❓ ୧. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।

❓ (i) $E=\{1,2,3,4,5\}$ ଓ $S=\{2,4\}$ ହେଲେ $S' = \dots$ [(a) {1, 3} (b) {1,4,5} (c) {1,3,5} (d) {1,2,5}]

✅ ଉତ୍ତର: $\{1, 3, 5\}$
(କାରଣ $S'$ ବା S ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ହେଉଛି E ରେ ଥିବା କିନ୍ତୁ S ରେ ନଥିବା ଉପାଦାନ)

❓ (ii) $E=\{a,b,c,d\}$ ଓ $T=\{a,b\}$ ହେଲେ $T \cup T' = \dots$ [(a) E (b) {a, b} (c) {c, d} (d) $\phi$]

✅ ଉତ୍ତର: $E$
(କାରଣ ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗ ସର୍ବଦା ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ହୋଇଥାଏ)

❓ (iii) $E=\{a,b,c,d\}$ ଓ $T=\{a,b\}$ ହେଲେ $T \cap T' = \dots$ [(a) E (b) {a, b} (c) {c, d} (d) $\phi$]

✅ ଉତ୍ତର: $\phi$
(କାରଣ ଗୋଟିଏ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନଥାଏ)

❓ (iv) $(A \cup A') - (A' \cap A) = \dots$ [(a) A (b) A' (c) E (d) $\phi$]

✅ ଉତ୍ତର: $E$
(କାରଣ $A \cup A' = E$ ଏବଂ $A' \cap A = \phi$ ହୋଇଥାଏ, ତେଣୁ $E - \phi = E$)

❓ (v) $(E - A) \cup (E - B) = \dots$ [(a) $A \cup B$ (b) $(A \cup B)'$ (c) $A \cap B$ (d) $(A \cap B)'$]

✅ ଉତ୍ତର: $(A \cap B)'$
(କାରଣ $E - A = A'$ ଏବଂ $E - B = B'$, ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ $A' \cup B' = (A \cap B)'$)

❓ (vi) $E - A = \dots$ [(a) E (b) A (c) A' (d) $\phi$]

✅ ଉତ୍ତର: $A'$
(ଏହା ହେଉଛି ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ର ପ୍ରକୃତ ସୂତ୍ର)

❓ (vii) $A' \cap B' = \dots$ [(a) $A \cup B$ (b) $(A \cup B)'$ (c) $A \cap B$ (d) $(A \cap B)'$]

✅ ଉତ୍ତର: $(A \cup B)'$
(ଏହା ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଅଟେ)

❓ (viii) $(A - B) \cup (B - A) = \dots$ [(a) $A \cup B$ (b) $A \Delta B$ (c) $A \cap B$ (d) B]

✅ ଉତ୍ତର: $A \Delta B$
(ଏହା ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ବା ସିମେଟ୍ରିକ୍ ଡିଫରେନ୍ସର ସୂତ୍ର ଅଟେ)

❓ (ix) $(A - B) \cup (B - A) = \dots$ [(a) $(A \cup B) - (A \cap B)$ (b) $(A \cup B) - (A - B)$ (c) $(A - B) - (A \cap B)$ (d) $(A - B) \cap (B - A)$]

✅ ଉତ୍ତର: $(A \cup B) - (A \cap B)$
(ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରକୁ ଏହି ପ୍ରକାରେ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରେ)

❓ (x) $A \cap A' = \dots$ [(a) A (b) A' (c) $\phi$ (d) E]

✅ ଉତ୍ତର: $\phi$
(କାରଣ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କିଛି ବି ସମାନ ଉପାଦାନ ନଥାଏ)

❓ (xi) $(A' \cup B')' = \dots$ [(a) $A \cap B$ (b) $A \cup B$ (c) $A' \cap B'$ (d) $(A \cup B)'$]

✅ ଉତ୍ତର: $A \cap B$
(ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଏବଂ ପରିପୂରକର ପରିପୂରକ ନିୟମ $(X')' = X$ ଅନୁସାରେ)

❓ (xii) $(A \cap B)' = \dots$ [(a) $A' \cup B'$ (b) $(A \cap B)'$ (c) $A' \cap B'$ (d) $E - (A \cap B)$]

✅ ଉତ୍ତର: $A' \cup B'$
(ଏହା ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମ ଅଟେ)

