ପୃଷ୍ଠା 56-57 ରେ ଥିବା "ନିଜେ କରି ଦେଖ" ର ପ୍ରଶ୍ନ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ସଠିକ୍ ସମାଧାନ କରି ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା 📝।

ନିଜେ କରି ଦେଖ ✨

❓ Question 1. $2^{224} \div 4^{32}$ ମାନର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି କେତେ ? (ସୂଚନା $4 = 2^2$)

✍️ ଉତ୍ତର:

. ପ୍ରଥମେ ସୂଚନା ଅନୁସାରେ ଆଧାରକୁ $2$ ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା: $4^{32} = (2^2)^{32} = 2^{2 \times 32} = 2^{64}$

. ବର୍ତ୍ତମାନ ହରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମାଧାନ କରିବା: $2^{224} \div 2^{64} = 2^{224 - 64} = 2^{160}$

. $2$ ର ଘାତାଙ୍କର ଏକକ ଅଙ୍କ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଚକ୍ର ($2, 4, 8, 6$) ଅନୁସାରେ ବଦଳେ, ଯାହାର ପୁନରାବୃତ୍ତି ପ୍ରତି $4$ ଘାତରେ ହୁଏ।

. ଏଠାରେ ଘାତାଙ୍କ $160$ ଅଟେ, ଯାହା $4$ ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଭାଜ୍ୟ ($160 \div 4 = 40$)।

. ଯେତେବେଳେ ଭାଗଶେଷ $0$ ରହେ, ଏକକ ଅଙ୍କଟି $2^4$ ର ଏକକ ଅଙ୍କ ($16$ ର $6$) ସହ ସମାନ ହୁଏ।

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି ହେଉଛି 6। 🔢

❓ Question 2. ଗୋଟିଏ ପାତ୍ରରେ 5 ଟି ବୋତଲ ଅଛି । ପ୍ରତିଦିନ ଗୋଟିଏ ନୂଆ ପାତ୍ର ଅଣାଯାଉଥାଏ । 40 ଦିନ ପରେ ସେଥିରେ କେତେ ନୂଆ ବୋତଲ ଥିବ ?

✍️ ଉତ୍ତର:

. ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ଗୋଟିଏ ପାତ୍ରରେ ଥିବା ବୋତଲ ସଂଖ୍ୟା $= 5$

 . ପ୍ରତିଦିନ $1$ ଟି ପାତ୍ର ଅଣାଯାଏ, ତେଣୁ $40$ ଦିନରେ ଅଣାଯାଇଥିବା ପାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା $= 40$

 . ସମୁଦାୟ ନୂଆ ବୋତଲ ସଂଖ୍ୟା $= 40 \times 5 = 200$

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: $40$ ଦିନ ପରେ ସେଥିରେ ସମୁଦାୟ 200 ଟି ନୂଆ ବୋତଲ ଥିବ। 🍼

❓ Question 3. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଲେଖ; ଘାତାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ।

(i) $64^3$ (ii) $192^8$ (iii) $31^{-5}$

✍️ ଉତ୍ତର: (i) $64^3$ ପାଇଁ:

• Way 1: $(2^6)^3 = \mathbf{2^{18}}$
• Way 2: $64^2 \times 64^1$
• Way 3: $(4^3)^3 = \mathbf{4^9}$ 📝

(ii) $192^8$ ପାଇଁ:

• Way 1: $192^4 \times 192^4$
• Way 2: $192^{10} \times 192^{-2}$
• Way 3: $(192^2)^4 = \mathbf{192^8}$ 🔢

(iii) $31^{-5}$ ପାଇଁ:

• Way 1: $31^{-2} \times 31^{-3}$
• Way 2: $31^{-10} \times 31^5$
• Way 3: $(31^5)^{-1} = \mathbf{31^{-5}}$ 🎯

❓ Question 4. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତିକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 'ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ', 'ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ' କିମ୍ବା 'ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ' ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର; ତୁମର ଯୁକ୍ତି ବର୍ଣ୍ଣନା କର। 🧐

(i) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

✍️ ଉତ୍ତର: ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ । ଯୁକ୍ତି: $8$ ($2^3$) ଏକ ଘନ କିନ୍ତୁ ବର୍ଗ ନୁହେଁ, କିନ୍ତୁ $64$ ($4^3$ ବା $8^2$) ଉଭୟ ଅଟେ।

(ii) ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

✍️ ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ । ଯୁକ୍ତି: $a^4 = (a^2)^2$ । ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। ✅

(iii) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ପଞ୍ଚମ ଘାତାଙ୍କ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଘନଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

✍️ ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ । ଯୁକ୍ତି: $\frac{a^5}{a^3} = a^2$ । ➗

(iv) ଦୁଇଟି ଘନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

✍️ ଉତ୍ତର: ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ । ଯୁକ୍ତି: $x^3 \times y^3 = (xy)^3$ । ✖️

(v) $q^{46}$ ସଂଖ୍ୟାଟି ଉଭୟ ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ଓ ଷଷ୍ଠ ଘାତାଙ୍କ ଅଟେ । ($q$ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ) ।

✍️ ଉତ୍ତର: ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ଯୁକ୍ତି: $46$ ସଂଖ୍ୟାଟି $4$ କିମ୍ବା $6$ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ। ❌

 Question 5. ନିମ୍ନ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କର ଏବଂ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ: 🔢

(i) $10^{-2} \times 10^{-5}$

✍️ Answer: $10^{-2 + (-5)} = 10^{-2 - 5} = \mathbf{10^{-7}}$

(ii) $5^7 \div 5^4$

✍️ Answer: $5^{7 - 4} = \mathbf{5^3}$

(iii) $9^{-7} \div 9^4$

✍️ Answer: $9^{-7 - 4} = \mathbf{9^{-11}}$

(iv) $(13^{-2})^{-3}$

✍️ Answer: $13^{(-2) \times (-3)} = \mathbf{13^6}$

(v) $m^5 n^{12} (mn)^9$

✍️ Answer: $m^5 \times n^{12} \times m^9 \times n^9 = m^{5+9} \times n^{12+9} = \mathbf{m^{14} n^{21}}$

❓ Question 6. ଯଦି $12^2 = 144$, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମାନ କେତେ ହେବ ? ⚖️

(i) $(1.2)^2 = \mathbf{1.44}$ ✅

(ii) $(0.12)^2 = \mathbf{0.0144}$ ✅

(iii) $(0.012)^2 = \mathbf{0.000144}$ ✅

(iv) $120^2 = \mathbf{14400}$ 🌟

❓ Question 7. ସମାନ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଲ ବୁଲାଅ: ⭕ $2^4 \times 3^6, \quad 6^4 \times 3^2, \quad 6^{10}, \quad 18^2 \times 6^2, \quad 6^{24}$

✍️ Answer: * $6^4 \times 3^2 = (2 \times 3)^4 \times 3^2 = 2^4 \times 3^4 \times 3^2 = \mathbf{2^4 \times 3^6}$

• ${18}^2\times 6^2=(2\times 3^2{)}^2\times (2\times 3{)}^2$
• $18^2 \times 6^2 = (2 \times 3^2)^2 \times (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^4 \times 2^2 \times 3^2 = \mathbf{2^4 \times 3^6}$
• ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ସମାନ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $2^4 \times 3^6$, $6^4 \times 3^2$ ଏବଂ $18^2 \times 6^2$। ✅

❓ Question 8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର: ⚖️

(i) $4^3$ କିମ୍ବା $3^4$

✍️ Answer: $4^3 = 64$ ଏବଂ $3^4 = 81$। ତେଣୁ $3^4$ ବୃହତ୍ତର।

(ii) $2^8$ କିମ୍ବା $8^2$

✍️ Answer: $2^8 = 256$ ଏବଂ $8^2 = 64$। ତେଣୁ $2^8$ ବୃହତ୍ତର।

(iii) $100^2$ କିମ୍ବା $2^{100}$

✍️ Answer: $100^2 = 10,000$ ଏବଂ $2^{100}$ ଏକ ବିରାଟ ସଂଖ୍ୟା। ତେଣୁ $2^{100}$ ବୃହତ୍ତର। 🌟

❓ Question 9. ଏକ ଡାଏରୀ ଫାର୍ମ ବର୍ଷକୁ 8.5 ବିଲିୟନ ପ୍ୟାକେଟ୍ କ୍ଷୀର ଉତ୍ପାଦନ କରିବାକୁ ଯୋଜନା କରୁଛି। ଯଦି ସେମାନେ 0-9 ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି, ତେବେ କୋର୍ଡରେ କେତୋଟି ଅଙ୍କ ରହିବ? 🥛

✍️ Answer: $8.5$ ବିଲିୟନ $= 8.5 \times 10^9$।

ଯଦି ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $n = 9$, ତେବେ ସମୁଦାୟ କୋର୍ଡ $= 10^9$ (1 ବିଲିୟନ),

ଯାହା ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ। ଯଦି $n = 10$,

ତେବେ ସମୁଦାୟ କୋର୍ଡ $= 10^{10}$ (10 ବିଲିୟନ), ଯାହା $8.5$ ବିଲିୟନ ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ। ଉତ୍ତର: କୋର୍ଡରେ ଅତିକମରେ 10 ଟି ଅଙ୍କ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ। 🔢

❓ Question 10. 64 ପରି ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ଯାହା ଉଭୟ ବର୍ଗ ଓ ଘନ ଅଟେ ? ସାଧାରଣ ଭାବେ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର କୌଣସି ଉପାୟ ଅଛି କି ? 💡

✍️ Answer: ହଁ, ଯଥା 1 ($1^2, 1^3$) ଏବଂ 729 ($27^2, 9^3$) ।

ସାଧାରଣ ରୂପରେ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ $a^6$ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ। (କାରଣ $a^6 = (a^3)^2 = (a^2)^3$) ✨

❓ Question 11. ଏକ ଡିଜିଟାଲ୍ ଲକର୍ରେ 5 ଅକ୍ଷର ବିଶିଷ୍ଟ ଆଲଫାନ୍ୟୁମେରିକ୍ ପାସକୋର୍ଡ ଅଛି; ଏହିପରି କେତୋଟି କୋର୍ଡ ସମ୍ଭବ ? 🔐

✍️ Answer: ମୋଟ ବିକଳ୍ପ $= 26$ (ଅକ୍ଷର) $+ 10$ (ଅଙ୍କ) $= 36$।

ପାସକୋର୍ଡ 5 ଅକ୍ଷର ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇଥିବାରୁ, ସମୁଦାୟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ କୋର୍ଡ $= 36 \times 36 \times 36 \times 36 \times 36 = \mathbf{36^5}$।

ଉତ୍ତର: ସମୁଦାୟ $36^5$ ଟି ବିଭିନ୍ନ କୋର୍ଡ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇପାରିବ।

❓ Question 12. ସମଗ୍ର ବିଶ୍ୱରେ ମେଣ୍ଢାମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା 2024 ମସିହା ପ୍ରାୟ $10^9$ ଏବଂ ଛେଳିମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ ସମାନ । ମେଣ୍ଢା ଓ ଛେଳିମାନଙ୍କ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନୋକ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ? 🐏🐐

(i) $20^9$ (ii) $10^{11}$ (iii) $10^{10}$ (iv) $10^{18}$ (v) $2 \times 10^9$ (vi) $10^9 + 10^9$

✍️ ଉତ୍ତର:

1. ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ, ମେଣ୍ଢା ସଂଖ୍ୟା $= 10^9$ ଏବଂ ଛେଳି ସଂଖ୍ୟା $= 10^9$।

2. ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା $= 10^9 + 10^9$।

3. ଏହାକୁ ଆମେ $2 \times 10^9$ ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା।

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ ବିକଳ୍ପ (v) ଏବଂ (vi) ଉଭୟ ସଠିକ୍ ଅଟନ୍ତି। 

❓ Question 13. ହିସାବ କର ଏବଂ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ । 🔬

(ସୂଚନା: ବିଶ୍ୱର ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 8 ବିଲିୟନ ବା $8 \times 10^9$ ଅଟେ)

❓ (i) ଯଦି ବିଶ୍ୱର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ପାଖରେ 30 ଖଣ୍ଡ ପୋଷାକ ଥାଏ, ତେବେ ମୋଟ ପୋଷାକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ମୋଟ ପୋଷାକ $= (8 \times 10^9) \times 30 = 240 \times 10^9 = 2.4 \times 10^{11}$। 👔

❓ (ii) ବିଶ୍ୱରେ ପ୍ରାୟ 100 ନିୟୁତ ମହୁଫେଣା ଅଛି; ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫେଣାରେ ପ୍ରାୟ 50,000 ମହୁମାଛି ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ମହୁମାଛି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: 100 ନିୟୁତ $= 10^8$ ଏବଂ 50,000 $= 5 \times 10^4$। ମୋଟ ମହୁମାଛି $= 10^8 \times (5 \times 10^4) = 5 \times 10^{12}$। 🐝

❓ (iii) ମାନବ ଶରୀରରେ ପ୍ରାୟ 38 ଟ୍ରିଲିୟନ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ କୋଷ ଅଛି; ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମଣିଷଙ୍କ ଶରୀରରେ ଥିବା ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: 38 ଟ୍ରିଲିୟନ $= 3.8 \times 10^{13}$। ମୋଟ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ $= (8 \times 10^9) \times (3.8 \times 10^{13}) = 30.4 \times 10^{22} = 3.04 \times 10^{23}$। 🦠

❓ (iv) ଜୀବନକାଳରେ ଖାଇବାରେ ବିତାଇଥିବା ମୋଟ ସମୟକୁ ସେକେଣ୍ଡ ଏକକରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

✍️ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ହାରାହାରି 70 ବର୍ଷ ବଞ୍ଚନ୍ତି ଏବଂ ଦିନକୁ 2 ଘଣ୍ଟା ଖାଆନ୍ତି। ମୋଟ ଘଣ୍ଟା $= 70 \times 365 \times 2 = 51,100$ ଘଣ୍ଟା। ସେକେଣ୍ଡରେ $= 51,100 \times 3600 \approx 1.84 \times 10^8$ ସେକେଣ୍ଡ। 🍽️

❓ Question 14. 1 ଅରବ / 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ ପୂର୍ବରୁ ତାରିଖ କେତେ ଥିଲା ? 📅

✍️ ଉତ୍ତର: 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ $= 1,000,000,000$ ସେକେଣ୍ଡ।

ଏହାକୁ ବର୍ଷରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା: 1 ବର୍ଷ $= 365 \times 24 \times 3600 = 31,536,000$ ସେକେଣ୍ଡ।

ସମୁଦାୟ ବର୍ଷ $= \frac{1,000,000,000}{31,536,000} \approx 31.7$ ବର୍ଷ (ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରାୟ 31 ବର୍ଷ 8 ମାସ)।

ବର୍ତ୍ତମାନର ସମୟ (ଏପ୍ରିଲ 2026) ରୁ ପଛକୁ ଗଲେ (2026 - 31.7)

: ଏହି ତାରିଖଟି ପ୍ରାୟ ଅଗଷ୍ଟ/ସେପ୍ଟେମ୍ବର 1994 ମସିହା ପାଖାପାଖି ହେବ। ✨