାଇଥିବା ମୋଟ ସମୟ = 1,000,000 ସେକେଣ୍ଡ

• ମିନିଟ୍‌ରେ: ସେକେଣ୍ଡକୁ ମିନିଟ୍‌ରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ 60 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{1000000}{60} \approx 16666.67$ ମିନିଟ୍

• ଘଣ୍ଟାରେ: ମିନିଟ୍‌କୁ ଘଣ୍ଟାରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ପୁଣି 60 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{16666.67}{60} \approx 277.78$ ଘଣ୍ଟା

• ଦିନରେ: ଘଣ୍ଟାକୁ ଦିନରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ 24 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{277.78}{24} \approx$ 11.57 ଦିନ

ତେଣୁ, 1 ନିୟୁତ ସେକେଣ୍ଡର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ମାତ୍ର 11.5 ଦିନରୁ ସାମାନ୍ୟ ଅଧିକ।

Page-39

❓ ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି ତୁମେ ଏକ ନିୟୁତ ସେକେଣ୍ଡ ବଞ୍ଚିଛ, ତେବେ ତୁମକୁ କେତେ ବୟସ ହେବ ?
✍️ ଉତ୍ତର:

ଯଦି ଆପଣ 1 ନିୟୁତ (1 Million ବା 10 ଲକ୍ଷ) ସେକେଣ୍ଡ ବଞ୍ଚିଛନ୍ତି, ତେବେ ଆପଣଙ୍କ ବୟସ ପ୍ରାୟ 11.57 ଦିନ (ବା 11 ଦିନ 13 ଘଣ୍ଟା 46 ମିନିଟ୍) ହେବ।

ସମାଧାନ ଓ ଗଣନା (Calculation):

• ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, 1 ନିୟୁତ = 1,000,000 (ଏକ ଦଶମିକ ପରେ ଛଅଟି ଶୂନ ବା $10^6$)

• ଦିଆଯାଇଥିବା ମୋଟ ସମୟ = 1,000,000 ସେକେଣ୍ଡ

• ମିନିଟ୍‌ରେ: ସେକେଣ୍ଡକୁ ମିନିଟ୍‌ରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ 60 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{1000000}{60} \approx 16666.67$ ମିନିଟ୍

• ଘଣ୍ଟାରେ: ମିନିଟ୍‌କୁ ଘଣ୍ଟାରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ପୁଣି 60 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{16666.67}{60} \approx 277.78$ ଘଣ୍ଟା

• ଦିନରେ: ଘଣ୍ଟାକୁ ଦିନରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ 24 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ:

  $\frac{277.78}{24} \approx$ 11.57 ଦିନ

ତେଣୁ, 1 ନିୟୁତ ସେକେଣ୍ଡର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ମାତ୍ର 11.5 ଦିନରୁ ସାମାନ୍ୟ ଅଧିକ।

Page-42

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

• ଆମ ବହିର ପୂର୍ବ ତଥ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ, ଦୃଶ୍ୟମାନ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡରେ ତାରାମାନଙ୍କର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ $2 \times 10^{23}$ ଅଟେ।

• ତାରା ଗଣିବାର ହାର (Rate) = ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ $1$ ଟି ତାରା ।

• ମୋଟ ଆବଶ୍ୟକ ସମୟ = $\frac{\text{ମୋଟ ତାରା ସଂଖ୍ୟା}}{\text{୧ ସେକେଣ୍ଡରେ ଗଣାଯାଉଥିବା ତାରା}}$

  $= \frac{2 \times 10^{23}}{1} =$ $2 \times 10^{23}$ ସେକେଣ୍ଡ।

ତେଣୁ, ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡର ସମସ୍ତ ତାରା ଗଣିବାକୁ ପ୍ରାୟ $2 \times 10^{23}$ ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ଲାଗିବ।

❓ (ii) ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି 10 ସେକେଣ୍ଡରେ ଏକ ଗ୍ଲାସ ପାଣି (200 ମି.ଲି.) ପିଇପାରନ୍ତି, ତେବେ ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ସବୁ ପାଣି ପିଇ ଶେଷ କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ କେତେ ସମୟ ଲାଗିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ:

• ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ମୋଟ ଜଳର ଆନୁମାନିକ ପରିମାଣ ପ୍ରାୟ ୧.୩୮୬ ବିଲିୟନ ଘନ କିଲୋମିଟର, ଯାହାକି ମିଲିଲିଟର (ml) ରେ ପ୍ରାୟ $1.4 \times 10^{24}$ ମି.ଲି. ସହ ସମାନ।

• ବ୍ୟକ୍ତି ଜଣକ 10 ସେକେଣ୍ଡରେ ପିଉଥିବା ପାଣି = 200 ମି.ଲି. ।

• ତେଣୁ, 1 ସେକେଣ୍ଡରେ ପିଉଥିବା ପାଣିର ପରିମାଣ = $\frac{200}{10} = 20$ ମି.ଲି. ।

  ଏହାକୁ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଲେଖିଲେ = $2 \times 10^1$ ମି.ଲି.

• ପୃଥିବୀର ସବୁ ପାଣି ପିଇବାକୁ ଲାଗିବ ସମୟ (ସେକେଣ୍ଡରେ) = $\frac{\text{ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ମୋଟ ପାଣି (ମି.ଲି.)}}{\text{୧ ସେକେଣ୍ଡରେ ପିଉଥିବା ପାଣି (ମି.ଲି.)}}$

  $= \frac{1.4 \times 10^{24}}{2 \times 10^1}$

  ଘାତାଙ୍କର ଭାଗ ନିୟମ ($x^a \div x^b = x^{a-b}$) ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

  $= \left(\frac{1.4}{2}\right) \times 10^{24 - 1}$

  $= 0.7 \times 10^{23}$

  ଏହାକୁ ପ୍ରକୃତ ମାନକ ରୂପରେ (Standard Form) ସଜାଇ ଲେଖିଲେ:

  $= \mathbf{7 \times 10^{22}}$ ସେକେଣ୍ଡ।

ତେଣୁ, ପୃଥିବୀର ସବୁ ପାଣି ପିଇବା ପାଇଁ ସେହି ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କୁ ପ୍ରାୟ $7 \times 10^{22}$ ସେକେଣ୍ଡ ଲାଗିବ।

Page No-44 to 45 ନିଜେ କରି ଦେଖ

ନିଜେ କରି ଦେଖ (Try It Yourself) ✨

1. $2^{224} \div 4^{32}$ ମାନର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି କେତେ ? (ସୂଚନା: $4 = 2^2$)

✍️ ଉତ୍ତର:

• ପ୍ରଥମେ ସୂଚନା ଅନୁସାରେ ଆଧାରକୁ 2 ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା:

  $4^{32} = (2^2)^{32} = 2^{2 \times 32} = 2^{64}$

• ବର୍ତ୍ତମାନ ଭାଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମାଧାନ କରିବା:

  $2^{224} \div 2^{64} = 2^{224 - 64} = 2^{160}$

• 2 ର ଘାତାଙ୍କର ଏକକ ଅଙ୍କ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଚକ୍ର (2, 4, 8, 6) ଅନୁସାରେ ବଦଳେ, ଯାହାର ପୁନରାବୃତ୍ତି ପ୍ରତି 4 ଘାତରେ ହୁଏ।

• ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ 160 ଅଟେ, ଯାହା 4 ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ ($160 \div 4 = 40$)।

• ଯେତେବେଳେ ଭାଗଶେଷ 0 ରହେ, ଏକକ ଅଙ୍କଟି $2^4$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ (16 ର 6) ସହ ସମାନ ହୁଏ।

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି ହେଉଛି 6।

2. ଗୋଟିଏ ପାତ୍ରରେ 5 ଟି ବୋତଲ ଅଛି । ପ୍ରତିଦିନ ଗୋଟିଏ ନୂଆ ପାତ୍ର ଅଣାଯାଉଥାଏ । 40 ଦିନ ପରେ ସେଥିରେ କେତେ ନୂଆ ବୋତଲ ଥିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• ଗୋଟିଏ ପାତ୍ରରେ ଥିବା ବୋତଲ ସଂଖ୍ୟା = 5

• ପ୍ରତିଦିନ 1 ଟି ନୂଆ ପାତ୍ର ଅଣାଯାଏ, ତେଣୁ 40 ଦିନରେ ଅଣାଯାଇଥିବା ମୋଟ ପାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 40

• ସମୁଦାୟ ନୂଆ ବୋତଲ ସଂଖ୍ୟା = $40 \times 5 = 200$

  ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 40 ଦିନ ପରେ ସେଥିରେ ସମୁଦାୟ 200 ଟି ନୂଆ ବୋତଲ ଥିବ।

3. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଲେଖ; ଘାତାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ।

(i) $64^3$

• ଉପାୟ 1: $(2^6)^3 = \mathbf{2^{18}}$

• ଉପାୟ 2: $64^2 \times 64^1$

• ଉପାୟ 3: $(4^3)^3 = \mathbf{4^9}$

(ii) $192^8$

• ଉପାୟ 1: $192^4 \times 192^4$

• ଉପାୟ 2: $192^{10} \times 192^{-2}$

• ଉପାୟ 3: $(192^2)^4 = \mathbf{192^{16}}$ (ବା $3^8 \times 2^{48}$)

(iii) $31^{-5}$

• ଉପାୟ 1: $31^{-2} \times 31^{-3}$

• ଉପାୟ 2: $31^{-10} \times 31^5$

• ଉପାୟ 3: $(31^5)^{-1} = \mathbf{31^{-5}}$

4. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତିକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ‘ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ’, ‘ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ’ କିମ୍ବା ‘ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ’ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର; ତୁମର ଯୁକ୍ତିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।

(i) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

• ଉତ୍ତର: ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ।

• ଯୁକ୍ତି: 8 ($2^3$) ଏକ ଘନ କିନ୍ତୁ ବର୍ଗ ନୁହେଁ, କିନ୍ତୁ 64 ($4^3$ ବା $8^2$) ଉଭୟ ଅଟେ।

(ii) ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

• ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ।

• ଯୁକ୍ତି: $a^4 = (a^2)^2$ । ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

(iii) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ପଞ୍ଚମ ଘାତାଙ୍କ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଘନଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

• ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ।

• ଯୁକ୍ତି: $\frac{a^5}{a^3} = a^2$ ।

(iv) ଦୁଇଟି ଘନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

• ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ।

• ଯୁକ୍ତି: $x^3 \times y^3 = (xy)^3$ ।

(v) $q^{46}$ ସଂଖ୍ୟାଟି ଉଭୟ ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ଓ ଷଷ୍ଠ ଘାତାଙ୍କ ଅଟେ । ($q$ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ)

• ଉତ୍ତର: ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

• ଯୁକ୍ତି: 46 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 କିମ୍ବା 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେଣୁ ଏହାକୁ $(q^x)^4$ କିମ୍ବା $(q^y)^6$ ଆକାରରେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ।

5. ନିମ୍ନ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କର ଏବଂ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ;

(i) $10^{-2} \times 10^{-5}$

$= 10^{-2 + (-5)} = \mathbf{10^{-7}}$

(ii) $5^7 \div 5^4$

$= 5^{7-4} = \mathbf{5^3}$

(iii) $9^{-7} \div 9^4$

$= 9^{-7-4} = \mathbf{9^{-11}}$

(iv) $(13^{-2})^{-3}$

$= 13^{-2 \times -3} = \mathbf{13^6}$

(v) $m^5 n^{12} (mn)^9$

$= m^5 \times n^{12} \times m^9 \times n^9$

$= m^{5+9} \times n^{12+9}$

$= \mathbf{m^{14} n^{21}}$

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 6: ଯଦି $12^2 = 144$, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମାନ କେତେ ହେବ ?