❓ ୨. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।

(i) $(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

(ii) $A \Delta B=B \Delta A$ (iii) $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$

(iv) $(A\cap B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$ (v) $\phi^{\prime}=E$

(vi) $E^{\prime}=\phi$ (vii) $A\cup A^{\prime}=\phi$

(viii) $A\cap A^{\prime}=E$ (ix) $(A\cup A)=E$

(x) $(A\cap A)=\phi$

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା (i), (ii), (iv), (v) ଏବଂ (vi)
ସବିଶେଷ ବିବରଣୀ ଓ କାରଣ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା:

(i) ଠିକ୍ ଏହା ହେଉଛି ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ବା ସିମେଟ୍ରିକ୍ ଡିଫରେନ୍ସ ର ପ୍ରକୃତ ସୂତ୍ର
(ii) ଠିକ୍ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ସର୍ବଦା କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ
(iii) ଭୁଲ୍ ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}$ ହେବା କଥା
(iv) ଠିକ୍ ଏହା ହେଉଛି ଡି-ମର୍ଗାନଙ୍କ ଅନ୍ୟ ଏକ ନିୟମ
(v) ଠିକ୍ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ସର୍ବଦା ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ହୋଇଥାଏ
(vi) ଠିକ୍ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ସର୍ବଦା ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ହୋଇଥାଏ
(vii) ଭୁଲ୍ ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ର ସଂଯୋଗ ସର୍ବଦା ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅର୍ଥାତ୍ $A\cup A^{\prime}=E$ ହେବ
(viii) ଭୁଲ୍ ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନଥାଏ ତେଣୁ $A\cap A^{\prime}=\phi$ ହେବ
(ix) ଭୁଲ୍ ବର୍ଗସମ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ଗୋଟିଏ ସେଟ୍ କୁ ସେହି ସେଟ୍ ସହ ସଂଯୋଗ କଲେ ସେହି ସେଟ୍ ହିଁ ମିଳେ ଅର୍ଥାତ୍ $A\cup A=A$ ହେବ
(x) ଭୁଲ୍ ବର୍ଗସମ ନିୟମ ଅନୁସାରେ ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ସେହି ସେଟ୍ ର ଛେଦ ସେହି ସେଟ୍ ହିଁ ହୋଇଥାଏ ଅର୍ଥାତ୍ $A\cap A=A$ ହେବ

❓ ୩. ଯଦି $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{1,2,3,4\}$ ଓ $B=\{3,4,5,6\}$ ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।

(i) $A'$ (ii) $B'$ (iii) $A' \cup B'$ (iv) $A' \cap B'$ (v) $(A \cup B)'$ (vi) $(A \cap B)'$

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ଅଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{1,2,3,4\}$ ଏବଂ $B=\{3,4,5,6\}$

(i) $A'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ $A' = E - A = \{5,6,7,8,9,10\}$

(ii) $B'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ $B' = E - B = \{1,2,7,8,9,10\}$

(iii) $A' \cup B'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ $A' \cup B' = \{5,6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,7,8,9,10\} = \{1,2,5,6,7,8,9,10\}$

(iv) $A' \cap B'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ $A' \cap B' = \{5,6,7,8,9,10\} \cap \{1,2,7,8,9,10\} = \{7,8,9,10\}$

(v) $(A \cup B)'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଥମେ $A \cup B = \{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$
ତେଣୁ $(A \cup B)' = E - (A \cup B) = \{7,8,9,10\}$

(vi) $(A \cap B)'$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଥମେ $A \cap B = \{1,2,3,4\} \cap \{3,4,5,6\} = \{3,4\}$
ତେଣୁ $(A \cap B)' = E - (A \cap B) = \{1,2,5,6,7,8,9,10\}$

❓ ୪. ଉପରୋକ୍ତ ୩ ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନରୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।

(i) $(A \cup B)' = A' \cap B'$ (ii) $(A \cap B)' = A' \cup B'$

✅ ଉତ୍ତର: (i) ପ୍ରଥମ ଉକ୍ତିର ପ୍ରମାଣ ୩ ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତରରୁ ଆମେ ପାଇଛୁ ଯେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ $(A \cup B)' = \{7,8,9,10\}$
ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ $A' \cap B' = \{7,8,9,10\}$
ଯେହେତୁ ଉଭୟ ସେଟ୍ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ = ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ
ଏଣୁ $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

