Page No-5

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ରହିବ ?

(i) $38^2$ (ii) $34^2$ (iii) $46^2$ (iv) $56^2$ (v) $74^2$ (vi) $82^2$

• ଉତ୍ତର: ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 4 କିମ୍ବା 6 ଥାଏ, କେବଳ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ରହିଥାଏ। ତେଣୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

  • (ii) $34^2$ (କାରଣ $4 \times 4 = 16$)

  • (iii) $46^2$ (କାରଣ $6 \times 6 = 36$)

  • (iv) $56^2$ (କାରଣ $6 \times 6 = 36$)

  • (v) $74^2$ (କାରଣ $4 \times 4 = 16$)

    (ସୂଚନା: 38 ର ବର୍ଗ ଶେଷରେ 4 ରହିବ ଏବଂ 82 ର ବର୍ଗ ଶେଷରେ ମଧ୍ୟ 4 ରହିବ)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ ଥାଏ, ତେବେ ତା’ର ବର୍ଗର ଶେଷରେ କେତୋଟି ଶୂନ ରହିବ ?

• ଉତ୍ତର: 6 ଟି ଶୂନ ରହିବ। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗ କଲେ ସର୍ବଦା ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ହୋଇଯାଏ। ତେଣୁ $3 \times 2 = 6$ ଟି ଶୂନ ରହିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ ? ଏପରି ସବୁବେଳେ ହୋଇଥାଏ କି ? ଆମେ କହିପାରିବା କି ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଶେଷରେ କେବଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ରହିବ ?

• ଉତ୍ତର:

  • ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲୁ ଯେ: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଯେତିକି ଶୂନ ଥାଏ, ତାହାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ତାର ଠିକ୍ ଦୁଇଗୁଣ ଶୂନ ରହିଥାଏ। (ଯେପରି 1 ଟି ଶୂନ ଥିଲେ ବର୍ଗରେ 2 ଟି ହେବ, 2 ଟି ଥିଲେ 4 ଟି ହେବ)।

  • ଏପରି ସବୁବେଳେ ହୋଇଥାଏ କି? ହଁ, ଏହା ସବୁବେଳେ ହୋଇଥାଏ।

  • ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ: ହଁ, ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ କହିପାରିବା ଯେ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ କେବଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ (Even number of zeros) ହିଁ ରହିବ। ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କେବେବି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନରେ (ଯଥା: 1 ଟି, 3 ଟି, କିମ୍ବା 5 ଟି ଶୂନ) ଶେଷ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତା’ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ କହିପାରିବ ?

• ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି:

  .1. ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ତାହାର ବର୍ଗର ଏକକ ଅଙ୍କକୁ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରେ (ଯେପରି ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 4 ବା 6 ଥିଲେ ତାର ବର୍ଗ ସର୍ବଦା 6 ରେ ଶେଷ ହେବ)।

  .2. ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗରେ ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ହୋଇଯାଏ, ଯାହାଦ୍ୱାରା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ରହିଥାଏ।

Page no-6

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ଏହି ସଂରଚନା ଆଧାରରେ $36^2$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର; $35^2 = 1225$ ।

• ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ହେଉଛି ସେତିକି ଗୋଟି ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ। ଅର୍ଥାତ୍, $35^2$ (1225) ହେଉଛି ପ୍ରଥମ 35 ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ। ତେଣୁ, $36^2$ ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ 1225 ରେ 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ତୁମେ 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କିପରି ପାଇବ ?

• ଉତ୍ତର: ଆମେ ଯଦି କ୍ରମ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବା ତେବେ ଜାଣିବା:

  • ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 1

  • ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 3

  • ତୃତୀୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 5

  • … ଏବଂ ଏହି କ୍ରମ ଆଗକୁ ବଢ଼ିବ। ଏହିପରି ଗଣି ଗଣି ଆମେ 36 ତମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା, କିନ୍ତୁ ଏଥିପାଇଁ ଏକ ସହଜ ସୂତ୍ର ମଧ୍ୟ ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

$n$ ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ ?

• ଉତ୍ତର: ଯେକୌଣସି କ୍ରମର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (ଅର୍ଥାତ୍ $n$ ତମ ସଂଖ୍ୟା) ବାହାର କରିବାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି $2n - 1$।

  • ତେଣୁ, 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ: $2(36) - 1 = 72 - 1 = \textbf{71}$।

  • ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ 36 ର ବର୍ଗ ବାହାର କରିପାରିବା: $36^2 = 1225 + 71 = \textbf{1296}$।

➖ କ୍ରମାଗତ ବିୟୋଗ ପଦ୍ଧତି (ଉଦାହରଣ)

ଚିତ୍ରର ଶେଷ ଭାଗରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କି ନୁହେଁ ତାହା ପରୀକ୍ଷା କରିବାର ପ୍ରଣାଳୀ ଦିଆଯାଇଛି। ଏଠାରେ 38 କୁ ନିଆଯାଇଛି:

ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରୁ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କରାଯାଏ:

$38 - 1 = 37$

$37 - 3 = 34$

$34 - 5 = 29$

$29 - 7 = 22$

$22 - 9 = 13$

$13 - 11 = 2$

$2 - 13 = \textbf{-11}$

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଯେହେତୁ ଶେଷରେ 0 ଆସିଲା ନାହିଁ ଏବଂ ଉତ୍ତର ଋଣାତ୍ମକ (-11) ହୋଇଗଲା, ଏହା ପ୍ରମାଣ କରେ ଯେ 38 ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
**

Page No- 7

❓ ପ୍ରଶ୍ନ :

ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ, ଆସ ଖୋଜିବା । ତୁମେ ଏହାର କିଛି ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି ?

• ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏଠାରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂରଚନା (pattern) ରହିଛି। ଯଦି ଆମେ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $n+1$ ନେବା, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗ (ଅର୍ଥାତ୍ $n^2$ ଏବଂ $(n+1)^2$) ମଧ୍ୟରେ ଠିକ୍ $2n$ ଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ ଯାହାକି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ନୁହେଁ।

  • ଉଦାହରଣ ୧: $1^2$ (1) ଏବଂ $2^2$ (4) ମଧ୍ୟରେ 2ଟି ସଂଖ୍ୟା (2, 3) ଅଛି । ଏଠାରେ $n=1$, ତେଣୁ $2n = 2 \times 1 = \textbf{2}$ ।

  • ଉଦାହରଣ ୨: $2^2$ (4) ଏବଂ $3^2$ (9) ମଧ୍ୟରେ 4ଟି ସଂଖ୍ୟା (5, 6, 7, 8) ଅଛି । ଏଠାରେ $n=2$, ତେଣୁ $2n = 2 \times 2 = \textbf{4}$ ।

ପ୍ରଶ୍ନ ୨ ଏବଂ ସାରଣୀ ପୂରଣ:

1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ? … 1000ରୁ କମ୍ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଟି କିଏ ?

• 1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ମୋଟ 10 ଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି (1² ରୁ 10² ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ)।

• 101 ରୁ 200 ମଧ୍ୟରେ 4 ଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି (121, 144, 169, 196)।

• 1000 ରୁ କମ୍ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 961 (କାରଣ 31² = 961 ଏବଂ 32² = 1024, ଯାହା 1000 ରୁ ଅଧିକ)।

ବିଭିନ୍ନ ସଂଭାଗରେ (Intervals of 100) ଥିବା ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ବିବରଣୀ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

• 1-100 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 10 ଟି (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)

• 101-200 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 4 ଟି (121, 144, 169, 196)

• 201-300 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 3 ଟି (225, 256, 289)

• 301-400 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 3 ଟି (324, 361, 400)

• 401-500 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 2 ଟି (441, 484)

• 501-600 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 2 ଟି (529, 576)

• 601-700 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 2 ଟି (625, 676)

• 701-800 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 2 ଟି (729, 784)

• 801-900 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 2 ଟି (841, 900)

• 901-1000 ମଧ୍ୟରେ: ମୋଟ 1 ଟି (961)

Page -10 and 11

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 1: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ?
(i) 2032 (ii) 2048 (iii) 1027 (iv) 1089

✍️ ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ କେବେ ହେଲେ 2, 3, 7 କିମ୍ବା 8 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। ତେଣୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ:

• (i) 2032 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 2) ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

• (ii) 2048 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 8) ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

• (iii) 1027 (ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 7) ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

• (iv) 1089 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ $33 \times 33 = 1089$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 2: $64^2$, $108^2$, $292^2$, ଓ $36^2$ ମଧ୍ଯରୁ କେଉଁଟିର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ?

