ଅଧ୍ୟାୟର ପୃଷ୍ଠା ୨୨ ଏବଂ ୨୩ ରେ ଥିବା 'ନିଜେ କରି ଦେଖ' ବିଭାଗର ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ଦିଆଗଲା:

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ?

(i) 2032

(ii) 2048

(iii) 1027

(iv) 1089

✍️ ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ କେବେ ହେଲେ 2, 3, 7 କିମ୍ବା 8 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ

(i) 2032 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 2)ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି

(ii) 2048 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 8) ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି

(iii) 1027 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 7) ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି

(iv) 1089 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ 33×33=1089

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: $64^{2}$, $108^{2}$, $292^{2}$, ଓ $36^{2}$ ମଧ୍ଯରୁ କେଉଁଟିର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ?

✍️ ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଶେଷ ଅଙ୍କ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କର ବର୍ଗ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ। ${\mathrm{}}^{}$

$64^{2}$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $4^{2} = 16$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)

$108^{2}$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $8^{2} = 64$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4)

$292^{2}$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $2^{2} = 4$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4) ${\mathrm{}}^{}$

$36^{2}$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $6^{2} = 36$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)

ଅତଏବ, $108^{2}$ ଏବଂ $292^{2}$ ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଯଦି $125^{2}=15625$, ତେବେ $126^{2}$ ର ମାନ କେତେ ହେବ?

(i) $15625+126$

(ii) $15625+26^{2}$

(iii) $15625+253$

(iv) $15625+251$

(v) $15625+51^{2}$

✍️ ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି:

$(n+1)^{2} = n^{2} + n + (n+1)$ ଏଠାରେ $n = 125$

ଏବଂ $(n+1) = 126$ ଅଟେ।

ତେଣୁ, $126^{2} = 125^{2} + 125 + 126$

ଏହାକୁ ଯୋଗ କଲେ ମିଳିବ: $15625 + 251$ ଅତଏବ,

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି ବିକଳ୍ପ (iv) $15625+251$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪: 441 ବର୍ଗମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?

✍️ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $ବାହୁ^{2}$ ,

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 441 ବର୍ଗମିଟର।

ତେଣୁ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\sqrt{441}$ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $21 \times 21 = 441$ ଅଟେ।

ଅତଏବ, ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି 21 ମିଟର।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫: 4, 9 ଓ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ 4, 9 ଏବଂ 10 ର ଲ.ସା.ଗୁ. (L.C.M.) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

4, 9, 10 ର ଲ.ସା.ଗୁ. = 180 180 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା = $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$ ଏଠାରେ 5 ର କୌଣସି ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ।

ତେଣୁ 180 କୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ଏହାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ଆବଶ୍ୟକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି = $180 \times 5 = 900$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬: କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବାରା 408 କୁ ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଗୁଣଫଳର ବର୍ଗମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ 408 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

$408 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 17 = 2^{2} \times 2 \times 3 \times 17$

ଏଠାରେ 2, 3 ଏବଂ 17 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ।

ତେଣୁ 408 କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କରିବାକୁ ହେଲେ ଆମକୁ ଏହାକୁ ଅତିରିକ୍ତ $(2 \times 3 \times 17) = 102$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ଅତଏବ, ଆବଶ୍ୟକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 102

ନୂତନ ଗୁଣଫଳ (ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା) = $408 \times 102 = 41616$

ବର୍ତ୍ତମାନ 41616 ର ବର୍ଗମୂଳ ହେବ: $\sqrt{41616} = 2 \times 2 \times 3 \times 17 = 204$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିବ?

(i) 16 ଓ 17

(ii) 99 ଓ 100

✍️ ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବଦା ସମୁଦାୟ $2n$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିଥାଏ।

(i) 16 ଓ 17 ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = $2 \times 16 = 32$ ଗୋଟି।

(ii) 99 ଓ 100 ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = $2 \times 99 = 198$ ଗୋଟି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂରଚନାରେ ଖାଲିଥିବା ସ୍ଥାନରେ ଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ପୂରଣ କର। ${\mathrm{}}^{}$

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$ ${\mathrm{}}^{}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+20^{2}=(\_)^{2}$ ${\mathrm{}}^{}$

$9^{2}+10^{2}+(\_)^{2}=(\_)^{2}$

✍️ ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଥିବା ଗାଣିତିକ ଢାଞ୍ଚାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: $n^{2} + (n+1)^{2} + (n \times (n+1))^{2} = (n \times (n+1) + 1)^{2}$

ତେଣୁ ଚତୁର୍ଥ ଧାଡ଼ି ପାଇଁ: $4^{2} + 5^{2} + (4 \times 5)^{2} = (20+1)^{2}$

ଅର୍ଥାତ୍ $4^{2} + 5^{2} + 20^{2} = 21^{2}$ ହେବ।

ପଞ୍ଚମ ଧାଡ଼ି ପାଇଁ: $9^{2} + 10^{2} + (9 \times 10)^{2} = (90+1)^{2}$

ଅର୍ଥାତ୍ $9^{2} + 10^{2} + 90^{2} = 91^{2}$ ହେବ।

ଅତଏବ ଖାଲି ସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକରେ ଯଥାକ୍ରମେ $21^{2}$, $90^{2}$ ଏବଂ $91^{2}$ ରହିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୯: ଦିଆଯାଇଥିବା ବର୍ଗାକାର ଚିତ୍ରରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଛି ? ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ।

✍️ ଉତ୍ତର: ଯଦି ଆପଣଙ୍କ ବହିରେ ଥିବା ମୂଳ ଚିତ୍ରଟି ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ଗ୍ରିଡ୍ (ଯେପରିକି ଚେସ୍ ବୋର୍ଡ ଭଳି ୮ ଟି ଧାଡ଼ି ଓ ୮ ଟି ସ୍ତମ୍ଭ) ହୋଇଥାଏ,

ତେବେ ମୋଟ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $8 \times 8 = 64$।

64 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ: $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$ ହେବ।

ତେଣୁ 64 ର ଏକମାତ୍ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 2।