(ii) ଦ୍ୱିତୀୟ ଉକ୍ତିର ପ୍ରମାଣ ୩ ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତରରୁ ଆମେ ପାଇଛୁ ଯେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ $(A \cap B)' = \{1,2,5,6,7,8,9,10\}$
ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ $A' \cup B' = \{1,2,5,6,7,8,9,10\}$
ଯେହେତୁ ଉଭୟ ସେଟ୍ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ = ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ
ଏଣୁ $(A \cap B)' = A' \cup B'$ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା
❓ ୫. $E=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $A=\{a,b,c\}$ ଏବଂ $B=\{b,f,g,h\}$ ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତି ଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

(i) $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}$ (ii) $(A\cap B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ଅଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$, $A=\{a,b,c\}$ ଏବଂ $B=\{b,f,g,h\}$
(ବି.ଦ୍ର. ବହିରେ ମୁଦ୍ରଣ ଜନିତ ତ୍ରୁଟି ଯୋଗୁଁ B ବଦଳରେ C ଲେଖାଯାଇଛି, ଯାହାକୁ ଆମେ ଏଠାରେ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ B ଭାବରେ ନେଇଛେ)

(i) $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}$ ର ପ୍ରମାଣ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ $A \cup B = \{a,b,c\} \cup \{b,f,g,h\} = \{a,b,c,f,g,h\}$
ତେଣୁ $(A \cup B)^{\prime} = E - (A \cup B) = \{d,e\}$

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ $A^{\prime} = E - A = \{d,e,f,g,h\}$
$B^{\prime} = E - B = \{a,c,d,e\}$
ତେଣୁ $A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{d,e,f,g,h\} \cap \{a,c,d,e\} = \{d,e\}$
ଯେହେତୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ $(A\cup B)^{\prime}=A^{\prime}\cap B^{\prime}$ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

(ii) $(A\cap B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$ ର ପ୍ରମାଣ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ $A \cap B = \{a,b,c\} \cap \{b,f,g,h\} = \{b\}$
ତେଣୁ $(A \cap B)^{\prime} = E - (A \cap B) = \{a,c,d,e,f,g,h\}$

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପାଇଛୁ $A^{\prime} = \{d,e,f,g,h\}$ ଏବଂ $B^{\prime} = \{a,c,d,e\}$
ତେଣୁ $A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{d,e,f,g,h\} \cup \{a,c,d,e\} = \{a,c,d,e,f,g,h\}$
ଯେହେତୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ ଅଟନ୍ତି, ତେଣୁ $(A\cap B)^{\prime}=A^{\prime}\cup B^{\prime}$ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

❓ ୬. ଏକ ଉଦାହରଣ ଦ୍ବାରା ଡିମଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ ଦ୍ଵୟର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E=\{1,2,3,4,5\}$
ଏବଂ ଏହାର ଦୁଇଟି ଉପସେଟ୍ $A=\{1,2\}$ ଓ $B=\{2,3\}$

ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମ $(A \cup B)^{\prime} = A^{\prime} \cap B^{\prime}$ ର ପ୍ରମାଣ ପ୍ରଥମେ $A \cup B = \{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$
ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ $(A \cup B)^{\prime} = E - (A \cup B) = \{4,5\}$
ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ଆମେ ବାହାର କରିବା $A^{\prime} = \{3,4,5\}$ ଏବଂ $B^{\prime} = \{1,4,5\}$
ତେଣୁ $A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{3,4,5\} \cap \{1,4,5\} = \{4,5\}$
ଯେହେତୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ, ତେଣୁ ପ୍ରଥମ ନିୟମଟି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ଦ୍ଵିତୀୟ ନିୟମ $(A \cap B)^{\prime} = A^{\prime} \cup B^{\prime}$ ର ପ୍ରମାଣ ପ୍ରଥମେ $A \cap B = \{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$
ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ $(A \cap B)^{\prime} = E - (A \cap B) = \{1,3,4,5\}$
ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ ଆମେ ବାହାର କରିବା $A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{3,4,5\} \cup \{1,4,5\} = \{1,3,4,5\}$
ଯେହେତୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ, ତେଣୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ନିୟମଟି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା