ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀ ଗଣିତ ବହିର 'ବର୍ଗ ଓ ବର୍ଗମୂଳ' (Square and Square Roots) ଅଧ୍ୟାୟର ପୃଷ୍ଠା ୧୩ ରୁ ୨୩ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତର ତଳେ ପ୍ରଦତ୍ତ କରାଗଲା:

ଅଧ୍ୟାୟର ପ୍ରମୁଖ ବିଷୟବସ୍ତୁ: ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଚିହ୍ନଟ, ବର୍ଗର ଏକକ ଅଙ୍କ, ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା, ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ବର୍ଗ, ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଏବଂ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ପଦ୍ଧତିରେ ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ।

ବିଭାଗ ୧: ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଚିହ୍ନଟ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧: 1057 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ।

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, 1057 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ। କାରଣ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ 7 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨: 23453 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ।

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, 23453 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ। କାରଣ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଅଙ୍କ 3 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩: 7928 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି?

✍️ ଉତ୍ତର: ନା, ଏହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 8 ଥିବାରୁ ଏହା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪: 22222 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ନା, କାରଣ ଏହାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 2 ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫: 1069 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏହା ହୋଇପାରେ କାରଣ ଏହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 9 ଅଛି (ଯଦିଓ ପ୍ରକୃତରେ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ପଡିବ, କିନ୍ତୁ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ସମ୍ଭାବନା ଅଛି)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬: 64000 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ନା, କାରଣ ଏହାର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ (0) ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ (ତିନୋଟି ଶୂନ) ଅଟେ। ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୭: 810000 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, କାରଣ 81 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ (ଚାରୋଟି ଶୂନ) ଅଟେ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୮: 505050 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ନା, କାରଣ ଏହାର ଶେଷରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ (ଅଯୁଗ୍ମ) ଶୂନ ରହିଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୯: ଯେକୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ କିପରି ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଯେକୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦: ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ କିପରି ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ସର୍ବଦା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ।

ବିଭାଗ ୨: ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ଅଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧: $11^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 1 ହେବ, କାରଣ $1 \times 1 = 1$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୨: $22^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 4 ହେବ, କାରଣ $2 \times 2 = 4$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩: $33^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 9 ହେବ, କାରଣ $3 \times 3 = 9$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୪: $44^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 6 ହେବ, କାରଣ $4 \times 4 = 16$, ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କ 6।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୫: $55^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 5 ହେବ, କାରଣ $5 \times 5 = 25$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୬: $66^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 6 ହେବ, କାରଣ $6 \times 6 = 36$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୭: $77^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 9 ହେବ, କାରଣ $7 \times 7 = 49$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୮: $88^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 4 ହେବ, କାରଣ $8 \times 8 = 64$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୧୯: $99^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 1 ହେବ, କାରଣ $9 \times 9 = 81$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୦: $12345^2$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏକକ ଅଙ୍କ 5 ହେବ।

ବିଭାଗ ୩: ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ($n^2$ ଏବଂ $(n+1)^2$ ମଧ୍ୟରେ $2n$ ସଂଖ୍ୟା ରହେ)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୧: $1^2$ ଏବଂ $2^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $n=1$, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବ $2 \times 1 = 2$ ଗୋଟି (ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 2 ଏବଂ 3)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୨: $2^2$ ଏବଂ $3^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $n=2$, ତେଣୁ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $2 \times 2 = 4$ ଗୋଟି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୩: $9^2$ ଏବଂ $10^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $n=9$, ତେଣୁ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $2 \times 9 = 18$ ଗୋଟି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୪: $11^2$ ଏବଂ $12^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $n=11$, ତେଣୁ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ $2 \times 11 = 22$ ଗୋଟି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୫: $15^2$ ଏବଂ $16^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 15 = 30$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୬: $20^2$ ଏବଂ $21^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 20 = 40$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୭: $25^2$ ଏବଂ $26^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 25 = 50$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୮: $50^2$ ଏବଂ $51^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 50 = 100$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୨୯: $99^2$ ଏବଂ $100^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 99 = 198$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୦: $100^2$ ଏବଂ $101^2$ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
✍️ ଉତ୍ତର: $2 \times 100 = 200$ ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

ବିଭାଗ ୪: କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ (ପ୍ରଥମ $n$ ଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = $n^2$)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୧: ଯୋଗ ନକରି ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: $1 + 3 + 5 + 7 + 9$
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ ୫ଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ତେଣୁ ଯୋଗଫଳ $= 5^2 = 25$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୨: ଯୋଗ ନକରି ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$
✍️ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ ୬ଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ତେଣୁ ଯୋଗଫଳ $= 6^2 = 36$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୩: ଯୋଗ ନକରି ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: $1 + 3 + 5 + ... + 19$
✍️ ଉତ୍ତର: 1 ରୁ 19 ମଧ୍ୟରେ ୧୦ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ତେଣୁ ଯୋଗଫଳ $= 10^2 = 100$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୪: 49 କୁ ୭ଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $49 = 7^2$। ତେଣୁ, $49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୫: 64 କୁ ୮ଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $64 = 8^2$। ତେଣୁ, $64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୬: ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି କିପରି ସଂଖ୍ୟା?
✍️ ଉତ୍ତର: ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୭: 81 କୁ କେତୋଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ?
✍️ ଉତ୍ତର: $81 = 9^2$, ତେଣୁ ଏହାକୁ ୯ଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୮: ପ୍ରଥମ ୧୨ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଯୋଗଫଳ $= 12^2 = 144$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୩୯: ପ୍ରଥମ ୧୫ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଯୋଗଫଳ $= 15^2 = 225$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୦: $1+3+5+...$ ଏହି କ୍ରମରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ମିଶାଇଲେ ଯୋଗଫଳ 400 ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ଯେହେତୁ $400 = 20^2$, ତେଣୁ ପ୍ରଥମ ୨୦ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମିଶାଇଲେ ଯୋଗଫଳ 400 ହେବ।

ବିଭାଗ ୫: ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ (ସାଧାରଣ ରୂପ: $2m, m^2-1, m^2+1$)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୧: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 6 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 6$, ତେବେ $m = 3$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟଗୁଡ଼ିକ: $m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ ଏବଂ $m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$। ତେଣୁ ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 6, 8, 10।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୨: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 8 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 8$, ତେବେ $m = 4$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $4^2 - 1 = 15$ ଏବଂ $4^2 + 1 = 17$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 8, 15, 17।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୩: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 10 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 10$, ତେବେ $m = 5$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $5^2 - 1 = 24$ ଏବଂ $5^2 + 1 = 26$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 10, 24, 26।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୪: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 12 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 12$, ତେବେ $m = 6$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $6^2 - 1 = 35$ ଏବଂ $6^2 + 1 = 37$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 12, 35, 37।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୫: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 14 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 14$, ତେବେ $m = 7$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $7^2 - 1 = 48$ ଏବଂ $7^2 + 1 = 50$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 14, 48, 50।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୬: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 16 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 16$, ତେବେ $m = 8$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $8^2 - 1 = 63$ ଏବଂ $8^2 + 1 = 65$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 16, 63, 65।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୭: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 18 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 18$, ତେବେ $m = 9$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $9^2 - 1 = 80$ ଏବଂ $9^2 + 1 = 82$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 18, 80, 82।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୮: ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ଲେଖ ଯାହାର ଗୋଟିଏ ସଦସ୍ୟ 20 ଅଟେ।
✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର $2m = 20$, ତେବେ $m = 10$। ଅନ୍ୟ ସଦସ୍ୟ: $10^2 - 1 = 99$ ଏବଂ $10^2 + 1 = 101$। ତ୍ରୟୀଟି ହେଲା: 20, 99, 101।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୪୯: 3, 4, 5 ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, କାରଣ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ଏବଂ $5^2 = 25$। ଅର୍ଥାତ୍ $3^2 + 4^2 = 5^2$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୦: 5, 12, 13 ଏକ ପାଇଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ କି?
✍️ ଉତ୍ତର: ହଁ, କାରଣ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ଏବଂ $13^2 = 169$। ଅର୍ଥାତ୍ $5^2 + 12^2 = 13^2$।

ବିଭାଗ ୬: ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ନକରି ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ($(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$)

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୧: 32 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $32 = 30 + 2$ $32^2 = (30 + 2)^2 = 30^2 + 2 \times 30 \times 2 + 2^2$ $= 900 + 120 + 4 = 1024$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୨: 35 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 5 ଥାଏ (ଯଥା $a5$), ତାହାର ବର୍ଗ $= a(a+1) \times 100 + 25$। ଏଠାରେ $a=3$। ତେଣୁ $3 \times (3+1) = 3 \times 4 = 12$। ଅତଏବ, $35^2 = 1225$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୩: 45 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $4 \times 5 = 20$। ତେଣୁ $45^2 = 2025$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୪: 75 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $7 \times 8 = 56$। ତେଣୁ $75^2 = 5625$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୫: 86 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $86 = 80 + 6$ $86^2 = (80 + 6)^2 = 80^2 + 2 \times 80 \times 6 + 6^2$ $= 6400 + 960 + 36 = 7396$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୬: 99 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $99 = 100 - 1$ $99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2$ $= 10000 - 200 + 1 = 9801$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୭: 101 ର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
✍️ ଉତ୍ତର: $101 = 100 + 1$ $101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2$ $= 10000 + 200 + 1 = 10201$।

ବିଭାଗ ୭: ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ବର୍ଗମୂଳ ଧାରଣା

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୮: 48 କୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡିବ?
✍️ ଉତ୍ତର: 48 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ $= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3$। ଏଠାରେ 3 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ। ତେଣୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ ଏହା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ହେବ ($48 \times 3 = 144$)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୫୯: 90 କୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡିବ?
✍️ ଉତ୍ତର: $90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$। ଏଠାରେ 2 ଏବଂ 5 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ। ତେଣୁ $2 \times 5 = 10$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡିବ ($90 \times 10 = 900$)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୦: 162 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: $162 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^4$। ଏଠାରେ 2 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ। ତେଣୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ତାହା ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ହେବ ($162 \div 2 = 81$)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୧: 252 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: $252 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7$। ଏଠାରେ 7 ର ଯୋଡ଼ି ନାହିଁ। ତେଣୁ 7 ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବାକୁ ପଡିବ ($252 \div 7 = 36$)।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୨: $11^2$ ର ମାନ 121 ହେଲେ, $\sqrt{121}$ ର ମାନ କେତେ?
✍️ ଉତ୍ତର: ବର୍ଗମୂଳ ବର୍ଗର ଓଲଟା ପ୍ରକ୍ରିୟା। ତେଣୁ $\sqrt{121} = 11$।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୩: ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ପଡିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 144 ବର୍ଗ ମିଟର। ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?
✍️ ଉତ୍ତର: ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $= \sqrt{କ୍ଷେତ୍ରଫଳ} = \sqrt{144} = 12$ ମିଟର।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୪: ଢାଞ୍ଚା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର: $1^2+2^2+2^2=3^2$, $2^2+3^2+6^2=7^2$, $3^2+4^2+12^2=13^2$, ତେବେ $4^2+5^2+?^2=21^2$।
✍️ ଉତ୍ତର: ସୂତ୍ର ହେଉଛି $n^2 + (n+1)^2 + \{n(n+1)\}^2 = \{n(n+1)+1\}^2$। ଏଠାରେ $4 \times 5 = 20$। ତେଣୁ ଖାଲି ସ୍ଥାନରେ $20^2$ ହେବ।

❓ ପ୍ରଶ୍ନ ୬୫: ଢାଞ୍ଚା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର: $11^2 = 121$, $101^2 = 10201$, ତେବେ $1001^2$ କେତେ ହେବ?
✍️ ଉତ୍ତର: ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଯେତୋଟି ଶୂନ ବଢିବ, ଉତ୍ତରରେ ମଧ୍ୟ ସେତିକି ଶୂନ ବଢିବ। ତେଣୁ $1001^2 = 1002001$ ହେବ।