(i) $(1.2)^2$

(ii) $(0.12)^2$

(iii) $(0.012)^2$

(iv) $120^2$

✍️ ଉତ୍ତର:

ଯେହେତୁ ଆମକୁ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $12^2 = 144$, ଆମେ କେବଳ ଦଶମିକ ବିନ୍ଦୁ (decimal point) ର ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ବା ଶୂନ (zero) ଯୋଗ କରି ସହଜରେ ଏଗୁଡ଼ିକର ମାନ ବାହାର କରିପାରିବା:

(i) $(1.2)^2$

$= 1.2 \times 1.2$

👉 ଉତ୍ତର: 1.44

(କାରଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଦଶମିକ ପରେ 1 ଟି ଅଙ୍କ ଅଛି, ତେଣୁ ଗୁଣଫଳରେ ଦଶମିକ ପରେ 2 ଟି ଅଙ୍କ ରହିବ।)

(ii) $(0.12)^2$

$= 0.12 \times 0.12$

👉 ଉତ୍ତର: 0.0144

(କାରଣ: ଗୁଣିତ ହେଉଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେ ଦଶମିକ ପରେ ମୋଟ 4 ଟି ଅଙ୍କ ଅଛି, ତେଣୁ ଗୁଣଫଳରେ ମଧ୍ୟ ଦଶମିକ ପରେ 4 ଟି ଅଙ୍କ ରହିବ।)

(iii) $(0.012)^2$

$= 0.012 \times 0.012$

👉 ଉତ୍ତର: 0.000144

(କାରଣ: ଗୁଣିତ ହେଉଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେ ଦଶମିକ ପରେ ମୋଟ 6 ଟି ଅଙ୍କ ଅଛି, ତେଣୁ ଗୁଣଫଳରେ ମଧ୍ୟ ଦଶମିକ ପରେ 6 ଟି ଅଙ୍କ ରହିବ।)

(iv) $120^2$

$= (12 \times 10)^2 = 12^2 \times 10^2 = 144 \times 100$

👉 ଉତ୍ତର: 14400

(କାରଣ: 12 ର ବର୍ଗ 144 ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ କଲେ ଶେଷରେ ଦୁଇଟି ଶୂନ ଲାଗିବ।)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 7: ସମାନ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଲ ବୁଲାଅ—

$2^4 \times 3^6$ | $6^4 \times 3^2$ | $6^{10}$ | $18^2 \times 6^2$ | $6^{24}$

✍️ ଉତ୍ତର:

ଏଠାରେ ସମାନ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ: $2^4 \times 3^6$, $6^4 \times 3^2$, ଏବଂ $18^2 \times 6^2$।

ଯୁକ୍ତି (ଗଣନା):

• $2^4 \times 3^6 = 16 \times 729 = \mathbf{11664}$

• $6^4 \times 3^2 = (2 \times 3)^4 \times 3^2 = 2^4 \times 3^4 \times 3^2 = 2^4 \times 3^6 = \mathbf{11664}$

• $18^2 \times 6^2 = (18 \times 6)^2 = 108^2 = (2^2 \times 3^3)^2 = 2^4 \times 3^6 = \mathbf{11664}$

  (ଅନ୍ୟ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକର ମାନ ଅଲଗା ଓ ବହୁତ ବଡ଼ ଅଟେ)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 8: ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୁଗ୍ମରେ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) $4^3$ କିମ୍ବା $3^4$

(ii) $2^8$ କିମ୍ବା $8^2$

(iii) $100^2$ କିମ୍ବା $2^{100}$

✍️ ଉତ୍ତର:

(i) $4^3 = 64$ ଏବଂ $3^4 = 81$ । ତେଣୁ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $3^4$ ।

(ii) $2^8 = 256$ ଏବଂ $8^2 = 64$ । ତେଣୁ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $2^8$ ।

(iii) $100^2 = 10000$ ଏବଂ $2^{100}$ ଏକ ଅତି ବିଶାଳ ସଂଖ୍ୟା ($2^{10}$ ହିଁ 1024 ଅଟେ, ତେଣୁ 100 ଘାତ ଯଥେଷ୍ଟ ବଡ଼)। ତେଣୁ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି $2^{100}$ ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 9: ଏକ ଡାଏରୀ ଫାର୍ମ ବର୍ଷକୁ 8.5 ମିଲିୟନ ପ୍ୟାକେଟ୍ କ୍ଷୀର ଉତ୍ପାଦନ କରିବାକୁ ଯୋଜନା କରୁଛି । ସେମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ୟାକେଟ୍ ପାଇଁ ଏକ ଅନନ୍ୟ ID… କୋଡ୍‌ରେ କେତୋଟି ଅଙ୍କ ରହିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• 8.5 ମିଲିୟନ ହେଉଛି 85,00,000 (85 ଲକ୍ଷ)।

• ଯଦି କୋଡ୍‌ରେ କେବଳ 0 ରୁ 9 (ମୋଟ 10 ଟି ଅଙ୍କ) ବ୍ୟବହାର ହୁଏ, ତେବେ $n$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଡ୍‌ରୁ ମୋଟ $10^n$ ଟି ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ID ମିଳିପାରିବ।

• 6 ଟି ଅଙ୍କ ଥିଲେ ସର୍ବାଧିକ $10^6 = 10,00,000$ ଟି ID ମିଳିବ, ଯାହାକି ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ନୁହେଁ।

• 7 ଟି ଅଙ୍କ ଥିଲେ ସର୍ବାଧିକ $10^7 = 1,00,00,000$ (1 କୋଟି) ଟି ID ମିଳିବ, ଯାହା 85 ଲକ୍ଷ ପ୍ୟାକେଟ୍ ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ।

• ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ୟାକେଟ୍ ପାଇଁ ଅନନ୍ୟ ID ଦେବାକୁ ହେଲେ କୋଡ୍‌ରେ ଅତିକମ୍‌ରେ 7 ଟି ଅଙ୍କ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 10: 64 ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ($8^2$) ଏବଂ ଘନସଂଖ୍ୟା ($4^3$) ସହ ସମାନ । ଏହିପରି ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ଯାହା ଉଭୟ ବର୍ଗ ଓ ଘନ ଅଟେ ? ସାଧାରଣ ଭାବେ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର କୌଣସି ଉପାୟ ଅଛି କି ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• ହଁ, ଏହିପରି ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାମାନ ଅଛି। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: 1 ($1^2$ ଓ $1^3$), 729 ($27^2$ ଓ $9^3$), ଏବଂ 1,000,000 ($1000^2$ ଓ $100^3$) ଇତ୍ୟାଦି।

• ସାଧାରଣ ରୂପ: ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଷଷ୍ଠ ଘାତାଙ୍କ (6th power) କିମ୍ବା 6 ର ଗୁଣିତକ ଘାତାଙ୍କ ନେଲେ, ତାହା ଉଭୟ ବର୍ଗ ଓ ଘନ ହୋଇଥାଏ। ଅର୍ଥାତ୍ ଏହାର ସାଧାରଣ ପ୍ରକାଶ ହେଉଛି $n^6$ (ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା)।

  (କାରଣ: ଘାତାଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ $n^6 = (n^3)^2$ ଯାହାକି ଏକ ବର୍ଗ, ଏବଂ $n^6 = (n^2)^3$ ଯାହାକି ଏକ ଘନ)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 11: ଏକ ଡିଜିଟାଲ ଲକରରେ 5 ଅକ୍ଷର ବିଶିଷ୍ଟ ଆଲଫାନୁମେରିକ୍ (ଏଥିରେ ଉଭୟ ଅଙ୍କ ଏବଂ ଅକ୍ଷର ରହିପାରିବ) ପାସୱାର୍ଡ ଅଛି… ଏହିପରି କେତୋଟି କୋଡ୍ ସମ୍ଭବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

• ‘ଆଲଫାନୁମେରିକ୍’ (Alphanumeric) ଅର୍ଥାତ୍ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର 26 ଟି ଅକ୍ଷର (A-Z) ଏବଂ 10 ଟି ଅଙ୍କ (0-9) ର ସମ୍ମିଶ୍ରଣ। ମୋଟ ବିକଳ୍ପ (characters) = $26 + 10 = \mathbf{36}$ ।

• ପାସୱାର୍ଡଟି 5-ସ୍ଥାନ ବିଶିଷ୍ଟ ଅଟେ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନ ପାଇଁ 36 ଟି ଭିନ୍ନ ବିକଳ୍ପ ଅଛି।

• ତେଣୁ, ସମ୍ଭବପର ମୋଟ କୋଡ୍ ସଂଖ୍ୟା = $36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 =$ $36^5$ ।

  (ଏହାର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି ମୋଟ 6,04,66,176 ଟି କୋଡ୍)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 12: ସମଗ୍ର ବିଶ୍ଵରେ ମେଷମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା 2024 ମସିହା ପ୍ରାୟ $10^9$ ଏବଂ ଛେଳିମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ ସମାନ । ମେଷ ଓ ଛେଳିମାନଙ୍କ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନୋକ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ?

(i) $20^9 \quad$ (ii) $10^{11} \quad$ (iii) $10^{10} \quad$ (iv) $10^{18} \quad$ (v) $2 \times 10^9 \quad$ (vi) $10^9 + 10^9$

✍️ ଉତ୍ତର:

• ମେଷମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $\approx 10^9$

• ଛେଳିମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $\approx 10^9$

• ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = $10^9 + 10^9 = \mathbf{2 \times 10^9}$

• ତେଣୁ ଉପରୋକ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ (v) $2 \times 10^9$ ଏବଂ (vi) $10^9 + 10^9$ ଉଭୟ ବିକଳ୍ପ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଅଟନ୍ତି।

13. ହିସାବ କର ଏବଂ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

(i) ଯଦି ବିଶ୍ବର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ପାଖରେ 30 ଖଣ୍ଡ ପୋଷାକ ଥାଏ, ତେବେ ମୋଟ ପୋଷାକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• ବର୍ତ୍ତମାନ ବିଶ୍ୱର ଆନୁମାନିକ ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 8 ବିଲିୟନ ($8 \times 10^9$) ଅଟେ।

• ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ପାଖରେ ଥିବା ପୋଷାକ = 30

• ମୋଟ ପୋଷାକ ସଂଖ୍ୟା = $(8 \times 10^9) \times 30$

  $= 240 \times 10^9$

  ଏହାକୁ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଲେଖିଲେ: $2.4 \times 10^{11}$

(ii) ବିଶ୍ବରେ ପ୍ରାୟ 100 ନିୟୁତ ମହୁଫେଣା ଅଛି; ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫେଣାରେ ପ୍ରାୟ 50,000 ମହୁମାଛି ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ମହୁମାଛି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• ମୋଟ ମହୁଫେଣା ସଂଖ୍ୟା = 100 ନିୟୁତ (100 million) = $100,000,000$ ବା $10^8$

• ଗୋଟିଏ ଫେଣାରେ ମହୁମାଛି ସଂଖ୍ୟା = 50,000 ବା $5 \times 10^4$

• ମୋଟ ମହୁମାଛି ସଂଖ୍ୟା = $10^8 \times (5 \times 10^4)$

  $= \mathbf{5 \times 10^{12}}$

(iii) ମାନବ ଶରୀରରେ ପ୍ରାୟ 38 ଟ୍ରିଲିୟନ୍ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ କୋଷ ଅଛି; ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମଣିଷଙ୍କ ଶରୀରରେ ଥିବା ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

