ଭାଗ ୧: ୩୦ ଟି ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଓ ଉତ୍ତର (୧ ମାର୍କ ଏବଂ ୫ ମାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ)

❓ 1. $\sqrt{2}$ ଏକ କେଉଁ ପ୍ରକାର ସଂଖ୍ୟା ?

✅ ଉତ୍ତର: $\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 2. $0.1010010001...$ ଏକ କେଉଁ ପ୍ରକାର ସଂଖ୍ୟା ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏହା ଏକ ଅସୀମ ଓ ଅଣ-ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 3. ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍ କୁ କ’ଣ କୁହାଯାଏ ?

✅ ଉତ୍ତର: ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍ କୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (R) କୁହାଯାଏ

❓ 4. $\sqrt{3}$ ର ଆସନ୍ନ ମାନ ଦୁଇ ଦଶମିକ ସ୍ଥାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $\sqrt{3}$ ର ଆସନ୍ନ ମାନ ପ୍ରାୟ 1.73 ଅଟେ

❓ 5. $2 + \sqrt{3}$ ଏକ ପରିମେୟ ନା ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ?

✅ ଉତ୍ତର: ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 6. ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଅପରିମେୟ ହୁଏ କି ?

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ମଧ୍ୟ ହୋଇପାରେ (ଉଦାହରଣ: $\sqrt{2}$ ଏବଂ $-\sqrt{2}$ ର ଯୋଗଫଳ 0 ଅଟେ)

❓ 7. $\pi$ ଏକ ପରିମେୟ ନା ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ?

✅ ଉତ୍ତର: $\pi$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 8. $\frac{22}{7}$ ଏକ ପରିମେୟ ନା ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ?

✅ ଉତ୍ତର: $\frac{22}{7}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ, ଏହା କେବଳ $\pi$ ର ଏକ ଆସନ୍ନ ମାନ

❓ 9. $5\sqrt{2}$ ଏବଂ $3\sqrt{2}$ ର ଯୋଗଫଳ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏହାର ଯୋଗଫଳ ହେବ $8\sqrt{2}$

❓ 10. $\sqrt{12}$ କୁ ସରଳ କଲେ କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ ହେବ

❓ 11. $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏହାର ମାନ 5 ହେବ

❓ 12. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ର ହରକୁ ପରିମେୟ କଲେ କେତେ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଲବ ଓ ହରରେ $\sqrt{2}$ ଗୁଣନ କଲେ ଏହା $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ହେବ

❓ 13. $\sqrt{8} \div \sqrt{2}$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $\sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$ ହେବ

❓ 14. $x^2 = 3$ ହେଲେ $x$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: $x$ ର ମାନ $\pm \sqrt{3}$ ହେବ

❓ 15. $R - Q$ ସେଟ୍ କୁ କି ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏହାକୁ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ

❓ 16. ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ (ଶୂନ ବ୍ୟତୀତ) ଓ ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ କ’ଣ ହେବ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଏହା ସର୍ବଦା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ

❓ 17. $2.343443444...$ ସଂଖ୍ୟାଟି ପରିମେୟ କି ?

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ଏହା ଏକ ଅସୀମ ଓ ଅଣ-ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

❓ 18. $\sqrt{25}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି ?

✅ ଉତ୍ତର: ନା, $\sqrt{25} = 5$ ଯାହାକି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 19. ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ ?

✅ ଉତ୍ତର: ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଅସଂଖ୍ୟ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ

❓ 20. $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})$ ର ମାନ କେତେ ?

✅ ଉତ୍ତର: ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଏହାର ମାନ $a^2-b$ ଅଟେ

❓ 21. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯଦି ସମ୍ଭବ ମନେକର $\sqrt{2}$ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ ଆମେ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ଲେଖିପାରିବା ଯେଉଁଠାରେ $p, q$ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଏବଂ $q \neq 0$

ତେଣୁ $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$

ଏଠାରୁ ଜଣାପଡେ ଯେ $p^2$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ $p$ ମଧ୍ୟ ଯୁଗ୍ମ ହେବ

ମନେକର $p = 2k$

ତେବେ $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$

ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $q^2$ ଏବଂ $q$ ମଧ୍ୟ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

ଯେହେତୁ $p$ ଓ $q$ ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ, ସେମାନଙ୍କର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 2 ରହିଛି ଯାହା ଆମର ପୂର୍ବ ମାନ୍ୟତାର ବିରୋଧାଭାସ ଅଟେ

ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ $\sqrt{2}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

❓ 22. $3+\sqrt{2}$ ଏବଂ $3-\sqrt{2}$ ର ଯୋଗଫଳ ଓ ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯୋଗଫଳ $= (3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6$

ଗୁଣଫଳ $= (3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

❓ 23. $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ର ହରକୁ ପରିମେୟ କରି ସରଳ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଲବ ଓ ହରରେ $(2-\sqrt{3})$ ଗୁଣନ କଲେ, $\frac{1 \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

❓ 24. $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ ର ହରକୁ ପରିମେୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଲବ ଓ ହରରେ $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ ଗୁଣନ କଲେ, $\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

❓ 25. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା $5+\sqrt{3}$ ଏବଂ $2+\sqrt{3}$

ଏମାନଙ୍କର ବିୟୋଗଫଳ $= (5+\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3}) = 5 + \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = 3$

ଏଠାରେ 3 ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, ତେଣୁ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

❓ 26. ଯଦି $x = 1-\sqrt{2}$ ହୁଏ, ତେବେ $(x - \frac{1}{x})^3$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ପ୍ରଥମେ $\frac{1}{x} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -(1+\sqrt{2})$

ବର୍ତ୍ତମାନ $x - \frac{1}{x} = (1-\sqrt{2}) - \{-(1+\sqrt{2})\} = 1-\sqrt{2} + 1+\sqrt{2} = 2$

ତେଣୁ $(x - \frac{1}{x})^3 = 2^3 = 8$

❓ 27. $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = a+b\sqrt{3}$ ହେଲେ $a$ ଓ $b$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ହରକୁ ପରିମେୟ କଲେ $\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

ଏହାକୁ $a+b\sqrt{3}$ ସହ ତୁଳନା କଲେ $a=2$ ଏବଂ $b=1$ ହେବ

❓ 30. $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}$ କୁ ସରଳ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, ଏବଂ $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

ତେଣୁ $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5 - 3 + 2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

ଭାଗ ୨: ୨୦ ଟି ଅତିରିକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ (କେବଳ ପ୍ରଶ୍ନ)

❓ 31. 2 ଏବଂ 3 ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 32. $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ ର ହରକୁ ପରିମେୟ କର ।

❓ 33. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\sqrt{3}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

❓ 34. ଦର୍ଶାଅ ଯେ $5-\sqrt{3}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

❓ 35. ସରଳ କର: $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})$ ।

❓ 36. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ କୁ $a+b\sqrt{15}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରି $a$ ଓ $b$ ର ମାନ ବାହାର କର ।

❓ 37. $\pi$ ଏବଂ $\frac{22}{7}$ ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ କ’ଣ ବୁଝାଅ ।

❓ 38. ଯଦି $a=2+\sqrt{3}$, ତେବେ $a^2+\frac{1}{a^2}$ ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 39. ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ $\sqrt{3}$ କୁ ସ୍ଥାପନ କରିବାର ପଦ୍ଧତି ଲେଖ ।

❓ 40. ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଉଦାହରଣ ଦିଅ ଯାହାର ଯୋଗଫଳ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

❓ 41. $0.2020020002...$ ସଂଖ୍ୟାଟି ପରିମେୟ ନା ଅପରିମେୟ ସାବ୍ୟସ୍ତ କର ।

❓ 42. $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$ ଏବଂ $\frac{1}{3-\sqrt{2}}$ ର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

❓ 43. ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\sqrt{p}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, ଯେଉଁଠାରେ $p$ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ।

❓ 44. ସରଳ କର: $\sqrt{72} + \sqrt{800} - \sqrt{18}$ ।

❓ 45. ଦର୍ଶାଅ ଯେ $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

❓ 46. ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\sqrt{5}$ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?

❓ 47. ଯଦି $x=3+2\sqrt{2}$, ତେବେ $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ ର ମାନ ବାହାର କର ।

❓ 48. ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

❓ 49. $0.123123...$ ଏବଂ $0.1231123111...$ ମଧ୍ୟରେ କେଉଁଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ?

❓ 50. ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ର ସାନ୍ଦ୍ରତା ଧର୍ମ (Density property) କ’ଣ ଉଦାହରଣ ସହ ଲେଖ ।