✍️ ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଶେଷ ଅଙ୍କ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କର ବର୍ଗ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ।

• $64^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $4^2 = 16$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)

• $108^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $8^2 = 64$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4)

• $292^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $2^2 = 4$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 4)

• $36^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ: $6^2 = 36$ (ଶେଷ ଅଙ୍କ 6)

ଅତଏବ, $108^2$ ଏବଂ $292^2$ ର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 3: ଯଦି $125^2 = 15625$, ତେବେ $126^2$ ର ମାନ କେତେ ହେବ?

(i) $15625 + 126$

(ii) $15625 + 26^2$

(iii) $15625 + 253$

(iv) $15625 + 251$

(v) $15625 + 51^2$

✍️ ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି:

$(n+1)^2 = n^2 + n + (n+1)$

ଏଠାରେ $n = 125$ ଏବଂ $(n+1) = 126$ ଅଟେ।

ତେଣୁ, $126^2 = 125^2 + 125 + 126$

ଏହାକୁ ଯୋଗ କଲେ ମିଳିବ: $15625 + 251$

ଅତଏବ, ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି ବିକଳ୍ପ (iv) $15625 + 251$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 4: 441 ବର୍ଗମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?

✍️ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସୂତ୍ର = $\text{ବାହୁ}^2$

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 441 ବର୍ଗମିଟର।

ତେଣୁ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\sqrt{441}$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $21 \times 21 = 441$ ଅଟେ।

ଅତଏବ, ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଉଛି 21 ମିଟର।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 5: 4, 9 ଓ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ 4, 9 ଏବଂ 10 ର ଲ.ସା.ଗୁ. (L.C.M.) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

4, 9, 10 ର ଲ.ସା.ଗୁ. = 180

180 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା = $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

ଏଠାରେ 5 ର କୌଣସି ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ। ତେଣୁ 180 କୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ଏହାକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ଆବଶ୍ୟକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି = $180 \times 5 = \textbf{900}$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 6: କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ବାରା 408 କୁ ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଗୁଣଫଳର ବର୍ଗମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

✍️ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ 408 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।

$408 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 17 = 2^2 \times 2 \times 3 \times 17$

ଏଠାରେ 2, 3 ଏବଂ 17 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ।

ତେଣୁ 408 କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ କରିବାକୁ ହେଲେ ଆମକୁ ଏହାକୁ ଅତିରିକ୍ତ $(2 \times 3 \times 17) = 102$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ଅତଏବ, ଆବଶ୍ୟକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 102।

ନୂତନ ଗୁଣଫଳ (ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା) = $408 \times 102 = \textbf{41616}$

ବର୍ତ୍ତମାନ 41616 ର ବର୍ଗମୂଳ ହେବ: $\sqrt{41616} = 2 \times 2 \times 3 \times 17 = \textbf{204}$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 7: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିବ?

(i) 16 ଓ 17

(ii) 99 ଓ 100

✍️ ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଏବଂ $(n+1)$ ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବଦା ସମୁଦାୟ $2n$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିଥାଏ।

• (i) 16 ଓ 17 ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = $2 \times 16 = \textbf{32}$ ଗୋଟି।

• (ii) 99 ଓ 100 ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = $2 \times 99 = \textbf{198}$ ଗୋଟି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 8: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂରଚନାରେ ଖାଲିଥିବା ସ୍ଥାନରେ ଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ପୂରଣ କର।

• $1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2$

• $2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2$

• $3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2$

• $4^2 + 5^2 + 20^2 = (\_)^2$

• $9^2 + 10^2 + (\_)^2 = (\_)^2$

✍️ ଉତ୍ତର: ଦିଆଯାଇଥିବା ଗାଣିତିକ ଢାଞ୍ଚାର ସୂତ୍ର ହେଉଛି:

$n^2 + (n+1)^2 + (n \times (n+1))^2 = (n \times (n+1) + 1)^2$

ତେଣୁ ଚତୁର୍ଥ ଧାଡ଼ି ପାଇଁ: $4^2 + 5^2 + (4 \times 5)^2 = (20+1)^2$

ଅର୍ଥାତ୍ $4^2 + 5^2 + 20^2 = \textbf{21}^2$ ହେବ।

ପଞ୍ଚମ ଧାଡ଼ି ପାଇଁ: $9^2 + 10^2 + (9 \times 10)^2 = (90+1)^2$

ଅର୍ଥାତ୍ $9^2 + 10^2 + \textbf{90}^2 = \textbf{91}^2$ ହେବ।

ଅତଏବ ଖାଲି ସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକରେ ଯଥାକ୍ରମେ 21, 90 ଏବଂ 91 ରହିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ 9: ଦିଆଯାଇଥିବା ବର୍ଗାକାର ଚିତ୍ରରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଛି ? ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ।

✍️ ଉତ୍ତର: ଯଦି ଆପଣଙ୍କ ବହିରେ ଥିବା ମୂଳ ଚିତ୍ରଟି ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ଗ୍ରିଡ୍ (ଯେପରିକି ଚେସ୍ ବୋର୍ଡ ଭଳି 8 ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 8 ଟି ସ୍ତମ୍ଭ) ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ମୋଟ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ହେବ $8 \times 8 = 64$।

64 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ ମିଳିବ:

$64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$

ତେଣୁ 64 ର ଏକମାତ୍ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 2।

Page No- 12 to 13
❓ ପ୍ରଶ୍ନ : ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ କେଉଁ ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ ?

✍️ ଉତ୍ତର: ପୂର୍ବ ସାରଣୀରୁ ଆମେ ଏହି ସଂରଚନା (pattern) ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଘନ କଲେ, ପ୍ରାପ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 0 ରୁ 9 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କ ଆସିପାରେ। ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଭଳି ଏଠାରେ କୌଣସି ଅଙ୍କ ବାଦ୍ ପଡ଼ିନଥାଏ। ଏହା ସହିତ କେତେକ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା 1, 4, 5, 6, 9, 0) ର ଘନ କଲେ ସେମାନଙ୍କ ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ସେହି ସମାନ ଅଙ୍କ ହିଁ ରହିଥାଏ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ : ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଯେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ (ଏକକ ଅଙ୍କ) 0, 1, 4, 5, 6, 9 ହିଁ ହୋଇପାରିବ। କୌଣସି ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ (ଏକକ ଅଙ୍କ) କେତେ ହୋଇପାରେ ?

✍️ ଉତ୍ତର: କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ (ଏକକ ଅଙ୍କ) 0 ରୁ 9 ମଧ୍ୟରେ ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କ ହୋଇପାରେ।

ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, କିମ୍ବା 9 ହୋଇପାରିବ। ଏଠାରେ କୌଣସି ପ୍ରତିବନ୍ଧକ ନାହିଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ : ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ପରି, ତୁମେ 1 ଅଙ୍କ, 2 ଅଙ୍କ ଏବଂ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ଘନ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କହିପାରିବ କି ?

✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଆମେ ଏହା ସହଜରେ ଗଣନା କରିପାରିବା:

• 1 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନ ସଂଖ୍ୟା: ମୋଟ 2 ଟି ଅଛି। ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $1^3 = 1$ ଏବଂ $2^3 = 8$ ।

• 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନ ସଂଖ୍ୟା: ମୋଟ 2 ଟି ଅଛି। ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $3^3 = 27$ ଏବଂ $4^3 = 64$ ।

• 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନ ସଂଖ୍ୟା: ମୋଟ 5 ଟି ଅଛି। ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$, $8^3 = 512$, ଏବଂ $9^3 = 729$ ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ : ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ ଦୁଇଟି ଶୂନ (00) ହୋଇପାରିବ କି ? ବୁଝାଅ।

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ କେବେବି ଠିକ୍ ଦୁଇଟି ଶୂନ (00) ରହିପାରିବ ନାହିଁ।

କାରଣ: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା, ତାହାର ଘନ କଲାବେଳେ ତିନିଗୁଣ (3 times) ହୋଇଯାଏ।

• ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ: ଯଦି ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 1 ଟି ଶୂନ ଥାଏ (ଯେପରି 10), ତେବେ ତା’ର ଘନ କଲେ ଶେଷରେ 3 ଟି ଶୂନ ଆସିବ ($10^3 = 1000$)।

• ସେହିପରି ସଂଖ୍ୟା ଶେଷରେ 2 ଟି ଶୂନ ଥିଲେ (ଯେପରି 100), ଘନ କଲେ 6 ଟି ଶୂନ ଆସିବ ($100^3 = 1000000$)।

  ଅତଏବ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା 3 ର ଗୁଣିତକ (ଅର୍ଥାତ୍ 3, 6, 9… ଇତ୍ୟାଦି) ହୋଇଥାଏ। ତେଣୁ ଠିକ୍ 2 ଟି ଶୂନ ରହିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ:

✍️ ଉତ୍ତର: ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଘନ (cubes) ର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।

4104 ପାଇଁ:

• ପ୍ରଥମ ଉପାୟ: $2^3 + 16^3$ (କାରଣ $8 + 4096 = 4104$)

• ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ: $9^3 + 15^3$ (କାରଣ $729 + 3375 = 4104$)

• ଅର୍ଥାତ୍, $4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3$

13832 ପାଇଁ:

• ପ୍ରଥମ ଉପାୟ: $2^3 + 24^3$ (କାରଣ $8 + 13824 = 13832$)

• ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ: $18^3 + 20^3$ (କାରଣ $5832 + 8000 = 13832$)

• ଅର୍ଥାତ୍, $13832 = 2^3 + 24^3 = 18^3 + 20^3$

✍️ ଉତ୍ତର:

(i) $\sqrt[3]{64}$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ତିନିଥର ଗୁଣନ କଲେ ଘନ ମିଳିଥାଏ।

$4 \times 4 \times 4 = 64$

ତେଣୁ, $\sqrt[3]{64} =$ $4$

(ii) $\sqrt[3]{512}$

ସେହିପରି, $8 \times 8 \times 8 = 512$

ତେଣୁ, $\sqrt[3]{512} =$ $8$

(iii) $\sqrt[3]{729}$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, $9 \times 9 \times 9 = 729$

ତେଣୁ, $\sqrt[3]{729} =$ $9$

Page no -16 to 17

1. 27000 ଓ 10648 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

👉 27000 ର ଘନମୂଳ: $27000 = 27 \times 1000$

$= 3^3 \times 10^3$

$= (3 \times 10)^3 = 30^3$

$\therefore \sqrt[3]{27000} = 30$

👉 10648 ର ଘନମୂଳ: $10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11$

$= 2^3 \times 11^3 = (2 \times 11)^3$

$= 22^3$

$\therefore \sqrt[3]{10648} = 22$

(ସୂଚନା: ବହିରେ 10678 ଲେଖାଅଛି ଯାହାକି ଏକ ମୁଦ୍ରଣଗତ ତ୍ରୁଟି ଅଟେ, କାରଣ 10678 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ। ସଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟାଟି 10648 ହେବ।)

❓ 2. କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା 1323 କୁ ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ?

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ 1323 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ବାହାର କରିବା:

$1323 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 = 3^3 \times 7^2$

ଏଠାରେ $3^3$ ର ଏକ ତ୍ରିରାଶି ବା ଯୁଗ୍ମ (triplet) ଅଛି, କିନ୍ତୁ 7 ର କେବଳ ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ($7^2$) ଅଛି। ଏହାକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ଆଉ ଏକ 7 ଆବଶ୍ୟକ।

🎯 ଉତ୍ତର: 7

✅ 3. ଭୁଲ୍ ($\times$) କି ଠିକ୍ ($\checkmark$) ଦର୍ଶାଅ:

(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସବୁବେଳେ ଅଯୁଗ୍ମ ହୁଏ (ଯଥା: $3^3 = 27$)।

(ii) ଏପରି କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହେବ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ 2 ର ଘନ ହେଉଛି 8 ($2^3 = 8$)।

(iii) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 10 ର ଘନ ହେଉଛି 1000, ଯାହା 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ।

(iv) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାତ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 99 ର ଘନ 970299, ଯାହା 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ।

(v) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: ଏହା କେବଳ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସତ। ଘନ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା 8) ର ଗୁଣନୀୟକ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ।

💡 4. ମନେକର 1331 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା। ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ନକରି ତୁମେ ଏହାର ଘନମୂଳ ଅନୁମାନ କରିପାରିବ କି? ସେହିପରି 4913, 12167 ଓ 32768 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

👉 1331 ର ଘନମୂଳ: * ଭାଗ: (1) ଏବଂ (331)।

• ଶେଷ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ 1 ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ 1 ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ 1।

• ଉତ୍ତର: 11

👉 4913 ର ଘନମୂଳ: * ଭାଗ: (4) ଏବଂ (913)।

• ଶେଷ ଅଙ୍କ 3 ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ 7 ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ 4 ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ 1 (କାରଣ $1^3$ ର ମୂଲ୍ୟ 4 ରୁ ଛୋଟ)।

• ଉତ୍ତର: 17

👉 12167 ର ଘନମୂଳ: * ଭାଗ: (12) ଏବଂ (167)।

• ଶେଷ ଅଙ୍କ 7 ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ 3 ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ 12 ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ 2 (କାରଣ $2^3 = 8$ ଏବଂ $3^3 = 27$)।

• ଉତ୍ତର: 23

👉 32768 ର ଘନମୂଳ: * ଭାଗ: (32) ଏବଂ (768)।

• ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ 32 ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ 3 (କାରଣ $3^3 = 27$ ଏବଂ $4^3 = 64$)।

• ଉତ୍ତର: 32

❓ 5. ନିମ୍ନଲିଖିତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ? କାରଣ ଉପସ୍ଥାପନ କର ।

(i) $67^3 - 66^3$

(ii) $43^3 - 42^3$

(iii) $67^2 - 66^2$

(iv) $43^2 - 42^2$

✍️ ଉତ୍ତର: ଏହି ସବୁ ବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ (i) $67^3 - 66^3$ ର ମୂଲ୍ୟ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଅଟେ ।

କାରଣ ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ:

ଏହାର କାରଣକୁ ଆମେ ବିନା ବଡ଼ ଗଣନା କରି ତାର୍କିକ ଉପାୟରେ ବୁଝିପାରିବା:

1. ଘନର ପାର୍ଥକ୍ୟ > ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟ: କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତାର ବର୍ଗ ଠାରୁ ବହୁତ ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ବଢ଼ିଥାଏ। ତେଣୁ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ପାର୍ଥକ୍ୟ (difference of cubes), ସେମାନଙ୍କ ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟ (difference of squares) ଠାରୁ ସର୍ବଦା ଯଥେଷ୍ଟ ବଡ଼ ହୋଇଥାଏ। ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ବିକଳ୍ପ (i) ଓ (ii) ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ (iii) ଓ (iv) ଠାରୁ ବଡ଼।

2. ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଘନର ପାର୍ଥକ୍ୟ: ବର୍ତ୍ତମାନ (i) $67^3 - 66^3$ ଏବଂ (ii) $43^3 - 42^3$ ମଧ୍ୟରେ ତୁଳନା କଲେ, ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଯେତେ ବଡ଼ ହୁଏ, ସେମାନଙ୍କ ଘନର ପାର୍ଥକ୍ୟ ସେତେ ଅଧିକ ବଢ଼ିଯାଏ। ଯେହେତୁ 67 ଏବଂ 66 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ 43 ଏବଂ 42 ଠାରୁ ବଡ଼, ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କ ଘନର ପାର୍ଥକ୍ୟ ସର୍ବାଧିକ ହେବ।

ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରମାଣ (ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ):

• (i) $67^3 - 66^3$: $(67-66) \times (67^2 + 67 \times 66 + 66^2) = 1 \times (4489 + 4422 + 4356) = \textbf{13267}$

• (ii) $43^3 - 42^3$: $(43-42) \times (43^2 + 43 \times 42 + 42^2) = 1 \times (1849 + 1806 + 1764) = \textbf{5419}$

• (iii) $67^2 - 66^2$: $(67-66) \times (67+66) = 1 \times 133 = \textbf{133}$

• (iv) $43^2 - 42^2$: $(43-42) \times (43+42) = 1 \times 85 = \textbf{85}$

ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟକୁ ତୁଳନା କଲେ, 13267 ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। ତେଣୁ ବିକଳ୍ପ (i) ହିଁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର।