📚 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Numbers) - ଅନୁଶୀଳନୀ 2(a) ପୂର୍ବରୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ନୋଟ୍ସ, ସୂତ୍ର ଏବଂ ଉଦାହରଣ 🧮

🌟 ୧. ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକର ପରିଚୟ (Introduction to Number Sets)

ଗଣିତରେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ରହିଛି । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

• 🟢 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Natural Numbers): $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$
• 🟢 ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Whole Numbers): $N^* = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
• 🟢 ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Integers): $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
• 🟢 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Rational Numbers): $Q = \{\frac{p}{q} : p, q \in Z, q \neq 0\}$
• 🟢 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Real Numbers): $R$ (ଯେଉଁଥିରେ ପରିମେୟ ଏବଂ ଅପରିମେୟ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ)

🔗 ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ: $N \subset N^* \subset Z \subset Q \subset R$

🌟 ୨. ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ (Decimal Representation of Rational Numbers)

ଯେକୌଣସି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $\frac{p}{q}$ କୁ ଆମେ ଦୁଇଟି ଦଶମିକ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା:

1. 🎯 ସସୀମ ଦଶମିକ (Terminating Decimal): ଭାଗକ୍ରିୟା ଶେଷ ହୋଇଯାଏ ।
   • ଉଦାହରଣ: $\frac{1}{2} = 0.5$, $\frac{3}{4} = 0.75$, $\frac{1}{5} = 0.2$
2. 🎯 ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ (Non-terminating Recurring Decimal): ଭାଗକ୍ରିୟା ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବା ଏକାଧିକ ଅଙ୍କ ବାରମ୍ବାର ଆସେ (ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ) । ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେଉଥିବା ଅଙ୍କ ଉପରେ ଗାର (bar $\overline{x}$) ଦିଆଯାଏ ।
   • ଉଦାହରଣ: $\frac{1}{3} = 0.3333... = 0.\overline{3}$
   • ଉଦାହରଣ: $\frac{1}{7} = 0.142857142857... = 0.\overline{142857}$

🌟 ୩. ଦଶମିକରୁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ($\frac{p}{q}$) କୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ ପାଇଁ ସୂତ୍ର (Formulas for Conversion) 📝

ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ପରିଣତ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର (ସର୍ଟକଟ୍ ଟ୍ରିକ୍) ମନେରଖନ୍ତୁ:

🌟 ୪. ଗାଣିତିକ ଉଦାହରଣ ସମାଧାନ ସହ (Examples with Step-by-Step Solutions) 💡

📌 ଉଦାହରଣ ୧: $0.\overline{6}$ କୁ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ସମାଧାନ: ମନେକର, $x = 0.\overline{6} = 0.666...$ -------- (ସମୀକରଣ 1) ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $10$ ଗୁଣନ କଲେ, $\mathrm{<br>}\mathrm{}$

$10x = 6.666...$ -------- (ସମୀକରଣ 2) ବର୍ତ୍ତମାନ (ସମୀକରଣ 2) ରୁ (ସମୀକରଣ 1) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $10x - x = 6.666... - 0.666...$ $9x = 6$ $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ଅତଏବ, $0.\overline{6}$ ର ପରିମେୟ ରୂପ ହେଉଛି $\frac{2}{3}$ । 🎯

📌 ଉଦାହରଣ ୨: $1.2\overline{3}$ କୁ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ସମାଧାନ: ମନେକର, $x = 1.2\overline{3} = 1.2333...$ -------- (ସମୀକରଣ 1) ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ $10$ ଗୁଣନ କଲେ (ଦଶମିକ ପରେ ବାର୍ ନଥିବା ଅଙ୍କ ପାଇଁ), $10x = 12.333...$ -------- (ସମୀକରଣ 2) ପୁନଶ୍ଚ (ସମୀକରଣ 1) ରେ $100$ ଗୁଣନ କଲେ, $\mathrm{}$

$100x = 123.333...$ -------- (ସମୀକରଣ 3) ବର୍ତ୍ତମାନ (ସମୀକରଣ 3) ରୁ (ସମୀକରଣ 2) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ: $100x - 10x = 123.333... - 12.333...$ $90x = 111$ $x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$ ଅତଏବ, $1.2\overline{3}$ ର ପରିମେୟ ରୂପ ହେଉଛି $\frac{37}{30}$ । 🎯

📌 ଉଦାହରଣ ୩ (ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ): ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର: $(0.\overline{3})^2 + (0.\overline{6})^2 + 2 \times (0.\overline{3}) \times (0.\overline{6})$

✅ ସମାଧାନ: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବିଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ: $a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$ ଏଠାରେ $a = 0.\overline{3}$ ଏବଂ $b = 0.\overline{6}$ ଅଟେ ।

ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ: $= (0.\overline{3} + 0.\overline{6})^2$ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ: $0.\overline{3} = \frac{3}{9}$ ଏବଂ $0.\overline{6} = \frac{6}{9}$ ଯୋଗ କଲେ: $\frac{3}{9} + \frac{6}{9} = \frac{9}{9} = 1$ ତେଣୁ, $(1)^2 = 1$ ଅତଏବ, ଉତ୍ତର ହେଉଛି 1 । 🎯 (ଏହି ନୋଟ୍ସ ଏବଂ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ତୁମକୁ ଅନୁଶୀଳନୀ 2(a) ର ସମସ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ କରିବାରେ ବହୁତ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ ! 👍)