❓ 4. ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ଅଟେ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ପ୍ରତି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ନୁହେଁ

କାରଣ 2 ହେଉଛି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମାତ୍ର ଏହା ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ

❓ 5. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $Z$ ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଅଭେଦ ଧର୍ମ (ଶୂନ ବା 0 ର ଉପସ୍ଥିତି) ଏବଂ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $Z$ ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ଏହି ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $N$ ରେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ

❓ 6. କେଉଁ କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $Q$ ରେ ସତ୍ୟ, ମାତ୍ର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଅସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $Q$ ରେ ସତ୍ୟ (ଶୂନ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ), ମାତ୍ର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $Z$ ରେ ଏହା ଅସତ୍ୟ ଅଟେ

❓ 7. $x$ ଓ $y$ ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $xy$ ଅଯୁଗ୍ମ ମାତ୍ର $x+y$ ଯୁଗ୍ମ ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର $x$ ଓ $y$ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯଥା $x = 2m + 1$ ଏବଂ $y = 2n + 1$ (ଯେଉଁଠାରେ $m$ ଓ $n$ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି)

ବର୍ତ୍ତମାନ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ହେବ $xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$ ଯାହାକି ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ରୂପ, ତେଣୁ ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $xy$ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟେ

ପୁନଶ୍ଚ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ହେବ $x + y = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$ ଯାହାକି 2 ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ, ତେଣୁ ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $x+y$ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ (ପ୍ରମାଣିତ)

❓ 8. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ନା, ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଯୋଗ ଜନିତ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି ନାହିଁ

କାରଣ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ (ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ $3 + 5 = 8$, ଯାହାକି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ)

❓ 9. 15 ଅପେକ୍ଷା ବୃହତ୍ତର ଓ 100 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯେଉଁ ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ରୂପ $3n^{2}+2,$ $n\in Z$ ସେଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ସାଧାରଣ ରୂପଟି ହେଉଛି $3n^2 + 2$

ଯଦି ଆମେ $n=3$ ନେବା, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $3(3)^2 + 2 = 29$

ଯଦି $n=4$ ନେବା, ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $3(4)^2 + 2 = 50$

ଯଦି $n=5$ ନେବା, ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $3(5)^2 + 2 = 77$

ତେଣୁ 15 ଏବଂ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏହି ରୂପର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେବେ 29, 50 ଏବଂ 77

❓ 10. 0.123 123 123.... ସଂଖ୍ୟାଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

✅ ଉତ୍ତର: ହଁ, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ

କାରଣ ଏହା ଏକ ଅସୀମ ଅଥଚ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା, ଯାହାକୁ ଆମେ ପରିମେୟ ରୂପରେ ଅର୍ଥାତ୍ $\frac{p}{q}$ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା

❓ 11. 0.131 ସଂଖ୍ୟାକୁ $\frac{p}{q}$ ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଟି ଏକ ସସୀମ ଦଶମିକ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ ପରିମେୟ ରୂପରେ ଲେଖିଲେ ଏହା $\frac{131}{1000}$ ହେବ

❓ 12. $\frac{1}{3}$ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: $\frac{1}{3}$ କୁ ଦଶମିକ ରୂପେ ଲେଖିଲେ ଏହା $0.3333...$ କିମ୍ବା $0.\overline{3}$ ହେବ

❓ 13. $\frac{1}{3}$ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲଘିଷ୍ଠାକୃତି ନ ହୋଇଥିବା $\frac{100}{q_{1}}, \frac{p_{2}}{-102}, \frac{206}{q_{3}}$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଯଦି $\frac{1}{3} = \frac{100}{q_1}$, ତେବେ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା $q_1 = 300$

ଯଦି $\frac{1}{3} = \frac{p_2}{-102}$, ତେବେ ବିଭାଜନ ଦ୍ୱାରା $p_2 = -34$

ଯଦି $\frac{1}{3} = \frac{206}{q_3}$, ତେବେ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା $q_3 = 618$

ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏହି ଅଲଘିଷ୍ଠ ରୂପଗୁଡ଼ିକ ହେବ ଯଥାକ୍ରମେ $\frac{100}{300}, \frac{-34}{-102}$ ଏବଂ $\frac{206}{618}$

❓ 14. $\{\frac{-15}{n}:n$ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ $n\le15\}$ ସେଟ୍‌ରେ ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଋଣାତ୍ମକ ଅଟନ୍ତି

ଏଥିରେ ସବୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $\frac{-15}{15} = -1$ ଏବଂ ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ $\frac{-15}{1} = -15$

❓ 15. $\frac{1}{4}$ ଓ $\frac{1}{5}$ ମଧ୍ଯରେ 4 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 4 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $x_1 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9}{40}$

$x_2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{9}{40}) = \frac{19}{80}$

$x_3 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{19}{80}) = \frac{39}{160}$

ଏବଂ $x_4 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{39}{160}) = \frac{79}{320}$

❓ 16. $-\frac{1}{2}$ ଓ $\frac{1}{3}$ ମଧ୍ଯରେ 3 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 3 ଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $x_1 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -\frac{1}{12}$

$x_2 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - \frac{1}{12}) = -\frac{7}{24}$

ଏବଂ $x_3 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - \frac{7}{24}) = -\frac{19}{48}$

❓ 17. $\frac{27}{7}$ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: $\frac{27}{7}$ କୁ ଦଶମିକରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ ଏହା $3.857142857142...$ ହେବ, ଯାହାକୁ ଆମେ ଅସରନ୍ତି ପୌନଃପୁନିକ ରୂପରେ $3.\overline{857142}$ ଲେଖିପାରିବା

❓ 18. ପ୍ରମାଣ କର ।

(i) $0.\overline{9}=1$

(ii) $1.2\overline{9}=1.3$

(iii) $2.34\overline{9}=2.35$ ।

✅ ଉତ୍ତର: (i) ମନେକର $x = 0.\overline{9} = 0.999...$

ତେଣୁ $10x = 9.999...$

ବର୍ତ୍ତମାନ $10x - x = 9.999... - 0.999...$ ଅର୍ଥାତ୍ $9x = 9$

ଏଣୁ $x = \frac{9}{9} = 1$ (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ମନେକର $x = 1.2\overline{9} = 1.2999...$

ତେଣୁ $10x = 12.999...$ ଏବଂ $100x = 129.999...$

ବର୍ତ୍ତମାନ $100x - 10x = 129.999... - 12.999...$ ଅର୍ଥାତ୍ $90x = 117$

ଏଣୁ $x = \frac{117}{90} = 1.3$ (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) ମନେକର $x = 2.34\overline{9} = 2.34999...$

ତେଣୁ $100x = 234.999...$ ଏବଂ $1000x = 2349.999...$

ବର୍ତ୍ତମାନ $1000x - 100x = 2349.999... - 234.999...$ ଅର୍ଥାତ୍ $900x = 2115$

ଏଣୁ $x = \frac{2115}{900} = 2.35$ (ପ୍ରମାଣିତ)

❓ 19. ପରିମେୟ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) $0.\overline{1}$ (ii) $0.\overline{11}$

(iii) $0.\overline{89}$ (iv) $0.\overline{37}$

(v) $0.\overline{123}$ (vi) $0.\overline{321}$

(vii) $-0.\overline{54}$ (viii) $6.\overline{89}$

(ix) $-0.\overline{12}$ (x) $0.01305$ ।

✅ ଉତ୍ତର: (i) $0.\overline{1} = \frac{1}{9}$

(ii) $0.\overline{11} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}$

(iii) $0.\overline{89} = \frac{89}{99}$

(iv) $0.\overline{37} = \frac{37}{99}$

(v) $0.\overline{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

(vi) $0.\overline{321} = \frac{321}{999} = \frac{107}{333}$

(vii) $-0.\overline{54} = -\frac{54}{99} = -\frac{6}{11}$

(viii) $6.\overline{89} = 6 + \frac{89}{99} = \frac{683}{99}$

(ix) $-0.\overline{12} = -\frac{12}{99} = -\frac{4}{33}$

(x) $0.01305 = \frac{1305}{100000} = \frac{261}{20000}$

❓ 20. ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର (ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ରୂପରେ) ।

(i) $0.\overline{6}+0.\overline{3}$

(ii) $0.\overline{6}-(0.\overline{3})\times2$

(iii) $(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}+2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})$

(iv) $(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}-2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})+0.\overline{6}$

$$(v) $(0.\overline{6})^{2}-(0.\overline{3})^{2}$

(vi) $(0.\overline{6})^{3}+(0.\overline{3})^{3}+3\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})$

(vii) $(0.\overline{6})^{3}-(0.\overline{3})^{3}-3\times(0.\overline{3})(0.\overline{6})\times(0.\overline{6}-0.\overline{3})$ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $0.\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ଏବଂ $0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(i) $0.\overline{6}+0.\overline{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

(ii) $0.\overline{6}-(0.\overline{3})\times2 = \frac{2}{3} - (\frac{1}{3})\times2 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$

(iii) $(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}+2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3}) = (0.\overline{6} + 0.\overline{3})^2 = (1)^2 = 1$

(iv) $(0.\overline{6})^{2}+(0.\overline{3})^{2}-2\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3})+0.\overline{6} = (0.\overline{6} - 0.\overline{3})^2 + 0.\overline{6} = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3} = (\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$

(v) $(0.\overline{6})^{2}-(0.\overline{3})^{2} = (\frac{2}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(vi) $(0.\overline{6})^{3}+(0.\overline{3})^{3}+3\times(0.\overline{6})\times(0.\overline{3}) = (0.\overline{6} + 0.\overline{3})^3$ (କାରଣ $a^3+b^3+3ab(a+b)$ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ଏବଂ $a+b=1$ ଅଟେ) $= 1^3 = 1$

(vii) $(0.\overline{6})^{3}-(0.\overline{3})^{3}-3\times(0.\overline{3})(0.\overline{6})\times(0.\overline{6}-0.\overline{3}) = (0.\overline{6} - 0.\overline{3})^3 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$