• ଜଣେ ମଣିଷ ଶରୀରରେ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ ସଂଖ୍ୟା = 38 ଟ୍ରିଲିୟନ୍ = $38 \times 10^{12}$ ବା $3.8 \times 10^{13}$

• ବିଶ୍ୱର ଆନୁମାନିକ ଜନସଂଖ୍ୟା $\approx$ $8 \times 10^9$

• ମୋଟ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ ସଂଖ୍ୟା = $(3.8 \times 10^{13}) \times (8 \times 10^9)$

  $= 30.4 \times 10^{22}$

  ଏହାକୁ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଲେଖିଲେ: $3.04 \times 10^{23}$

(iv) ଜୀବନକାଳରେ ଖାଇବାରେ ବିତାଉଥିବା ମୋଟ ସମୟକୁ ସେକେଣ୍ଡ ଏକକରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର:

(ଏହା ଏକ ଆନୁମାନିକ ଗଣନା ଅଟେ। ଆମେ ଧରିନେବା ଯେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତିର ହାରାହାରି ଆୟୁଷ 70 ବର୍ଷ ଏବଂ ସେ ଦିନକୁ ହାରାହାରି 2 ଘଣ୍ଟା ଖାଇବାରେ ବିତାନ୍ତି।)

• ମୋଟ ବର୍ଷ = 70 (ଯାହାକି ପ୍ରାୟ $25,550$ ଦିନ)

• ଦିନକୁ ଖାଇବା ସମୟ = 2 ଘଣ୍ଟା (ଅର୍ଥାତ୍ ମୋଟ $51,100$ ଘଣ୍ଟା)

• ଏହାକୁ ସେକେଣ୍ଡରେ ପରିଣତ କଲେ: $51,100 \times 3600 = 183,960,000$ ସେକେଣ୍ଡ।

  ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ: $1.8396 \times 10^8$ ସେକେଣ୍ଡ।

  (ଯଦି ଆପଣଙ୍କ ଶିକ୍ଷକ ବା ବହିରେ ଆୟୁଷ ଏବଂ ଦୈନିକ ସମୟର ଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ତେବେ ତାହା ପ୍ରୟୋଗ କରି ଗଣନା କରିପାରିବେ।)

14. 1 ଅରବ / 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ ପୂର୍ବରୁ ତାରିଖ କେତେ ଥିଲା ?

✍️ ଉତ୍ତର ଓ ଗଣନା:

1 ବିଲିୟନ ($10^9$) ସେକେଣ୍ଡକୁ ଆମେ ବର୍ଷରେ ପରିଣତ କରିବା:

• 1 ବର୍ଷ = 365.25 ଦିନ $\times$ 24 ଘଣ୍ଟା $\times$ 60 ମିନିଟ୍ $\times$ 60 ସେକେଣ୍ଡ = $31,557,600$ ସେକେଣ୍ଡ।

• ତେଣୁ, 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ = $\frac{1,000,000,000}{31,557,600} \approx$ 31.69 ବର୍ଷ (ଯାହାକି ପ୍ରାୟ 31 ବର୍ଷ ଏବଂ 8 ମାସ ସହ ସମାନ)।

ଆଜିର ତାରିଖ (2026 ମସିହା) ରୁ ଯଦି ଆମେ ଠିକ୍ 31 ବର୍ଷ ଓ 8 ମାସ ପଛକୁ ହିସାବ କରିବା, ତେବେ ତାହା 1994 ମସିହା ଅକ୍ଟୋବର ମାସ ହେବ। (ଅର୍ଥାତ୍ 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ ପୂର୍ବରୁ ତାରିଖଟି 1994 ମସିହାରେ ଥିଲା)।